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班级 姓名 学号 分数
第十九章 一次函数(A 卷·知识通关练)
核心知识1 常量与变量
1．(2022春•封丘县月考)一本数学错题笔记本的售价为6元，若小青买x本共付y元，则x和6分别
是( )
A．常量，变量 B．变量，常量 C．常量，常量 D．变量，变量
【分析】根据变量、常量的定义，结合具体的问题情况进行判断即可．
【解答】解：小青购买错题本的本数x是变化的，因此x是变量，而单价为每本6元，是不变的量，因此
6是常量，
故选：B．
【点评】本题考查变量与常量，理解变量与常量的定义是正确判断的前提．
2．(2022秋•郫都区校级期中)一根蜡烛原长a厘米，点燃后燃烧时间为t分钟，所剩余蜡烛的长为y厘米，
其中是变量的是( )
A．a，t，y B．y C．t，y D．a，y
【分析】根据常量与变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的
量称为常量解答即可．
【解答】解：一根蜡烛原长a厘米，点燃后燃烧时间为t分钟，所剩余蜡烛的长为y厘米，其中是变量的
是t，y；
故选：C．
【点评】此题考查的是常量与变量，掌握其定义是解决此题的关键．
3．(2022秋•青田县期末)笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，下列选项判断正确的有( )
A．a是常量时，y是变量
B．a是变量时，y是常量
C．a是变量时，y也是变量
D．无论a是常量还是变量，y都是变量
【分析】根据常量和变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的
量称为常量，判断即可．【解答】解：根据题意，可知a是变量时，y也是变量，
故选：C．
【点评】本题考查了常量和变量，熟练掌握常量和变量的概念是解题的关键．
4．(2022春•兴平市期中)李师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中常量是( )
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【分析】根据“常量与变量”的定义进行判断即可．
【解答】解：加油时，加油机上的单价所显示的数字是不变的，因此单价是常量，金额随着数量的变化
而变化，是变量，
故选：C．
【点评】本题考查常量与变量，理解常量与变量的定义是正确判断的前提．
5．(2022秋•东昌府区月考)汽车开始行驶时油箱内有油 40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量
Q(升)与行驶时间t(小时)的关系是 ，其中的常量是 ，变量是 ．
【分析】根据油箱内剩余油量＝油箱内总油量﹣消耗掉的油，进而得出关系式，再利用常量、变量的定
义得出答案．
【解答】解：根据题意可得：
油箱内剩余油量Q(升)与行驶时间t(小时)的函数关系为：Q＝40﹣5t，
常量为：40、﹣5，
变量为：Q、t．
故答案为：Q＝40﹣5t；40、﹣5；Q、t．
4
6．(2022春•普宁市校级期中)球的体积V与半径R之间的关系式是V = πR3 ．
3
(1)在这个式子中，常量、变量分别是什么？
(2)利用这个式子分别求出当球的半径为2cm，3cm，4cm时球的体积；
(3)若R＞1，当球的半径增大时，球的体积如何变化？
【分析】(1)根据在事物的变化过程中，不变的量是常量，变化的量是变量，可得答案；
(2)代值计算即可求解；(3)根据函数的增减性即可求解．
4
【解答】解：(1)在这个式子中，常量是： ，
3
π
变量分别是：球的半径R(cm)，球的体积V(cm3)；
4 32
(2)当球的半径为2cm，球的体积是 ×23= cm3；
3 3
π π
4
当球的半径为3cm，球的体积是 ×33＝36 cm3；
3
π π
4 256
当球的半径为4cm时，球的体积是 ×43= cm3
3 3
π π
(3)当球的半径增大时，球的体积就越大．
【点评】本题考查了函数关系式，常量与变量，利用了常量、变量的定义．
【点评】本题主要考查了函数关系式以及常量与变量，掌握题意正确得出函数关系式是解题关键．
核心知识2 函数的定义
1．(2022秋•东明县校级期末)下列图形中不能表示y是x的函数的是( )
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的概念解答即可．
【解答】解：C选项中，对于一个x的值有两个y的值，故不是函数．
故选：C．
【点评】本题考查的是函数的概念，熟知设在一个变化过程中有两个变量 x与y，对于x的每一个确定的
值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数是解题的关键．
2．(2021春•新市区校级期末)下列表达式中，y是x的函数的是( )
A．y2＝x B．|y|＝x+1 C．y＝|x| D．y2＝1﹣x2【分析】根据函数的概念逐一辨别即可．
【解答】解：∵y2＝x，对于一个x，存在有两个y与之对应，例如：当x＝1时，y＝±1，
∴y不是x的函数，
故选项A不符合题意；
∵|y|＝x+1对于一个x，存在有两个y与之对应，例如：当x＝1时，y＝±2，
∴y不是x的函数，
故选项B不符合题意；
∵y＝|x|对于一个x，对于任意的x，y都有唯一的值与之对应，
∴y是x的函数，
故选项C符合题意；
y2＝1﹣x2对于一个x，存在有两个y与之对应，例如：当x＝0时，y＝±1，
∴y不是x的函数，
故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了对函数概念的理解能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
3．(2022春•原阳县月考)下列说法正确的是( )
4
A．在球的体积公式V= πr3中，V不是r的函数
3
B．若变量x、y满足y2＝x，则y是x的函数
1
C．在圆锥的体积公式V= πR2h中，当h＝4厘米，R＝2厘米时，V是π的函数
3
1 1
D．若变量x、y满足y=- x+ ，则y是x的函数
3 3
【答案】D．
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可
确定函数的个数．
4
【解答】解：A、在球的体积公V= πr3中，V是r的函数，故A错误；
3
B、若变量x、y满足y2＝x，则y不是x的函数，故B错误；
1
C、在圆锥的体积公式V= πR2h中，当h＝4厘米，R＝2厘米时，V是π的函数，故C错误；
3
1 1
D、若变量x、y满足y=- x+ ，则y是x的函数，故D正确；
3 3故选：D．
【点评】此题考查了对函数概念的理解能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
4．(2022秋•兴化市校级期末)下列图象中，表示y是x的函数的是( )
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线
在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以只有选项
A满足条件．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的定义，函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取
值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
核心知识3 自变量的取值范围
1．(2023•南岸区校级开学)函数y=√x-4的自变量x的取值范围是( )
A．x＞4 B．x≠4 C．x≥4 D．x≤4
【分析】根据二次根式√a(a≥0)可得x﹣4≥0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
x﹣4≥0，
解得：x≥4，
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式√a(a≥0)是解题的关键．6
2．(2022秋•相山区校级期末)函数y= 的自变量x的取值范围是( )
3-x
A．x≠3 B．x＞3 C．x＜3 D．x＝3
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，3﹣x≠0，
解得x≠3．
故选：A．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式的分母不能为0是关键．
2
3．(2022秋•北碚区校级期末)若函数y= 有意义，则自变量x的取值范围是( )
√x-2
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＞2
2
【分析】根据分式分母不为零，以及二次根式被开方式非负即可得到函数y= 有意义，自变量x的
√x-2
取值范围．
2
【解答】解：∵若函数y= 有意义，
√x-2
{√x-2≠0
∴ ，解得x＞2．
x-2≥0
故选：D．
【点评】本题考查了函数有意义的条件，掌握分式分母不为零、二次根式被开方式非负是关键．
√2x+6
4．(2022秋•迎江区校级期末)函数y= 的自变量x的取值范围是 ．
x-1
【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是偶次根式时
自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．据此可得自变量x的取值范围．
{2x+6≥0
【解答】解：由题可得， ，
x-1≠0
解得：x≥﹣3且x≠1．
故答案为：x≥﹣3且x≠1．
【点评】本题主要考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意
义．
1
5．(2022秋•兰考县期末)函数y=√x+1- 中，自变量x的取值范围是 ．
x-2
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x+1≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥﹣1且x≠2．
故选：x≥﹣1且x≠2．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
核心知识4 函数的图象
1．(2023•渝中区校级开学)晚饭后彤彤和妈妈散步到小区旁边的公园，在公园中央的休息区聊了会天，然
后一起跑步回家，下面能反映彤彤和妈妈离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是( )
A． B．
C． D．
【分析】根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断．
【解答】解：图象应分三个阶段，第一阶段：散步到离家较远的公园，在这个阶段，离家的距离随时间
的增大而增大；
第二阶段：在公园中央的休息区聊了会天，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变．故D错误；
第三阶段：跑步回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，故 A错误，并且这段的速度大于第
一阶段的速度，则B错误．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，解题的关键是理解路程y的含义，理解直线的倾斜程度与速度的关系，
属于中考常考题型．
2．(2022•渝中区校级开学)阳光中学举行学生运动会，小汪和小勇参加了800米跑．路程S(单位：米)与时
间t(单位：分钟)之间的函数图象如图所示，两位同学在跑步中均保持匀速，则下列说法错误的是(
)A．小勇的平均速度为160米/分
B．到终点前2分钟，小汪的速度比小勇的速度快80米/分
C．小勇和小汪同时达到终点
D．小汪和小勇的平均速度相等
【分析】根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
A．小勇的平均速度为：800÷5＝160(米/分)，故本选项不合题意；
B．到终点前2分钟，小汪的速度为：(800﹣300)÷(5﹣3)＝250(米/分)，250﹣160＝90(米/分)，
所以到终点前2分钟，小汪的速度比小勇的速度快90米/分，故本选项符合题意；
C．小勇和小汪同时达到终点，故本选项不合题意；
D．小勇和小汪的平均速度相等，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．(2022春•乐亭县期中)春节前，某加工厂接到面粉加工任务，要求5天内加工完220吨面粉．加工厂安
排甲、乙两组共同完成加工任务．乙组加工中途停工一段时间维修设备，然后提高加工效率继续加工，
直到与甲队同时完成加工任务为止，设甲、乙两组各自加工面粉数量y(吨)与甲组加工时间x(天)之间的
关系如图所示，结合图象，下列结论错误的是( )
A．乙组中途休息了1天B．甲组每天加工面粉20吨
C．加工3天后完成总任务的一半
D．3.5天后甲乙两组加工面粉数量相等
【分析】根据图象的横纵坐标表示的意义，进行计算即可得出答案．
【解答】解：由图象可得：2﹣1＝1，即乙组加工中途停工1天，故选项A是正确的，
220-120
甲组每天加工面粉数量为： = 20(吨)，故选项B是正确的，
5
甲组加工3天的面粉数量为20×3＝60(吨)，
120-15
乙组第一天加工15吨，第三天加工面粉数量为： =35(吨)，
3
∴加工3天后面粉数量为：60+15+35＝110(吨)，完成总任务的一半，故C选项正确，
3.5天后甲组加工面粉数量为20×3.5＝70(吨)，乙组加工面粉数量为15+35×1.5＝67.5(吨)，D选项错误，
故选：D．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的
过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
4．(2022•海淀区校级开学)小张骑车从图书馆回家，中途在文具店买笔耽误了1分钟，然后继续骑车回家．
若小张骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小张离家的距离(单位：米)与时间(单位：分钟)的对应
关系如图所示，则小张骑车的速度为 米/分钟．
【分析】根据题意可知小张骑车5分钟所走路程为1500米，据此即可求出小张骑车的速度．
【解答】解：由题意可知，小张骑车的速度＝1500÷(6﹣1)＝300(米/分钟)．
故答案为：300．
【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键，利用了路程、速度、时间之间
的关系．
5．(2022春•金塔县期中)亮亮从家跑步到学校，在学校图书馆看了一会书，然后步行回家，亮亮离家的路程y(米)与时间t(分)之间的关系如图所示，则亮亮回家的速度为 ．
【分析】由图象可知，亮亮家距离图书馆600米，回家用了30﹣20＝10分，即可求出亮亮回家的速度．
【解答】解：由图象可知，亮亮家距离图书馆600米，回家用了30﹣20＝10分，
600
∴亮亮回家的速度为 = 60(米/分)．
10
故答案为：60米/分．
【点评】此题主要考查了看函数图象，解决本题的关键是读懂图意，然后根据图象信息找到所需要的数
量关系，利用数量关系即可解决问题．
6．(2022春•荣县校级期中)小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过
的某书店，买到书后继续去学校．图是他本次上学所用的时间t(分)和离家距离s(米)的关系示意图．
根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小明家到学校的路程是 米；
(2)本次上学途中，小明一共行驶了 米，一共用了 分钟；
(3)在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，最快的速度是多少米/分？
【分析】(1)根据小明本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图可得，小明家到学校的路程；
(2)观察小明本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图可得，本次上学途中，小明一共行驶的路程，
从离家至到达学校一共用的时间；
(3)在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，根据路程除以时间即可求出最快的速度．
【解答】解：根据小明本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图可知：
(1)小明家到学校的路程是1500米；故答案为：1500．
(2)本次上学途中，小明一共行驶了1200+600+(1500﹣600)＝2700(米)，一共用了14分钟；
故答案为：2700；14．
1500-600
(3)在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为： =450(米/分)；
14-12
∴在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为450米/分．
【点评】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是数形结合思想的熟练运用．
7．(2022春•织金县校级期中)周末，小明坐车到织金洞游玩，他从家出发0.8小时后到达姑妈家，逗留一
段时间后继续坐车到织金洞，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往织金洞．如图是他们
离家路程s(km)与小明离家时间t(h)的关系图，请根据图回答下列问题：
(1)图中自变量是 ，函数是 ；
(2)小明家到织金洞的路程为 km，小明在姑妈家逗留的时间为 h；
(3)小明出发 小时后爸爸驾车出发；
(4)求小明从姑妈家到织金洞的平均速度和小明爸爸驾车的平均速度．
【分析】(1)根据图象进行判断，即可得出自变量与函数；
(2)根据图象中数据进行计算，即可得到路程与时间；
(3)根据图象即可得到爸爸驾车出发的时间；
(4)根据相应的路程除以时间，即可得出速度．
【解答】解：(1)由图可得，自变量是t，因变量是s，
故答案为：t，2；
(2)由图可得，小明家到织金洞的路程为30km，小明在姑妈家逗留的时间为2.5﹣0.8＝1.7(h)；
故答案为：30，1.7；
(3)由图可得，小明出发2.5小时后爸爸驾车出发；
故答案为：2.5；
30-12
(4) =12(km/h)，
4-2.530
=30(km/h)；
3.5-2.5
小明从姑妈家到织金洞的平均速度为12km/h，小明爸爸驾车的平均速度为30km/h．
【点评】本题考查了函数的图象，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理解清楚函数图象的意义是
解答此题的关键．
8．(2022春•漳州期中)为了体验大学校园文化，小华利用周末骑电动车从家出发去闽南师大，当他骑了一
段路时，想起要帮在闽南师大读书的张浩买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继
续前往闽南师大，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小华家离闽南师大的距离是 米，本次去闽南师大途中，小华一共行驶了 米．
(2)小华在新华书店停留了 分钟．
(3)买到书后，小华从新华书店到闽南师大骑车的平均速度是多少？
【分析】(1)根据函数图象，可知小华家离闽南师大的距离是 4800米；根据函数图象，可知本次去闽南师
大途中，小华一共行驶的路程；
(2)由函数图象可知，16～24分钟的路程没变，所以小华在新华书店停留了；
(3)小华从新华书店去闽南师大的路程为4800﹣3000＝1800米，所用时间为28﹣24＝4分钟，根据速度＝
路程÷时间，即可解答；
【解答】解：(1)根据函数图象，可知小华家离闽南师大的距离是4800米；
小华一共行驶了4800+2×(4000﹣3000)＝6800(米)．
故答案为：4800，6800；
(2)24﹣16＝8(分钟)．
所以小华在新华书店停留了8分钟．
故答案为：8；
(3)小华从新华书店去闽南师大的路程为4800﹣3000＝1800米，所用时间为28﹣24＝4分钟，
小华从新华书店到西闽南师大骑车的平均速度是：1800÷4＝450(米/分)．
【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力，要理解横纵坐标表示的含义以及小华的运动过程是解题的关键．
核心知识5 函数不同表示方法的应用
1．(2022春•长安区校级期中)在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了小车从木板不同高度 h的下滑时
间t，得到如表所示的数据．下列结论不正确的是( )
木板的支 10 20 30 40 50 …
撑 物 高
h(cm)
下滑时间 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 …
t(s)
A．这个问题中，木板的支撑物高是函数；
B．当h＝40cm时，t约为2.66秒 ；
C．随高度增加，下滑时间越来越短；
D．高度每增加10cm，时间就会减少0.24秒.
【分析】根据列表法表示的函数，通过表格反映的规律，对每一个选项进行验证可得结论．
【解答】解：根据表格可知，木板的支撑物高是自变量，下滑时间是函数，
∴A选项正确；
∵从表中的对应值可以看到当h＝40时，t＝2.66，
∴B选项正确；
∵当h＝40时，t＝2.66，
∴B选项正确；
∵从表中数据看到：当h由10逐渐增大到50时，t的值由3.25逐渐减小到2.56，
∴随高度增加，下滑时间越来越短．
∴C选项正确；
∵因为时间的减少是不均匀的，
∴D选项错误．
综上，只有D选项错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的表示方法，依据表格反映的规律回答问题是解题的关键．
2．(2022春•五华区校级期中)弹簧挂上物体后会伸长(在允许挂物重量范围内)，测得一弹簧的长度y(cm)
与所挂的物体的重量x(kg)间有下表的关系：下列说法不正确的是( )
x 0 1 2 3 4 5y 10 10.5 11 11.5 12 12.5
A．在弹性限度范围内，y随x增大而增大
B．在弹性限度范围内，物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
C．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm
D．弹簧不挂重物时的长度为10cm
【分析】根据在允许挂物重量范围内弹簧伸长长度与所挂物体重量成正比的关系进行求解．
【解答】解：由题意得，弹簧在允许挂物重量范围内所挂重物每增加1kg就增加0.5cm；
弹簧不挂重物时的长度为10cm；
在弹性限度范围内，y随x增大而增大；
因该弹簧的弹性限度范围不确定，故所挂物体质量为7kg时，弹簧长度是否为13.5cm不确定，
∴选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了运用函数解决实际问题的能力，关键是能准确理解函数概念和题意，正确确定题目
间的数量关系．
3．(2022春•陈仓区期中)草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，
销售人员把销售的草莓数量x(kg)与销售总价y(元)之间的关系写在了下列表格中：
销售数量x(kg) 1 2 3 4 …
销售总价y(元) 8.5 16.5 24.5 32.5 …
(1)请你写出草莓的销售数量x(kg)与销售总价y(元)之间的关系式；
(2)丽丽一家共摘了6.5kg草莓，应付多少钱？
【分析】(1)由表格可值，销售数量每增加1kg，销售总价增加8元，即可写出函数关系式；
(2)把x＝6.5代入(1)中的函数关系式中即可得出答案．
【解答】解：(1)根据题意可得，
y＝8x+0.5；
(2)把x＝6.5代入y＝8x+0.5中，
得y＝8×6.5＝52.5(元)．
丽丽一家共摘了6.5kg草莓，应付52.5元．
【点评】本题主要考查了函数的表示方法，熟练掌握函数的表示方法进行求解是解决本题的关键．
4．(2022春•薛城区期中)枣庄某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x(人)与每天利润(利润＝票款收入﹣支出费用)y(元)的变化关系，如下表所示(每位乘客的乘车票价固定不变)：
x(人) … 200 250 300 350 400 …
y(元) … ﹣200 ﹣100 0 100 200 …
根据表格中的数据，回答下列问题：
(1) 是自变量；
(2)观察表中数据可知，当乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
(3)请写出公交车每天利润y(元)与每天乘车人数x(人)的关系式：y＝ ；
(4)当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？
【分析】(1)在变化过程中，哪个变量是随着哪个交量的变化而变化的，从而确定自变量；
(2)由表中数据可知，当x＝300时，y＝0，当x＞300时，y＞0，进行解答即可；
(3)由表中数据可知，当乘坐人数为300人时，利润为0元，每增加50人，利润就增加100元，然后列出
关系式即可解答；
(4)把y＝1000代入(3)中的关系式进行计算即可解答．
【解答】解：(1)在这个变化关系中，自变量是：每天的乘车人数．
故答案为：每天的乘车人数．
(2)观察表中数据可知，当x＝300时，y＝0，当x＞300时，y＞0，
∴当乘客量达到300人以上时，该公交车才不会亏损．
故答案为：300．
x-300
(3)由题意得：y=0+ ×100=2x-600，
50
∴公交车每天利润y(元)与每天乘车人数x(人)的关系式：y＝2x﹣600．
故答案为：y＝2x﹣600；
(4)把y＝1000代入y＝2x﹣600，得：2x﹣600＝1000，
解得：x＝800．
答：当乘车人数为800人时，利润为1000元．
【点评】本题考查函数的意义，理解两个变量的变化关系和变化趋势，会用表格、关系式表示函数，掌
握函数的表示方法．理解表格中两个变量的变化关系是解答的关键．
核心知识6 正比例函数的概念
1．(2022秋•兴化市校级期末)下列函数是正比例函数的是( )
2
A． B．y＝2x2 C．y＝x+2 D．y＝﹣2x
x【分析】根据正比例函数的定义，形如y＝kx(k为常数且k≠0)，即可解答．
2
【解答】解：A、 是代数式，不是正比例函数，故此选项不符合题意；
x
B、y＝2x2是二次函数，不是正比例函数，故此选项不符合题意；
C、y＝x+2是一次函数，但不是正比例函数，故此选项不符合题意；
D、y＝﹣2x是正比例函数，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
2．(2022春•恒山区校级期中)下面选项中的两个量成正比例关系的是( )
A．煤的总数量一定，使用天数与每天平均用煤量
B．圆柱体积一定，圆柱的底面积和高
C．小麦每公顷产量一定，小麦的总产量与公顷数
D．书的总页数一定，未读的页数与已读的页数
【分析】根据关联的两个量比值一定时成正比例进行判断即可．
【解答】解：A．使用天数×每天平均用煤量＝煤的总数量(一定)，不成正比例，不符合题意；
B．圆柱的底面积×高＝圆柱体积(一定)，不成正比例，不符合题意；
C．小麦的总产量÷公顷数＝小麦每公顷产量(一定)，成正比例，符合题意；
D．未读的页数+已读的页数＝书的总页数(一定)，不成比例，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查正比例函数的定义，熟知正比例的含义是解答的关键．
3．(2022秋•丰顺县校级期末)若函数y＝﹣7x+m﹣2是正比例函数，则m的值为( )
A．0 B．1 C．﹣2 D．2
【分析】根据正比例函数的定义列出方程m﹣2＝0，依此求得m值即可．
【解答】解：依题意得：m﹣2＝0．
解得m＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定
义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
4．(2022秋•榕城区期末)若y＝(|k|﹣2)x2+(k﹣2)x是y关于x的正比例函数，则k的值为( )
A．±2 B．﹣2 C．2 D．3
【分析】根据正比例函数的定义，可得：k﹣2≠0，|k|﹣2＝0，从而求出k值．【解答】解：∵根据正比例函数的定义，可得：k﹣2≠0，|k|﹣2＝0，
∴k＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查正比例函数的定义，解题的关键是理解正比例函数的定义．正比例函数的定义：一般
地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
5．(2022秋•烟台期末)若y关于x的函数y＝(a﹣2)x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是( )
A．a≠2 B．b＝0 C．a＝2且b＝0 D．a≠2且b＝0
【分析】直接利用正比例函数的定义分析求出答案．
【解答】解：∵y＝(a﹣2)x+b是y关于x的正比例函数，
∴b＝0，a﹣2≠0，
解得：b＝0，a≠2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握正比例函数一般形式是解题关键．
6．(2022秋•渠县校级期末)若y＝(m+1)x+m2﹣1是关于x的正比例函数，则m的值为 ．
【分析】直接利用正比例函数的定义进而得出答案．
【解答】解：∵y＝(m+1)x+m2﹣1是关于x的正比例函数，
∴m2﹣1＝0，m+1≠0，
解得：m＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．
核心知识7 正比例函数的图象与性质
1．(2022•青羊区校级开学)正比例函数y＝8x的图象经过的象限是( )
A．一、三 B．二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
【分析】根据函数解析式可知k＝8＞0，即可确定图象经过第几象限．
【解答】解：∵k＝8＞0，
∴正比例函数的图象经过第一、三象限，
故选：A．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数图象与系数的关系是解题的关键．
2．(2022秋•丰顺县校级期末)在y＝k x中，y随x的增大而减小，k k ＜0，则在同一平面直角坐标系中，y
1 1 2
＝k x和y＝k x的图象大致为( )
1 2A． B．
C． D．
【分析】先根据正比例函数的性质判断出k 的符号，即可根据k k ＜0判断k 的符号，再根据正比例函数
1 1 2 2
的性质判断即可．
【解答】解：∵在y＝k x中，y随x的增大而减小，
1
∴k ＜0，
1
∴函数y＝k x图象在二、四象限，
1
∵k k ＜0，
1 2
∴k ＞0，
2
∴函数y＝k x的图象在一、三象限，
2
故选：B．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的性质是解答此题的关键．
3．(2022秋•南海区期中)正比例函数y＝ax的图象经过第一、三象限，则直线y＝(﹣a﹣1)x经过( )
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【分析】根据正比例函数y＝ax的图象经过一、三象限，可以得到a＞0，从而可以得到﹣a﹣1＜0，再根
据正比例函数的性质，即可得到直线y＝(﹣a﹣1)x经过的象限．
【解答】解：∵正比例函数y＝ax的图象经过一、三象限，
∴a＞0，
∴﹣a﹣1＜0，
∴直线y＝(﹣a﹣1)x经过第二、四象限，
故选：C．【点评】本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答．
4．(2022秋•太原期中)下列正比例函数中，y随x的增大而增大的是( )
1
A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y=- x D．y＝﹣8x
2
【分析】先根据正比例函数中，y随x的增大而增大判断出k的符号，再对各选项进行分析即可．
【解答】解：∵正比例函数中，y随x的值增大而增大，
∴k＞0，
A、k＝2＞0，故本选项符合题意；
B、k＝﹣2＜0，故本选项不符合题意；
1
C、k=- ＜0，故本选项不符合题意；
2
D、k＝﹣8＜0，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数 y＝kx(k≠0)，当k＞0时，y随x的增大而增
大是解答此题的关键．
5．(2022秋•黔东南州月考)对于函数y＝4x，下列说法正确的是( )
A．当x＞0时，y随x的增大而减小
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．y随x的增大而减小
D．y随x的增大而增大
【分析】根据正比例函数的性质以及正比例函数图象上点的坐标特征即可判断．
【解答】解：在函数y＝4x中，k＝4＞0，所以y随x的增大而增大．
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数y＝kx(k≠0)的性质：当k＞0时，直线经过一、三象限，y随x的增大而
增大；当k＜0时，直线经过二、四象限，y随x的增大而减小；图象上的点的坐标适合解析式．
核心知识8 用待定系数法求正比例函数的解析式
1．(2022秋•招远市期末)一个正比例函数的图象过点(﹣2，3)，它的表达式为( )
3 2 3 2
A．y=- x B．y= x C．y= x D．y=- x
2 3 2 3
【分析】利用待定系数法即可求解．
【解答】解：设函数的解析式是y＝kx．根据题意得：﹣2k＝3．
3
解得：k=- ．
2
3
故函数的解析式是：y=- x．
2
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的解析式与图象的关系，满足解析式的点一定在图象上，图象上的点一定
满足函数解析式．
2．(2022秋•济南期末)已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为( )
A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝﹣3x D．y＝﹣x/3
【分析】首先根据图象是经过原点的直线可得此函数是正比例函数，故设解析式为 y＝kx(k≠0)，把图象
所经过的点(3，﹣3)代入设出的函数解析式，计算出k的值，进而得到函数解析式．
【解答】解：设函数解析式为y＝kx(k≠0)，
∵图象经过(3，﹣3)，
∴﹣3＝k×3，
解得k＝﹣1，
∴这个函数的关系式为y＝﹣x，
故选：B．
【点评】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握凡是图象经过的点必能满足解析式．
3．(2022秋•崂山区期中)正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝﹣1，则此正比例函数的关系式为( )
1 1
A．y＝2x B．y= x C．y=- x D．y＝﹣2x
2 2
【分析】直接把x＝2时，y＝﹣1代入正比例函数y＝kx，求出k的值即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝﹣1，
∴﹣1＝2k，
1
解得k=- ，
21
∴y与x的函数关系式为y=- x，
2
故选：C．
【点评】本题考查的是利用待定系数法求正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解答此题的关键．
4．(2022秋•陕西期末)在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过 A(4，b)，B(a，3)两点，则
a，b一定满足的关系式为( )
a 3
A．a﹣b＝1 B．a+b＝7 C．ab＝12 D． =
b 4
【分析】设正比例函数的解析式为y＝kx，将点代入即可求解．
【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx，
将A(4，b)，B(a，3)代入，
{b=4k
得 ，
3=ak
b 3
∴ = ，
4 a
∴ab＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，掌握正比例函数的解析式是解题的关键．
5．(2022春•杜尔伯特县期中)已知y与x成正比例，如果x＝2时，y＝1，那么x＝3时，y＝ ．
【分析】根据y与x成正比例，如果x＝2时，y＝1，用待定系数法可求出函数关系式．再将x＝3代入求
出y的值．
【解答】解：∵y与x成正比例，
∴y＝kx，
x＝2时，y＝1，
即1＝2k，
1
k= ，
2
1
故函数的解析式为y= x．
2
1 3
x＝3时，y= ×3= ．
2 2
3
故答案为： ．
2【点评】本题考查的是用待定系数法求正比例函数的解析式，比较简单．
6．(2022春•淅川县期中)已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝4．
(1)求y与x的函数关系式；
1
(2)当x= 时，求y的值；
2
(3)请你写出这个函数的一条性质．
【分析】(1)设y＝kx，把x＝2，y＝4代入，求出k即可得出答案；
1
(2)把x= 代入函数解析式，求出即可；
2
(3)根据正比例函数的性质解答即可．
【解答】解：(1)根据题意，设y＝kx(k≠0)，
把x＝2，y＝4代入得：4＝2k，
解得：k＝2，
即y与x的函数关系式为y＝2x；
1
(2)把x= 代入y＝2x得：y＝1；
2
(3)∵k＝2＞0，
∴正比例函数y＝2x的图像经过第一、三象限；y随x的增大而增大．
【点评】本题考查了用待定系数法求正比例函数的解析式，正比例函数的性质，能求出函数的解析式是
7．(2022春•如皋市期中)已知y与x成正比例，且当x＝1时，y＝3．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当﹣2＜x＜1时，求y的取值范围．
【分析】(1)根据正比例的定义设y＝kx(k≠0)，然后把已知数据代入进行计算求出k值，即可得解；
(2)求得x＝﹣2和x＝3时所对应的函数值，然后根据一次函数的性质即可求得y的取值范围．
【解答】解：(1)设该正比例函数的解析式为y＝kx，
把x＝1，y＝3，得3＝k，
∴y与x之间的函数解析式为y＝3x；
(2)当x＝﹣2时，y＝3x＝﹣6；
当x＝1时，y＝3x＝3，
∵3＞0，
∴y 随x的增大而增大
∴当﹣2＜x＜1时，﹣6＜y＜3．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求函数值，根据正比例的定义设出函数表达式是解
题的关键．
解此题的关键．
核心知识9 一次函数的概念
1．(2022秋•宁明县期末)下列函数中，是一次函数的是( )
2
A．y＝2x﹣1 B．y＝kx+b C．y= D．y＝﹣2x2+1
x
【分析】根据一次函数的定义即可即可．
【解答】解：A、此函数是一次函数，故此选项符合题意；
B、当k＝0时不是一次函数，故此选项不符合题意；
C、此函数是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、y＝﹣2x2+1是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数 y＝kx+b的定义条件是：
k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
2．(2022秋•拱墅区期末)函数y＝(k2﹣1)x+3是一次函数，则k的取值范围是( )
A．k≠1 B．k≠﹣1 C．k≠0 D．k≠±1
【分析】根据一次函数定义可得k2﹣1≠0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：k2﹣1≠0，
解得：k≠±1，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量
次数为1．
x 4
3．(2022秋•市北区校级期末)下列函数：①y＝4x；②y=- ；③y= ；④y＝﹣4x+1，其中一次函数
4 x
的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
x
【解答】解：y＝﹣4x，y=- ，y＝﹣4x+1都符合一次函数的定义，属于一次函数；
44
y= 是反比例函数，
x
综上所述，其中y是x的一次函数的个数有3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量
次数为1．
4．(2022春•江门校级期中)已知y＝(m﹣2)x|m|﹣1+4是一次函数，则m的值为( )
A．1 B．2 C．﹣2 D．±2
【分析】根据一次函数的定义求解．
【解答】解：∵y＝(m﹣2)x|m|﹣1+4是一次函数，
∴|m|﹣1＝1，且m﹣2≠0，
∴m＝±2，且m≠2，
∴m＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量
次数为1．
5．(2022秋•宜都市期中)如果y＝(m﹣2)xm2-3+2是一次函数，那么m的值是 ．
【分析】根据一次函数的定义可知：m2﹣3＝1，m﹣2≠0，从而可求得m的值．
【解答】解：∵y＝(m﹣2)xm2-3+2是一次函数，
∴m2﹣3＝1，m﹣2≠0，
解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查的是一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．
6．(2022秋•宜兴市月考)若y＝(2m+6)x|m|﹣2+9是一次函数，则m的值是 ．
【分析】根据一次函数的定义得出|m|﹣2＝1且2m+6≠0，再求出m即可．
【解答】解：∵函数y＝(2m+6)x|m|﹣2+9是关于x的一次函数，
∴|m|﹣2＝1且2m+6≠0，
解得：m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一次函数的定义，能根据一次函数的定义得出|m|﹣2＝1且2m+6≠0是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b(k、b为常数，k≠0)的函数叫一次函数．
7．(2022春•昌平区校级月考)已知函数y＝(m+3)x+m．
(1)当m取何值时，这个函数是正比例函数？
(2)当m在什么范围内取值时，这个函数是一次函数？
【分析】(1)根据正比例函数的定义求解；
(2)根据一次函数的定义求解．
【解答】解：(1)根据题意，m+3≠0且m＝0，
解得：m＝0，
故当m＝0时，这个函数是正比例函数．
(2)根据题意，m+3≠0，
故当m≠﹣3时，这个函数是一次函数．
【点评】本题主要考查一次函数、正比例函数的定义，解题关键是掌握一次函数与正比例函数的定义条
件.
(1)正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1；
(2)一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
8．(2022春•乾安县期末)已知y＝(m﹣2)x+|m|﹣2．
(1)m满足什么条件时，y＝(m﹣2)x+|m|﹣2是一次函数？
(2)m满足什么条件时，y＝(m﹣2)x+|m|﹣2是正比例函数？
【分析】(1)利用一次函数定义可得m﹣2≠0，再解不等式即可；
(2)利用正比例函数定义可得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0，再解方程可得m的值．
【解答】解：(1)由题意得：m﹣2≠0，
解得：m≠2；
(2)由题意得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2．
【点评】此题主要考查了正比例函数和一次函数定义，关键是掌握形如 y＝kx(k是常数，k≠0)的函数叫做
正比例函数．
核心知识10 一次函数的图象与性质
1．(2022秋•玄武区期末)一次函数y＝2x+1的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．【解答】解：在一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，b＝1＞0，
∴一次函数y＝2x+1的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
2．(2022秋•邗江区校级期末)在一次函数y＝(2m﹣1)x+1中，y的值随着x值的增大而增大，则它的图象
不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据在一次函数y＝(2m﹣1)x+1中，y的值随着x值的增大而增大，可知2m﹣1＞0，然后根据一
次函数的性质，即可得到该函数经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解答】解：∵在一次函数y＝(2m﹣1)x+1中，y的值随着x值的增大而增大，
∴2m﹣1＞0，
∴该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
3．(2022秋•凤翔县期末)在一次函数y＝kx+m(k≠0)中，y随x的增大而增大，且km＜0，则在坐标系中它
的大致图象是( )
A． B．
C． D．
【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+m，y随着x的增大而增大，
∴k＞0．
∵km＜0，
∴m＜0，
∴此函数图象经过一、三、四象限．
故选：B．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知函数 y＝kx+b(k≠0)中，当k＞0，b＜0时函数
的图象经过第一、三、四象限是解答此题的关键．
4．(2022秋•雁塔区校级期末)直线y＝kx+b经过第二、三、四象限，则直线y＝bx+k的图象可能是图中的(
)
A． B．
C． D．
【分析】根据直线y＝kx+b经过二、三、四象限，可以得到k和b的正负情况，从而可以得到直线y＝
bx+k的图象经过哪几个象限，本题得以解决．
【解答】解：∵直线y＝kx+b经过二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0，
∴直线y＝bx+k的图象经过第二、三、四象限，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性
质解答．
5．(2022秋•邳州市期末)已知一次函数y＝kx﹣k，若y随x的增大而增大，则图象经过第 象限．
【分析】根据一次函数的单调性可得出k＞0，再利用一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y＝
kx+k的图象经过第一、二、三象限，此题得解．
【解答】解：∵在一次函数y＝kx﹣k中，y随x的增大而增大，
∴k＞0，﹣k＜0，
∴一次函数y＝kx+k的图象经过第一、三、四象限．
故答案为：一、三、四 ．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的单调性找出 k＞0是解题的关键．
6．(2022秋•苏州期末)已知一次函数y＝﹣2x+2，当y≥0时，对应的自变量x的取值范围为 ．
【分析】由题意即得出﹣2x+2≥0，解出x的值即可．
【解答】解：∵一次函数解析式为y＝﹣2x+2，
∴当y≥0时，即﹣2x+2≥0，
解得：x≤1．
故答案为：x≤1．
【点评】本题考查一次函数的性质．由y≥0，得出﹣2x+2≥0是解题关键．
3
7．(2022秋•太仓市期末)已知点(-√5，y )，(1，y )，(﹣2，y )都在直线y=- x+b上，则y ，y ，y
1 2 3 4 1 2 3
的大小关系是( )
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
2 3 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1
3
【分析】由k=- ＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合-√5＜-2＜1，即可得出
4
y ＜y ＜y ．
2 3 1
3
【解答】解：∵k=- ＜0，
4
∴y随x的增大而减小，
3
又∵点(-√5，y )，(1，y )，(﹣2，y )都在直线y=- x+b上，且-√5＜-2＜1，
1 2 3 4
∴y ＜y ＜y ．
2 3 1
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是
解题的关键．
8．(2022秋•宁明县月考)已知y关于x的函数关系式为：y＝(m﹣1)x+m+2．
(1)若y是x的正比例函数，求m的值；
(2)若y是x的一次函数，且图象经过一、二、四象限，求m的取值范围．
【分析】(1)根据y是x的正比例函数列方程，即可得到结论；
(2)根据y是x的一次函数，且图象经过一、二、四象限列不等式组，即可得到结论．
【解答】解：对于y关于x的函数y＝(m﹣1)x+m+2，
(1)∵y是x的正比例函数，
∴m+2＝0且m﹣1≠0，解得：m＝﹣2；
(2)∵y是x的一次函数，且图象经过一、二、四象限，
{m-1＜0
∴ ，
m+2＞0
解得：﹣2＜m＜1．
所以m的取值范围为﹣2＜m＜1．
【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，一次函数的定义，根据题意正确的得到等式、不等式或不
等式组是解题的关键．
9．(2022春•黄陵县期末)在如图的直角坐标系中，画出函数y＝﹣2x+3的图象，并结合图象回答下列问题：
(1)在如图的直角坐标系中，画出函数y＝﹣2x+3的图象；
(2)若该函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求AB的长；
(3)利用该函数图象直接写出当y＜0时，x的取值范围．
【分析】(1)描点画出图象即可；
(2)求出OA，OB的长，用勾股定理可得答案；
(3)观察函数图象可得答案．
【解答】解：(1)当x＝0时y＝3，当x＝1时y＝1，
过点(0，3)，(1，1)作直线，则所作直线即为函数y＝﹣2x+3的图象，如图：
3
(2)在y＝﹣2x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x= ，
23
∴A( ，0)，B(0，3)，
2
3
∴OA= ，OB＝3，
2
√ 3 3√5
∴AB=√OA2+OB2= ( ) 2+32= ，
2 2
3√5
答：AB的长为 ；
2
3
(3)由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＞ ．
2
【点评】本题考查一次函数及图象，解题的关键是数形结合思想的应用．
10．(2022春•渌口区期末)已知一次函数y＝﹣2x+4．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)图象与x轴的交点A的坐标是 ，与y轴的交点B的坐标是 ；
(3)随着x的增大，y将 (填“增大”或“减小”)；
(4)根据图象直接写出当y＜0时，x的取值范围？
【分析】(1)根据题意画出函数图象即可；
(2)结合函数图象直接得到答案；
(3)结合函数图象直接得到答案；
(4)结合函数图象直接得到答案．
【解答】解：(1)画出函数图象，如图所示：
(2)由函数图象知，A(2，0)，B(0，4)．
故答案为：(2，0)；(0，4)；
(3)由函数图象知，随着x的增大，y将减小．故答案为：减小；
(4)由函数图象知，当y＜0时，x的取值范围为：x＞2．
【点评】本题考查了一次函数图象、一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特点，解答(2)、(3)、
(4)题时，要学会读图：y的值随x的增大而减小．
核心知识11 用待定系数法求一次函数的解析式
1．(2022春•西昌市校级月考)若y﹣2与x+3成正比例，且当x＝0时，y＝5，则当x＝1时，y等于( )
A．1 B．6 C．4 D．3
【分析】根据正比例函数的定义，设y﹣2＝k(x+3)，再把x＝0，y＝5代入求出k＝1，从而得到y与x的函
数关系式，然后计算自变量为1所对应的函数值即可．
【解答】解：设y﹣2＝k(x+3)，
∵x＝0时，y＝5，
∴5﹣2＝k×(0+3)，
解得k＝1，
∴y﹣2＝x+3，
即y＝x+5，
当x＝1时，y＝x+5＝1+5＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
2．(2022秋•凤翔县期末)如图，长方形OABC的边OA在x轴上，O与原点重合，OA＝1，OC＝2，点D
的坐标为(0，4)．则直线BD的函数表达式为( )A．y＝﹣x+2 B．y＝﹣2x+4 C．y＝﹣x+3 D．y＝2x+4
【分析】利用长方形的性质得到AB＝OC，OA＝BC，根据OA与OC的长确定出B的坐标，再由D的坐
标，利用待定系数法求出直线BD的解析式即可．
【解答】解：∵长方形OABC的边OA在x轴上，O与原点重合，OA＝1，OC＝2，
∴BC＝OA＝1，AB＝OC＝2，即B(1，2)，
设直线BD解析式为y＝kx+b，
{k+b=2
把B(1，2)与D(0，4)代入得： ，
b=4
{k=-2
解得： ，
b=4
则直线BD解析式为y＝﹣2x+4．
故选：B．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及矩形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的
关键．
3．(2022秋•肃州区期末)已知一次函数y＝kx+b(k≠0)图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为
2，则一次函数的解析式为( )
A．y＝x+2 B．y＝﹣x+2
C．y＝x+2或y＝﹣x+2 D．y＝﹣x+2或y＝x﹣2
【分析】先求出一次函数y＝kx+b与x轴和y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于 k的方程，解
方程即可求出k的值．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b(k≠0)图象过点(0，2)，
∴b＝2，
2
令y＝0，则x=- ，
k
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，1 2 2
∴ ×2×| - |＝2，即| |＝2，
2 k k
解得：k＝±1，
则函数的解析式是y＝x+2或y＝﹣x+2．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积公式，有一定的综合性，注意点的坐标
和线段长度的转化．
4．(2022春•西昌市校级月考)一次函数y＝kx+b在﹣2≤x≤﹣1时对应的y值为4≤y≤9，则该函数的解析
式为( )
A．y＝5x+14或y＝﹣5x+4 B．y＝5x+14或y＝﹣5x﹣1
C．y＝﹣5x﹣1或y＝5x+9 D．不能确定
【分析】分两种情况讨论：(1)当x＝﹣2时，y＝4；x＝﹣1时，y＝9；
(2)当x＝﹣2时，y＝9；x＝﹣1时，y＝4；据此利用待定系数法求出一次函数解析式即可．
【解答】解：由题意分两种情况讨论：
(1)当x＝﹣2时，y＝4；x＝﹣1时，y＝9；
{4=-2k+b
代入解析式得： ，
9=-k+b
{k=5
解得： ，
b=14
函数解析式为y＝5x+14；
(2)当x＝﹣2时，y＝9；x＝﹣1时，y＝4；
{9=-2k+b
代入解析式得： ，
4=-k+b
{k=-5
解得： ，
b=-1
函数解析式为y＝﹣5x﹣1；
故选：B．
【点评】此题考查了一次函数的性质，解题关键是能根据函数的增减性和函数值的取值范围确定自变量
与函数的两组对应值，再利用待定系数法求出函数解析式．
5．(2022秋•郏县期末)已知y﹣2与x成正比例，且当x＝﹣2时，y＝﹣4．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)当x＝4时，求y的值；(3)求函数图象与x轴的交点坐标．
【分析】(1)根据正比例函数的定义设y﹣2＝kx(k≠0)，然后把x、y的值代入求出k的值，再整理即可得解；
(2)把x＝4代入y＝3x+2即可得到结论；
(3)解方程即可得到结论．
【解答】解：(1)设y﹣2＝kx，
把x＝﹣2，y＝﹣4代入得﹣4﹣2＝﹣2k，
解得k＝3，
∴函数解析式是y＝3x+2；
(2)把x＝4代入y＝3x+2得，y＝3×4+2＝14；
(3)在y＝3x+2中，令y＝0，则3x+2＝0，
2
解得x=- ，
3
2
∴函数图象与x轴的交点坐标为(- ，0)．
3
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，注意利用正比例函数的定义设出函数关系式．
6．(2022秋•广饶县校级期末)如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B(0，2)．已
知点C(﹣1，3)在该图象上，连接OC．
(1)求函数y＝kx+b的关系式；
(2)点P为x轴上一动点，若S△ACP ＝2S△AOB ，求点P的坐标．
【分析】(1)把B(0，2)、C(﹣1，3)代入到y＝kx+b中进行求解即可；
(2)设点P的坐标为(m，0)，求出点A(2，0)，进而得到AP＝|m﹣2|，OA＝OB＝2，再求出S△ACP ＝4得到
3
|m-2|=4，由此求解即可．
2
{-k+b=3
【解答】解：(1)把B(0，2)、C(﹣1，3)代入到y＝kx+b中得： ，
b=2{k=-1
∴
b=2
∴函数y＝kx+b的解析式为y＝﹣x+2；
(2)设点P的坐标为(m，0)，
令y＝0，则x＝2，
∴A(2，0)，
∴AP＝|m﹣2|，OA＝OB＝2，
1 1
∴S = OA⋅OB= ×2×2=2，
△AOB 2 2
∵S△ACP ＝2S△AOB ，
∴S△ACP ＝4，
1
∴ AP⋅y =4，
2 C
3
∴ |m-2|=4，
2
14 2
∴m= 或m=- ，
3 3
14 2
∴点P的坐标为( ，0)或(- ，0)．
3 3
【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此
函数的解析式是解题的关键．
核心知识12 一次函数的应用
1．(2022秋•海陵区校级月考)图中反映某网约车平台收费y(元)与所行驶的路程x(千米)的函数关系，根据
图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60km/h，不考虑其它因素
(红绿灯、堵车等)，他从家到机场需要 分钟．
【分析】根据题意可得当x＞3时，y与x的函数关系式，再把y＝64代入函数关系式求出x的值，然后根据网约车的速度可得答案．
【解答】解：设当x＞3时，y与x的函数关系式为y＝kx+b，
{3k+b=13
根据题意，得： ，
10k+b=34
{k=3
解得 ，
b=4
∴y＝3x+4(x＞3)，
当y＝64时，3x+4＝64，
解得x＝20，
20÷60×60＝20(分钟)．
故答案为：20．
【点评】本题考查了一次函数的应用，求出相关函数关系式是解答本题的关键．
2．(2022秋•太原期中)今年9月30日，太忻大道忻州段正式通车，标志着太忻大道全线通车．太忻大道
南起太原市阳兴大道，北至忻州市忻府区，双向六车道．小王驾车从太忻大道南起点处出发，向北终
点处匀速行驶，他离终点的路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的部分对应值如表所示，则y与x之间的
函数表达式为 ．
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4
y 41 35 29 23 17
【分析】从表格可看出，货车每行驶0.1小时，离终点的路程减少6千米，即离终点的路程y(千米)与行驶
时间x(时)成一次函数关系，设y＝kx+b，把表中的任意两对值代入即可求出y与x的关系．
【解答】解：设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b
{ b=41
将(0，41)，(0.1，35)代入上式得， ，
0.1k+b=35
{k=-60
解得 ．
b=41
∴y＝﹣60x+41，
∴y与x之间的关系是一次函数，其函数表达式为y＝﹣60x+41．
故答案为：y＝﹣60x+41．【点评】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，关键是读取图象中信息．
3．(2022秋•抚州期末)国庆假期，甲乙两人沿相同的路线前往距离学校10km的抚州三栽花园游玩，图中
l 和l 分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S(千米)随时间t(分)变化的函数图象，以下说法：①甲
1 2
比乙晚12分钟到达；②甲平均速度为0.25千米/小时；③甲乙相遇时，乙走了6千米；④甲乙相遇
后4分钟，乙到达目的地；其中正确的是( )
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【分析】由图象可直接判断①②，设l 对应的函数解析式为S＝kt，设l 对应的函数解析式为S＝at+b，
1 2
分别求出l 和l 的函数解析式，进而求出相遇时的路程和时间，可判断③，结合图象可判断④．
1 2
【解答】解：由函数图象可得，
乙比甲提前40﹣28＝12(分钟)到达，故①正确，
40
甲的平均速度是：10÷ =15(千米/小时)，故②错误，
60
设l 对应的函数解析式为S＝kt，
1
1
则40k＝10，得k= ，
4
1
即l 对应的函数解析式为S= t，
1 4
设l 对应的函数解析式为S＝at+b，
2
{18a+b=0 { a=1
则 ，得 ，
28a+b=10 b=-18
即l 对应的函数解析式为S＝t﹣18，
2
{ 1
S= t {S=6
由 4 ，得 ，
t=24
S=t-18
∴甲乙相遇时，乙走了6千米，故③正确，
甲乙相遇后，乙用28﹣24＝4(分钟)到达目的地，故④正确，
故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象的实际应用，能够根据图象提取出条件是解题的关键．
4．(2022秋•秦都区期末)假期将至，某游泳俱乐部面向学生推出这个假期的优惠活动，活动方案如下．方
案一：购买一张学生假期专享卡，每次游泳费用按六折优惠；方案二：不购买学生假期专享卡，每次
游泳费用按八折优惠；设某学生假期游泳 x(x＞0)次，按照方案一所需总费用为 y (元)，且 y ＝
1 1
k x+b(k ≠0)；按照方案二所需总费用为y (元)，且y ＝k x(k ≠0)，其函数图象如图所示．若某位学生
1 1 2 2 2 2
发现他购买与不购买假期专享卡所需总费用相同，则他去游泳的次数x是( )
A．5 B．7 C．6 D．8
【分析】用待定系数法得y ＝15x+30，可知打折前的每次游泳费用为25元，即可得y ＝20x，再根据题意
1 2
得出15x+30＝20x，解方程即可．
【解答】解：∵y ＝k x+b(k ≠0)的图象经过点(0，30)，(10，180)，
1 1 1
{ b=30
∴ ，
10k +b=180
1
{b=30
解得 ，
k =15
1
∴y ＝15x+30，
1
由k ＝15可知购买一张学生暑假专项卡后每次游泳费用为15元，
1
∴打折前的每次游泳费用为15÷0.6＝25(元)，
∵不购买学生假期专享卡，每次游泳费用按八折优惠，
∴k ＝25×0.8＝20，
2
∴y ＝20x，
2
∵学生发现他购买与不购买假期专享卡所需总费用相同，
∴15x+30＝20x，
解得x＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出 y 、y
1 2关于x的函数解析式．
5．(2022春•市中区校级月考)“十一”期间，小华一家人开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车
油箱内储油45升，当行驶60千米时，发现油箱余油量为31.5升(假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀
的)．
(1)求该车平均每千米的耗油量；
(2)写出余油量Q(升)与行驶路程x(千米)之间的关系式；
(3)当油箱中余油量低于3升时，汽车将自动报警，若往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？
说明理由．
60千米的耗油量
【分析】(1)由该车平均每千米的耗油量= ，可求解；
60千米
(2)由剩余油量Q＝45﹣每千米的耗油量×路程，可求解；
(3)求出行驶200千米后，剩余油量，比较下可求解．
45-31.5
【解答】解：(1) =0.225(升/千米)，
60
答：该车平均每千米耗油0.225升；
(2)Q＝45﹣0.225x；
(3)当x＝200时，Q＝45﹣0.225×200＝0，
∵0＜3，
∴所以他们不能在汽车报警前回到家．
【点评】本题考查了一次函数的应用，根据数量关系列出函数关系式是解题的关键．
6．(2022秋•天桥区期中)某市为了节约用水，采用分段收费标准，设居民每月应交水费为 y(元)，用水量
为x(立方米)．
用水量(立方米) 收费(元)
不超过10立方米 每立方米2.5元
超过10立方米 超过的部分每立方米3.5元
(1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式：
①每月用水量不超过10立方米时，y＝ ；
②每月用水量超过10立方米时，y＝ ；
(2)若某户居民某月用水量为6立方米，则应交水费多少元？
(3)若某户居民某月交水费32元，则该户居民用水多少立方米？
【分析】(1)①根据不超过10立方米时应缴水费＝2.5×用水量；②超过10立方米时应缴水费＝2.5×10+3.5×超出10立方米的用水量，即可得出y关于x的函数关系式；
(2)将x＝6代入y＝2.5x中，求出y值即可；
(3)根据2.5×10＝25(元)，32＞25，即可得出该户居民月用水量超出10立方米，将y＝27代入y＝3.5x﹣10
中，求出x值即可．
【解答】解：(1)①当0≤x≤10时，y＝2.5x；
故答案为：y＝2.5x；
②当x＞10时，y＝2.5×10+3.5(x﹣10)＝3.5x﹣10；
故答案为：3.5x﹣10；
(2)当x＝6时，y＝2.5×6＝15(元)，
答：应交水费15元；
(3)2.5×10＝25(元)，32＞25，
即可得出该户居民月用水量超出10立方米，
当y＝32时，3.5x﹣10＝32，
x＝12，
答：该户居民用水12立方米．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出y关于x的函数关系式，再根据函数关
系式求值．
7．(2022秋•阜新县校级期末)甲车从A地出发匀速向B地行驶，同时乙车从B地出发匀速向A地行驶，甲
车行驶速度比乙车快，甲、乙两车距A地的路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的关系如图所示，请结
合图象回答下列问题：
(1)甲车速度为 km/h，乙车速度为 km/h；
(2)求乙车行驶过程中，y与x的函数关系式；
(3)在行驶过程中，两车出发多长时间，两车相距80千米？
【分析】(1)根据函数图象中的数据，可以分别计算出甲车速度和乙车速度；
(2)根据函数图象中的数据，可以计算出乙车行驶过程中，y与x的函数关系式；
(3)由题意可知：有两种情况，一种情况是两车相遇之前相距 80千米，一种情况是两车相遇之后相距80千米，然后列出相应的方程求解即可．
【解答】解：(1)由图象可得，
甲车速度为：480÷4.8＝100(km/h)，乙车的速度为：480÷8＝60(km/h)，
故答案为：100，60；
(2)设y与x的关系式为y＝kx+b(k≠0)，
∵点(0，480)，(8，0)在该函数图象上，
{8k+b=0
∴ ，
b=480
{k=-60
解得 ，
b=480
∴y与x的函数关系式为y＝﹣60x+480(0≤x≤8)；
(3)由题意可得，
当两车相距80千米时，则(100+60)x+80＝480或(100+60)x﹣80＝480，
解得x＝2.5或x＝3.5，
答：在行驶过程中，两车出发2.5小时或3.5小时时，两车相距80千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．(2022秋•镇江期末)为了帮助经济相对薄弱村发展经济，将真正的实惠带给消费者，某市在各菜市场开
设了“爱心助农销售专区”．现从某村购进苹果和橙子进行销售，进价分别为每箱40元和60元，该
专区决定苹果以每箱60元出售，橙子以每箱88元出售．
(1)若购进苹果120箱，橙子200箱，可获利 元；
(2)为满足市场需求，需购进这两种水果共1000箱，设购进苹果m箱，获得的利润为W元．
①请求出获利W(元)与购进苹果箱数m(箱)之间的函数表达式；
②若此次活动该村获润不低于25000元，则最多销售多少箱苹果？
【分析】(1)根据总利润＝销售苹果的利润+销售橙子的利润进行计算即可；
(2)①根据总利润＝销售苹果的利润+销售橙子的利润列出函数解析式；
②根据此次活动该村获润不低于25000元，列出不等式即可．
【解答】解：(1)根据题意得：120×(60﹣40)+200(88﹣60)＝2400+5600＝8000(元)，
故答案为：8000；
(2)①根据题意得：W＝(60﹣40)m+(88﹣60)(1000﹣m)＝20m+28(1000﹣m)＝﹣8m+28000，
∴获利W(元)与购进苹果箱数m(箱)之间的函数表达式为W＝﹣8m+28000；
②根据①得，﹣8m+28000≥25000，
解得m≤375，答：此次活动该村获润不低于25000元，则最多销售375箱苹果．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
9．(2022秋•顺德区校级期末)某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和
10台B型电脑的利润为3500元．
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y
元．求y关于x的函数关系式．
(3)在第(2)问的条件下，如果A型电脑至少购进20台，则购进两种型号的电脑100台最多花费多少钱？
【分析】(1)设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；然后根据销售10台A型
和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元列出方程组，然后
求解即可；
(2)根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；
(3)由题意可知x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
【解答】解：(1)设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；
{10a+20b=4000
根据题意得： ，
20a+10b=3500
{a=100
解得： ，
b=150
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；
(2)根据题意得，y＝100x+150(100﹣x)，
∴y关于x的函数关系式y＝﹣50x+15000；
(3)∵y＝﹣50x+15000(x≥20)，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝20时，y取最大值，则100﹣x＝80，
20×1000+80×150＝42000(元)．
∴该商店购进A型电脑20台，B型电脑80台，购进两种型号的电脑100台最多花费42000元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出
方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
核心知识13 一次函数与方程1．(2023•滕州市校级开学)关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，则直线y＝kx+b的图象与x轴的
交点坐标是( )
A．(1，0) B．(0，1) C．(0，0) D．(﹣1，0)
【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，
∴直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为(1，0)，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
2．(2023•平远县校级开学)一次函数y＝ax+b交x轴于点(﹣5，0)，则关于x的方程ax+b＝0的解是( )
A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x＝0 D．无法求解
【分析】令一次函数的y值为0，此时一次函数可转化为所求的方程；因此函数与x轴的交点横坐标，即
为所求方程的解．
【解答】解：由题意可知：当x＝﹣5时，函数值为0；
因此当x＝﹣5时，ax+b＝0，
即方程ax+b＝0的解为：x＝﹣5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确理解一次函数与一元一次方程的关系是解决本
题的关键．
3．(2022秋•碑林区校级期末)如图一次函数y＝kx+2的图象分别交y轴，x轴于点A、B，则方程kx+2＝0
的解为( )
√3
A．x＝0 B．x＝2 C．x=2√3 D．x=-
3
【分析】方程kx+2＝0的解是一次函数y＝kx+2的图象与x轴的交点B的横坐标．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+2的图象交x轴于点(2√3，0)．
∴方程kx+2＝0的解为x＝2√3．故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，解题的关键是找出与x轴的交点坐标．本题属于基础题，
难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象与x轴的交点解方程是关键．
4．(2022秋•城关区校级期末)如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P(m，2)，则关于x的方程kx+b＝2x
的解是( )
1
A．x= B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
2
【分析】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于 x的方程
kx+b＝2的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P(m，2)，
∴2＝2m，
∴m＝1，
∴P(1，2)，
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
5．(2022秋•平遥县期末)如图，已知一次函数y＝kx+b和正比例函数y＝mx的图象交于点P(1，3)，则关
于x的一元一次方程kx+b＝mx的解是 ．
【分析】当x＝1时，y＝mx的函数图象与函数y＝kx+b的图象相交，从而可得到方程的解．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝mx的图象交于点P(3，﹣1)，
∴当x＝1时，kx+b＝mx，方程kx+b＝mx的解是x＝1，
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，通过图象求解，解题的关键是数形结合起来．
6．(2022秋•章丘区期末)如图，一次函数y ＝x+b与一次函数y ＝kx+4的图象交于P(1，3)，则关于x的
1 2
方程x+b＝kx+4的解是 ．
【分析】根据一次函数图象即可确定方程的解．
【解答】解：∵一次函数y ＝x+b与一次函数y ＝kx+4的图象交于点P(1，3)，
1 2
则关于x的方程x+b＝kx+4的解是x＝1，
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象是解题的关键．
7．(2022秋•清新区期中)已知函数y＝(2m+1)x+m﹣3．
(1)若函数的图象经过原点，求m的值；
(2)若函数的图象与y轴交点的纵坐标为﹣2，求方程(2m+1)x+m﹣3＝0的解．
【分析】(1)将(0，0)代入函数解析式求解即可；
(2)将(0，﹣2)代入函数解析式，求得m，再将m代入方程求解即可．
【解答】解：(1)∵该函数的图像经过原点，
∴可将(0，0)代入y＝(2m+1)x+m﹣3，得：0＝m﹣3，
解得：m＝3；
(2)∵该函数的图像与y轴交点的纵坐标为﹣2，
∴可将(0，﹣2)代入y＝(2m+1)x+m﹣3，得：﹣2＝m﹣3，
解得：m＝1．
将m＝1代入(2m+1)x+m﹣3＝0，得：3x﹣2＝0，2
解得：x= ．
3
【点评】此题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，一元一次方程的求解，解题的关键
是掌握一次函数的图象与性质，根据题意确定函数经过的点．
1
8．(2022秋•庐阳区校级月考)已知一次函数y=- x+2．
2
(1)求该直线与坐标轴的交点坐标；
(2)画出一次函数的图象；
1
(3)由图可知，若方程- x+2＝0，则方程的解为 ．
2
【分析】(1)令x＝0和y＝0，求出y和x，即可求出直线与坐标轴的交点坐标；
1
(2)过点(4，0)与点(0，2)作直线，即为一次函数y=- x+2的图象；
2
(3)观察图象即可得出结论．
【解答】解：(1)x＝0时，y＝2，
y＝0时，x＝4，
则直线与x轴交点为(4，0)，与y轴交点为(0，2)；
1
(2)过点(4，0)与点(0，2)作直线，即为一次函数y=- x+2的图象；
2
1
(3)从图象上可知一次函数y=- x+2与x轴的交点坐标为(4，0)，
2
1
则关于x的方程- x+2＝0的解为的解是x＝4．
2
故答案为：x＝4．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，利用数形结合的思想求解是解决问题
的关键．
核心知识14 一次函数与不等式
1．(2022春•北票市期中)已知直线y＝kx+1在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+1≤0的解
集为( )
A．x≥1 B．x≤1 C．x≥2 D．x≤2
【分析】直接根据一次函数的图象与坐标轴的交点即可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝kx+1与x轴交于点(2，0)，
∴不等式kx+1≤0的解集为x≤2．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，直接利用数形结合求解是解题的关键．
2．(2022秋•青浦区校级期末)在直角坐标平面内，一次函数y＝ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确
的是( )A．当x＜0时，﹣2＜y＜0
B．方程ax+b＝0的解是x＝﹣2
C．当y＞﹣2时，x＞0
D．不等式ax+b＜0的解集是x＜0
【分析】根据函数的图象直接进行解答即可．
【解答】解：由函数y＝ax+b的图象可知，
当x＜0时，y＜﹣2，A选项错误，不符合题意；
方程 ax+b＝0的解是x＝1，B选项错误，不符合题意；
当y＞﹣2时，x＞0，故C正确，符合题意；
不等式 ax+b＜0的解集是x＜1，故D错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
3．(2022秋•宁波期末)如图，直线y ＝kx+b与直线y ＝mx﹣n交于点P(1，m)，则不等式mx﹣n＞kx+b的
1 2
解集是( )
A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1
【分析】利用函数图象，写出直线y ＝mx﹣n在直线y ＝kx+b上方所对应的自变量的范围即可．
2 1
【解答】解：不等式mx﹣n＞kx+b的解集为x＞1．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 y＝kx+b
的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
4．(2021秋•沭阳县期末)如图，已知直线y ＝k x过点A(﹣2，﹣4)，过点A的直线y ＝k x+b交x轴于点
1 1 2 2
B(﹣4，0)，则不等式k x＜k x+b＜0的解集为( )
1 2
A．x＜﹣4 B．﹣4＜x＜﹣2 C．﹣2＜x＜0 D．x＞0
【分析】利用函数图象，写出在x轴下方且函数y ＝k x的函数值小于函数y ＝k x+b的函数值对应的自变
1 1 2 2
量的范围即可．
【解答】解：当x＞﹣4时，y ＝k x+b＜0；当x＜﹣2时，y ＜y ，
2 2 1 2
所以不等式k x＜k x+b＜0的解集为﹣4＜x＜﹣2．
1 2
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 y＝kx+b的值大
于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上(或下)方部分
所有的点的横坐标所构成的集合．
5．(2022秋•镇江期末)在平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax+b(a≠0)与y ＝mx+n(m≠0)的图象如图所示
1 2
则关于x的不等式ax+b＞mx+n的解集为 ．
【分析】根据两个一次函数的图象交点横坐标为3，进一步可得不等式的解集．
【解答】解：由图象可知，关于x的不等式ax+b＞mx+n的解集为x＞3，
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
6．(2022秋•碑林区校级期末)如图，在平面直角坐标系中，若直线y ＝3x+a，直线y ＝﹣bx+5相交于点
1 2
A(1，2)，则关于x的不等式(3+b)x≤5﹣a的解集是 ．【分析】不等式(3+b)x≤5﹣a变形为3x+a≤﹣bx+5，观察函数图象得到当x＜1时，函数y ＝3x+a的图象
1
都在y ＝﹣bx+5的图象下方，所以不等式(3+b)x≤5﹣a的解集为x＜1．
2
【解答】解：不等式(3+b)x≤5﹣a变形为3x+a≤﹣bx+5，
∵直线y ＝3x+a，直线y ＝﹣bx+5相交于点A(1，2)，
1 2
∴当x＜1时，函数y ＝3x+a的图象都在y ＝﹣bx+5的图象下方，
1 2
∴不等式(3+b)x≤5﹣a的解集为x≤1；
故答案为：x≤1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确记忆从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝
ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上
(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合是解题关键．
7．(2022春•南海区校级月考)如图，一次函数y ＝kx﹣2和y ＝﹣3x+b的图象相交于点A(2，﹣1)．
1 2
(1)求k，b的值；
(2)利用图象直接写出：当x取何值时，y ＞y ；
1 2
(3)求出：当x取何值时，y ≥0．
1
【分析】(1)利用待定系数法即可求得；(2)根据图象观察，得出结论；
(3)求得函数图象与x轴的交点，根据图象即可得到结论．
1
【解答】解：(1)将A(2，﹣1)代入y ＝kx﹣2，得：2k﹣2＝﹣1，即k= ；
1 2
将A(2，﹣1)代入y ＝﹣3x+b，得：﹣6+b＝﹣1，即b＝5；
2
(2)从图象可以看出：当x＞2时，y ＞y ；
1 2
1
(3)直线y = x﹣2与x轴的交点为(4，0)，
1 2
从图象可知：当x≥4时，y ≥0．
1
【点评】本题考查了一次函数与不等式(组)的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察
图形，注意几个关键点(交点、原点等)，做到数形结合．
8．(2022秋•定远县校级月考)如图，一次函数l ：y＝2x﹣2的图象与x轴交于点D，一次函数l ：y＝kx+b
1 2
的图象与x轴交于点A，且经过点B(3，1)，两函数图象交于点C(m，2)．
(1)求m的值和一次函数l ：y＝kx+b的解析式；
2
(2)根据图象，直接写出kx+b＜2x﹣2的解集．
【分析】(1)把点C的坐标代入y＝2x﹣2得出2＝2m﹣2，求出m，再把B、C的坐标代入y＝kx+b得出方
程组，再求出k、b即可；
(2)根据函数的图象得出不等式的解集即可．
【解答】解：(1)∵两函数图象交于点C(m，2)，
∴把点C的坐标代入y＝2x﹣2得：2＝2m﹣2，
解得：m＝2，
即C(2，2)，
∵函数y＝kx+b经过点B(3，1)，点C(2，2)，
{1=3k+b
∴ ，
2=2k+b解得：k＝﹣1，b＝4，
即y＝﹣x+4，
所以m＝2，一次函数l ：y＝kx+b的解析式是y＝﹣x+4；
2
(2)由图象可知不等式kx+b＜2x﹣2的解集是x＞2．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上
点的坐标特征，一次函数的图象和性质等知识点，能求出点C的坐标是解此题的关键．
核心知识15 用一次函数解决方案选择问题
1．(2022秋•历下区期末)某单位要制作一批宣传材料．甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元设
计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费．
(1)设该单位制作宣传材料x份，选择甲公司时，所需费用为y 元，选择乙公司时，所需费用为y 元，请
1 2
分别写出y ，y 与x之间的关系式；
1 2
(2)若制作宣传材料时只选择一家公司，则随着x的变化，选用哪家公司所需费用较少？
【分析】(1)根据甲、乙两个公司的收费方法分别列式即可；
(2)求出两个公司收费相同时的材料份数，然后分情况讨论即可．
【解答】解：(1)y ＝20x+3000，
1
y ＝30x；
2
(2)若y ＞y ，则20x+3000＞30x，解得：x＜300，
1 2
若y ＝y ，则20x+3000＝30x，解得：x＝30，
1 2
若y ＜y ，则20x+3000＜30x，解得：x＞300．
1 2
综上，当0≤x＜300时，乙公司费用较少；
当x＝300，甲、乙公司费用相同；
当x＞300时，甲公司费用较少．
【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息和两家公司的收费标准是解题的关键，难点在于(2)
要分情况讨论．
2．(2023•雁塔区校级二模)北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人
民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共 600件，且当天全部售出，原料成本、销售
单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元．
原料成本(元/件) 生产提成(元/件) 销售单价(元/件)
“冰墩墩” 32 5 45
“雪容融” 28 6 40(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？
【分析】(1)根据总利润＝销售两种吉祥物挂件的利润之和，列出式子即可解决问题；
(2)根据该厂每天生产“雪容融”200件，则x＝400，代入(1)中解析式求值即可．
【解答】解：(1)由题意得：y＝(45﹣32﹣5)x+(40﹣28﹣6)(600﹣x)＝2x+3600，
∴y与x之间的函数关系式为y＝2x+3600；
(2)由题意得：x＝600﹣200＝400，
∴y＝2x+3600＝2×400+3600＝4400，
答：该厂一天所获得的总利润是4400元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式．
3．已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产甲、乙两种型号的时
装共80套．已知做一套甲种型号的时装或一套乙种型号的时装所需A、B两种布料如下表：
时装布料 甲 乙
A种(米) 0.6 1.1
B种(米) 0.9 0.4
若销售一套甲种型号的时装可获利润45元，销售一套乙种型号的时装可获利润50元．设生产乙种型号的
时装为x套，用这批布料生产这两种型号的时装利润为y元．
(1)写出y(元)与x(套)的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)雅美服装厂在生产这批时装中，当生产两种型号的时装各多少套时，获得的总利润最大，最大利润是
多少元？
【分析】(1)生产这两种时装的利润＝生产甲的利润+生产乙时装的利润，然后化简得出函数关系式，再根
据有A种布料70米，B种布料52米来判断出自变量的取值范围；
(2)跟(1)中得出的函数式的性质来判定出哪种方案最好．
【解答】解：(1)y＝50x+(80﹣x)×45
y＝5x+3600
1.1x+0.6×(80﹣x)≤70
0.4x+0.9×(80﹣x)≤52
故40≤x≤44；
(2)y＝5x+3600图象成直线，是增函数，
所以当x取最大值44时y有最大值，y＝5×44+3600＝3820．
该服装厂在生产这批服装中，当生产乙型号44套，甲型号36套时，所获利润最多，最多是3820元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式．
4．(2022春•罗源县期中)有A、B两种型号的货车：用2辆A型货车和1辆B型货车装满货物一次可运货
10吨；用1辆A型货车和2辆B型货车装满货物一次可运货11吨．请用学过的方程(组)知识解答下列问
题：
(1)求A型、B型两种货车装满货物每辆分别能运货多少吨？
(2)现某物流公司有31吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满
货物．若A型货车每辆需租金100元/次，B型货车每辆需租金120元/次．请你帮该物流公司选出最省钱
的租车方案，并求出最少租车费用．
【分析】(1)设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用2辆
A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”
即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
31-3m
(2)由(1)的结论结合某物流公司现有31吨货物，即可得出3m+4n＝31，即n= ，由m、n均为正数
4
即可得出各租车方案．根据租车总费用＝每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用
B型车的数量，分别求出三种租车方案所需租车费，比较后即可得出结论．
【解答】解：(1)设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，
{2x+ y=10
依题意，得： ，
x+2y=11
{x=3
解得： ．
y=4
答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．
31-3m
(2)由题意可得：3m+4n＝31，即n= ，
4
∵m，n均为整数，
{m=1 {m=5 {m=9
∴共有 ， 和 三种情况．
n=7 n=4 n=1
设租车费用为W元，
则W＝100m+120n31-3m
＝100m+120•
4
＝10m+930，
∵10＞0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m＝1时，W最小，此时W＝10×1+930＝940．
∴当租用A型车1辆，B型车7辆，最少租车费用为940元．
5．(2021春•新县期末)某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛
球拍，每副球拍配x(x≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用，该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的
羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在
做促销活动：
A超市：所有商品均打九折(按标价的90%销售)；
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y (元)，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y (元)．请
A B
解答下列问题：
(1)分别写出y ，y 与x之间的关系式；
A B
(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
【分析】(1)根据购买费用＝单价×数量建立关系就可以表示出y 、y 的解析式；
A B
(2)分三种情况进行讨论，当y ＝y 时，当y ＞y 时，当y ＜y 时，分别求出购买划算的方案；
A B A B A B
【解答】解：(1)由题意，得y ＝(10×30+3×10x)×0.9＝27x+270；
A
y ＝10×30+3(10x﹣20)＝30x+240；
B
(2)当y ＝y 时，27x+270＝30x+240，得x＝10；
A B
当y ＞y 时，27x+270＞30x+240，得x＜10；
A B
当y ＜y 时，27x+270＜30x+240，得x＞10；
A B
∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算；
当x＝10时，两家超市一样划算；
当x＞10时在A超市购买划算．
【点评】本题考查了一次函数的解析式的运用，分类讨论的数学思想的运用，方案设计的运用，解答时
求
出函数的解析式是关键.
6．(2022春•沂水县期末)众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这
20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如表：
目的地车型 A地(元/辆) B地(元/辆)
大货车 900 1000
小货车 500 700
现安排上述装好物资的20辆货车(每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资)中的10辆前往A地，
其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．
(1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
(2)求y与x的函数解析式，并求出x的取值范围；
(3)因某种原因，大货车运往A地的运费每辆减少a元(0＜a＜150)，其他不变，怎样安排货车使得总运费
最小．
【分析】(1)设装好物资的20辆货车中，大货车、小货车各有m与n辆，根据题意列出方程组即可求出答案．
(2)根据题中给出的等量关系即可列出y与x的函数关系．
(3)分三种情况讨论得到答案．
【解答】解：(1)设装好物资的20辆货车中，大货车、小货车各有m与n辆，
{15m+10n=260
由题意可知： ，
m+n=20
{m=12
解得： ，
n=8
答：大货车有12辆，小货车8辆；
(2)设到A地的大货车有x辆，则到A地的小货车有(10﹣x)辆，到B地的大货车有(12﹣x)辆，到B地的小
货车有(x﹣2)辆，
∴y＝900x+500(10﹣x)+1000(12﹣x)+700(x﹣2)
＝100x+15600，
其中2≤x≤10，x为整数；
(3)根据题意得：y＝(900﹣a)x+500(10﹣x)+1000(12﹣x)+700(x﹣2)＝(100﹣a)x+15600，
当a＜100时，y随x的增大而增大，
∴0＜a＜100时，x＝2，y最小，即到A地的大货车安排2辆，到A地的小货车安排8辆，到B地的大货车
安排10辆，总运费最小，
当a＝100时，运费都是15600，
当a＞100时，y随x的增大而减小，∴100＜a＜150时，x＝10y最小，即到A地的大货车安排10辆，到B地的大货车安排2辆，到B地的小货
车安排8辆，总运费最小．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式，解答本题的关键是读懂题意
列出函数关系式．
核心知识16 一次函数的综合应用
1．(2022秋•张店区校级期末)如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点O和点A(2，1)，经过点A的
另一条直线交x轴于点B(4，0)．
(1)求直线l的函数解析式；
(2)求△ABO的面积；
1
(3)在直线l上求一点P，使S = S ，求点P坐标．
△AOB 2 △ABP
【分析】(1)设直线l的函数解析式为y＝kx，利用待定系数法求出k的值即可；
(2)由点B(4，0)可知，OB＝4，再由三角形的面积公式即可得出结论；
t
(3)设P(t， )，再分P在A点的左侧和P在A点的右侧解答即可．
2
【解答】解：(1)设直线l的函数解析式为y＝kx，
1
将A(2，1)代入可得：2k＝1，解得k= ，
2
1
∴直线l的函数解析式为：y= x；
2
1
(2)由题意可得：OB＝4，S = OB×1=2；
△AOB 2
t
(3)设P(t， )，
21 t
当P在A点的左侧时，S =S -S =2- × ×4=2-t，
△ABP △ABO △BOP 2 2
1
∵S = S ，
△AOB 2 △ABP
1
∴2= (2-t)，
2
解得t＝﹣2，
∴P(﹣2，﹣1)，
1 t
当P在A点的右侧S =S -S = × ×4-2=t-2，
△ABP △BOP △ABO 2 2
1
∵S = S ，
△AOB 2 △ABP
1
∴2= (t-2)，解得t＝6，
2
∴P(6，3)，
综上所述，P(﹣2，﹣1)或(6，3)．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，
解本题的关键是求出直线l的解析式以及利用分类讨论的思想．
1
2．(2022秋•雁塔区校级期末)如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=- x+b交y轴于点A(0，1)，交x
3
轴于点B．直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝1上一动点，点D的上方，设P(1，
n)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)当S△ABP ＝2时，在第一象限内找一点C，使△BCP为等腰直角三角形，求点C的坐标．1
【分析】(1)把A(0，1)代入y=- x+b求出b，然后再求出B的坐标即可；
3
(2)分∠PBC＝90° 或∠BPC＝90° 或∠PCB＝90°三种情况讨论，其中∠PCB＝90°时，根据点C的位置不
同可以再分两种情况讨论，然后构造三垂图模型，利用全等三角形的性质即可求解．
1
【解答】解：(1)直线AB：y=- x+b交y轴于点A(0，1)，交x轴于点B，则b＝1，
3
1
直线AB的表达式为：y=- x+1，
3
点B(3，0)；
1 3 2 3
(2)△ABP的面积= ×PD×OB= ×(n- )= n﹣1；
2 2 3 2
①当∠CPB＝90°时，如图1，
过点C作CF⊥DE交DE的延长线于点F，
由点PB的坐标知，直线PB的倾斜角为45°，而∠CPB＝90°，
则∠FPC＝45°，则直线BC∥EF，PB＝2√2，BC＝4，
点C(3，4)；
②当∠PBC＝90°时，
由①同理可得：直线PC∥x轴，
故点C(5，2)；
③当∠PCB＝90°时，同理可得：点C(3，2)；
综上，点C的坐标为：(3，4)或(5，2)或(3，2)．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、面积的计算等，其中
(2)，要注意分类求解，避免遗漏，关键是熟悉三垂图模型．
3．(2022秋•永安市期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(4，2)在正比例函数y＝mx(m≠0)的图象
上，过点A的另一条直线分别交x轴，y轴的正半轴于点B，C．
(1)求m的值；
(2)若S△OBC ＝3S△OAB ．
①求直线AB的解析式；
1
②动点P在线段OA和射线AC上运动时，是否存在点P，使得S = S ？若存在，求出此时点P
△OPC 4 △OAC
的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】(1)点A(4，2)在正比例函数y＝mx(m≠0)的图像上，代入求解即可；
(2)①设B(a，0)，C(0，c)，由S△OBC ＝3S△OAB ，解得c＝6，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入法求解即可；
1
②存在，设P(x，y)，则△OPC中OC边上的高为|x|，先求的S = S =3，分情况以下情况讨论
△OPC 4 △OAC
即可；当动点P(x，y)在线段OA上时，x＞0，如图，解得..，代入OA解析式可求；当动点P(x，y)在射线
AC上运动时，如图，解得x＝±1，代入AC解析式可求．
【解答】解：(1)因为点A(4，2)在正比例函数y＝mx(m≠0)的图像上，
∴2＝4m，
1
∴m= ；
2
(2)①设B(a，0)，C(0，c)，∵S△OBC ＝3S△OAB ，A(4，2)，
1 1
∴ ×a×c=3× ×a×2，
2 2
解得：c＝6，
∴C(0，6)，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，A(4，2)、C(0，6)在直线上，
{4k+b=2
则有 ，
b=6
{k=-1
解得 ，
b=6
直线AB的解析式为y＝﹣x+6；
②存在，理由如下：
设P(x，y)，则△OPC中OC边上的高为|x|，
由①可知：
1 1 1
∴S = S = × ×6×4=3，
△OPC 4 △OAC 4 2
当动点P(x，y)在线段OA上时，x＞0，如图，
1
∴S = ×6×x=3，
△OPC 2
解得：x＝1，
∵P(x，y)在线段OA上，
1
由(1)可知P(1， )．
2
当动点P(x，y)在射线AC上运动时，如图，
1
∴S = ×6×|x|=3，
△OPC 2
解得：x＝±1，
当x＝1时，y＝﹣1+6＝5，
∴P(1，5)，
当x＝﹣1时，y＝1+6＝7，
∴P(﹣1，7)，
1
综上所述：P(1， )或P(1，5)或P(﹣1，7)．
2【点评】本题考查了一次函数与正比例函数的综合应用，代入法求函数解析式以及根据三角形面积求点
的存在性；熟练掌握函数图像上点的特点和面积公式是解题的关键．
4．(2022秋•邗江区校级期末)如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、点B(0，2)，以线段AB为直
角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P(0，a)为y轴上一个动点．
(1)请直接写出直线l的表达式；
(2)求出△ABC的面积；
(3)当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．
【分析】(1)将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，即可求解；
1 13
(2)证明△ABC为等腰直角三角形，则S△ABC =
2
AB2=
2
；
(3)分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况，分别求解即可．
【解答】解：(1)设直线AB所在的表达式为：y＝kx+b，{0=3k+b
则 ，
b=2
{ 2
k=-
解得： 3，
b=2
2
故直线l的表达式为：y=- x+2；
3
(2)在Rt△ABC中，
由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13
∵△ABC为等腰直角三角形，
1 13
∴S△ABC =
2
AB2=
2
；
(3)①当P在y轴正半轴时，P点为：(0，a)，如图1所示：
1 13
S△ABP =
2
AO•BP =
2
，
∵AO＝3，
13
∴BP= ，
3
∵B(0，2)，
13
∴a﹣2= ，
3
19
∴a= ．
3
②)①当P在y轴负半轴时，如图2所示：
13
S△ABP ＝S△ABO +S△APO =
2
∵S△ABO ＝3，
13 7
∴S△APO =
2
- 3 =
2
，
1 7
即有： ×AO×PO= ，
2 2
7
∴PO= ，
3
∵P在y轴负半轴，7
∴a=- ．
3
19 7
综上：a= 或a=- ．
3 3
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面
积的计算等，其中(3)要注意分类求解，避免遗漏．
5．(2022秋•镇江期末)如图1，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AB＝4，AD＝6．若动点P从点
B出发，以每秒2个单位的速度沿着BC→CD→DA的路线向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，
图2是点P出发t秒后，△ABP的面积S与t的函数图象．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)求MN所在直线对应的函数表达式；
(3)运动几秒后，△ABP的面积为14？
【分析】(1)根据题意可得当点P到达C点时，△ABP的面积S最大，根据三角形的面积公式求出BC＝
9，即可得a的值，求出当点P到达D点时，△ABP的面积S，进而可得b的值；
(2)由(1)可得M、N的坐标，利用待定系数法即可求解；
(3)根据题意分3种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，③当点P在AD上运动时，分别求解即可．
【解答】解：(1)当点P到达C点时，△ABP的面积S最大为18，
1
∴S= BC•AB＝18，
2
1
∴ BC×4＝18，解得BC＝9，
2
∵动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿着BC→CD→DA的路线向终点A运动．
设点P的运动时间为t秒，
9
∴t= ，
2
9
∴a= ，
2
当点P到达D点时，t＝10﹣6÷2＝7，
∴b＝7，
9
故答案为： ，7；
2
1 1
(2)当点P到达D点时，△ABP的面积S= AB•AD= ×4×6＝12，
2 2
∴N(7，12)，
9
由(1)知M( ，18)，
2
设MN所在直线对应的函数表达式为S＝kt+b，
12
{7k+b=12 {k=-
5
∴ 9 ，解得 ，
k+b=18 144
2 b=
5
12 144 9
∴MN所在直线对应的函数表达式为S=- t+ ( ≤t≤7)；
5 5 2
(3)根据题意分3种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，
1 1 9
S△ABP =
2
×BP×AB =
2
×2t×4＝4t(0＜t＜
2
)，
∵△ABP的面积为14，
∴4t＝14，7
∴t= ；
2
②当点P在CD上运动时，
12 144 9
由(2)知S=- t+ ( ≤t≤7)，
5 5 2
12 144
∴- t+ =14，
5 5
37
∴t= ；
6
③当点P在AD上运动时，
1 1
S△ABP =
2
×AB×AP =
2
×4×(10×2﹣2t)＝﹣4t+40(7＜t≤10)；
∴﹣4t+40＝14，
7 37
综上所述：t= 或t= 时，△ABP的面积为14．
2 6
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数的性质、三角形的面积
解决本题的关键是综合运用以上知识，利用数形结合思想以及分类思想解题．
