广西示范性高中2024-2025学年高一下学期4月期中数学答案（PDF版）_2025年05月试卷_0530广西示范性高中2024-2025学年高一下学期4月期中考试

年广西示范性高中 月高一期中调研测试
2025 4
数学 参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8
B A C A A D B C
9 10 11 12 13 14
BC AD BC 2 9 1:2:4
4. 【答案】A
因为∠ACB45，∠CAB105，所以∠ABC 1804510530，在ABC中，由正弦定
AB AC AB 100
理得  ，即  ，解得AB100 2，所以A，B两点的距离为
sinACB sinABC sin45 sin30
100 2m.
5. 【答案】A
    1
AP  ADCD  AD AB,
4
    3
BP  BCCP  AD AB,
4
   2 3  2 1  3 1 
APBP AD  AB  ABAD 25  64 ABAD 4
16 2 16 2
 
ABAD18
6. 【答案】D
令g(x) x2 ax3a .因为 f(x)log (x2ax3a)，在[2,)上单调递减，所以g(x)在
0.4
a
[2,)上单调递增，且恒大于0，所以对称轴x  2且g(x)0，所以a4且4a 0，
2
解得4a4
.
7. 【答案】B
依题意圆锥的轴截面，截面过正方体的体对角线，轴截面如图所示：设正方体边长为a，则对角
2
线DE  2aDO a ，由ADOABO
2
DO AO 2a 2 a 2
得  ，即  a
BO AO 2 2 2
2
V a3 
正
4
8.【答案】C
   
G 为ABC的重心，故GAGBGC  0，
     
 7GAsin A3GBsinB3 7GCsinC GAGBGC
高一数学答案 第 1 页 共 7 页
{#{QQABYQCEgggIABAAABhCUwEyCgAQkBGCCYoOgFAcsAAAAANABCA=}#} 7sin A3sinB3 7sinC
 7a3b3 7c,a3c,b 7c
在ABC中由余弦定理得b2 a2 c2 2abcosB，
a2 c2 b2 9c2 c2 7c2 1 
cosB    0 B,B
2ac 6c2 2 3
9. 【答案】BC
(12i)2 34i
解：由zi(12i)2可得z  43i，故z的虚部为3，A错误；
i i
z在复平面内对应的点为4,3，位于第二象限，B正确；|z| (4)232 5，C正确；
z28z7724i3224i718，故D错误.
10.【答案】AD
A选项：如图连接AC，可得AC//MN//NP，从而得 AC//平面MNP，BC//平面MNP，于是有平面
ABC//平面MNP，所以，AB//平面MNP.
B选项：如图连接BC交MP于点O，连接ON，易知在底面正方形中O不是BC中点（为靠近C
的一个四等分点），而N是AC中点，所以，AB与ON不平行，在平面ABC内，AB与ON必相
交，交点也是直线AB与平面MNP的公共点，所以直线AB与平面MNP相交.
C选项：如图连接BN，正方体中有PN//BM，因此B在平面MNP内，直线AB与平面MNP相交.
D选项：如图连接CD，则AB//CD，CD//NP，即AB//NP，直线AB与平面MNP平行.
11.【答案】BC
由cos2 Bcos2Ccos2 A 1sinCsinB得1sin2 B1sin2C1sin2 A 1sinCsinB，
即sin2 Bsin2Csin2 AsinBsinC ，由正弦定理可得b2 c2 a2 bc，
b2 c2 a2 1 
∴cosA  ，∵A(0,)，∴A ，选项A不正确；
2bc 2 3
b c b c sinB sinC
若  ，结合  ，可得  ，即tanB  tanC，又∵B,C(0,)，
cosB cosC sinB sinC cosB cosC

∴B C  ，△ABC是等边三角形，选项B正确；
3
1 3 9 3
S  bcsinA  bc ，∴bc 9，
ABC
2 4 4
由a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 bc 2bcbcbc9，
a 2 3
∴a3，当且仅当b=c=3时等号成立，∴2R   a2 3 ，∴R 3，选项C正确；
sin A 3
高一数学答案 第 2 页 共 7 页
{#{QQABYQCEgggIABAAABhCUwEyCgAQkBGCCYoOgFAcsAAAAANABCA=}#} 
0C 

 2   3
∵△ABC是锐角三角形，∴ ，∴ C  ，∴tanC( ,)，
2  6 2 3

0 C
 3 2
2 3 1
sin( C) cosC sinC
b sinB 3 2 2 3 1 1 
∴        ,2 ，选项D不正确，故选
c sinC sinC sinC 2tanC 2 2 
择BC.
12.【参考答案】2
  
  ab b t
向量a在向量b方向上的投影向量为     (3,0)(t,0)，∴ t=2.
|b| |b| 3
13.【参考答案】9
如图，可将三棱锥还原成长、宽、高分别为2, 2, 3 的长方体，长方体的外接球即为三棱锥的外
3
接球，(2R)2 22( 2)2( 3)2 9,R ,S 4R2 9
球
2
14.【参考答案】1:2:4
1
hS 2
解析：∵ V A 1 ABC  3 ABC    AB    1 ，即V  1 V
V CABC 1 hS A 1 B 1  4 A 1 ABC 4 CA 1 B 1 C 1
1 1 1 3 A 1 B 1 C 1
1
h S
V BA 1 B 1 C  V A 1 B 1 BC  3 1 B 1 BC  BC  AB  1 ，即V  1 V
V V 1 BC AB 2 BA 1 B 1 C 2 CA 1 B 1 C 1
CABC ABCC h S 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 3 1 B 1 C 1 C
1 1
∴V :V :V  : :11:2:4
A 1 ABC BA 1 B 1 C CA 1 B 1 C 1 4 2
15.答案
（1）∵( +2b)⊥
∴( +2b) =0,

2=8, | |=2
∙ 
2
高一数学答案 第 3 页 共 7 页
{#{QQABYQCEgggIABAAABhCUwEyCgAQkBGCCYoOgFAcsAAAAANABCA=}#}设向量 与 的夹角为 ,则cos = = ,
∙  2
又∵   ∴ =θ ..........θ.....|.  .|.|.  ..|...−.....2...........................................................................6分
3 
θ ∈ [0,π] θ 4
（2）∵ , ,
∴
   =  −       =2  −3      =2   − 
  
AC      O = C     O − A       2 = m 3   1 − a 4   2b
又∵A,B,C三点共线
∴ //
∴ =λ ,∴ =λ
       
∴         (2  ,解 + 得 1)λ  =−,m2=  ....(..3..  ...−....4..  ...).........................................................................13分
1 1
（另2解  : +∵1 A, = B, 3 C λ三点共线 2, 4 ）
−2=−4λ
∴      = λ    +(1−λ)    
16.【参考答案】
（1）证明：由O是AB ,BA 的交点，
1 1
又因为ABB A 为正方形，则O为BA 的中点....................1分
1 1 1
因为D是AC 中点，
1 1
在BAC 中，OD//BC ........................................................2分
1 1 1
又因为OD面ABD,BC 面ABD...............................4分
1 1 1
故BC //平面ABD................................................................5分
1 1
（2）解：在直三棱柱ABCABC 中，AB  BC 1,ABC 90，且ABC ABC ，
1 1 1 1 1 1
易知ABC 是等腰直角三角形，点D是棱的 A C 中点，
1 1 1 1 1
1 2
所以AC  2AB  2,AD  AC  ................................7分
1 1 1 1 1 2 1 1 2
因为三棱柱ABCABC 为直三棱柱，
1 1 1
所以AA 1,AB  2
1 1
2
 2 6
所以AD  AA2AD2  12   ..............................8分
1 1   2   2
2
又因为BD  ,AB  2 .............................................................9分
1 2 1
AB2  AD2BD2
1 1
故DB  AD，................................................................................11分
1
1 3
所以S  BDAD  ，
ADB 1 2 1 4
1 1
由S  BDAD  ，
A 1 DB 1 2 1 1 4
高一数学答案 第 4 页 共 7 页
{#{QQABYQCEgggIABAAABhCUwEyCgAQkBGCCYoOgFAcsAAAAANABCA=}#}1 1
则V  AA S  ，
AA 1 DB 1 3 1 A 1 DB 1 12
又因为V V ..................................................................13分
AADB AADB
1 1 1 1
若A到平面ABD的距离为d
1 1
1 1 3
则 dS  ，可得d  ..................................................15分
3 ADB 1 12 3
17.【答案】
（1）在 中，由余弦定理得 ..............................................2分
所以 2 ....2.........2...................................................................4分
△     =  +  −2      
所以 2 2 ...................................................................................................5分
+  = 3   +20 ≥ 2  
当且  仅  当≤ 20(2+ 3) 时，等号成立...........................................................6分
所以 的

最
=
大

值
=
为
10(2+
3)....................................................................................7分
（2）△ 的面积 ∠ ...................................................................8分
20 2+ 3
1
所以 ∠
= 2   ×   ×      
1
所以2×∠4×2 5    ....  ...  ..  ....=....4......................................................................................9分
5
因为∠     是   锐=角5，所以 ∠ ∠ ................................10分
2 5
2
在△AC  D   中由余弦定理得   A  D2    A  C=2 C1D−2     2AC    C  D=co5s∠ACD
2 2
201622 54 4
5
所以 ......................................................................................................................11分
又
=2
所以 2 2..........2.........................................................................................................12分
+   =  
在 中， ，所以 ,........................................................................14分
⊥  
1 4
解得 所以 的值为8...............................................................................................15分
△        =   2= 
=8 
18.答案
AB 5
（1）由图所示， ,解得A2,B 3...............................................2分
AB1
T 7  
    ,T ......................................................................3分
2 12 12 2
2
w  2................................................................................................4分
T

 f(x)2sin(2x)3，又 f(x)过点( ,5)，
12
 
52sin(2 )3,即sin( )1...............................................5分
12 6
高一数学答案 第 5 页 共 7 页
{#{QQABYQCEgggIABAAABhCUwEyCgAQkBGCCYoOgFAcsAAAAANABCA=}#}  
  2k,kZ ，解得 2k,kZ ..............................6分
6 2 3
 
|| , ........................................................................................7分
2 3

 f(x)2sin(2x )3.............................................................................8分
3
 
（2）由（1）得 f(x)2sin(2x )3，将图像上所有的点向下平移3个单位，再向右平移 个单
3 24
1
位，再将所得图像上所有点的纵坐标变为原来的 ，横坐标不变，
4
1 
得到函数g(x) sin(2x ).................10分
2 4
  5 3   
令t 2x ，当x  , 时，t  , ......................................11分
   
4  24 8   6 
1   
作出函数h(x) |sint|，t  , 的图像，
 
2  6 
..................................................................13分
1 1
数形结合可得，当m0或 m 时，y h(x)与y m有两交点，
4 2
1
即 |sint|m0有两个解.................................................................................16分
2
 5 3
综上，当y |g(x)|m在区间  , 上恰有两个零点时，
 
 24 8 
1 1
m的取值范围为( , ) 0  .............................................................................17分
4 2
19.答案
    
（1）①V OAV OBV OCV OD  0......................................................2分
OBCD OACD OABD OABC
（若体积用其它字母表示，又未说明扣一分）
   
②已知O、A、B、C、D 是空间中不同的五个点，且OA xOB yOCzOD ，
则 A、B、C、D 四点共面的充要条件是 x yz1...................................................................4分
③当O是ABC的内心时，OAB,OBC,OAC边AB,BC,AC 上的高都相等，
   
故BCOA ACOB ABOC  0..............................................................................................5分
高一数学答案 第 6 页 共 7 页
{#{QQABYQCEgggIABAAABhCUwEyCgAQkBGCCYoOgFAcsAAAAANABCA=}#}   
（或写成aOAbOBcOC  0）
    BC CA AB
OAmOBnOC  0，  
1 m n
BC 2，m2n，CA2AB...............................................................................................7分
设CA2AB 2x
1 1
则S  ABACsinA x2xsinA x2 1cos2A ......................................................8分
ABC 2 2
x2 4x2 4 25x4 40x2 16
 x2 1( )2  x4  ......................................................................9分
2x2x 16
9 20 16 4
  (x2 )2  .............................................................................................................10分
16 9 9 3
4
S 的最大值为 .......................................................................................................................11分
ABC 3
.
OB
（2）tan A  3,A60
OA
设AOM ,BNO90，由正弦定理得
OM OA
在AOM 中由正弦定理得， 
sin60 sin(60)
2 3
OM  .....................................................................................................................12分
sin(60)
ON OB 2 3
在BON 中由正弦定理得，  ,ON  ........................................13分
sin30 sin(90) cos
3
S  .........................................................................................................14分
OMN sin(60)cos
3 3
  12(2 3)..........................................................................16分
1 3 1 3
sin(260) 
2 4 2 4
当15时，S 最小，最小值为12(2 3) ........................................................................17分
OMN .
高一数学答案 第 7 页 共 7 页
{#{QQABYQCEgggIABAAABhCUwEyCgAQkBGCCYoOgFAcsAAAAANABCA=}#}