文档内容
专题1.1 正数和负数（知识讲解）
【学习目标】
1．理解并掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；
2．理解正数、负数、有理数的概念，准确判断有理数的范畴；
3.初步掌握对正负数的实际应用，了解历史数学文化，增强学生对我国数学文化的了解。
【要点梳理】
1
像+6、+2.5、 2、+1010010001、 等 大于 0 的数，叫做正数 ； 像－6、－2.5、
1
2 、－1010010001、- 等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．
特别说明：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上
升、盈利”等规定为正，而把“后退、下降、亏损”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线（在此可以适当画数轴引入数形
结合思想）．
【典型例题】
【知识点一】正负数的意义
1．下列各数中，哪些数是正数？哪些数是负数？
+12，0.15， ，-2.05，0，-7，3.14.
【答案】正数有+12，0.15，3.14；负数有 ，-2.05，-7.
【分析】根据正负数的意义解答即可.
解：正数有+12，0.15，3.14；负数有 ，-2.05，-7.
【点拨】本题考查了对正数和负数定义的理解和运用，主要考查学生的理解能力和辨
析能力．根据正数和负数的定义判断即可.
举一反三.
【变式1】某水泥厂计划每月生产水泥1000t ，一月份实际生产了950t ,二月份实际生产了1000t ,三月份实际生产了1100t ,用正数和负数表示每月超额完成计划的吨数各是多少？
【答案】一月份超额完成计划－50t ，二月份超额完成计划0t，三月份超额完成计划
100t.
解：本题考查的是正数和负数
先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答，此题可以以1000t
为基准数，多于此数为+号表示，小于此数为-号表示．
由题意得，一月份超额完成计划－50t ，二月份超额完成计划0t，三月份超额完成计
划100t.
解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
【变式2】观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3各数，你能说出第18个
数、第101个数、第2020个数是什么吗？
（1）-1，-2,+3，-4，-5，+6，-7，-8， ， ， ，……
（2）1， ，3， ，5， ，7， ， ， ， ，……
【答案】（1）+9，-10，-l1，这列数中的第18个数为18，第101个数为-10l，第2020
个数为-2020；（2）-9， ，-11，达列数中第18个数为 ，第l01个数为-101，第2020
个数为 。
【分析】
（1）根据已知数据，可得数据规律为：一正二负，且数据绝对值依次增加1，即可得
到后续数据；
（2）根据已知数据，可得数据规律为：一正一负，且奇数数据为1、3、5、
7、……，偶数数据分母为2、4、6、8、……．
解：（1）根据已知数据，可得数据规律为：一正二负，且数据绝对值依次增加1，后
面的三个数据为：+9，-10，-11，第18个数为+18，第101个数为-101，第2020个数
为-2020；
（2）根据已知数据，可得数据规律为：一正一负，且奇数数据为1、3、5、
7、……，偶数数据分母为2、4、6、8、……，后面的三个数据为：9，- ，11，第18个数为 ，第l01个数为101，第2020个数为 ．
【点拨】本题主要考察了正负数、数据的规律，解题的关键在于找出已知数据的规律．
【知识点二】相反意义的量
2.某中学七（4）班的同学在体检中测量了自己的身高，并求出了该班同学的平
均身高．
（1）下表给出了该班5名同学的身高情况（单位： ），试完成该表，并求出该班
同学的平均身高；
姓名 刘杰 刘涛 李明 张春 刘建
身高 161 ______ ______ 163 156
身高与全班同
0 ______ ______
学平均身高差
（2）谁最高？谁最矮？
（3）计算这5名同学的平均身高是多少？
【答案】（1） ；平均身高为 ；（2），张春最高，刘建最矮；
（3）
【分析】
（1）根据刘杰的身高及其身高与全班平均身高的差可求出全班的平均身高，
（2）根据（1）所求的全班的平均身高可以完成表格；
（3）根据平均数的定义可得出这5名同学的平均身高．
解：（1）该班同学的平均身高为 ，
从左到右，依次填入表格的是157,158，+5，﹣2，如图所示：
姓名 刘杰 刘涛 李明 张春 刘建
身高 161 157 158 163 156
身高与全班同
0 +5 ﹣2
学平均身高差
（2）由题（1）表可知，张春最高，刘建最矮；
（3） ，
答：这5名同学的平均身高为159厘米．【点拨】本题考查平均数的知识，难度适中，关键在于准确理解身高及其与全班的平
均身高差求出全班的平均身高．
举一反三.
【变式1】不改变下列语句实际意义，把它们改成使用正数的说法．
（1）温度下降了－3℃；
（2）现金支出了－80元；
（3）长度减少了－6厘米．
【答案】（1）温度上升了3℃；（2）现金收入了80元；（3）长度增加了6厘米．
略
【变式2】已知有A，B，C三个数的“家族”：
A：{－1,3.1，－4,6,2.1}，B： ，C：{2.1，－4.2,8,6}．
(1)请把每个“家族”中所含的数填入图中的相应部分．
(2)把A，B，C三个数的“家族”中的负数写在横线上：__________.
(3)有没有同时属于A，B，C三个数的“家族”的数？若有，请指出．
【答案】(1)见分析;(2) －1，－4，－4.2， ;(3)见分析.
【分析】
（1）根据数集的包含关系进行分类（2）选出负数；（3）根据观察易得.
解：(1)如图所示．
(2)－1，－4，－4.2，(3)有，是2.1.
故答案为(2)－1，－4，－4;2， ;(3)有，是2.1.
【点拨】本题考核知识点：有理数分类. 解题关键点：分析各有理数的关系.
【知识点三】正负数的实际应用
3.粮库6天内发生粮食进、出库的吨数如下（“ ”表示进库，“ ”表示出
库）： ， ， ， ， ， ．
（1）经过这6天，库里的粮食是增多还是减少了?增加（减少）了多少?
（2）经过这6天，管理员结算时发现库里还存480吨粮，那么6天前库里存粮多少吨?
（3）如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少装卸费?
【答案】（1）库里的粮食减少了，减少了45吨；（2）6天前库里存粮525吨；（3）
这6天要付825元装卸费．
【分析】
（1）将记录的数据直接相加得到结果，正数表示增加，负数表示减少；
（2）根据（1）的结果进行计算；
（3）将数据的绝对值相加，再乘以5可得答案.
解：（1） (吨)，
答：库里的粮食减少了，减少了45吨；
（2） （吨）
答：6天前库里存粮525吨；
（3） （元），
答：这6天要付825元装卸费．
【点拨】本题考查正数负数在实际生活中的应用，掌握正数与负数的实际意义是关键.
举一反三.
【变式1】某电力局维修队从电力局出发，在一 条南北方向的公路上巡回维修，假定
向南的路线记为正数，走过的各段路程依次为（单位：千米）
﹣600，+4050，﹣805，+380，﹣1600
（1）维修队最后是否能回到电力局？
（2）维修队最后收工时在本局什么方向，距本局多远？
（3）维修队离开本局最远时是多少？（4）如果每千米耗油2升，那么在整个维修过程中用了多少升油？
【答案】（1）维修队最后没有回到电力局；（2）维修队最后收工时在本局北边，距
本局425千米；（3）维修队离开本局最远时是3450千米；（4）在整个维修过程中用了
14870升油．
【分析】
（1）先根据题意列出算式，再求出即可；
（2）根据（1）中求出的结果得出答案即可；
（3）求出维修队离本局的距离，再比较即可；
（4）先列出算式，再求出即可．
解：（1）（﹣600）+（+4050）+（﹣805）+（+380）+（﹣1600）=1425，
所以维修队最后没有回到电力局；
（2）∵（﹣600）+（+4050）+（﹣805）+（+380）+（﹣1600）=1425，
∴维修队最后收工时在本局北边，距本局1425千米；
（3）维修队离本局的距离依次为：600千米，3450千米，2645千米，1045千米，所
以维修队离开本局最远时是3450千米；
（4）|﹣600|+|+4050|+|﹣805|+|+380|+|﹣1600|=7435，2×7435=14870（升）．
答：如果每千米耗油2升，那么在整个维修过程中用了14870升油．
【点拨】本题考查了正数和负数的应用，能根据题意列出算式是解答此题的关键．
【变式2】某天一个巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一
段时间停留在A处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶记录如下（单位：
千米）：
+10，﹣9，+7，﹣15，+6，﹣14，+4，﹣2
（1）A在岗亭哪个方向？距岗亭多远？
（2）若摩托车行驶1千米耗油0.12升，油箱中有10升油摩托车能否最后返回岗亭？
【答案】（1）A在岗亭南方，距岗亭13千米处；（2）能返回，见分析
【分析】
（1）将各数相加，得数若为负，则A在岗亭南方，若为正，则A在岗亭北方；
（2）将各数的绝对值相加，求得摩托车共行驶的路程，即可解答．
解：（1）+10﹣9+7﹣15+6﹣14+4﹣2
＝10+7+6+4﹣9﹣15﹣14﹣2
＝﹣13（千米）．答：A在岗亭南方，距岗亭13千米处；
（2）|+10|+|﹣9|+|+7|+|﹣15|+|+6|+|﹣14|+|+4|+|+|﹣2|+|﹣13|
＝10+9+7+15+6+14+4+2+13
＝80（千米），
0.12×80＝9.6（升），
9.6＜10
答：能返回．
【点拨】本题主要考查数轴，正数和负数的应用，解决此类问题时，要特别注意第(2)
小题，无论向南行驶还是向北行驶，都是要耗油的．
