文档内容
专题08 一元二次方程的应用（动态几何问题）
类型一 三角形中的动态几何问题
1． 中， ， ， ，点P从点A开始沿边 向终点B以1cm/s的速度移动，
与此同时，点Q从点B开始沿边 向终点C以2cm/s的速度移动．如果点P、Q分别从点A、B同时出发，
当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空： ________， ________（用含t的代数式表示）；
(2)是否存在t的值，使得 的面积等于 ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)存在，当 时， 的面积等于
【解析】
【分析】
（1）根据“路程=速度×时间”可表示出BQ、AP．再用AB-AP就可以求出PB即可；
（2）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程求出t的值即可．
(1)
（1）由题意得：BQ=2t，AP=t，则BP=5-AP=5-t．
故答案为：2t，5-t．
(2)
（3）存在．
由题意可得： 的面积为 ，
∵ 的面积等于 ，∴ =4，解得：t=1，t=4（不符合题意，舍去），
1 2
∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．
【点睛】
本题考查了行程问题的运用、一元二次方程的解法、三角形面积公式的运用等知识点．在解答时要注意所
求的解的实际问题有意义成为解答本题的关键．
2．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速移
动，它们的速度都是2cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点都停止运动，设点P的运动时间为ts，解答下
列问题：
(1)求△ABC的面积；
(2)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
(3)是否存在t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的 ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）过点 作 于点 ，先根据等边三角形的性质可得 ，再利用勾股定
理可得 ，然后利用三角形的面积公式即可得；（2）分 或 两种情况，分别利用直角三角形的性质建立方程，解方程即可得；
（3）假设存在某一时刻 ，使四边形 的面积是 面积的 ，从而可得 ，过点
作 于点 ，利用直角三角形的性质和勾股定理可得 ，再利用三角形的面积公式建立
方程，然后利用一元二次方程根的判别式进行分析即可得出答案．
(1)
解：如图，过点 作 于点 ，
为等边三角形，且边长为 ，
，
，
的面积为 ．
(2)
解：由题意得： ，
，
为等边三角形，
，
当点 到达点 时， ，
则 ，①当 时， 是直角三角形，
，
，即 ，
解得 ，符合题意；
②当 时， 是直角三角形，
，
，即 ，
解得 ，符合题意，
综上，当 或 时， 是直角三角形．
(3)
解：不存在 ，使四边形 的面积是 面积的 ，理由如下：
假设存在某一时刻 ，使四边形 的面积是 面积的 ，
由（1）得： ，
，
如图，过点 作 于点 ，
，
，
，整理得： ，
此方程根的判别式为 ，方程无解，
所以假设不成立，
即不存在 ，使四边形 的面积是 面积的 ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、含 角的直角三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，
较难的是题（3），正确建立关于时间 的方程是解题关键．
3．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，
点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开
始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（ ）
A．2s或 s B．1s或 s C． s D．2s或 s
【答案】D
【解析】
【分析】
设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，利
用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，
根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102，
解得：x=2，x= ，
1 2
答：当P、Q两点从出发开始到2s或 s时，点P和点Q的距离是10cm．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．4．上午8点，某台风中心在A岛正南方向 处由南向北匀速移动，同时在A岛正西方向 处有一
艘补给船向A岛匀速驶来，补给完后改变速度立即向A岛正北方向的C港匀速驶去，如图所示是台风中心、
补给船与A岛的距离S和时间t的图象．已知台风影响的半径是 （包含边界），请结合图象解答下
列问题：
（1）台风的速度是_________ ，补给船在到达A岛前的速度是_________ ，图中点P的实际意
义是_______________；
（2）从几点开始，补给船将受到台风的影响？
（3）设补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，出于安全考虑，补给船速度不超
过 、 ．求出图中补给船航行时间m的正整数值及此时补给船在驶入C港之前受台风影响的
总时间．
【答案】（1）20，60，补给船与台风中心分别在A岛正北与正南方向，且到A岛的距离相等；（2）8点
12分；（3） 补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间为 小时．
【解析】
【分析】
（1）首先根据图像为台风中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象，台风在上午8点距离A岛
100km，即可得出线段DE为台风中心距离A岛的距离S和时间t的图象；补给船上午8点距离A岛40km，
即可得出线段FG为补给船与A岛的距离S和时间t的图象，从图像获取信息即可求得各自的速度；由题目
可知，补给船到达A岛后，还要去C港，此时与台风的图像相交，结合各自的速度，即可得出点P的实际
意义；
（2）由台风影响的半径是 （包含边界），即可画出此情况下的图形，利用勾股定理列出方程，求解
即可得出答案；
（3）根据补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，即可列出方程，解出a，根据题
目要求，补给船速度不超过 且 ，列出不等式，再根据m为正整数，即可求出m；补给船受台风影响总时间为驶向C港受影响的时间加上驶向A岛受影响的时间，即可求得答案．
【详解】
（1）由题分析得，线段DE为台风中心与A岛之间的距离S与时间t的图像，
∴台风的速度 ,
线段FG是补给船与A岛的距离S与时间t的图像，
∴补给船的速度 ，
∴点P表示：补给船与台风中心分别在A岛正北与正南方向，且到A岛的距离相等；
（2）如图所示开始受影响，即BH=100km，
设t小时后补给船开始受台风影响，
则
在 中，由勾股定理得，
，
解得， （不合题意，舍去），∴补给船出发 （分钟），开始受台风影响，
∴从8点12分开始补给船开始受台风影响；
（3）由图可得，补给船离开A岛时，台风已经移动了1小时，
台风中心距离A岛的距离为：
，
由图可知，补给船离开A岛驶向C港的路程为120km，时间为 ，
故补给船离开A岛驶向C港的速度为： (km/h)，
∵补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，
∴
解得，
∵
∴ ，
由图可知，
去分母得，
解得： ，
又∵补给船速度不超过 ，
∴
由图可知，
去分母得，
解得：
∴
∵m为正整数，
∴
当
即补给船驶出A岛到驶到C港之前受台风影响的时间为 ，在补给船出发驶向A岛的过程中，有 没有受台风影响，
∴补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间 ．
【点睛】
本题考查了从函数图像获取信息，勾股定理，一元二次方程的应用，解不等式组，解题关键是正确理解题
意，能从函数图像中获取需要信息进行求解．
5．如图①，在矩形 中， ，对角线 ， 相交于点 ，动点 由点 出发，沿
向点 运动设点 的运动路程为 ， 的面积为 ， 与 的函数关系图象如图②所
示，则 的长为______．
【答案】4
【解析】
【分析】
当 点在 上运动时， 面积逐渐增大，当 点到达 点时，结合图象可得 面积最大为3，得
到 与 的积为12；当 点在 上运动时， 面积逐渐减小，当 点到达 点时， 面积为
0，此时结合图象可知 点运动路径长为7，得到 与 的和为7，构造关于 的一元二方程可求解．
【详解】
解：由图象与题意知可知，当 点在 上运动时， 面积逐渐增大，当 点到达 点时， 面积
最大为3，
∴ ，即 ．
当 点在 上运动时， 面积逐渐减小，当 点到达 点时， 面积为0，此时结合图象可知
点运动路径长为7，
∴ ．
则 ，代入 ，得 ，
解得 或 ，
∵ ，即 ，∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极
值，结合图象得到相关线段的具体数值．
类型二 四边形中的动态几何问题
6．如图，将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移得到△A′B′C′，若
两个三角形重叠部分的面积为3，则它移动的距离AA′等于 ___；移动的距离AA′等于 ___时，两个三角形
重叠部分面积最大．
【答案】 1cm或3cm##3cm或1cm 2cm
【解析】
【分析】
如图，设 交 于 交 于 证明四边形 是平行四边形，证明 是等腰直角三
角形， 也是等腰直角三角形，设 cm，则 再利用面积公式建立方程，解
方程即可，同时利用配方法求解面积最大值时的平移距离.
【详解】
解：如图，设 交 于 交 于
由平移的性质可得：
四边形 是平行四边形，
由正方形 可得：是等腰直角三角形，
同理： 也是等腰直角三角形，
设 cm，则
解得：
cm或 cm
重叠部分的面积为：
当 时，重叠部分的面积最大，最大面积为4cm2
所以当 cm时，重叠部分的面积最大.
故答案为：1cm或3cm；2cm
【点睛】
本题考查的是正方形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，
配方法的应用，平移的性质，熟悉以上基础知识是解题的关键.
7．如图，矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝3 cm，点E从点B沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，同时点
F从点C沿CD以1 cm/s的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当
△AEF是以AF为底边的等腰三角形时，求点E运动的时间．
【答案】（6－ ）s
【解析】
【分析】
设点E运动的时间是x秒．根据题意可得方程，解方程即可得到结论．【详解】
解：设点E运动的时间是x s．
根据题意可得22＋（2x）2＝（3－2x）2＋x2，解这个方程得
x＝6－ ，x＝6＋ ，
1 2
∵3÷2＝1.5（s），2÷1＝2（s），
∴两点运动了1.5s后停止运动．
∴x＝6－ ．
答：当△AEF是以AF为底边的等腰三角形时，点E运动的时间是（6－ ）s．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理的运用．
8．如图，在矩形ABCD中， ， ，点P从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；
同时，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当点P运动到点B后，运动停止，设运动时
间为x（s）．
(1) ______cm， ______cm（用含x的式子表示）；
(2)若 时，求x的值；
(3)当x为何值时， 将成为以 为斜边的直角三角形．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)当 为 或 时， 是以 为斜边的直角三角形【解析】
【分析】
（1）直接根据P、Q点运动方向和运动速度表示出答案；
（2）在 中，根据勾股定理即可求出答案；
（3）表示出 、 和 ，由勾股定理即可求出答案．
(1)
由题可得： ， ，
∴ ， ，
故答案为： ， ；
(2)
在 中， ，即 ，
解得： 或 ；
(3)
， ， ，
∵ 是以 为斜边的直角三角形，
∴ ，
解得： 或 ，
∴当 为 或 时， 是以 为斜边的直角三角形．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出三角形各边的长度是解题的关键．
三、解答题(共0分)
9．如图，长方形ABCD中（长方形的对边平行且相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点
P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当
有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t（s），问：
（1）当t＝1s时，四边形BCQP面积是多少？
（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t＝ s时，以点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）
【答案】（1）5cm2；（2） ；（3） 或 或 或 ．
【解析】
【分析】
（1）当t=1时，可以得出CQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6-2=4（cm），由梯形的面积就可以得出四边形
BCQP的面积；
（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD于
E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；
（3）分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形
的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．
【详解】
解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
∵CQ＝1cm，AP＝2cm，
∴AB＝6﹣2＝4（cm）．
∴S＝ （cm2）．
答：四边形BCQP面积是5cm2；
（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．
∵AP＝2t（cm），
∴PE＝6﹣2t﹣t＝（6﹣3t）cm．
在Rt PQE中，由勾股定理，得
（6﹣△3t）2+4＝9，
解得：t＝ ．
如图2，作PE⊥CD于E，
∴∠PEQ＝90°．
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴PE＝BC＝2cm，BP＝CE＝6﹣2t．
∵CQ＝t，
∴QE＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6
在Rt PEQ中，由勾股定理，得
（3t﹣△6）2+4＝9，
解得：t＝ ．综上所述：t＝ 或 ；
（3）如图3，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．
∵AP＝2t，
∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．
∵PQ＝DQ，
∴PQ＝6﹣t．
在Rt PQE中，由勾股定理，得
（6﹣△3t）2+4＝（6﹣t）2，
解得：t＝ ．
如图4，当PD＝PQ时，作PE⊥DQ于E，
∴DE＝QE＝ DQ，∠PED＝90°．
∵∠A＝∠D＝90°，
∴四边形APED是矩形，
∴PE＝AD＝2cm．DE＝AP＝2t，∵DQ＝6﹣t，
∴DE＝ ．
∴2t＝ ，
解得：t＝ ；
如图5，当PD＝QD时，
∵AP＝2t，CQ＝t，
∴DQ＝6﹣t，
∴PD＝6﹣t．
在Rt APD中，由勾股定理，得
4+4t2＝△（6﹣t）2，
解得t＝ ，t＝ （舍去）．
1 2
综上所述：t＝ 或 或 或 ．
故答案为： 或 或 或 ．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，
一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．
10．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点
P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2；(3)P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．
【答案】(1) P，Q两点从出发开始到3.2秒时，四边形APQD为长方形； (2) P，Q两点从出发开始到5秒时，
四边形PBCQ的面积为33cm2；(3) P，Q两点从出发开始到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【解析】
【分析】
（1）当PB=CQ时，四边形PBCQ为矩形，依此建立方程求出即可；
（2）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16-3x）cm，QC=2xcm，根据
梯形的面积公式可列方程： ，解方程可得解；
（3）作QE⊥AB，垂足为E，设运动时间为x秒，用x表示线段长，用勾股定理列方程求解．
【详解】
(1)设P，Q两点从出发开始到x秒时，四边形APQD为长方形，
根据题意得：16﹣3x=2x，
解得：x= ．
答：P，Q两点从出发开始到 秒时，四边形APQD为长方形．
(2)设P，Q两点从出发开始到y秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2，
根据题意得： ×6（16﹣3x+2x）=33，
解得：x=5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
(3)过点Q作QE⊥AB于点E，如图所示．
设P，Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，
根据题意得：（16﹣3x﹣2x）2+62=102，
整理得：（16﹣5x）2=82，解得：x = ，x = ．
1 2
答：P，Q两点从出发开始到 秒或 秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题关键是做辅助线进行解答.
11．如图，在直角梯形 中， ， ， ， ．点 从点 出
发，以每秒 的速度沿折线 方向运动，点 从点 出发，以每秒 的速度沿线段 方向向点
运动．已知动点 、 同时发，当点 运动到点 时， 、 运动停止，设运动时间为 ．
(1)求 的长；
(2)当四边形 为平行四边形时，求四边形 的周长；
(3)在点 、点 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得 的面积为 ？若存在，请求出所有满
足条件的 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)四边形 的周长为 ；
(3)满足条件的 的值为 秒或5秒
【解析】
【分析】（1）先构造直角三角形，求出 ， ，进而得出结论；
（2）利用平行四边形的对边相等，建立方程求解即可得出结论；
（3）分两种情况利用三角形面积为15建立方程求解即可得出结论．
(1)
如图1，过点 作 于 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
在 中， ， ，
根据勾股定理得， ，
∴ ；
(2)
当四边形 是平行四边形，
当点 在 上，点 在 上，
如图3，由运动知， ， ，
∴ ，
∴ ，此时， ， ，根据勾股定理得， ；
∴四边形 的周长为 ；
(3)
（3）①当点 在线段 上时，即： 时，
如图2， ，
∴ ；
②当点 在线段 上时，即： 时，
如图4， ， ，
∴ ，∴ 或 （舍），
即：满足条件的 的值为 秒或5秒．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，分类讨论的思想，用方程的思想解决问
题是解本题的关键．
