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第 01 讲 变量与函数
【题型1：变量与常量】
【题型2：函数定义】
【题型3：函数的关系式】
【题型4：函数自变量取值范围】
【题型5：函数值】
【题型6：函数的图像】
【题型7：动点问题的函数图像】
知识点1：变量与常量
定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量．
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于 的每一个确定的值，
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量， y是因变量，y 是x 的函数．
如果 当 x=a时，y=b ，b那么 a叫做当自变量 x的值为a 时的函数值．
【题型1：变量与常量】
【典例1】（2022秋•武义县期末）笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，下列选项
判断正确的有（ ）
A．a是常量时，y是变量
B．a是变量时，y是常量
C．a是变量时，y也是变量
D．无论a是常量还是变量，y都是变量
【变式1-1】（2023•南海区校级模拟）球的体积是V，球的半径为R，则V＝ R3，其中
变量和常量分别是（ ） π
A．变量是V，R；常量是 ， B．变量是R， ；常量是
π πC．变量是V，R， ；常量是 D．变量是V，R3；常量是
【变式1-2】（2023•惠π来县模拟）某人要在规定的时间内加工100个零件，π 如果用n表示
工作效率，用t表示规定的时间，下列说法正确的是（ ）
A．数100和n，t都是常量 B．数100和n都是变量
C．n和t都是变量 D．数100和t都是变量
【变式1-3】（2022春•清镇市校级期中）树的高度h随时间t的变化而变化，下列说法正
确的是（ ）
A．h，t都是常量 B．t是自变量，h是因变量
C．h，t都是自变量 D．h是自变量，t是因变量
知识点3：函数定义
像 这样，用关于自变量的数学式子表示
函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式
【题型2：函数定义】
【典例2】（2023春•淮阳区月考）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023春•原阳县月考）下列等式中，y不是x的函数的是（ ）
A．3x﹣2y＝0 B．x2﹣y2＝1 C． D．y＝|x|
【变式2-2】（2023春•偃师市校级月考）下列图形中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．【变式 2-3】（2022 秋•余姚市校级期末）如图图象中，表示 y 是 x 的函数的个数有
（ ）
A．1 B．2个 C．3个 D．4个
【题型3：函数的关系式】
【典例3】（2022秋•晋中期末）如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示
的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系：
摄氏温度值 0 10 20 30 40 50
x/℃
华氏温度值 32 50 68 86 104 122
y/℉
根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为（ ）
A． B．y＝x+32 C．y＝x+40 D．
【变式3-1】（2022秋•肇源县期末）一个长方形的周长为30cm，长为xcm，宽为ycm，则
用x表示y的关系式为（ ）A．y＝30﹣x B．y＝ C．x＝15﹣y D．y＝15﹣x
【变式3-2】（2022秋•沈河区期末）小明一家自驾车到离家500km的某景点旅游，出发前
将油箱加满油．下表记录了行驶路程x（km）与油箱余油量y（L）之间的部分数据：
行驶路程x（km） 0 50 100 150 200 …
油箱余油量y（L） 45 41 37 33 29 …
下列说法不正确的是（ ）
A．该车的油箱容量为45L
B．该车每行驶100km耗油8L
C．油箱余油量y（L）与行驶路程x（km）之间的关系式为y＝45﹣8x
D．当小明一家到达景点时，油箱中剩余5L油
知识点3：自变量取值范围和函数值
初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：
（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；
（2）函数关系式为分式形式：分母0
（3）函数关系式含算术平方根：被开方数0；
（4）函数关系式含0指数：底数0。
【题型4：函数自变量取值范围】
【典例 4】（2023 春•鹿城区校级月考）在函数 中，自变量 x 的取值范围是
（ ）
A．x≠0 B．x＞2 C．x≥2 D．x＞0
【变式4-1】（2022秋•桂平市期末）函数y＝ ，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜0 B．x＞0C．x取任意实数 D．x≠0的一切实数
【变式4-2】（2023•惠山区校级模拟）函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≥2
【变式4-3】（2022秋•贵池区期末）函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．x≠﹣3
C． 且x≠﹣3 D． 且x≠﹣3
【题型5：函数值】
【典例5】（2022秋•沙坪坝区校级期末）根据如图所示的程序计算函数 y的值，若输入x
的值为1，则输出y的值为2；若输入x的值为﹣2，则输出y的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8
【变式5-1】（2023•奉贤区一模）已知 ，那么f（﹣1）的值是 ．
【变式 5-2】（2022 秋•隆回县期末）如图，若输入 x 的值为﹣5，则输出的结果为
（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6
【变式5-3】（2023•灞桥区校级自主招生）f（x）＝ ，求f（ ﹣1）＝ ．知识点4：函数的图像
对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的
横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个
图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显
著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定
的因变量的值往往是不准确的。
理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴
的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点
【题型6：函数的图像】
【典例6】（2022秋•海淀区校级期末）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家
去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．小明离家的距离与时间之间的对应关系
如图所示．
根据如图回答下列问题：
（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
（2）小明吃早餐用了多少时间？在图书馆停留了多少时间？
（3）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
【变式6-1】（2023春•沙坪坝区校级月考）周末，小陈出去购物；如图是他离家的距离 y
（千米）与时间x（分钟）的关系图象，根据图示信息：下列说法正确的是（ ）A．小陈去时的速度为6千米/小时
B．小陈在超市停留了15分钟
C．小陈去时花的时间少于回家所花的时间
D．小陈去时走下坡路，回家时走上坡路
【变式6-2】（2022秋•肇源县期末）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修
车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图所示是小明从家到学校这一过程
中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系．
（1）小明从家到学校的路程共 米，从家出发到学校，小明共用了 分钟；
（2）小明修车用了多长时间？
（3）小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？
【变式6-3】（2022春•织金县期中）如图是某汽车从A地去B地（行驶过程中，速度相
同），再返回行驶过程中路程与时间的关系，回答下列问题：
（1）A地与B地之间的距离是 千米；汽车中途共休息了 小时；
（2）在前3小时汽车的行驶速度是多少？汽车在返回时的平均速度是多少？【题型7：动点问题的函数图像】
【典例7】（2022春•牡丹区校级期中）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿
BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x
的函数图象如图所示，则长方形ABCD的周长是（ ）
A．24 B．18 C．20 D．40
【变式7-1】（2022春•朝阳区校级月考）如图，正方形 ABCD的边长为4，P为正方形边
上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶
点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 7-2】（2022 春•东营区校级月考）如图 1，点 P 从△ABC 的顶点 A 出发，沿
A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时线段CP的长度y随时间x变化的关系图象，
其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的面积为（ ）A．50 B．60 C．65 D．70
【变式7-3】（2022秋•涡阳县校级月考）如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，
沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止．已知点P的运动速度为1cm/s，设点P的运
动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2），若y关于x的函数图象如图2所示，则长
方形ABCD面积为（ ）cm2
A．20 B．28 C．48 D．24
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋•潍坊期末）小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，
金额随着数量的变化而变化．则下列判断正确的是（ ）
A．金额是自变量 B．单价是自变量
C．7.76和31是常量 D．金额是数量的函数2．（2023秋•溧阳市期末）苹果熟了，从树上落下来．下面可以大致刻画出苹果下落过程
中（即落地前）的速度变化情况的图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022秋•莱阳市期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023•成武县校级一模）函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x＞﹣1且x≠2 C．x≠2 D．x≥﹣1且x≠2
5．（2023•蕉城区校级开学）一只兔子和一条小狗同时从同一地点向相同方向出发，它们
的运动距离与时间关系图象如图所示，则关于该图象下列说法正确的是（ ）A．小狗的速度始终比兔子快
B．在前5秒内，小狗比兔子快
C．图中BC段表明小狗的速度是4m/s
D．整个过程中小狗和兔子的平均速度相同
6．（2022秋•港北区校级期末）如图①，在矩形MMPQ中，动点R从点N出发，沿着
N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如
果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（ ）
A．当x＝6时，y＝10 B．当y＝5时，x＝2
C．y的最大值是10 D．矩形MNPQ的周长是18
7．（2023•五华区校级开学）学校教学楼有4层，小青第一节课在四楼上数学课，第二节
到二楼上艺术课，第三节到三楼上科学课，中午到一楼食堂吃饭．下面能较准确地描述
这件事的是图（ ）
A． B．C． D．
8．（2023秋•明光市期中）星期天，小马同学骑自行车到图书馆看书，在图书馆看了一会
儿书后突然有急事回家，他按原路快速骑自行车回家，下列图象能大致表示出小马同学
离家的距离y（km）与时间x（h）之间的关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
9．（2023秋•无锡期末）已知一根弹簧秤不挂物体时弹簧的长度为 7cm，在弹性限度内，
每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，则挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x
（kg）之间的函数表达式是 ．
10．（2023秋•莱芜区期末）“元旦”期间，小明一家人开车到滑雪场滑雪，出发前，汽
车油箱内储油45升，当行驶40千米时，发现油箱余油量为35升（假设行驶过程中汽车
的耗油量是均匀的）．写出余油量Q（升）与行驶路程x（千米）之间的关系式为
．
11．（2023春•锦江区校级期中）如图1，已知长方形ABCD，动点P沿长方形ABCD的边
以B→C→D的路径运动，记△ABP的面积为y，动点P运动的路程为x，y与x的关系如
图2所示，则图2中的m的值为 ．12．（2023秋•百色期中）一个长方形的面积为 12，一边长为x，另一边长为y，则y与x
的函数关系式是 ．
13．（2023 春•周村区期末）如图 1，在直角梯形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿
B→C→D→A匀速运动，设点P运动的路程为x，三角形ABP的面积为y，图象如图2所
示，则梯形ABCD的面积是 ．
三．解答题（共3小题）
14．（2023秋•闵行区校级期末）小杰与爸爸骑车从家到公园先上坡后下坡，在这段路上
小杰骑车的路程S（千米）与骑车的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图
中信息填空：
（1）小杰去公园时下坡路长 千米；
（2）小杰下坡的速度为 千米/分钟；
（3）如果小杰回家时按原路返回，且上坡与下坡的速度不变，那么从公园骑车到家用
的时间是 1 8 分钟．15．（2023春•礼泉县期中）如图是一位旅行者在早晨8时从城市出发到郊外全程所走的
路程S（千米）与时间t（时）之间的关系图象．
根据图象回答问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
（2）他一共走了多少千米？在途中休息了多长时间？
（3）他休息前的平均速度是多少千米/时？
16．（2023•西湖区开学）小明从家骑自行车去C处，先走上坡路到达A处，再走平路到
达B处，最后走下坡路到达C处．小明的行程情况（图1）和时间分配情况（图2）如
图 ．（1）平路每分钟比上坡每分钟多行几米？
（2）小明骑自行车下坡用时多少分钟？
