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第二十四章 圆(学霸加练卷)
(时间：60分钟，满分：100分)
一．选择题(本题共14小题，每小题3分，共42分。)
1．(2022•北碚区自主招生)如图， 是 的切线， 为切点， 交 于点 ，若 的半径长为
1， ，则线段 的长是
A．1 B． C．2 D．
【分析】连接 ，如图，先根据切线的性质得到 ，则利用勾股定理可计算出 ，然后计
算 即可．
【解答】解：连接 ，如图，
是 的切线， 为切点，
，
，
在 中， ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．2．(2022•渝北区自主招生)如图，矩形 中， ， ，以 为直径的半圆 与 相切于
点 ，连接 ，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【分析】连接 交 于 点，如图，根据切线的性质得到 ，再证明四边形 和四边形
为矩形，则 ， ，接着证明 得到 ，所以阴
影部分的面积 ，从而根据扇形的公式计算即可．
【解答】解：连接 交 于 点，如图，
以 为直径的半圆 与 相切于点 ，
，
，
四边形 为矩形，
，
四边形 和四边形 为矩形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
阴影部分的面积 ．
故选： ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了矩形的性质和扇形面积的计
算．
3．(2022•南陵县自主招生)如图， 和 是 的两条弦(即 是圆的一条折弦)， ， 是
的中点，则从 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，若 ， ，则 的长
为
A． B． C． D．
【分析】在 上截取 ，连接 ， ， ， ，证明 ，得出 ，
进而得出 即可解答．
【解答】解：如图，在 上截取 ，连接 ， ， ， ，
是 的中点，
，
又 ，
在 和 中，
，
，
，，
，
， ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了圆周角定理以及圆心角，弦，弧之间的关系定理，熟记定理并灵活运用是解题的关键，
在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其
余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性．
4．(2022•南岸区自主招生)如图，在 中， ，则 等于
A． B． C． D．
【分析】根据圆周角定理即可解决问题；
【解答】解： ，
．
故选： ．
【点评】此题目考查了圆周角定理，属于中考基础题．
5．(2021•武昌区校级自主招生)如图，在 中， ， ， ， 是边 上一
点，且 ，点 在 上， 与 、 相切于 、 ，则 的面积为 ．A． B． C． D．
【分析】连接 ， ， ，根据切线的性质可得 ，在 中，利用勾股定理
求出 的长，再根据已知可得求出 ，然后根据 的面积 的面积 的面积，
可求出 ，再利用圆的面积公式，进行计算即可解答．
【解答】解：连接 ， ， ，
与 、 相切于 、 ，
，
， ， ，
，
，
，
的面积 的面积 的面积
，
，
，
，的面积
，
故选： ．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的
关键．
6．(2021•巴南区自主招生)如图， 与 相切于点 ， 交 于点 ，点 在 上，连接 ，
．若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】连接 ，根据切线的性质得 ，则 ，然后根据圆周角定理得到 的
度数．
【解答】解：如图，连接 ，
直线 与 相切于点 ，
，
，
，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．解决本题的关键是掌握圆周角定理．
7．(2021•西湖区校级自主招生)如图， 、 是 的两条相交弦， ， ，
则 的直径是
A．2 B．4 C． D．
【分析】连接 ，作 于 ，由圆周角定理和已知得出 ，证出 为等边三
角形，得 ， ，由垂径定理得 ，由直角三角形的性质得 ，
，即可得出结论．
【解答】解：连接 ，作 于 ，如图所示：
， ，
，
为等边三角形，
， ，
，
，
， ，
的直径 ；
故选： ．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识；熟
练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
8．(2021•郎溪县校级自主招生)如图 为圆 的内接三角形， 为 中点， 为 中点，
， ，则 的大小为
A． B． C． D．
【分析】如图，连接 ，取 中点 ，连接 、 ，根据圆周角定理得到 ，
，求得 ，连接 ，推出 为等边三角形，得到
，于是得到结论．
【解答】解：如图，连接 ，取 中点 ，连接 、 ，
， ，
，
连接 ，
为 中点，
， ，
，
，，
，
为 中点，
，
为等边三角形，
，
点 是 外接圆的圆心，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构
造等腰直角三角形是解题的关键．
9．(2021•武进区校级自主招生)如图，正方形 的边 ， 和 都是以1为半径的圆弧，则无
阴影两部分的面积之差是
A． B． C． D．
【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因
此两个扇形的面积的和 正方形的面积 无阴影两部分的面积之差，即 ．【解答】解：如图：
正方形的面积 ；①
两个扇形的面积 ；②
② ①，得： ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积
之间的联系是解题的关键．
10．(2021•武进区校级自主招生)若一直角三角形的斜边长为 ，内切圆半径是 ，则内切圆的面积与三角
形面积之比是
A． B． C． D．
【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是 ， ．则直角三角形的面积
是 ；又直角三角形内切圆的半径 ，则 ，所以直角三角形的面积是
；因为内切圆的面积是 ，则它们的比是 ．
【解答】解：设直角三角形的两条直角边是 ， ，则有：
，
又 ，
，
将 代入 得： ．又 内切圆的面积是 ，
它们的比是 ．
故选： ．
【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形
的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．
11．(2020•连城县校级自主招生)如图， 中， 是 的直径， 交 于点 ， 交 于点
，点 是 中点， 的切线 交 于点 ，则下列结论中① ；② ；③
；④ 是 中点，正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】连接 、 ，首先由 是 的直径，得出 ，推出 ，由等腰三角形的性
质及等角对等弧可得 ，从而可得 ，根据三角形中位线的性质可得 ，从而得
，得 ，根据 是 的中点，得出 是 的中位线，得到点 是 的中点，
最后由假设推出①不正确．
【解答】解：连接 ， 、 ．
是 的直径，
(直径所对的圆周角是直角)，
，
点 是 中点，
， ，故③正确；
，
，故②正确；是 的切线，
，
， ，
，
，
，
点 是 的中点，故④正确；
只有当 是等腰直角三角形时， ，
故①错误，
正确的有②③④共3个，
故选： ．
【点评】此题考查的知识点是切线的性质、等腰三角形的判定与性质及圆周角定理，解答此题的关键是运
用等腰三角形性质及圆周角定理及切线性质作答．
12．(2020•青田县校级自主招生)如图，正方形 的边长为2，点 在 上，以 为圆心的扇形与边
相切于点 ，与两边交于点 ， ，则弧 长度的最小值是
A． B． C． D．
【分析】利用正方形的性质可得弧 长度最小时的状态．
【解答】解：当点 与 或 点重合时，圆心角为 ，可知此时弧 最长，
根据正方形和扇形的对称性可得，当点 在 中点时，此时弧 的长度最短，，
，
，
弧 的长度为 ，
故选： ．
【点评】此题考查的是切线的性质、正方形的性质及弧长的计算，确定点 为 中点时，弧 的长度
最短是解决此题的关键．
13．(2020•金东区校级自主招生)如图， 是直径，点 ， 在半圆 上，若 ，则
A． B． C． D．
【分析】连接 ，根据圆周角定理得出 ，求出 ，根据圆内接四边形的
性质得出 ，再求出答案即可．
【解答】解：连接 ，
是直径，
，
，，
四边形 是圆的内接四边形，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此
题的关键．
14．(2020•和平区校级自主招生)如图， 为 的直径， 为 的中点， 为劣弧 上一个动点(点
不与 ， 重合)，过 作 的切线交 延长线于点 ，连接 并延长交 延长线于点 ，给出
下列结论：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③ 可能成为 的平分线；
④若 的半径为1，则 ；
⑤ ．
其中正确结论的个数为
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】 为 的中点，可得 ，由 为 的直径，可得 是等腰直角三角形，所以
，①若 ，得 ，再结合切线性质，得 是等腰直角三角形，
所以 ，即可求出圆周角度数；②若 ，可证 是等边三角形，即可求出； ③ 由 ① 即 可 得 可 能 成 为 的 平 分 线 ； ④ 证 明 ， 得
；⑤ 不可能等于 ，而 ，所以⑤错误．
【解答】解： 为 的中点，
，
为 的直径，
是等腰直角三角形，
，
① ，
，
是 切线，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故①正确；
②若 ，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故②正确；
③由①即可得 可能成为 的平分线，故③正确；
④ 为 的中点，，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
⑤ ，
，
所以⑤错误．
故选： ．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理及推论，三角形相似的性质及判定，等边三角形的性质及判
定，解题关键是抓住几个等腰直角三角形．
二．填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)
15．(2022•徐汇区校级自主招生)如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图
中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为 ．【分析】如图， 为 边的高，利用两圆相切的性质得到 ，则可判断 为等边
三角形，则 ，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到 ，再利用圆与圆相切的性质得
到 的半径 ，然后用大圆的面积减去15个小圆的面积得到阴影部分的面积．
【解答】解：如图， 为 边的高，
所有小圆相切，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
与 相切，
的半径 ，
阴影部分的面积 ．
故答案为： ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等边三角形的判定与性质．
16．(2022•宁波自主招生)如图，在 中、三条劣弧 、 、 的长都相等，弦 与 相交于点
，弦 与 的延长线相交于点 ，且 ，则 的度数为 ．
【分析】连接 ，根据弧相等，得到 ，设出 ，根据外
角的性质得出 ，进而利用三角形的内角和求出 即可解答．
【解答】解：连接 ，
弧 、 、 的长相等，
，
设 ，
，
，
，
在 中， ，
解得 ，
，．
故答案为： ．
【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记定理并灵活运用，圆周角定理：在同圆或等圆中，同
弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
17．(2022•南陵县自主招生)如图， 是半圆 的直径，四边形 和 都是正方形，其中 ， ，
在 上， 、 在半圆上．若则正方形 的面积与正方形 的面积之和是16，则 的长为
8 ．
【分析】连接 ， ，设正方形 的边长为 ，正方形 边长为 ， ，根据正方形的
性质 ， ，设 ，根据勾股定理得出 ①，
② ， ① ② 得 出 ， 把 等 式 的 左 边 分 解 因 式 后 得 出
，求出 ，再代入①，即可求出答案．
【解答】解：连接 ， ，设正方形 的边长为 ，正方形 边长为 ， ，则
， ，
四边形 和 都是正方形，
， ，
设 ，
由勾股定理得： ， ，①， ②，
① ②，得 ，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
把 代入①，得 ，
正方形 的面积与正方形 的面积之和是16，
，
，
解得 (负值舍去)，
．
故答案为：8．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识点，能求出 是解此题的关键．
18．(2022•海曙区自主招生)如图，点 、 、 均在坐标轴上， ，过 、 、 作 ，
是 上任意一点，连结 ， ，则 的最大值是 6 ．【分析】连接 ， ， ，设 ，利用 的圆周角所对的弦是直径可得， 是 的直径，
再利用平面直角坐标系中的两点间距离公式求出 ， ，可得当 为
的直径时， 最大， 的值最大，然后进行计算即可解答．
【解答】解：连接 ， ， ，
设 ，
，
是 的直径，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
当 为 的直径时， 最大， 的值最大，，
的最大值 ，
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，坐标与图形的性质，点与圆的位置
关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．(2022•九龙坡区自主招生)如图，正方形 的边长为4， 为对角线的交点，点 ， 分别为 ，
的中点，以 为圆心，4为半径作圆弧 ，再分别以 ， 为圆心，2为半径作圆弧 ， ，则
图中阴影部分的面积为 ．(结果保留
【分析】连接 ，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法
可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形 减去直角三角形 的面积之差．
【解答】解：连接 ， ，如图，
正方形 的边长为4， 为对角线的交点，
由题意可得： ， 经过点 ，且 ， ．
点 ， 分别为 ， 的中点，
，
， ．
弓形 弓形 ．阴影部分的面积等于弓形 的面积．
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．通过添加适当的辅助线将不规则的阴影部分的
面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键．
20．(2021•太仓市自主招生)如图，有一块矩形木板 ， ， ，工人师傅在该木板上
锯下一块宽为 的矩形木板 ，并将其拼接在剩下的矩形木板 的正下方，其中 、 、
、 分别与 、 、 、 对应．现在这个新的组合木板上画圆，要使这个圆最大，则 的取值范围
是 ，且最大圆的面积是 ．
【分析】如图，设 与 相切于点 ，交 与 ，连接 ，延长 交 于 ，设 的半径为
．在 中，当点 与 重合时， 的面积最大，此时 ，利用勾股定理求出半径，再构建
不等式求出 的取值范围即可；
【解答】解：如图，设 与 相切于点 ，交 与 ，连接 ，延长 交 于 ，设 的半
径为 ．
在 中，当点 与 重合时， 的面积最大，此时 ，
，则有： ，
．
的最大面积为 ，由题意： ，
，
故答案为 ， ．
【点评】本题考查垂径定理、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识
解决问题．
三．解答题(共4小题，满分40分，每小题10分)
21．(2021•太仓市自主招生)如图， 为 直径，点 为 下方 上一点，点 为弧 中点，连
接 ， ．
(1)若 ，求 (用 表示)；
(2)过点 作 于 ，交 于 ， ，求 (用 表示)；
(3)在(2)的条件下，若 ， ，求线段 的长．
【分析】 (1)连接 ，设 ， ，则 ，证明 ，
， ，得出 ，即可得出结果；
(2) 连 接 ， 由 直 角 三 角 形 内 角 和 证 明 ， 由 点 为 弧 中 点 ， 得 出
，即可得出结果；
(3)连接 ，证明 ，得出 ，则 ，求出 ，由勾
股定理得出 ，则 ， ，证明 ，得出
，求出 ，即可得出结果．【解答】解：(1)连接 ，如图1所示：
设 ， ，
则 ，
点 为弧 中点，
，
，
，
为 直径，
，
，
，
，
，
；
(2)连接 ，如图2所示：
为 直径，
，即 ，
，
，
，
点 为弧 中点，
，
，；
(3)连接 ，如图3所示：
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，即 ，
，
．【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；正确
作出辅助线是解题的关键．
22．(2021•成都自主招生)如图， 是 的外接圆， 为直径， ， 于 ，
于 ，
(1)判断 的形状；
(2)设 的半径为1，且 ，求证： ．
【分析】(1) 为等腰三角形，理由为：根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的 2倍，由圆周角
的度数，求出圆心角 的度数为 ，再由 ，得到三角形 为等边三角形，可
得出三内角为 ，再由 与 垂直，根据垂直的定义得到 为直角，利用平角的定义求出
为 ，又 垂直于 ，得到 为直角，由 为 ，得出 为 ，可得出
，根据等角对等边可得出 ，即三角形 为等腰三角形；
(2)由半径为1及 的长，根据 求出 的长，在直角三角形 中，根据 角所对的直角边
等于斜边的一半，由 的长得出 的长，再由 求出 的长，在直角三角形 中，由
为直径， 为 ，根据锐角三角函数定义求出 的长，发现 ，再由三角形 与三
角形 都为底角为 的等腰三角形，得到两对底角相等，利用 可得出两三角形全等．
【解答】解：(1) 为等腰三角形，理由为：
，圆周角 与圆心角 都对 ，
，
又 ，为等边三角形，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
则 为等腰三角形；
(2) ， ，
， ，
在 中， ，
，
，
又 为圆 的直径，
，
在 中， ，
，即 ，
，
在 和 中，
，．
【点评】此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，含
直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，利用了转化
及数形结合的思想，是一道综合性较强的题．
23．(2021•武进区校级自主招生)如图， 的内接四边形 中， ， 是它的对角线， 的中点
是 的内心．求证：
(1) 是 的外接圆的切线；
(2) ．
【分析】(1)根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质，以及等角对等边即可证得 是 的外心，
然后证得 ，即可证得 是 的外接圆的切线；
(2)根据(1)可以得到 ， ，即可证得．
【解答】解：(1) ，
，
．
同理， ．
故点 是 的外心．
连接 ， ，
是 的中点，且 ，
，即 ．
是 外接圆的切线．
(2)由(1)可得：
的中点 是 的内心，
，又 ，
，
，
同理可得：
．
【点评】本题考查了圆的切线的证明，以及三角形的内心的计算，证得 是 的外心是关键．
24．(2017•镇海区校级自主招生)如图，已知 是某圆的内接四边形， ， 于 ，求
证： ．
【分析】首先在 上截取 ，连接 ，由 ，根据垂直平分线的性质，即可得到
， 得 到 ； 再 由 ， 得 到 ， 而 ， 则
，根据圆内接四边形的性质得 ，易得 ，从而可证出
，得到 ，即有 ．
【解答】证明：在 上截取 ，连接 ，
，
，，
，
，
，
而 ，
，
又 ， ，
，
，
，
，
．
【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线
的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握圆的内接四边形对角互
补与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．
