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专题09与反比例函数图象有关的拓展探究
1．有这样一个问题：探究函数 的图像与性质．
小明根据学习一次函数的经验，对函数 的图像与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)函数 的自变量 的取值范围是______；
(2)下表是 与 的几组对应值．
求出 的值；
(3)如图，在平面直角坐标系 中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出
该函数的图像；
(4)写出该函数的一条性质______．
【答案】(1)
(2)
(3)画图见解析
(4)该函数没有最大值或该函数没有最小值【分析】（1）由图表可知x≠0；
（2）根据图表可知当y=-1时x=-m，把y=-1，x=-m代入解析式求解即可；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；
（4）观察图像即可得出该函数的其他性质，该函数没有最大值，没有最小值．
（1）
解：根据题意得：函数 的自变量 的取值范围是 ．
故答案为： ．
（2）
解：把 ， 代入函数 中得：
∴ 即 的值为 ．
（3）
解：画出函数图像如图所示：
（4）
解：观察函数（3）图像，可以发现该函数没有最大值，没有最小值．
即该函数的一条性质：没有最大值或没有最小值．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质、反比例函数的图像等知识点，掌画出函数图像并从
中获取信息是解答本题的关键．
2．小聪在学习过程中遇到了一个函数 ，小聪根据学习反比例函数 的经验，对函数
的图像和性质进行了探究．他先通过列表，并描出如图所示的图像上的部分点．(1)请你帮助小聪画出该函数的图像；
(2)该函数图像可以看成是由 的图像平移得到的，其平移方式为 ；
(3)直接写出不等式 的解集为 ．
【答案】(1)见详解
(2)向下平移2个单位长度
(3) 或
【分析】（1）根据画函数图像的步骤画出图像即可；
（2）根据反比例函数的性质解答即可；
（3）根据反比例函数 的图像与性质，结合画出的函数图像即可得出结论．
（1）
解：画出函数图像如下：（2）
解：该函数图像可以看成是由 的图像平移得到的，其平移方式为向下平移2个单位长度．
故答案为：向下平移2个单位长度；
（3）
解：由图像可得，不等式 的解集为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题只要考查了反比例函数的知识，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
3．类比学习反比例函数的过程与方法，进一步研究函数 的图象与性质，探究过程如下：x … ―3 ―2 ―1 1 2 3 …
y … m 2 4 4 2 1 …
(1)①列表：其中，m的值为______；
②如图，在平面直角坐标系中，根据描出的点．已画出部分图像，请补全函数图像：
③根据函数图象，写出该函数的一条性质______．
(2)利用图像直接写出当 时，x的取值范围是______．
【答案】(1)①1；②见解析；③当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小
(答案不唯一)
(2) 或
【分析】(1)①把x=-2代入 ，即可求得m的值；②首先描点，再连线即可画得；③根据函数
图象即可写得；
(2)根据函数图象及表格即可求得．
（1）
解：①把x=-2代入 ，
得 ，
故答案为：1；
②画图如下：③当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小；
故答案为：当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小(答案不唯一)；
（2）
解：当 时，即 ，
得 ，
或
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了画函数图象的方法，求函数的解析式，根据函数图象写出函数的性质，求自
变量的取值范围，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
4．某班“数学兴趣小组”对函数 的图象和性质进行了探究探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量x的取值范围是__________；
(2)下表是x与y的几组对应值．
x … 1 1.2 2 3 4 5 6 …
y … 1 1.2 m 2 3 4 6 6 5 3 2 1.5 1.2 1 …
求m的值；
(3)根据上表的数据将该函数图象补充完整并写出两条函数的性质；(4)已知函数 的图象如图所示，请直接写出不等式 的解集．
【答案】(1)
(2)m的值为1.5
(3)补充图象见解析，性质1：该函数图象关于y轴对称，性质2：当 时，y随x的增大而减小
(4) 或
【分析】（1）由分母不能为零，即可得出自变量x的取值范围；
（2）将 代入 计算即可；
（3）观察函数图象，找出该函数的另一条性质即可；
（4）找出在x的那些范围之内，函数 的图象在函数 的图象的上方即可.
（1）
；
（2）
解：当 时， ，
∴m的值为1.5；
（3）
解：性质1：该函数图象关于y轴对称，
性质2：当 时，y随x的增大而减小；
（4）
解： 或【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质、反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数
与不等式之间的关系，注意利用数形结合的思想是解此题的关键．
5．某“数学兴趣小组”对函数y 的图象与性质进行了探究，探究过程如下：请将其补充完
整．
(1)绘制函数图象：
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝ ，n＝ ．
… ﹣
x ﹣4 ﹣3 ﹣1 0 0.5 1 3 3.5 4 5 6 n 8 ……
… 2
…
y 1 1.2 1.5 2 3 m 6 6 4 3 2 1.5 1.2 1 ……
…
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图，画出了部分图象，请你把图象补充完整；(2)结合函数的图象，写出该函数的两条性质：
① ；② ．
【答案】(1)4，7，图见解析
(2)①关于直线x＝2对称；②当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小
【分析】（1）求出x＝0.5时的函数值，求得函数值为1.2时的x的值即可求得m、n的值，然后利
用描点法画出函数图象即可；
（2）结合图象写出两个性质即可．
(1)
解：当x＝0.5时，y 4，
当y＝1.2时，1.2 ，则x＝﹣3或x＝7，
故m＝4，n＝7，
故答案为4，7．
函数图象如图所示：(2)
解：①关于直线x＝2对称，②当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小；
故答案为：关于直线x＝2对称；当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减
小．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，理解题意,利用数形结合的思想解决问题是解题的关
键．
6．某校九年级数学兴趣小组对函数 的图象和性质进行探究，通过描点、连线的方式画
出了该函数的图象如图所示．请结合图象回答下列问题：
(1)①函数 的自变量 的取值范围是______；
②请尝试写出函数 的一条性质：______．
(2)经观察发现，将函数 的图象平移后可以得到函数 的图象，请写出一种平移方
法．(3)在上述平面直角坐标系中，画出 的图象，并结合图象直接写出不等式 的
解集．
【答案】(1)① ；②在第一象限内， 随 的增大而减小.（答案不唯一）
(2)将 的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位（答案不唯一）
(3)见解析， 或
【分析】（1）①根据分母不为零可求；
②根据反比例函数图象的性质可得；
（2）按照函数平移规律即可求得；
（3）描点，连线画出该函数的图象，结合图象即可求得．
（1）
① ；
②在第一象限内， 随 的增大而减小.（答案不唯一，正确合理即可）；.
（2）
将 的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即可得到函数 的图象；
（答案不唯一，正确合理即可）；
（3）
在平面直角坐标系内画出 的图象：
∴不等式 的解集为： 或 ．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象及其性质，掌握描点法画函数图象的方法，数形结合是解
本题的关键．7．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数
性质的过程．结合已有经验，请画出函数 的图象，并探究该函数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ．
﹣
x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 3 4 5 ……
1
﹣
y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣2.5 ﹣3.8 ……
1
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
(2)探究函数性质，请写出函数y＝ -|x|的一条性质： ；
(3)运用函数图象及性质
①写出方程 -|x|＝5的解 ；
②写出不等式 -|x|≤1的解集 ．
【答案】(1)①1；②见解析，③见解析
(2) 的图象关于 轴对称轴（答案不唯一）
(3)① 或 ；② 或【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描点，连线即可；
（2）观察函数图象，可得函数性质；
（3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案．
（1）
①列表：当x=2时， ，
故答案为：1；
②描点，③连线如下：
（2）
观察函数图象可得： 的图象关于y轴对称，
故答案为： 的图象关于y轴对称；
（3）
①观察函数图象可得：当y=5时，x=1或x=-1，
的解是x=1或x=-1，
故答案为：x=1或x=-1，
②观察函数图象可得，当x≤-2或x≥2时，y≤1，
∴ 的解集是x≤-2或x≥2，
故答案为：x≤-2或x≥2．
【点睛】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象
获取信息是解题的关键．8．“卓越数学兴趣小组”准备对函数 图像和性质进行探究，他们制定了以下探究步
骤：
(1)该小组认为此函数与反比例函数有关，于是他们首先画出了反比例函数y＝ 的图像（如图
1），然后画出了 的图像，请在图1中画出此图像（草图）．
(2)他们发现函数 图像可以由y＝ 的图像平移得到，请写出平移过程．
(3)他们发现可以根据函数 图像画出函数 的图像，请在图2中画出此图像
（草图），并写出其中的两条函数性质．(4)他们研究后发现，方程 中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化，请结合
图像，就a的取值范围讨论方程解的情况．
【答案】(1)见解析
(2)向左平移1个单位，再向下平移3个单位
(3)见解析
(4)当a＜0时，方程无解；当a＞3或0＜a＜3时，方程有两个解；当a＝0或a＝3时，方程有一个
解
【分析】（1）画出函数 的图像即可；
（2）观察图像即可得到结论；
（3）作出函数值小于零的部分图像关于x轴的轴对称图形得到函数图像，然后根据图像写出两条
性质即可；
（4）分a＜0，a=0或a=3，0＜a＜3或a＞3三种情况，分别根据函数图像求解即可．
（1）
解：如图①所示即为所求．（2）
解：将y＝ 的图像向左平移1个单位，再向下平移3个单位可得y＝ －3的图像．
（3）
解：函数图像如图②，性质如下（不唯一）：
①函数有最小值，最小值为0，
②当x＞1时，y随着x的增大而增大，x＜－1时，y随着x的增大而增大．（4）
解：方程 中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化
当a＜0时，方程 无解；
当a＞3或0＜a＜3时，方程 有两个解；
当a＝0或a＝3时，方程 有一个解．
【点睛】本题主要考查了函数图像的平移、反比例函数图像和性质、函数与方程的关系等知识点，
正确画出函数图像是解答本题的关键．
9．我们研究反比例函数图像平移后的性质．初步探究
(1)将反比例函数 的图像向左平移一个单位，可以得到函数 的图像（如图① ），观
察图像，判断以下结论是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）：
①该函数图像与y轴的交点坐标是（0，4）；（ ）②该函数图像是中心对称图形，对称中心是（－1，0）；（ ）
③当x<0时，y随x的增大而减小．（ ）
(2)在图② 中画出函数 的图像，根据图像写出其两条不同类型的性质；
(3)问题解决：若函数 的图像可以由函数 的图像通过平移得到，求m的值；
(4)深入思考：当a>0时，对于任意正数k，方程 均无解，直接写出a，b，k满足的数
量关系．
【答案】(1)①对；②对；③错
(2)图见解析，性质见解析
(3)m＝6
(4)a－b＋k＝0
【分析】（1）通过观察图象，分析图象性质即可判断是否正确；
（2）利用5点作图法在坐标轴上描点即可作图；
（3）通过化简运算，结合题意，即可求m的值；
（3）由反比例函数无解时的性质，即可写出a，b，k满足的数量关系．
（1）
观察图可得，该函数图象与y轴的交点坐标是（0，4），故①√；
该函数是反比例函数，是中心对称图形，对称中心易知是（-1，0），故②√；
当-1＜x＜0时，y随x的增大而减小，当x＜-1，y随x的增大而减小，但并不连续区间，故不为单
调递减，③错误；故答案为：①√；②√；③×；
（2）
函数图像如图所示．
两条不同类型的性质是：
例如：
① 当x<－1时，y随x的四大而被小，当x>－1时，y随x的增大而减小；
② 无论x取何值，图数值不等于－1；
③ 该图数图像与y轴的交点坐标是（0，3）；
④该图数图像与x轴的交点坐标是（3，0）；
⑤该函数图像是中心对称图形，对称中心是（－1，－1）；
⑥ 该函数图像是轴对称图形，对称轴是直线y＝x和y＝－x－2．
（3）
；
根据题意，得m－2＝4，
解得m＝6．
（4）
，
，
，
∵对于任意k，方程均无解，当x=-1时分式无意义，∴a+k-b=0
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质；正确作图、理解题意、综合分析是本题解题的关
键．
10．商丘市睢县古称襄邑，西汉时期为全国织锦生产供应中心，朝廷专门在此设服官，负责文武
大臣官服供应．已知一块长方形织锦的两边长分别是2米与3米，现在要把这个长方形织锦按照如
图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原长方形织锦的一边加长a米，另一边加长b米，可得a
与b之间的函数关系式b＝ －2，某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的
函数y＝ －2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：
(1)类比反比例函数可知，函数y＝ －2的自变量x的取值范围是________，这个函数值y的取
值范围是________．
(2)“数学兴趣小组”进一步思考函数y＝| －2|的图象和性质，请根据函数y＝ －2的图象
（图2），画出函数y＝| －2|的图象；
(3)根据函数y＝| －2|的图象，写出两条函数的性质；
(4)根据函数y＝| －2|的图象解答下列问题：
①方程| －2|＝0有________个解，该方程的解是________；
②如果方程| －2|＝a有两个不相等解，则a的取值范围是________．【答案】(1) ；
(2)见解析
(3)①函数有最小值，最小值为0；②当 时， 随 的增大而增大
(4)①1， ；②a＞0且a≠2
【分析】（1）根据分式有意义的条件确定自变量x的取值范围，根据 ≠0，确定y的值即可；
（2）描点法作出函数图象；
（3）根据函数的图象，可得结论；
（4）①根据函数图象即可求解；②根据函数图象以及y的取值范围分析求解．
（1）
解:根据分式有意义的条件得， ，
所以x的取值范围为: ；因为 ,所以 ,
因此 的取值范围为: ,
故答案为: ； ．
（2）
由绝对值定义,将函数y＝ ﹣2的图像在 轴下方的部分，
沿 轴向上翻折即可得到y＝| ﹣2|的图象,如图，（3）
观察函数图象可知:①函数有最小值,最小值为0； ②当 时, 随 的增大而增大．
（4）
①根据函数图象可知，| －2|=0与 轴有1个交点，交点坐标为 ，
∴方程| －2|＝0有1个解，该方程的解是 ；
②故函数图象可得，如果方程| －2|＝a有两个不相等解，
由（1）可知 ，则 ，
则a的取值范围是a＞0且a≠2．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，函数图象等知识，解题的关键
是正确画出函数图象，学会利用图象法解决问题．
11．参照学习函数的过程与方法，探究函数y （x≠0）的图象与性质，因为y
，即y 1，所以我们对比函数y 来探究．
列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 …… 1 2 4 ﹣4 ﹣2 ﹣1 …
y
… 2 3 5 ﹣3 ﹣1 0 …
y
描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以y 相应的函数值为纵坐标，描出
相应的点如图所示；
(1)请把y轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；
(2)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 ；（“增大”或“减小”）
②y 的图象是由y 的图象向 平移 个单位而得到的：
③图象关于点 中心对称．（填点的坐标）
(3)函数y 与直线y＝﹣2x＋1交于点A，B，求△AOB的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①增大；②上，1；③（0，1）
(3)1
【分析】（1）用光滑曲线顺次连接即可；
（2）①②③利用图象法即可解决问题；
（3）联立方程求出点A、B的坐标，由此即可解决问题．
（1）解：函数图象如图所示：
（2）
①当x＜0时，y随x的增大而增大；
②y 的图象是由y 的图象向上平移1个单位而得到；
③图象关于点（0，1）中心对称．
故答案为：增大，上，1，（0，1）；
（3）
如图，记直线y＝﹣2x＋1与x轴的交点为Q，
根据题意得： 2x＋1，解得：x＝±1，经检验符合题意，
当x＝1时，y＝﹣2x＋1＝﹣1，
当x＝﹣1时，y＝﹣2x＋1＝3，
∴交点为A（1，﹣1），B（﹣1，3），当y＝0时，﹣2x＋1＝0，x ，
则
∴S AOB （3＋1） 1．
△
【点睛】本题考查的是画反比例函数的图象，反比例函数图象的平移，反比例函数的性质，坐标
与图形，一元二次方程的解法，熟练利用反比例函数的图象与性质解题是解本题的关键．
12．已知函数 ，它的图象犹如老师的打钩，因此人们称它为对钩函数（的一支）．
下表是y与x的几组对应值：
x … 1 2 3 4 …
y … m …
请你根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性
质进行探究．
(1)其中 __________．
(2)如图，在平面直角坐标系 中，已描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，
画出该函数的图象：
(3)根据画出的函数图像特征，仿照示例，完成下列表格中的函数变化规律：
序号 函数图像的特征 函数变化规律
在直线 右侧，函数图像
示例 当 时，y随x的
是呈上升状态1 增大而增大
示例
2 函数预想经过点 当 时，
①
函数图像的最低点是
在直线 左侧，函数图像
②
呈下降状态
【答案】(1)2
(2)作图见解析；
(3)①当x=1时，求得y有最小值2 ；②当0”，“=”或“<”）
2 1 2
(2)当函数值 y = 2 时，自变量 x 的值为 ；
(3)在直线 x=－1的右侧的函数图象上有两个不同的点 P（x，y），Q（x，y），且y = y ，则
3 3 4 4 3 4x＋x 的值为 ；
3 4
(4)若直线 y = a 与函数图象有三个不同的交点，则 a的取值范围为 ．
【答案】(1)
(2) 或
(3)2
(4)
【分析】（1）分别确定点A（－5，y），B（－ ，y）在函数 图象上，点C（ x，
1 2 1
），D（x，6）在函数 图象上，再根据函数的性质进行判断即可；
2
（2）当函数值 y = 2 时，分别带到分段函数中进行计算即可；
（3）由图可知，当 时，点关于直线x=1对称，即可进行求解；
（4）根据图象作答即可．
（1）
点A（－5，y），B（－ ，y）在函数 图象上，y随x的增大而增大
1 2
点C（ x， ），D（x，6）在函数 图象上，当 时，y随x的增大而增大
1 2
故答案为：
（2）
当函数值 y = 2 时， ，解得
当函数值 y = 2 时， ，解得 或
综上，自变量 x 的值为 或
故答案为： 或
（3）
在直线 x=－1的右侧的函数图象上有两个不同的点 P（x，y），Q（x，y）
3 3 4 4
当 时，点关于直线x=1对称
y = y
3 4
x ＋x=2
3 4故答案为：2
（4）
由图可知，当 时，直线y = a 与函数图象有三个不同的交点
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，能够运用数形结合的思想是解题的关
键．
17．请根据函数相关知识，对函数 的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
(1)请把表格补充完整，并在图中画出该函数图象．
x … …
y … …
(2)观察图象，写出该函数的一条性质；
(3)请结合（1）中函数图象，直接写出关于x的不等式 的解集．
【答案】(1)见解析
(2)当x<−1时，y随x的增大而减小
(3)−32
【分析】(1)根据分式的定义即可求出函数 的自变量x的取值范围是x≠−1，然后取适当的x的值代入解析式即可得对应的函数y的值，然后描点、连线，画出函数的图象；
(2)观察图象即可求得；
(3)根据图象求得即可．
（1）
解：补充完整下表为：
x … -5 -4 -3 0 1 2 3 …
y … -1 -2 7 4 3 …
画出函数的图象如图：
；
（2）
解：观察函数图象：当x<−1时，y随x的增大而减小，
故答案为：x<−1时，y随x的增大而减小．
（3）
解：在同一坐标系中画出 与 的图象，如下图：由图象可知：不等式 的解集为−32．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程，会用描
点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
18．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，则称这样的函数为分段函数．
下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数 的图象与性质．
列表：
… 0 1 2 3 …
… 1 2 1 0 1 2 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量 的取值为横坐标，以相应的函数值 为纵坐标，描出相应
的点，如图所示．
（1）观察平面直角坐标系中描出的这些点的分布，画出函数图象；（2）观察函数图象并结合表格，回答下列问题：
①若点 ， ， ， 在函数图象上，则 _____ ， ______ ；
（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值 时，求自变量 的值；
③在直线 的右侧的函数图象上有两个不同的点 ， ，且 ，直接写出
的值；
④若直线 与函数图象有三个不同的交点，根据图象直接写出 的取值范围．
【答案】（1）作图见解析；（2）①＜，＜；② 或 ；③2；④
【分析】（1）描点连线即可；
（2）①A与B在 上，y随x的增大而增大，即可得解；C与D在 上，观察图像即
可得解；②把 代入 中即可得解；③由图可知， 时，点关于 对称，即可
得到 时， 的值；④根据图像即可得解；
【详解】（1）如图所示．
（2）①∵点 ， ，
∴A与B在 上，y随x的增大而增大，
∴ ；
∵ ， ，∴C与D在 上，观察图像即可得 ；
故答案是＜，＜；
②当 时， ，
∴ （不符合题意）；
当 时， ，
∴ 或 ；
③∵点 ， 在直线 的右侧，
∴ 时，点关于 对称，
∵ ，
∴ ；
④由图像可得 ；
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像性质，一次函数的图像性质，准确作图判断是解题的
关键.
