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专题1.22 有理数的乘法（知识讲解）
【学习目标】
1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；
2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；
3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；
4. 培养观察、分析、归纳及运算能力.
【知识要点】
要点一、有理数的乘法
1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
特别说明：
(1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用
括号括起来，如 - 2与 - 3的乘积，应列为( - 2)×( - 3)，不应该写成 -
2×- 3．
2. 有理数的乘法法则的推广：
（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为
负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
特别说明：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的
有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个
数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数
为0．
3. 有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把
积相加．即：a(b + c)＝ab + ac．
特别说明：
（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同
这几个数相乘，再把积相加．如a(b + c + d)＝ab + ac + ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可
以把运算律“逆用”．
要点三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确
定积的符号，最后算出结果．
要点四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如
有括号，则先算括号里面的．
【典型例题】
【知识点一】两个有理数的乘法运算
1．计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】（1）0；（2） ；（3） ；（4）
【分析】
（1）0乘以任何不为0的数都等于0；
（2）利用有理数的乘法法则，同号得正，异号得负，先确定符号，然后进行计算即可；
（3）利用有理数的乘法法则，同号得正，异号得负，先确定符号，然后进行计算即可；
（4）利用有理数的乘法法则，同号得正，异号得负，先确定符号，然后进行计算即可．
解：（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【点拨】题目主要考查有理数的乘法法则，熟练运用乘法法则是解题关键．
举一反三.【变式1】计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）6；（4）0；（5） ；（6）
【分析】依据法则“两数相乘，同号得正，异号得负，任何数与0相乘都得0”计算解
答．
解：（1） ＝ ； （2） ＝ ；
（3） ＝6； （4） ＝0；
（5） ＝ ； （6） ＝ ．
【点拨】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，
任何数与0相乘都得0” ．
【变式2】计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】（1）－12；（2） ；（3）－96；（4）0.36
【分析】将小数或者带分数写成假分数，再根据有理数的乘法法则进行计算，如果都
是小数，直接相乘即可，注意两数相乘，同号得正，异号得负．
解：（1） ；
（2） ；（3） ；
（4） ．
【点拨】本题考查了有理数的乘法，理解两数相乘结果的符号是解题的关键．
【知识点二】多个有理数的乘法运算
2.计算：
（1） ； （2）
【答案】（1）5； （2）-1
【分析】根据有理数乘法运算法则计算即可；
解：（1）
；
（2）
．
【点拨】本题考查了有理数的乘法运算，熟知运算法则是解本题的关键．
举一反三.
【变式1】计算：
（1） ；
（2） ；（3） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）0
【分析】根据有理数乘法法则，先确定结果的正负，再绝对值相乘，即可得到结果．0
乘任何数都等于0．
解：（1） ；
（2） ；
（3） ．
【点拨】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．
【变式2】计算：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）6
【分析】根据有理数乘法法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数
个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正” ．
解：（1）
；
（2）
．
【点拨】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由
负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为
正” ．【知识点三】有理数乘法的实际应用
3.某出租车一天上午从 地出发在沿着东西向的大街营运（共完成了6单生
意），规定向东为正，向西为负．行驶里程（单位： ）依先后次序记录如下：
＋18，－2，＋10，－9，＋12，－15
（1）将最后一名乘客送到目的地时，出租车在相对出发地 的什么位置？
（2）如果（每单生意）不超过3千米时，按起步价收费10元，超过3千米的部分，
每千米收费2元，司机上午的营业额是多少元？
【答案】（1）位于出发地 东边14km的位置；（2）158元
【分析】
（1）把带正负号的行驶里程各数相加即可得相对出发地的位置；
（2）根据起步费×次数+超出3千米部分的和×2进行计算即可.
解：（1）行驶里程相加得：
将最后一名乘客送到目的地，出租车位于出发地A东边14km的位置；
（2）∵每一次营运，起步价都是10元，共6次起步费用为6×10，有5次超过
3千米超出的收费为（18+10+9+12+15-5×3）×2，则
，
答：司机上午的营业额是158元．
【点拨】此题主要考查有理数的计算，解题的关键是根据题意列出式子求解．
举一反三.
【变式1】规定一种新的运算； ，例如 ，请用上述
规定计算下面各式：
（1） ； （2）
【答案】（1）14；（2）-16
【分析】
（1）根据 进行计算 即可；
（2）先计算 ，然后计算 即可得到答案．
解：（1）∵ ，
∴ ；（2）∵ ，
，
∴
【点拨】本题主要考查了有理数的混合计算，解题的关键在于能够理解公式
．
【变式2】科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进
行营销，实现脱贫致富．小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但
实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下
表是小王第一周柚子的销售情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
柚子销售超过或不足
计划量情况（单位：
千克）
（1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
（2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
（3）若小王按8元 千克进行柚子销售，平均运费为3元 千克，则小王第一周销售柚
子一共收入多少元？
【答案】（1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克；（2）小
王第一周实际销售柚子的总量是718千克；（3）小王第一周销售柚子一共收入3590元
【分析】
（1）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可；
（2）根据第一周实际销售柚子的数量相加计算即可；
（3）用总数量乘以单价减去运费的差，即可求解．
解：（1） （千克），
答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克；
（2）
（千克），
答：小王第一周实际销售柚子的总量是718千克；
（3）（元 ，
答：小王第一周销售柚子一共收入3590元．
【点拨】此题考查正数和负数以及有理数的混合运算，此题的关键是读懂题意，列式
计算．
【知识点四】倒数
4.写出下列各数的倒数．
（1）0.25． （2） ． （3） ． （4）-1.25． （5）0．
【答案】（1）4（2） （3） （4） （5）0没有倒数
【分析】根据倒数的定义逐一解答即可．
解：（1）0.25的倒数是4； （2） 的倒数是 ；
（3） 的倒数是 ； （4）﹣1.25的倒数是 ；
（5）0没有倒数．
【点拨】本题考查了倒数的定义，属于基础概念题型，熟知倒数的概念是解题的关键．
举一反三.
【变式1】写出下列各数的倒数．
， ， ， ．
【答案】 的倒数是 ； 的倒数是 ； 的倒数是 ； 的倒数是 ．
【分析】根据倒数的定义即可得．
解：因为 ，
所以 的倒数是 ；
因为 ，
所以 的倒数是 ；因为 ， ，
所以 的倒数是 ；
因为 ，
所以 的倒数是 ．
【点拨】本题考查了倒数，熟记定义是解题关键．
【变式2】已知a的绝对值等于2，b的倒数为-1，c与3互为相反数，求a+b+c的值.
【答案】-2或-6
【分析】
根据绝对值、倒数、相反数的定义即可得到a、b、c的值，然后相加即可.
解：由a的绝对值等于2，b的倒数为-1，c与3互为相反数，
得到a=±2，b=﹣1，c=﹣3，
因此，a+b+c=2+（﹣1）+（﹣3）=﹣2,
或者a+b+c=（﹣2）+（﹣1）+（﹣3）=﹣6，
因此答案为：-2或-6.
【点拨】本题考查了绝对值、倒数、相反数的定义，熟练掌握基本概念是解题的关键.
【知识点五】有理数乘法运算律
5.阅读并解答问题：学习有理数的乘法后，老师南同学思考这样道题目：计算
，看谁算得又快又对．
有三位同学的解法如下：
小方：原式 ；
小军：；
小红：原式
．
(1)对于以上三种解法，你认为哪位同学的解法比较简单？
(2)根据上面解法对你的启示，请用你认为最合适的方法计算： ．
【答案】(1)小红解法比较简单 (2)
【分析】
（1）根据题意，利用乘法分配律进行计算，凑整计算较简单，
（2）按照小红的解法计算即可
解：（1）利用乘法分配律进行计算，凑整计算较简单，小红解法比较简单；
(2) .
.
.
.
.
【点拨】本题考查了有理数运算中的简便运算，掌握乘法分配律是解题的关键．
举一反三.
【变式1】计算：
【答案】-2解：原式
＝6－12＋4
＝－2
【点拨】本题考查的是有理数的乘法的分配律，掌握“利用有理数的乘法的分配律进
行简便运算”是解本题的关键.
【变式2】计算： ．
【答案】14
【分析】先利用乘法分配律，然后根据有理数加减混合运算计算即可．
解：
．
【点拨】题目主要考查有理数的乘法与加减混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题
关键．
