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考向 31 直线和圆
1 （2022·北京卷T3）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】由题可知圆心为 ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即 ，解得
．
2.（2022·全国甲（文）T14） 设点M在直线 上，点 和 均在 上，则 的
方程为______________．
【答案】
【解析】∵点M在直线 上，
∴设点M为 ，又因为点 和 均在 上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴ ，
，解得 ，
∴ ， ，
的方程为 .3.（2022·全国乙理T14（文）T15） 过四点 中的三点的一个圆的方程为
___________．
【 答 案 】 或 或 或
；
【解析】依题意设圆的方程为 ，
若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
4.（2022·新高考Ⅰ卷T14） 写出与圆 和 都相切的一条直线的方程
________________．
【答案】 或 或
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心 为 ，半径
为 ，
两圆圆心距为 ，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为 ，所以 ，设方程为
O到l的距离 ，解得 ，所以l的方程为 ，
当切线为m时，设直线方程为 ，其中 ， ，
由题意 ，解得 ，
当切线为n时，易知切线方程为 ，5.（2022·新高考Ⅱ卷T15） 已知点 ，若直线 关于 的对称直线与圆
存在公共点，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，
所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；
圆 ，圆心 ，半径 ，
依题意圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 ；
1．直线与圆的位置关系及常用的两种判断方法
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)两种判断方法：
①――――――――――――――――→②――――――――――――→
2．圆与圆的位置关系
设圆O：(x－a)2＋(y－b)2＝r(r>0)，圆O：(x－a)2＋(y－b)2＝r(r>0)．
1 1 1 1 2 2 2 2
位置 代数法：两圆方程联立组成方程
几何法：圆心距d与r，r 的关系
1 2
关系 组的解的情况
外离 d > r ＋ r 无解
1 2
外切 d ＝ r ＋ r 一组实数解
1 2
相交 | r － r |< d < r ＋ r 两组不同的实数解
1 2 1 2
内切 d ＝ | r － r |( r ≠ r ) 一组实数解
1 2 1 2
内含 0≤ d < | r － r |( r ≠ r ) 无解
1 2 1 2
几何法解决直线与圆的综合问题
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
1．线段的中点坐标公式
若点P，P 的坐标分别为(x，y)，(x，y)，线段PP 的中点M的坐标为(x，y)，则
1 2 1 1 2 2 1 2
2．两直线相交
直线l：Ax＋By＋C ＝0和l：Ax＋By＋C ＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
1 1 1 1 2 2 2 2
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解．
3．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半l满足关系式
4．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为x x ＋ y y ＝ r 2 .
0 0 0 0
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为 ( x － a ) ( x － a ) ＋ ( y － b ) ( y － b ) ＝ r 2.
0 0 0 0
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x，y)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x x ＋ y y ＝ r 2 .
0 0 0 0
5．两圆相交时公共弦的方程
设圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①
1 1 1 1
圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，②
2 2 2 2若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D －D)x＋(E －E)y＋(F －F)
1 2 1 2 1 2
＝0.
1．直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系
θ 0° 0°＜θ＜90° 90° 90°＜θ＜180°
k 0 k＞0 不存在 k＜0
2.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，不能忽略直线斜率不存在的情况．
3．在运用两平行直线间的距离公式d＝时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形式．
4．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．
5．关注一个直角三角形
当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形．
一、单选题
1．圆 与圆 的位置关系为（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
【答案】A
【解析】由 与圆 ，
可得圆心 ，半径 ，
则 ，且 ，
所以 ，所以两圆相交.
故选：A.2．设甲：实数 ；乙：方程 是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若方程 表示圆，则 ，解得： ；
∵ ， ，， 甲是乙的必要不充分条件.
3．当圆 截直线 所得的弦最长时，则m的值为（ ）
A． B．-1 C．1 D．
【答案】C
【解析】要使直线与圆所得弦最长，则直线必过圆心 ，所以 ，可得 .
4．已知直线 与圆 交于A、B两点，若 则a=（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知 是等腰直角三角形，由 及勾股定理得点O到直线的距离是 ，故
，解得 ．
5．过直线 上的点作圆 的切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为圆心 到直线 的距离 ，所以切线长最小值为 .
6．直线 被圆 所截得的弦长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】由题意圆心 ，圆C的半径为3，故C到 的距离为 ，
故所求弦长为 .
7．已知P是半圆C： 上的点，Q是直线 上的一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，如图所示，
显然当P运动到坐标原点时， 有最小值，最小值为原点到直线 的距离，
即 ，
8．在圆 中，过点 的最长弦和最短弦分别为 和 ，则四边形 的面
积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆 ，即 ，圆心为 ，半径 ，
又 ，所以过点 的最长弦 ，最短弦 ，
且最短弦与最长弦互相垂直，所以 ；
二、多选题
9．已知圆 与直线 ，则（ ）
A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交所截的最短弦长为 D．直线与圆可以相切
【答案】AC
【解析】由题意，圆 的圆心 ，半径 ，
直线 变形得 ，得直线过定点 ，
∵ ，
∴直线与圆必相交，故A对，B、D错；
由平面几何知识可知，当直线与过定点 和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，
此时弦长为 ，故C对；
10．已知M为圆C： 上的动点，P为直线l： 上的动点，则下列结论正确的是
（ ）
A．直线l与圆C相切 B．直线l与圆C相离
C．|PM|的最大值为 D．|PM|的最小值为
【答案】BD
【解析】圆C： 得圆心 ,半径∵圆心 到直线l： 得距离
∴直线l与圆C相离，A不正确，B正确；
，C不正确，D正确；
11．已知圆 上有且仅有三个点到直线 的距离为1，则直线 的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】因为圆 的半径为 ，圆心为 ，圆 上有且仅有三个点到直线 的距离为
1，
所以圆心到直线 的距离为1.
A：圆心 到直线 的距离为 ，不符合题意；
B：圆心 到直线 的距离为 ，符合题意；
C：圆心 到直线 的距离为 ，符合题意；
D：圆心 到直线 的距离为 ，符合题意，
12．已知直线 与圆 ，则（ ）
A．直线 与圆C相离
B．直线 与圆C相交
C．圆C上到直线 的距离为1的点共有2个
D．圆C上到直线 的距离为1的点共有3个
【答案】BD【解析】由圆 ，可知其圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离 ，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误.
三、填空题
13．已知两圆 与 交于 两点，则直线 的方程为___________.
【答案】
【解析】 ， ，
两式作差得 ，化简得 ，
14．已知圆 ，若直线 被圆 截得的弦长为1，则 _______.
【答案】
【解析】将 化为标准式得 ，故半径为1；
圆心 到直线 的距离为 ，由弦长为1可得 ，解得 .
15．已知a，b为正实数，直线 将圆 平分，则 的最小值是_________.
【答案】8
【解析】因为直线 过圆心 ，所以 ，
因为a、b为正实数，
所以 ，当且仅当 时取等号，即 时
取等号，
16．已知直线 ： 与圆 ： 相交于 两点，若 ，则 的值为
________．【答案】
【解析】由题意 ， ，利用等腰直角三角形的性质，知 ，又因为 ，
根据垂径定理， 到直线 的距离 ，解得 .
一、单选题
1．（2021·江西赣州·二模（文））已知C的方程为 ，过点 作直线l与圆C交于A，
B两点，弦长 的最大值和最小值分别是等差数列 的首项和公差，则 （ ）
A．4044 B．8082 C．4042 D．8084
【答案】A
【解析】圆 的方程化为标准方程为 ，其圆心坐标为 ，
又可知 在圆 内，过此点最长的弦长为圆 的直径，即 ，
最短的弦长为过此点且与直径垂直的弦，由勾股定理及垂径定理可知 ，
所以 .
2．（2021·北京·人大附中模拟预测）已知圆 经过点 和 ，且与直线 只有一个公共点，
则圆心 的坐标为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】B
【解析】由圆 经过点 和 ，则圆心一定在 轴上，设圆心为由圆与直线 只有一个公共点，即圆与直线 相切.
由圆的半径为 .
所以圆心到直线的距离 ，解得
3．（2021·辽宁实验中学二模）在直角坐标系 中，已知直线 ，当 变化时，动直
线始终没有经过点 ．定点 的坐标 ，则 的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为原点到直线 的距离为 ，
所以动直线 所围成的图形为单位圆，
又动直线始终没有经过点 ，所以点 在该单位圆内，
， ，
即 的取值范围为 .
4．（2022·河北衡水中学模拟预测）古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（ ，公元
3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三
条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.今有平面内三条给定的直线 ， ， ，且 ， 均
与 垂直.若动点M到 的距离的乘积与到 的距离的平方相等，则动点M在直线 之间的轨迹是
（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】A
【解析】因为在平面内三条给定的直线 ， ， ，且 ， 均与 垂直，所以 ， 平行，又因为动点M到 的距离的乘积与到 的距离的平方相等，记 为 ，直线 为 ， 为 ，
设 ，且动点M在直线 之间，所以M到 的距离为 ，M到 的距离为 ，M到 的距离为
， 所以 ，
若 ，则 ；若 ，则 ，
所以 ，即 ，故动点M的轨迹为圆.
5．（2021·全国·模拟预测）点已知动直线 恒过定点 ， 为圆 上
一点，若 （ 为坐标原点），则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将直线 的方程变形得 ，所以直线 过定点 ，易知点 在圆 上．
连接 ，因为 ， ， ，则 ，
所以， ，即 为 的角平分线，所以， ，
又 ，所以 ，则直线 的方程为 ，即 ，所以圆心 到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离 ．
又 ，所以 ，
6．（2022·湖南·雅礼中学模拟预测）已知两条直线 ， ，有一动圆（圆心
和半径都在变动）与 都相交，并且 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心
的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设动圆圆心 ，半径为 ，则 到 的距离 ， 到 的距离 ，
因为 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，
，化简后得 ，相减得 ，将
， 代入后化简可得 .
7．（2022·全国·模拟预测）已知点 为圆 上一点，点 ，
， ，若对任意的点 ，总存在点 ， ，使得 ，则 的取值范围为
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可得点 ， 在直线 上，
圆 的方程为 ，则圆心 到直线 的距离 ，
所以圆 上的点到直线 的距离的范围为 .
因为对任意的点 ，总存在点 ， ，使得 ，
所以以 为直径的圆包含圆 ，故 ，
所以 ，得 ，
8．（2022·上海·模拟预测）设集合 ①存在直线l，使得集合 中
不存在点在l上，而存在点在l两侧；②存在直线l，使得集合 中存在无数点在l上：（ ）
A．①成立②成立 B．①成立②不成立
C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立
【答案】B
【解析】若①成立，则相邻两圆外离，
不妨设相邻两圆方程为 ，圆心为 ，半径 ，
，圆心为 ，半径 ，
则
当 时 ，
即 成立，所以结论①成立；
对于②，设直线 的方程为 ，则圆心 到直线 的距离 ，当 时 ，
所以直线 只能与有限个圆相交，所以结论②不成立；
二、多选题
9．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知圆 ，则下列曲线一定与圆 有公共点的是（ ）
A．过原点的任意直线
B．
C．
D．以 为圆心且半径超过3的圆
【答案】AC
【解析】 选项：原点在圆 内部，所以过原点的任意直线与圆 相交，所以 正确；
选项：圆心 到直线 距离 ，相离，所以B错误；
C选项：圆心距 ，所以两圆相交，所以C正确；
选项： 时，圆心距 ，两圆为内含关系，无公共点，所以 错误；
10．（2022·全国·模拟预测）已知圆 ，直线l过点 ，且交圆O于P，Q两点，点M为线
段PQ的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．点M的轨迹是圆 B． 的最小值为6
C．使 为整数的直线l共有9条 D．使 为整数的直线l共有16条
【答案】ABD
【解析】因为直线l恒过点 ，且点M为弦PQ的中点，所以 ，则易得点M的轨迹是圆，
故A对；圆心O到直线l的距离为 ，故当 时有最大值，即
，故 的最小值为 ，故B对；
由过定点最短弦与最长弦有唯一性，以及长度在最短弦与最长弦之间的弦有对称性可知，使 为整数的
直线l有 （条），故C错，D对.
11．（2022·山东青岛·二模）已知 ，则下述正确的是（ ）
A．圆C的半径 B．点 在圆C的内部
C．直线 与圆C相切 D．圆 与圆C相交
【答案】ACD
【解析】由 ，得 ，则圆心 ，半径 ，
所以A正确，
对于B，因为点 到圆心的距离为 ，所以点 在圆C的外部，所
以B错误，
对于C，因为圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 与圆C相切，所以C正确，
对于D，圆 的圆心为 ，半径 ，
因为 ， ，
所以圆 与圆C相交，所以D正确，
12．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知点 是坐标平面 内一点，若在圆 上存在 ，
两点，使得 （其中 为常数，且 ），则称点 为圆 的“ 倍分点”.则（ ）A．点 不是圆 的“3倍分点”
B．在直线 上，圆 的“ 倍分点”的轨迹长度为
C．在圆 上，恰有1个点是圆 的“2倍分点”
D．若 ：点 是圆 的“1倍分点”， ：点 是圆 的“2倍分点”，则 是 的充分不必要条件
【答案】BCD
【解析】若满足 ，设 ， ，则有 ， ， ， .如下图：
在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ， ，
解得 ， 点 是圆 的“3倍分点”，故A错误；
过 作弦 的垂线垂足为 ，当 在直线 上时，如下图：
若 是圆 的“ 倍分点”即 ，设 ， ，则有 ， .在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ，
，解得 .又 ， ，
即 ，解得 ，
又 与坐标轴得交点为 与 ，
则在直线 上，圆 的“ 倍分点”的轨迹长度为 ，故B正确；
在圆 上取一点 ，若点 是圆 的“2倍分点”，
则有 ，设 ， ， ， ，则有 ， ，
如下图：
在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ，
，
解得 ，即 ，综上， ，所以在圆 上，恰有1个点是圆 的“2倍分点”，故C正确；
设 ， ， .如下图：
若点 是圆 的“1倍分点”则有 ， ，
在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ， ，解得
， ，
由上面的结论可知，若点 是圆 的“2倍分点”， 解得 ， ，
若 ：点 是圆 的“1倍分点”， ：点 是圆 的“2倍分点”，
则 是 的充分不必要条件，故D正确.
三、填空题
13．（2022·天津市武清区杨村第一中学模拟预测）由直线 上的点 向圆
引切线 （ 为切点），则线段 的最小长度为________．
【答案】
【解析】圆 的圆心 ，半径 ，点 到直线 的距离，
于是得 ，当且仅当 垂直于直线 时取“=“，
所以线段 的最小长度为 .
14．（2022·上海市光明中学模拟预测）设有直线 的倾斜角为 ．若在直线 上存在点
满足 ，且 ，则 的取值范围是____________．
【答案】
【解析】设 ，因为 ，所以 ，
因为在直线 上存在点 满足 ，所以圆心到直线的距离不大于半径，
即 ，解得 或 ，
又因为 ，所以 的取值范围是 .
15．（2023·全国·模拟预测）写出与圆 和圆 都相切的一条切线方程
___________.
【答案】 或 或
【解析】圆 的圆心为 ，半径为1；圆 的圆心为 ，半径为4，
圆心距为 ，所以两圆外切，如图，有三条切线 ，易得切线 的方程为 ，
因为 ，且 ，所以 ，设 ，即 ，
则 到 的距离 ，解得 （舍去）或 ，所以 ，可知 和 关于 对称，联立 ，解得 在 上，
在 上任取一点 ，设其关于 的对称点为 ，
则 ，解得 ，
则 ，所以直线 ，即 ，
综上，切线方程为 或 或 .
16．（2022·全国·模拟预测）已知线段 是圆 的一条动弦，且 ，若点P为直
线 上的任意一点，则 的最小值为________________．
【答案】
【解析】圆 的圆心 ，半径 ，
令动弦 中点为Q，则 ， ，即动弦 中点Q的轨迹是以点C为圆
心， 为半径的圆，点 到直线 的距离 ，即直线 与点Q的轨迹相离，
，而 ，所以 的最小值为 .
1．（2020全国Ⅲ文6）在平面内， 是两个定点， 是动点．若 ，则点 的轨迹为（
）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A
【解析】设 ，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则： ，设 ，可得： ，
从而： ，结合题意可得： ，
整理可得： ，即点C的轨迹是以AB中点为圆心， 为半径的圆．故选：A．
2．（2020全国Ⅲ文8）点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（ ）
A． 1 B． C． D． 2
【答案】B【解析】由 可知直线过定点 ，设 ，当直线 与 垂直时，点
到直线 距离最大，即为 ．
3．（2015北京文）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为 ，则圆的标准方程为 ．
4．（2020·新课标Ⅰ文）已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值
为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】B
【解析】圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为ABCD，
设DP=BQ=λ(0<λ<2)，当过点λ=1的直线和直线GH//EF;垂直时，圆心到过点EB=2的直线的距离最大，所求的弦长最短，
GEFH
根据弦长公式最小值为 ．
2x−y−3=0
5．（2020·新课标Ⅱ文理5）若过点 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为（
）
√5 2√5 3√5 4√5
5 5 5 5
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎
题意，∴圆心必在第一象限，设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，圆的标准方程为
．由题意可得 ，可得 ，解得 或 ，∴圆心的坐标为 或 ，圆心到直线 的距离均为 ，
∴圆心到直线 的距离为 ．故选B．
6．（2020全国Ⅰ理11】已知⊙ ，直线 ， 为 上的动点，
过点 作⊙ 的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，∴
直线 与圆相离．依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，
∴ ，而 ，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
∴以 为直径的圆的方程为 ，即 ，两圆的方程相减可得：
，即为直线 的方程，故选D．
7．（2020·北京卷）已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
【答案】A【解析】设圆心 ，则 ，化简得 ，
所以圆心 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
所以 ，所以 ，当且仅当 在线段 上时取得等号，故
选A．
8．（2019北京文8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小
为β．图中阴影区域的面积的最大值为
（A）4β+4cosβ （B）4β+4sinβ （C）2β+2cosβ （D）2β+2sinβ
【答案】B
【解析】由题意和题图可知，当P为优弧AB的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为
1
BOPAOP 22
O ， AOB2 ， 2 ．
1 1
此时阴影部分面积
S S
扇形AOB
S
△AOP
S
△BOP
2
222
2
22 sin44sin
．故
选B．9．【2018·全国Ⅲ文】直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上
则 面积的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点， ，则 ．
点P在圆 上， 圆心为（2，0），则圆心到直线的距离 ．
故点P到直线 的距离 的范围为 ，则 ．
故答案为A．
10．【2018高考全国2理2】已知集合 ，则 中元素的个数为（
）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【解析】 ，又 ．当 时， ；
当 时， ；当 时， ；所以共有9个，选A．
11．【2018高考全国3理6】直线 分别与 轴 交于 两点，点 在圆 上，
则 面积的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 直线 分别与 轴， 轴交于 两点， ，则 ．
点 在圆 上， 圆心为 ，则圆心到直线距离 ，故点 到直线的距离 的范围为 ，则 ，故选A．
12． 【2018高考北京理7】在平面直角坐标系中，记 为点 到直线 的距离．
当 变化时， 的最大值为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】： 为单位圆上一点，而直线 过点 ，所以 的最
大值为 ，选C．
13．（2017新课标Ⅲ理）在矩形 中， ， ，动点 在以点 为圆心且与 相切的
圆上．若 ，则 的最大值为
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【解析】如图建立直角坐标系，
y
A D
P
B C
x
则 ， ， ， ，由等面积法可得圆的半径为 ，
所以圆的方程为 ，所以 ， ， ，
由 ，得 ，所以 = ，
设 ，即 ，
点 在圆上，所以圆心到直线 的距离小于半径，
所以 ，解得 ，所以 的最大值为3，
即 的最大值为3，选A．
14．【2016·山东文数】已知圆M： 截直线 所得线段的长度是 ，则圆
M与圆N： 的位置关系是（ ）
（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离
【答案】B
【解析】由 （ ）得 （ ），所以圆 的圆心为 ，半
径为 ，因为圆 截直线 所得线段的长度是 ，所以 ，解得
，圆 的圆心为 ，半径为 ，所以 ， ，
，因为 ，所以圆 与圆 相交，故选B．
15．【2016·北京文数】圆 的圆心到直线 的距离为（ ）A．1 B．2 C． D．2
【答案】C
【解析】圆心坐标为 ，由点到直线的距离公式可知 ，故选C．
16．【2016·新课标2文数】圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=（ ）
（A）− （B）− （C） （D）2
【答案】A
【解析】由 配方得 ，所以圆心为 ，因为圆
的圆心到直线 的距离为1，所以 ，解得 ，故
选A．
17．【2018·天津文】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为
__________．
【答案】
【解析】设圆的方程为 ，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），
则 ，解得 ，则圆的方程为 ．
18．【2020年高考天津卷12】已知直线 和圆 相交于 两点．若
，则 的值为_________．
【答案】5
【解析】因为圆心 到直线 的距离 ，由 可得，解得 ．
19．【2020年高考浙江卷15】设直线 ，圆 ， ，若直线
与 ， 都相切，则 ； ．
【答案】 ；
【解析】由题意可知直线 是圆 和圆 的公切线，∵ ，为如图所示的切线，
由对称性可知直线 必过点 ，即 ①
并且 ，②
由①②解得： ， ，故答案为： ； ．
20．【2020年高考江苏卷14】在平面直角坐标系 中，已知 ， 是圆 ：
上的两个动点，满足 ，则 面积的最大值是________．
【答案】
【解析】如图，作 所在直径 ，交 于点 ，则：
∵ ， ，∴ ， 为垂径．要使面积 最大，则 位于 两侧，并设 ，
计算可知 ，故 ， ，
故 ，令 ，
， ，
记函数 ，
则 ，
令 ，解得 （ 舍去）
显然，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
结 合 在 递 减 ， 故 时 最 大 ， 此 时 ， 故
，即 面积的最大值是 ．
（注：实际上可设 ，利用直角 可更快速计算得出该面积表达式）21．【2018·全国I文】直线 与圆 交于 两点，则 ________．
【答案】
【解析】根据题意，圆的方程可化为 ，所以圆的圆心为 ，且半径是2，
根据点到直线的距离公式可以求得 ，[来源:学科网ZXXK]
结合圆中的特殊三角形，可知 ，故答案为 ．
22．【2018·江苏卷】在平面直角坐标系 中，A为直线 上在第一象限内的点， ，以AB
为直径的圆C与直线l交于另一点D．若 ，则点A的横坐标为________．
【答案】3
【解析】设 ，则由圆心 为 中点得
易得 ，与 联立解得点 的横坐标 所以 ．
所以 ，由 得
或 ，因为 ，所以
