专题1.43科学记数法与近似数（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）_初中数学人教版_7上-初中数学人教版_7上-初中数学人教版（旧版）赠送_07专项讲练

专题1.43 科学记数法与近似数（知识讲解） 【学习目标】 1.理解科学记数法的意义，并会用科学记数法表示一个较大的数； 2.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其 精确度； 3.体会近似数在生活中的实际应用. 【要点梳理】 要点一、科学记数法 a10n a a 把一个大于10的数表示成 的形式（其中 是整数数位只有一位的数，l≤| | n 42000000 4.2107 ＜10， 是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如 ＝ . 特别说明： -3000 （1）负数也可以用科学记数法表示，“ ”照写，其它与正数一样，如 = 3103 ； a10n （2）把一个数写成 形式时，若这个数大于10的数，则n比这个数的整数位数 少1. 要点二、近似数及精确度 1. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如 长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 特别说明： 一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 2. 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一 位也叫做这个近似数的精确度. 特别说明： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误 0.1 0.05 差绝对值的大小，例如精确到 米，说明结果与实际数相差不超过 米. 【典型例题】 类型一、用科学记数法表标绝对值大于1的数1．一只草履虫每小时大约能够形成60个食物泡，每个食物泡中大约含有30个 细菌，那么，一只草履虫每天大约能够吞食多少个细菌?100只草履虫呢?(用科学记数法表 示) 【答案】一只草履虫每天大约能够吞食4.32×104个细菌，100只草履虫则可吞食 4.32×106个细菌 【分析】 根据题意进行计算，再由科学记数法的定义，即任何一个绝对值大于或等于1的数都 可表示为a×10n的形式，其中n=整数位数－1，进行表示即可． 解：30×60×24=43200=4.32×104（个）， 4.32×104×100=4.32×106（个）， 答：一只草履虫每天大约能够吞食4.32×104个细菌，100只草履虫则可吞食4.32×106个 细菌． 【点拨】本题考查了科学记数法，明确科学记数法的定义，准确确定a与n的值是解 题的关键． 举一反三： 【变式1】 用科学记数法表示下列数据： （1）水星的半径为 ； （2）木星的赤道半径约为 ； （3）地球上的陆地面积约为 ； （4）地球上的海洋面积约为 ． 【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 【分析】 科学记数法的表示形式为a× 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时， 要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原 数绝对≥10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 解：（1） ＝ ；（2） ＝ ； （3） ＝ ； （4） ＝ ． 【点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a× 的形式， 其中1≤|a|＜10，n为整数．表示时关键要确定a的值以及n的值． 【变式2】光的速度约为 ，太阳光线到地球上需要的时间约为 ，地 球与太阳的距离约为多少千米？（用科学记数法表示） 【答案】1.5× 千米 【分析】 用速度乘以时间，再根据科学记数法的表示形式为a× 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数解答． 解：地球与太阳的距离＝（3× ）×（5× ）， ＝（3×5）×（ × ）， ＝1.5× ． 答：地球与太阳的距离约为1.5× 千米 【点拨】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 类型二、将科学记数法表示的数换成原数 2．下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？ （1）北京故宫的占地面积约为 ； （2）人体中约有 个红细胞； （3）全球每年大约有 的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽．【答案】（1） ；（2）25000000000000个；（3） 【分析】 用科学记数法还原原数时， 时， 是几，小数点向右移动几位． 解：（1） ＝ ； （2） ＝25000000000000个； （3） ＝ ． 【点拨】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10−n表示的数， “还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．科学记数法 a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数； 把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为 检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 举一反三： 【变式1】 下列用科学记数法写出的数，原来分别是什么数？ (1) ；(2) ；(3) . 【答案】(1)1000000；(2) 3200000；(3)-68000000. 【分析】 将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移 动n位所得到的数． 解：(1) =1000000； (2) =3200000； (3) =--68000000. 【点拨】本题考查了写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10n表示的数， “还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．把一个数表示成 科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数 法表示一个数是否正确的方法．【变式2】把下列用科学记数法表示的数还原成原数： （1）3.5×106；（2）1.20×105； （3）-9.3×104；（4）-2.34×108. 【答案】（1）3 500 000.（2）120 000.（3）-93 000.（4）-234 000 000. 解：试题分析：将科学记数法表示的数,"还原"成通常表示的数,就是把的小数点向右移 动位所得到的数.要看10的指数，指数是几就向右移动几位. 试题解析：（1）3.5×106 =3 500 000；（2）1.20×105 =120 000；（3）-9.3×104 =-93 000；（4）-2.34×108 =-234 000 000. 类型三、求一个数的近似数 3、按照要求，用四舍五入法对下列各数取近似值： (1)0.76589（精确到千分位）； (2)289.91（精确到个位）； (3)320541（保留三个有效数字）； (4) （精确到千位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 对于（1），确定万分位上的数字，再精确即可； 对于（2），确定十位上的数字，再精确即可； 对于（3），先将数字用科学记数法表示，再根据有效数字的定义判断即可； 对于（4），先将1.423×104化为14230，再确定万位上的数字是2，即可得出答案． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【点拨】本题主要考查了近似数和有效数字，掌握定义是解题的关键.注意：精确到哪 一位，只需对下一个数字进行四舍五入． 举一反三： 【变式1】 用四含五入法，按括号内的要求，对下列各数取近似值： （1）245.635（精确到0.1）； （2）175.65（精确到个位）； （3）12.004（精确到百分位）； （4）6.5378（精确到0.01）．【答案】（1）245.6；（2）176；（3）12.00；（4）6.54． 【分析】 （1）精确到0.1，即保留小数点后面第一位，看小数点后面第二位，利用“四舍五 入”法解答即可； （2）精确到个位，就看小数点后面第一位，利用“四舍五入”法解答即可； （3）精确到百分位，即保留小数点后面第二位，看小数点后面第三位，利用“四舍五 入”法解答即可； （4）精确到0.01，就看千分位，利用“四舍五入”法解答即可． 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 【点拨】本题主要考查近似数的求法，掌握最后一位所在的位置就是精确度，注意保 留数位上的0不能去掉． 【变式2】用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）0.00356（精确到0.0001）； （2）566.1235（精确到个位）； （3）3.8963（精确到0.01）； （4）0.0571（精确到千分位）． 【答案】（1）0.0036；（2）566；（3）3.90；（4）0.057． 【分析】 （1）直接对十万分位上的数字6进行四舍五入即可； （2）直接对十分位上的数字1进行四舍五入即可； （3）直接对千分位上的数字6进行四舍五入即可； （4）直接对万分位上的数字1进行四舍五入即可． 解：（1）0.00356 （精确到0.0001）； （2）566.1235 （精确到个位）； （3）3.8963 （精确到0.01）； （4）0.0571 （精确到千分位）． 【点拨】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度 表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0 的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 类型四、指数一个数的近似数精确到哪一位4、下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ （1）7.93； （2）0.0405； （3）25.9万； （4） ． 【答案】（1）精确到百分位；（2）精确到万分位；（3）精确到千位；（4）精确到 万位． 【分析】 根据近似数的定义一个数最后一位所在的数位就是这个数的精确度，即可得出答案． 解：（1）7.93，精确到百分位； （2）0.0405，精确到万分位； （3）25.9万，精确到千位； （4） ，精确到万位． 【点拨】此题考查了近似数，用到的知识点是近似数，一个数最后一位所在的数位就 是这个数的精确度． 举一反三： 【变式1】 列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ （1）38200；（2）0.040；（3）20.05000 【答案】（1）个位；（2）千分位；（3）十万分位 【分析】 根据近似数的特点即可求解． 解：（1）38 200精确到个位； （2）0.040精确到千分位； （3）20.05000精确到十万分位． 【点拨】此题主要考查近似数，解题的关键是熟知近似数的性质特点． 【变式2】阅读材料：2018年3月5日上午9时，十三届全国人大一次会议在人民大 会堂开幕，听取国务院总理李克强作政府工作报告，李克强总结回顾过去五年工作指出： 第十二届全国人民代表大会第一次会议以来的五年，是我国发展进程中极不平凡的五年， ……五年来，经济实力跃上新台阶，国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增 长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%财政 收入从11.7万亿元增加到17.3万亿元居民消费价格年均上涨1.9%，保持较低水平城镇新增 就业6600万人以上，13亿多人口的大国实现了比较充分就业解决问题：（1）请你把数据“6600万”用科学记数法表示出来； （2）数据“82.7万亿”精确到哪一位？ 【答案】（1）6.6×107；（2）千亿 【分析】 （1）根据科学记数法的定义进行解题即可：把一个大于10的数表示成 的形式 （其中 是整数数位只有一位的数，l≤| |＜10， 是正整数） （2）一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫 做这个近似数的精确度 解：（1）6600万＝66000000， ∴数据“6600万”用科学记数法表示为6.6×107； （2）数据“82.7万亿”精确到千亿． 【点拨】本题主要考查了科学记数法与近似数，掌握二者的相关概念是解题关键 类型五、由近似数推断出原数的取值范围 5、若k的近似值为4.3，求k的取值范围． 【答案】4.25≤k＜4.35 【分析】 根据四舍五入的特点即可求解． 解：∵4.3-0.05≤k＜4.3+0.05， ∴4.25≤k＜4.35． 【点拨】此题主要考查近似数，解题的关键是熟知四舍五入的性质． 举一反三： 【变式1】把一个四位数x先四舍五入到十位，所得的数为y，再将y四舍五入到百位， 所得的数为z，再将z四舍五入到千位，所得的数恰好为3×103． (1)数x的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来 【答案】（1）最大3444，最小2445；（2）1.0×103． 【分析】 （1）由于是把四位数x先四舍五入到十位，再四舍五入到百位，再四舍五入到千位， 恰好是3×103，所以可据此结合四舍五入的原则求解． （2）相减后用科学记数法表示，然后取近似值即可．解：（1）x先四舍五入到十位为y，所得数再四舍五入到百位为z， 根据题意和四舍五入的原则可知， ①x =2445，y≈2450，z≈2500，2500四舍五入约等于3000； 最小值 ②x =3444，y≈3440，z≈3400，3400四舍五入约等于3000． 最大值 最大3444，最小2445； （2）因为最大3444，最小2445 所以3444-2445=999≈1.0×103． 故答案为（1）最大3444，最小2445；（2）1.0×103． 【点拨】本题考查近似数和有效数字. 【变式2】在学校组织的一次体检中，甲、乙两名同学的身高都约为1.7×102 cm，但 甲却说他比乙高9 cm，你认为有这种可能吗？若有，请举例说明. 【答案】有这种可能 分析：根据近似数的取值范围得出甲、乙两名同学的最大身高和最低身高，从而得出 答案． 解：有这种可能．甲、乙两名同学的身高虽然都约为1.7×102 cm，但1.7×102 cm是精 确到十位的近似数，其准确数的范围是大于或等于165 cm，小于175 cm，若甲的身高为 174 cm，乙的身高为165 cm，则甲比乙高9 cm，故有这种可能． 【点拨】本题主要考查近似数的取值范围，属于基础题型．根据题意得出近似数的取 值范围是解决这个问题的关键．