文档内容
第 01 讲 图形的旋转
课程标准 学习目标
1. 掌握旋转及其相关的定义，能够熟练判断生活中的旋转现象以及旋转
①旋转及其相关概念
三要素。
②旋转的性质
2. 掌握旋转的性质并能够熟练运用性质解决旋转的相关题目。
③旋转作图
3. 掌握旋转作图的基本步骤并能够按照要求熟练的作图旋转的图形。
④利用旋转设计图案
4. 掌握旋转对称图形并能够熟练的判断与自行设计。
知识点01 旋转及其相关定义
1. 旋转的概念：
在平面内，把一个图形绕着某一个点O按照顺时针或逆时针转动一定的角度叫做图形的 旋转 。点
O叫做 旋转中心 ，转动的角度叫做 旋转角 ，顺时针或逆时针叫做 旋转方向 。它们是旋
转的三要素。
2. 旋转的相关概念：如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做 对应点 ，如果图形上的线段AB经过旋
转变为点A′B′，那么这两条线段叫做 对 应线段 ，如果图形上的∠ABC经过旋转变为点
∠A′B′C′，那么这两个角叫做 对 应角 。
【即学即练1】
1．下列现象中属于旋转的是（ ）
A．汽车在急刹车时向前滑动
B．拧开水龙头
C．雪橇在雪地里滑动
D．电梯的上升与下降
【分析】根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A．汽车在急刹车时向前滑动，是平移现象，故本选项不合题意；
B．拧开水龙头，是旋转现象，故本选项符合题意；
C．雪橇在雪地里滑动，是平移现象，故本选项不合题意；
D．电梯的上升与下降，是平移现象，故本选项不合题意．
故选：B．
【即学即练2】
2．如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是（ ）
A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点
B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点
C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点
D．点D是旋转中心，点A和点D是对应点
【分析】由△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，可得点A是旋转中心，点B和点D是对应点，点C
和点E是对应点．继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：∵如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，
∴点A是旋转中心，点B和点D是对应点，点C和点E是对应点．
故A，B，D错误，C正确．
故选：C．
知识点02 旋转的性质
1．旋转的性质，如图：①旋转前后的两个图形 全等 。即△ABC ≌ △DEF，所以对应边 相等 ，对应角 相等 。
②对应点到旋转中心的距离 相等 。即OB = OE，OA = OD，
OC = OF。所以旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。
③对应点与旋转中心的连线形成的夹角都 相等 。等于 旋转角 。 即
∠BOE = ∠AOD ＝ ∠COF。
【即学即练1】
3．把三角形ABC绕点C顺时针方向旋转20°后B落在B′位置，A落在A′位置，且A′B′∥BC，已知
∠A＝60°，则∠B′CA＝（ ）
A．80° B．60° C．40° D．20°
【分析】直接根据旋转的性质及平行线的性质求解即可．
【解答】解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°到△A′B′C的位置，
∴∠ACA′＝∠BCB′＝20°，∠A＝∠A′＝60°，
∵A′B′∥BC，
∴∠BCA′+∠A′＝180°，
∴∠BCA′＝180°﹣∠A′＝120°，
∴∠B′CA＝∠BCA′﹣∠ACA′﹣∠BCB′＝120°﹣20°﹣20°＝80°，
故选：A．
【即学即练2】
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在
AB上，则AA'的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
【分析】连接AA'，由旋转的性质得出AC'、A'C'的长度，利用勾股定理即可得出答案．
【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，
∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，AB＝A'B，
根据勾股定理得：
AB＝ ＝5，∴A'B＝AB＝5，
∴AC'＝AB﹣BC'＝1，
在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：
AA'＝ ＝ ，
故选：A．
知识点03 旋转作图
1. 旋转作图的步骤：
①确定旋转的三要素： 旋转中心 ， 旋转方向 ， 旋转角 。
②在原图中找到 关键点 ，做出图形关键点旋转后的 对应点 。
③按照 原图形 连接各对应点。
【即学即练1】
5．如图，画出四边形ABCD绕点P顺时针旋转60°后的图形．
【分析】根据旋转角、旋转方向、旋转中心找出旋转后的对称点，顺次连接即可．
【解答】解：
所作图形如下所示：
．
知识点04 利用旋转设计图案
1. 平面直角坐标系中的旋转：若一个图形绕着平面直角坐标系原点旋转90°，则对应点之间的坐标关系为：原横坐标的绝对值变为
对应点的 纵坐标的绝对值 ，原纵坐标的绝对值变成对应点的 横坐标的绝对值 。坐标符号看坐标
所在象限。 简称横变纵，纵边横，符号看象限。
当在平面直角坐标系中绕着某点旋转180°时，可利用中点坐标公式求解坐标。
2. 旋转对称图形：
若一个图形绕着某点旋转一定的角度能够与原图形 完全重合 ，这样的图形叫做旋转对称图形。
【即学即练1】
6．五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（ ）
A．36° B．60° C．72° D．90°
【分析】分清基本图形，判断旋转中心，旋转次数，旋转一周为360°．
【解答】解：根据旋转的性质可知，每次旋转的度数可以是360°÷5＝72°或72°的倍数．故选C．
【即学即练2】
7．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q的坐标为（ ）
A．（﹣4，5） B．（4，﹣5） C．（﹣5，4） D．（5，﹣4）
【分析】建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点Q的坐标即可．
【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点Q的坐标为（﹣5，4）．
故选：C．
题型01 判断生活中的旋转现象【典例1】下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；
⑤荡秋千运动．属于旋转的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：①地下水位逐年下降，是平移现象；
②传送带的移动，是平移现象；
③方向盘的转动，是旋转现象；
④钟摆的运动，是旋转现象；
⑤荡秋千运动，是旋转现象．
属于旋转的有③④⑤共3个．
故选：B．
【变式1】下列运动属于旋转的是（ ）
A．足球在草地上滚动
B．火箭升空的运动
C．汽车在急刹车时向前滑行
D．钟表的钟摆的摆动
【分析】根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转进
行分析即可．
【解答】解：A、足球在草地上滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转，故此选项不符合题意；
B、火箭升空的运动，是平移，故此选项不符合题意；
C、汽车在急刹车时向前滑行，是平移，故此选项不符合题意；
D、钟表的钟摆的摆动的过程，是旋转，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式2】下列现象属于旋转的是（ ）
A．摩托车在急刹车时向前滑动
B．飞机起飞后冲向空中的时候
C．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
D．幸运大转盘转动的过程
【分析】根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转可
得答案．
【解答】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误；
B、飞机起飞后冲向空中的时候不是旋转，故此选项错误；
C、笔直的铁轨上飞驰而过的火车不是旋转，故此选项错误；
D、幸运大转盘转动的过程属于旋转，故此选项正确．
故选：D．
【变式3】按图中所示的排列规律，在空格中应填（ ）A． B． C． D．
【分析】此题只需根据所给的图形，观察发现旋转的规律即可．
【解答】解：观察图形，发现：图形绕三角形的中心按顺时针方向转动90°．
故选：A．
题型02 利用旋转的性质求角
【典例1】如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．当
AB′落在AC上时，∠BAC′的度数为（ ）
A．65° B．70° C．80° D．85°
【分析】由三角形内角和定理可得出∠B′AC′＝∠BAC＝35°，最后根据角的和差关系即可得出答案．
【解答】解：由旋转的性质可得出∠B′AC′＝∠BAC，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣80°﹣65°＝35°，
∴∠B′AC′＝∠BAC＝35°，
∴∠BAC′＝∠BAC+∠B′AC′＝70°，
故选：B．
【变式1】如图，在△ABD中，∠BAD＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，此时点C恰好
落在BD边上．若∠E＝24°，则∠BAC＝（ ）
A．24° B．48° C．66° D．72°
【分析】由△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，∠BAD＝90°，得AC＝AB，∠D＝∠E＝24°，得
∠ACB＝∠B＝90°﹣∠D＝66°，得∠BAC＝180°﹣2×66°＝48°．
【解答】解：由△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，∠BAD＝90°，
得AC＝AB，∠D＝∠E＝24°，
得∠ACB＝∠B＝90°﹣∠D＝66°，
得∠BAC＝180°﹣2×66°＝48°．故选：B．
【变式2】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角 （0°＜ ＜180°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在
BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝25°，则旋转角 的度数是（ ）
α α
α
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】先求出∠ADE的度数，然后由旋转的性质和等腰三角形的性质分析求解．
【解答】解：根据题意，
∵DE⊥AC，∠CAD＝25°，
∴∠ADE＝90°﹣25°＝65°，
由旋转的性质可得∠B＝∠ADE，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝65°，
∴∠BAD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴旋转角 的度数是50°；
故选：B．
α
【变式3】有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸
板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使DE∥BC，如图②所示，则旋转角∠BAD的
度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
【分析】设AD与BC交于点F，根据平行线的性质得出∠CFA＝∠D＝90°，再根据三角形的外角性质即
可求解．
【解答】解：如图，设AD与BC交于点F，
∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°，
故选：C．【变式4】如图，在△ABC中，∠BAC＝104°，将△ABC绕点A逆时针旋转94°得到△ADE，点B的对应点
为点D，若点B，C，D恰好在同一条直线上，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．30° C．33° D．40°
【分析】由旋转的性质可得∠BAD＝94°，AB＝AD，由等腰三角形的性质可得∠B＝∠ADB＝43°，即可
求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转94°得到△ADE，
∴∠BAD＝94°，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝43°，
∵∠BAC＝104°，
∴∠C＝180°﹣104°﹣43°＝33°，
故选：C．
题型03 利用旋转的性质求线段
【典例1】如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到
△ACE，那么线段DE的长为（ ）
A． B．6 C． D．
【分析】由等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，根据三线合一的性质与勾股定理，可求得AD的长
为3 ，又由将△ABD绕点A逆时针旋转得△ACE，易得△ADE是等边三角形，继而求得答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，∠BAC＝60°，
∵BD＝DC＝3，
∴AD⊥BC，
∴AD＝ ＝3
∵△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，
∴∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3 ，
故选：C．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
使得点D落在AC上，则EC的值为 ．
【分析】根据旋转的知识得出CD，DE的长，再根据勾股定理求解．
【解答】解：由旋转得：AD＝AB＝5，DE＝BC＝12，∠ADE＝∠B＝90°，
∴∠CDE＝90°，AC＝13，
∴CD＝AC﹣AD＝8，
∴CE＝ ＝4 ，
故答案为：4 ．
【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形
AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为 ．
【分析】由旋转的性质可得AB＝AB'＝5，AB＝CD＝5，由勾股定理可求B'D的长，即可求解．
【解答】解：∵矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，
∴AB＝AB'＝5，AB＝CD＝5，
∵∠D＝90°，
∴B'D＝ ＝ ＝4，
∴B'C＝CD﹣B'D＝1，
故答案为：1．
【变式 3】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到
△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的
距离为（ ）A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】由旋转的性质和平移的性质可得B'C＝A'C，AB＝A′B′＝5，∠B＝∠A′B′C＝60°，可证
△A′B′C′是等边三角形，可得A'B'＝B'C＝5，即可求解．
【解答】解：∵将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，
∴B'C＝A'C，
∵将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，
∴AB＝A′B′＝4，∠B＝∠A′B′C＝60°，
∴△A′B′C是等边三角形，
∴A′B′＝B′C＝4，
∴BB′＝BC﹣B′C＝3，
∴平移的距离为3，
故选：C．
【变式4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点C旋转，得到△A'B'C，点A
的对应点为A'，P为A'B′的中点，连接BP．在旋转的过程中，线段BP长度的最大值为 ．
【分析】连接CP，由勾股定理求出 AB＝10，由旋转的性质得出 A'B'＝AB＝10，∠A'CB'＝∠ACB＝
90°，由直角三角形的性质求出CP＝ A'B'＝5，由题意得出点P在以C为圆心，5为半径的圆上运动，
则可求出答案．
【解答】解：连接CP，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝ ＝ ＝10，
∵将△ABC绕点C旋转，得到△A'B'C，
∴A'B'＝AB＝10，∠A'CB'＝∠ACB＝90°，
∵P为A'B′的中点，
∴CP＝ A'B'＝5，
∴在旋转的过程中，点P在以C为圆心，5为半径的圆上运动，
∴当B，C，P三点共线时，BP有最大值，
∴BP的最大值为6+5＝11．
故答案为11．
题型04 旋转作图以及旋转中的坐标计算
【典例1】如图，在图中，将大写字母A绕着它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90度，请作出旋转后的图
案．
【分析】将其中的关键点绕上顶点顺时针旋转90°后，连接各关键点成“A”即可．
【解答】解：所作图形如下所示：
【变式1】任画一个直角△ABC，其中∠B＝90°，取△ABC外一点P为旋转中心，按逆时针方向旋转
60°，作出旋转后的三角形．
【分析】连接AP，过点P作PA ，且按逆时针方向旋转60°，即令∠APA ＝60°，PA ＝PA，则点A 就是
1 1 1 1
A点旋转后的对应点，按照此方法可依次找到B，C的对应点B ，C ，顺次连接A B C 即可得到旋转后
1 1 1 1 1
的三角形．
【解答】解：．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，2），B（0，4），C
（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A B C ；
1 1 1
（2）平移△ABC，若A的对应A 的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A B C ；
2 2 2 2
（3）若将△A B C 绕某一点旋转可以得到△A B C ，请画出旋转中心P．
1 1 1 2 2 2
【分析】（1）利用中心对称的点的坐标特征得到A 、B 、C 的坐标，然后描点即可；
1 1 1
（2）利用点A与点A2的坐标特征得到平移的方向与结论，再根据点平移的坐标变换规律得到A 、B 、
2 2
C 的坐标，然后描点即可；
2
（3）作B B 和A A 的垂直平分线得到P点，P点到每组对应点的距离分别相等．
1 2 1 2
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图，△A B C 即为所求；
2 2 2
（3）如图，点P为所作．【变式3】如图，在平面直角坐标系中，有一 Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，
3），已知△A AC 是由△ABC旋转得到的．
1 1
（1）请写出旋转中心的坐标是 ，旋转角是 度；
（2）以（1）中的旋转中心为中心，画出△A AC 顺时针旋转90°的三角形．
1 1
【分析】（1）根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，一对对应点与旋转
中心连线的夹角即为旋转角；
（2）根据网格结构分别找出找出△A AC 顺时针旋转90°后的对应点的位置，然后顺次连接即可．
1 1
【解答】解：（1）旋转中心的坐标是（0，0），旋转角是90°；
（2）如图所示，△A A C 是△A AC 以O为旋转中心，顺时针旋转90°的三角形，
1 2 2 1 1
【变式4】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，
2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A B C ，平移△ABC，应点A 的坐标
1 1 1 2为（0，﹣4），画出平移后对应的△A B C ；
2 2 2
（2）若将△A B C 绕某一点旋转可以得到△A B C ，请直接写出旋转中心的坐标．
1 1 1 2 2 2
【分析】（1）根据性质的性质得到A （3，2）、C （0，2）、B （0，0），再描点；由于点A 的坐标
1 1 1 2
为（0，﹣4），即把△ABC向下平移6个单位，再向右平移3个单位得到△A B C ，则B （3，﹣2）、
2 2 2 2
C （3，﹣4），然后描点；
2
（2）观察图象得到将△A B C 绕某一点旋转180°可以得到△A B C ，然后连接对应点可确定旋转中心
1 1 1 2 2 2
的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：A （3，2）、C （0，2）、B （0，0）；B （3，﹣2）、C （3，﹣
1 1 1 2 2
4）．
（2）将△A B C 绕某一点旋转可以得到△A B C ，旋转中心的P点坐标为（ ，﹣1）．
1 1 1 2 2 2
【变式5】以原点为中心，把点A（3，0）逆时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（﹣3，0） C．（3，3） D．（0，﹣3）
【分析】建立平面直角坐标系，数形结合求出点B的坐标即可．
【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
由图可知：B（0，3）；
故选：A．【变式6】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C
（﹣3，1）．将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，则点B'的坐标为 ．
【分析】根据旋转方向、旋转中心及旋转角，找到B'，结合直角坐标系可得出点B′的坐标．
【解答】解：△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，如图所示，
结合图形可得点B′的坐标为（2，1）．
故答案为：（2，1）．
题型05 判断旋转对称图形与计算旋转对称图形的旋转角
【典例1】在角、线段、等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中共 个旋转对称图形．
【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种
图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，解答即可．
【解答】解：在角、线段、等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆只有五角星、圆、线段、
平行四边形是旋转对称图形．
故答案为：4．【变式1】在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形这四种图形中，是旋转对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种
图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，解答即可．
【解答】解：在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形，只有等边三角形、正方形、正五边形是旋转
对称图形，共3个．
故选：C．
【变式2】下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转 90°后，能与原图形
完全重合的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．
【解答】解：A、最小旋转角度＝ ＝90°．
B、最小旋转角度＝ ＝72°．
C、最小旋转角度＝ ＝120°．
D、最小旋转角度＝ ＝60°．
综上可得：顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合的是A．
故选：A．
【变式3】如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合，那么它的旋转角可能是（ ）
A．60° B．90° C．72° D．120°
【分析】根据旋转对称图形的概念（把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种
图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角）计算出角度即可．【解答】解：该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，
并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
故选：C．
【变式4】正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．180°
【分析】求出正三角形的中心角即可得解
【解答】解：正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为120°，
故选：C．
【变式5】把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（
）
A．30° B．90° C．120° D．180°
【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．
【解答】解：∵360°÷3＝120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故选：C．
1．以下生活现象中，属于旋转变换得是（ ）
A．钟表的指针和钟摆的运动
B．站在电梯上的人的运动
C．坐在火车上睡觉
D．地下水位线逐年下降
【分析】根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平
移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称
为旋转．
【解答】解：A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确；
B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误；
C、坐在火车上睡觉，属于平移现象，故本选项错误；
D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误；
故选：A．
2．下列各组图形，只通过平移或旋转，不能形成长方形的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】由平移的性质和旋转的性质依次判断可求解．
【解答】解：选项ABC中的图形只通过平移或旋转，可得长方形，
选项D中的图形只通过平移或旋转，不可得长方形，
故选：D．
3．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，点C的对应点为点
E，连接EC．下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝BD B．∠B＝∠ECA C．AC＝DE D．EC⊥BC
【分析】根据旋转性质逐项分析判断即可．
【解答】解：A、若AB＝BD，则△ABD为等边三角形，旋转角必须为60°，没有这个条件，故原说法错
误，不符合题意；
B、根据旋转性质，∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE，故∠B＝∠ECA正确，符合题意；
C、若AC＝DE，则DE＝AE，就有AC＝BC，而题目没有这个条件，故原说法错误，不符合题意；
D、若EC⊥BC，则∠ACE+∠ACB＝90°，继而∠B+∠ACB＝90°，而题目中没有说△ABC是直角三角形，
故原说法错误，不符合题意．
故选：B．
4．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为（2，0），点A在x轴正半轴上，且AC
＝4，将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移5个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标为
（ ）
A．（﹣3，﹣4） B．（﹣3，6） C．（7，4） D．（﹣3，4）
【分析】根据所给旋转方式，先求出点A旋转后对应点的坐标，再根据向左平移时点的横坐标减小，纵坐标不变即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为∠BCA＝90°，AC＝4，
所以将△ABC绕点C逆时针旋转90°后，点A的对应点坐标为（2，4），
所以2﹣5＝﹣3，
即再向左平移5个单位长度后，点A的对应点的坐标为（﹣3，4）．
故选：D．
5．如图，已知点A（﹣1，0），B（0，2），A与A′关于y轴对称，连结A′B，现将线段A′B以A′点
为中心顺时针旋转90°得A'B'，点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（2，1） C．（4，1） D．（3，2）
【分析】先根据对称的性质得出点A′的坐标，再根据旋转的性质结合全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣1，0），点A′和点A关于y轴对称，
∴点A′的坐标为（1，0），
∴OA′＝1．
∵点B坐标为（0，2），
∴OB＝2．
过点B′作x轴的垂线，垂足为M，
由旋转可知，
AB＝AB′，∠BA′B′＝90°，
∴∠BA′O+∠B′A′M＝∠BA′O+∠A′BO＝90°，
∴∠B′A′M＝∠A′BO．
在△A′BO和△B′A′M中，
，
∴△A′BO≌△B′A′M（AAS），
∴B′M＝A′O＝1，A′M＝BO＝2，∴OM＝1+2＝3，
∴点B′的坐标为（3，1）．
故选：A．
6．如图，在△ABC中．BC＝20，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△A'BC'，且C′A⊥BC．点D，E分
别为BC'，AC的中点，连接DE．若C′A＝10．则DE的长度为（ ）
A．5 B．5 C．5 D．10
【分析】取AB中点H，连接DH，EH，由BC＝20，C′A⊥BC．点D，E分别为BC'，AC的中点，
C′A＝10，得DH∥C'A，EH∥BC，DH＝5，EH＝10，得DH⊥HE，即可得DE＝的长．
【解答】解：取AB中点H，连接DH，EH，
由BC＝20，C′A⊥BC．点D，E分别为BC'，AC的中点，C′A＝10，
得DH∥C'A，EH∥BC，DH＝ C'A＝5，EH＝ BC＝10，
得DH⊥HE，
得DE＝ ＝5 ．
故选：C．
7．有一题目：“如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝75°，∠ADC＝60°，AB＝CD＝2，AD＝4，将边AB
绕点A逆时针旋转角 （0°＜ ＜360°）得到AE，连接EC，ED．当△ECD为直角三角形时，求旋转角
的度数．”嘉嘉说：“角 为135°，”而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，角 还应有另外两个不同的
α α
值．”下列判断正确的是（ ）
α α α
A．淇淇说得对，且角 的另外两个值是45°，215°
B．淇淇说得对，且角 的另外两个值是45°，225°
α
C．淇淇说得不对，角 就得135°
α
αD．两人都不对，角 仅有2个不同值
【分析】连接AC，过点C作AD边的中线CG，CG交AD边于点G．先证明△DGC为等边三角形，得
α
到∠DGC＝∠DCG＝60°，AG＝CG＝2，利用外角性质得到∠CAD＝∠GCA＝30°，从而得到∠ACD＝
90°，∠CAB＝45°，然后分当点E在AC上时，当点E在CA的延长线上时，当ED⊥DC时三种情况讨
论求解即可．
【解答】解：连接AC，如图所示．
在四边形ABCD中，∠ADC＝60°，AB＝CD＝2，AD＝4，
过点C作AD边的中线CG，CG交AD边于点G．则AG＝GD＝CD＝2，
∴△DGC为等边三角形．
∴∠DGC＝∠DCG＝60°，AG＝CG＝2，
∴∠CAD＝∠GCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAB＝45°，
当点E在AC上时，此时∠ACD＝E CD＝90°，则旋转角 的度数为 45°；
1
当点E在CA的延长线上时，则 ＝45°+180°＝225°；
α
当ED⊥DC时，可得∠E AD＝60°，旋转角 的度数为75°+60°＝135°；
2 α
综上所述： ＝45°或135°或225°．
α
故选：B．
α
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，现将△ABC绕着顶点A顺时针旋转至△ADE处，其中点B，C的对
应点分别为D，E，点D在△ABC内部，过E作EF⊥AC于点F，若∠CAD＝15°， ，则线段AC
的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
【分析】先根据旋转的性质得到AE＝AC，∠CAE＝∠BAD，再计算出∠BAD＝45°，则∠CAE＝45°，然后证明△AEF为等腰直角三角形，所以AE＝ EF＝2，从而得到AC的长．
【解答】解：∵△ABC绕着顶点A顺时针旋转至△ADE处，
∴AE＝AC，∠CAE＝∠BAD，
∵∠BAC＝60°，∠CAD＝15°，
∴∠BAD＝60°﹣15°＝45°，
∴∠CAE＝45°，
∵EF⊥AC，
∴∠AFE＝90°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AE＝ EF＝ × ＝2，
∴AC＝2．
故选：C．
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个
小正方形的顶点称为格点）上，点A、B，C的坐标分别为A（﹣3，2），B（0，1），C（﹣2，0），
将△ABC绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到△A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'，
若点B'的坐标为（3，0），则旋转中心的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，2） C．（2，0） D．（﹣1，0）
【分析】根据旋转前后对应点连线的垂直平分线经过旋转中心即可解决问题．
【解答】解：如图所示，
∴旋转中心的坐标为（2，2）．
故选：B．
10．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】如图，取AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质和角的和差可得CD＝CG，∠DCF＝
∠GCE，根据旋转的性质可得CE＝CF，然后即可利用“边角边”证明△DCF和△GCE全等，进而可
得DF＝EG，然后根据垂线段最短可得EG⊥AD时EG最短，再根据30°角的直角三角形的性质求解即
可．
【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EG，
∵△ABC是等边三角形，AD是△ABC的对称轴，
∴AB＝BC＝AC＝8，∠ACB＝60°，
∴CD＝ BC＝4＝CG，
∵旋转角为60°，
∴∠ECD+∠DCF＝60°，
又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，
∴∠DCF＝∠GCE，
又∵CE旋转到CF，∴CE＝CF，
在△DCF和△GCE中，
，
∴△DCF≌△GCE（SAS），
∴DF＝EG，
根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，此时∵∠CAD＝ ×60°＝30°，AG＝ AC＝ ×8＝4，
∴EG＝ AG＝ ×4＝2，
∴DF的最小值是2．
故选：A．
11．平面直角坐标系中，把点A（﹣3，4）绕着原点逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为
．
【分析】根据题意画出示意图，结合旋转的性质及全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：如图所示，连接AO，BO，分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，
AO＝BO，∠AOB＝90°，
∴∠AOM+∠NOB＝∠NOB+∠B＝90°，
∴∠AOM＝∠B．
在△AOM和△OBN中，
，
∴△AOM≌△OBN（AAS），
∴BN＝OM，NO＝AM．
∵点A的坐标为（﹣3，4），
∴BN＝OM＝3，NO＝AM＝4，
∴点B的坐标为（﹣4，﹣3）．
故答案为：（﹣4，﹣3）．
12．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至
少是 ．【分析】根据同位角相等，两直线平行，求解即可．
【解答】解：当∠1＝∠2时，a∥b，
∵∠1＝85°，∠2＝50°，
∴∠1﹣∠2＝85°﹣50°＝35°，
即木条a旋转的度数至少是35°时，a∥b，
故答案为：35°．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A B C．点B的对应点B 在
1 1 1
边AC上（不与点A、C重合）．若∠AA B ＝20°，则∠B的度数为 ．
1 1
【分析】由旋转知AC＝A C，∠BAC＝∠CA B ，∠ACA ＝90°，从而得出△ACA 是等腰直角三角形，
1 1 1 1 1
即可解决问题．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴AC＝A C，∠BAC＝∠CA B ，∠ACA ＝90°，
1 1 1 1
∴△ACA 是等腰直角三角形，
1
∴∠CA A＝45°，
1
∵∠AA B ＝20°，
1 1
∴∠CA B ＝25°，
1 1
∴∠BAC＝25°，
∴∠B＝65°．
故答案为：65°．
14．如图，在等边三角形ABC中，AC＝6，CD⊥AB，点E是线段CD上一动点，连接AE，将线段AE绕
点A顺时针旋转60°，得到线段AP，连接DP，则DP长的最小值为 ．【分析】取AC的中点K，连接DK，EK，根据△ABC是等边三角形，AC＝6，CD⊥AB，可得∠BAC＝
60°，AD＝3＝AK，而将线段 AE绕点 A顺时针旋转 60°，得到线段 AP，即可证明△APD≌△AEK
（SAS），有DP＝EK，故当EK最小时，DP最小，此时EK⊥CD，由EK是△ACD的中位线，可得EK
＝ AD＝ ，从而DP长的最小值为 ．
【解答】解：取AC的中点K，连接DK，EK，如图：
∵△ABC是等边三角形，AC＝6，CD⊥AB，
∴∠BAC＝60°，AD＝3＝AK，
∵将线段AE绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP，
∴∠PAE＝60°，AE＝AP，
∴∠PAE＝∠BAC＝60°，
∴∠PAD＝∠EAK，
在△APD和△AEK中，
，
∴△APD≌△AEK（SAS），
∴DP＝EK，
∴当EK最小时，DP最小，此时EK⊥CD，
而CD⊥AB，
∴EK∥AD，
∴EK是△ACD的中位线，
∴EK＝ AD＝ ，∴DP长的最小值为 ，
故答案为： ．
15．如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45°后得到正方形
OA B C ，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到正方形OA B C ，那么点A 的坐标是
1 1 1 2024 2024 2024 2024
．
【分析】根据所给旋转方式，得出每旋转八次，点A的坐标循环出现，据此可解决问题．
【解答】解：因为360°÷45°＝8，
所以每旋转八次，点A的坐标循环出现．
因为2024÷8＝253，
所以点A 的坐标与点A的坐标相同．
2024
因为正方形的边长为1，
所以点A坐标为（0，1），
所以点A 的坐标为（0，1）．
2024
故答案为：（0，1）．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点D为垂足，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重
合，点D落在点E处，延长AE交CB的延长线于点F，延长EB交AD的延长线于点G，求证：EG＝
DF．
【分析】先根据三线合一定理得到∠ADC＝∠ADF＝90°，再由旋转的性质得到∠AEB＝∠ADC＝90°，
AE＝AD，证明△ADF≌△AEG即可证明EG＝DF．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADF＝90°，
∵△AEB由△ADC旋转而得，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，AE＝AD，在△ADF和△AEG中，
，
∴△ADF≌△AEG（ASA），
∴EG＝DF．
17．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，将△ADE顺时针旋转至△ABF的位置．
（1）旋转中心是 点，旋转角度是 度；
（2）若正方形边长为6，DE＝2，求EF的长．
【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质，即可解答；
（2）根据旋转的性质得出BF＝DE＝2，进而得出CE＝CD﹣DE＝4，CF＝BC+BF＝8，最后根据勾股
定理，即可解答．
【解答】解：（1）∵△ADE顺时针旋转至△ABF的位置，四边形ABCD为正方形，
∴旋转中心是点A，旋转角度为∠BAD＝90°，
故答案为：A，90；
（2）∵△ADE顺时针旋转至△ABF的位置，四边形ABCD为正方形，
∴BF＝DE＝2，∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABF＝90°，
∴∠CBF＝180°，即点F、B、C三点共线，
∵正方形边长为6，
∴BC＝CE＝6，
∴CE＝CD﹣DE＝4，CF＝BC+BF＝8，
根据勾股定理可得： ．
18．在△ABC中，∠ABC＝60°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转 （0°＜ ＜90°）得到△DBE，其中
点A的对应点为点D，连接CE．
α α
（1）若 ＝30°，如图①，求∠BEC的度数；
（2）当点α D在边BC上时，如图②，若DC＝2， ，求AB的长．【分析】（1）先由旋转性质，得∠EBC＝30°，BC＝BE，结合三角形内角和列式计算即可作答．
（ 2 ） 设 AB 的 长 为 2x ， 由 旋 转 性 质 ， 得 BD ＝ AB ＝ 2x ， 先 得
，再在Rt△ACH，AC2＝HC2+AH2代入数值计算即可作
答．
【解答】解：（1）∵将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转 （0°＜ ＜90°）得到△DBE， ＝30°
∴∠EBC＝30°，BC＝BE
α α α
∴ ；
（2）过点A作AH⊥BC，
∵∠ABC＝60°，
∴AB的长为2x， ，
∵将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转 （0°＜ ＜90°）得到△DBE，
∴AB＝BD＝2x，BC＝2x+2，
α α
则在Rt△ACH，AC2＝HC2+AH2，
即19＝（2x+2﹣x）2+3x2，
整理得4x2+4x﹣15＝（2x+5）（2x﹣3）＝0，
解得 （舍去），
∴AB的长为3．
19．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°， ，点 D 为△ABC 内一点，∠BAD＝15°，
，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点
E，连接DE，DE交AC于点F，
（1）求∠AFD的度数．
（2）求△ADE中DE边上的高．
（3）求CF的长．
【分析】（1）由旋转的性质结合三角形的外角的性质可得答案；（2）由勾股定理先求解DE＝12，再利用等面积法求解即可；
（3）过A作AH⊥DE于H，则∠AHF＝90°，证 明∠FAH＝30°，可得 ，利用勾股定理可得：
HF2+62＝（2HF）2，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）由旋转可知：∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，∠CAE＝∠BAD＝15°，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠AFD＝∠AED+∠CAE＝15°+45°＝60°；
（2）∵ ，
在Rt△ADE中，利用勾股定理可得： ，
∴△ADE中DE边上的高为 ；
（3）过A作AH⊥DE于H，则∠AHF＝90°，
由（1）知∠AFD＝60°，∠FAH＝30°，
，
由（2）知 AH＝6，
在Rt△AFH中，利用勾股定理可得：HF2+62＝（2HF）2，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
20．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三
角板PAC，三角板PBD均可以绕点P旋转．
（1）在图1中，∠DPC＝ ；
（2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，旋转角度为 （0°＜ ＜
180°），当 等于多少度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直；
α α
α②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时
三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P顺时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PM重合时，两三角
板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？
【分析】（1）根据三角板的角度进行计算即可得到结论；
（2）①如图，根据PC′⊥PD，∠DPC＝75°，∠DPC′＝90°，求出结论即可；
②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，分两种情况：当PC转到与PD重合前和
当PC转到与PD重合后，分别列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠BPD＝∠D＝45°，∠APC＝60°，
∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故答案为：75°；
（2）①如图，此时，PC′⊥PD，
∴∠DPC＝75°，∠DPC′＝90°，
∴∠CPC′＝75°+90°＝165°，
∴当 等于165度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直；
②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，
α
当PC转到与PM重合时， （秒），
分两种情况：
当PC转到与PD重合前，∠CPD＝∠BPM时，
∴∠CPD＝180°﹣∠BPD﹣∠BPM﹣∠APN﹣∠APC＝180°﹣45°﹣2t°﹣3t°﹣60°＝（75﹣5t）°
当∠CPD＝∠BPM，即2t＝75﹣5t，
解得： 秒；
当PC转到与PD重合后，∠CPD＝∠BPM时，
∴∠CPD＝∠BPD+∠BPM+∠APN+∠APC﹣180°＝45°+2t°+3t°+60°﹣180°＝（5t﹣75）°
当∠CPD＝∠BPM，即2t＝5t﹣75，
解得：t＝25秒；
∴当∠CPD＝∠BPM，旋转的时间是 或25秒．
