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专题1.42 有理数混合运算31题（培优篇）（专项练习）
一、填空题
1．阅读理解： ， ， ……阅读以上材料后计
算： =__．
2．计算：
_________．
3．计算
=_____________.
二、解答题
4．计算:
(1) ×(-24); (2)(-81)÷ ÷(-8).
5．计算：
（1） ÷7； （2） ；（3） ； （4） ；
（5） ．
6．计算：
（1） （2）
7．计算
（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）． （2）3 +（﹣2 ）+5 +（﹣8 ）．
（3）（﹣ ）×（﹣ ）+（﹣ ）×（ ）． （4）（﹣ ）×（﹣1 ）÷（﹣2
）．（5）42×（﹣ ）+（﹣ ）÷（﹣0.25）． （6）（﹣1）10×3+（﹣2）3÷4﹣145×0．
8．计算题：
（1） ； （2） ；
（3）
（4） ．
9．计算：
（1）-（-2.5）+(+2.2)-3.1+(-0.5)-(+1.1) （2）（3） （4）
（5）（-1）9×（-3）3-30 （6）-︱-3︱×（-4）-6÷（- ）2
10．计算： ．
11．阅读解题： ， ， ，…
计算：
理解以上方法的真正含义，计算：
（1）
（2）
（3）12．计算：1+ ．
13．阅读下列材料：计算： ÷（ – + ）．
解：原式的倒数为
（ – + ）÷
=（ – + ）×12
= ×12– ×12+ ×12
=2．
故原式= ．
请仿照上述方法计算：（– ）÷（ – + – ）．
14．计算下列各题：
（1）3.587-（-5）+（-5 ）+（+7）-（+3 ）-（+1.587）；（2）（－1）5×{[－4 ÷（－2）2+（－1.25）×（－0.4）]÷（－ ）－32}.
15．计算
1 1 1 3
（1） 24 +6÷ ×3 ； （2） 2 −(− )×0÷(−2 )；
3 3 2 5
3 1 5 7 5 15
（3） 15×(− + )−24×( − )； （4）(−5 )×(−36)+71 ×(−8)；
5 3 12 15 18 16
2
（5）−2−[−4+(1− ×0.6)÷(−3)]； （6） ．
3
16．计算
①+(+7)-(-20) + (-40)-(+6) -| -3-4 | ②
17．计算
（1） ； （2） .18．计算（1） （2）(-81)
19．计算（1） （2）
20．计算：
（1） （2）
21．（1）计算： （2）解方程：
22．请观察下列算式，找出规律并填空．
， ， ， ．
则第10个算式是________，第 个算式是________．根据以上规律解读以下两题：
（1）求 的值；
（2）若有理数 ， 满足 ，试求：
的值．
23．观察下列等式： ， ， ，将三个等式两边分别相加
得： ．
（1）猜想并写出： ；
（2） ；
（3）探究并计算： ．（写出计算过程）
24．如果有理数 满足 ，试求
的值．25．阅读下列材料：
， ， ，
由以上三个等式相加，可得
.
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1） （写出过程）；
（2） __________________________（直接写出答案）；
（3） _____________________（直接写出答案）.
26．运算律是解决许多数学问题的基础，在运算中有重要的作用，充分运用运算律能使计
算简便高效.
例如：(－125 )÷(－5)
解：(－125 )÷(－5)=125 × =(125+ )× =125× + × =25+ =25
(1)计算：6÷(－ + )，A同学的计算过程如下：
原式=6×(－ )+6× =－6+9=3.
请你判断A同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程.
(2)请你参考例题，用运算律简便计算(请写出具体的解题过程)：
999×118 +333×(－ )－999×18 .27．阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道：
； ； ； …．那么：
(1) = _______； = _______；
(2)计算： + + +…+ + ；
(3)计算： + + +…+ + .
28．阅读下面的解答过程，计算：
解：因为 ， ，...，
所以原式=
= =
根据以上解决问题的方法计算:
(1)
(2) …….+ .29．请观察下列算式，找出规律并解决问题
=1- ， = - ， = - ， = -
则第10个算式是 = ；
根据以上规律解答下题：
若有理数a. b满足|a-1|+(b-3)2=0,试求： + + + …… +
的值.
30．数学老师布置了一道思考题：“计算 ”，小红和小明两位同
学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题．
小红的解法：原式的倒数为
．所以
．
小明的解法：原式 ．
请你分别用小红和小明的方法计算： ．31．计算：
（1） （2）
（3） （4）
参考答案
1．
【分析】
先将整数和分数分开，再根据材料进行拆项并抵消，依此计算即可．
解：=81+
= ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，需要有一定的运算求解能力，关键是熟悉材料所
给的式子．
2．
【分析】
设 ，先把两个多项式拆分，然后利用乘法分配律进行计算，然后计算
加减法，即可得到答案.
解：设 ，则 ，
∴原式=
=
=
= .
故答案为： .
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则进行解题，注意使用换元法，
以及乘法分配律进行解题是关键.
3．
解：设a= ，b= ，则原式=a(1+b)-b(1+a)=a+ab-b-ab=a-b= ，
故答案为 .
【点拨】本题考查了利用整体思想、换元思想进行计算，能正确地设a= ，
b= 是解决此题的关键.
4．（1）-18;（2）2
【分析】
（1）根据乘法分配律，结合乘法法则进行计算即可；
（2）根据乘除法的混合运算的运算顺序和乘除法的法则进行计算即可.
解：(1) ×(-24)，
= ×（-24）+ ×(-24)- ×(-24)，
=-12-20+14，
=-18，
解：(2)(-81)÷ ÷(-8)，
=81× ×
=2.
【点拨】此题主要考查了有理数的运算，关键是利用有理数的运算法则和有理数的运算顺
序进行计算即可.
5．（1）－2 ；（2） ；（3） ；（4）-1；（5） ．
【分析】
（1）利用有理数的混合运算法则和乘法分配律、结合律计算即可完成；
（2）根据有理数混合运算法则，结合乘法分配律计算即可得答案；
（3）根据有理数混合运算法则计算即可得答案；
（4）根据有理数混合运算法则计算即可得答案；
（5）先根据有理数混合运算法则，结合乘法分配率求出第一个加数的值，进而根据第二个加数是第一个加数的倒数即可求出第二个加数的值，最后计算加法即可得答案．
解：（1）(－28 ＋14 )÷7
＝（－28－ ＋14+ )×
＝－4－ ＋2+
＝－2 ．
解：（2）(－13 )÷5－1 ÷5＋13×
＝(－13 )× －1 × ＋13×
＝(－13－ －1－ ＋13)×
＝－2×
＝－ ．
解：（3）1 ×[3×(－ )－1]－ ×(－8)－8
＝ ×(－2－1)＋ －8
＝－ ＋ －8
＝－ ．
解：（4）－|－ |－|－ × |－| － |
＝－ － －( － )
＝－ － － ＋
＝－1．解：（5）(2 －3 ＋ )÷(－1 )＋(－1 )÷(2 －3 ＋ )
∵(2 －3 ＋ )÷(－1 )
＝( － ＋ )×(－ )
＝ ×(－ )－ ×(－ )＋ ×(－ )
＝－2＋3－
＝ ，
∴(－1 )÷(2 －3 ＋ )= ，
∴原式= + = ．
【点拨】本题考查有理数的混合运算和运算律的运用，熟练掌握有理数的运算法则以及运
算律是解题关键．
6．（1）-11；（2）
【分析】
（1）利用乘法分配律进行简便计算；（2）把 拆解成100- ，然后运用乘法分配律
进行简便计算.
解：（1）
=
=
=7-18
= -11
解：（2）=
=
=
=
=
【点拨】根据此题算式的结构特征，灵活运用乘法分配律进行简便运算是解答此类计算题
的关键.
7．（1）23；（2）﹣2；（3）﹣6；（4） ；（5）﹣25；（6）1．
【分析】
分别根据有理数的加、减、乘、除法进行计算，有乘方的先算乘方，再算乘除，最后算加
减法.
解：（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）
＝12+18+（﹣7）
＝23；
解：（2）
＝9+（﹣11）
＝﹣2；
解：（3）
＝﹣6；解：（4）
；
解：（5）
＝﹣28+3
＝﹣25；
解：（6）（﹣1）10×3+（﹣2）3÷4﹣145×0
＝1×3+（﹣8）÷4﹣0
＝3+（﹣2）﹣0
＝1．
【点拨】此题考察有理数的加、减、乘、除、乘方运算，掌握正确的计算顺序是解题的关
键.
8．（1） ；（2）1；（3） ；（4）-6
【分析】
（1）先依次化简绝对值，再计算加减法；
（2）先计算两个乘方，再计算乘法，最后计算加减；
（3）先分组，将 放在一起计算得到整数，再将结果相加即可；
（4）将前三项利用乘法分配率的逆运算计算，后面的乘法利用乘法分配率计算，再计算前
面的乘法，最后计算加减法.
解：（1） ，
= ，= ，
= ；
解：（2） ，
=-4+3+2，
=1；
解：（3）
= ，
= ，
= ，
= ；
解：（4） ，
= ，
=4-10，
=-6.
【点拨】此题考查有理数的混合运算，掌握正确的计算顺序是解题的关键.
9．（1）0；（2）1；（3）17；（4）0；（5）-3；（6）-42
【分析】
（1）先去括号，再根据有理数的加减混合运算法则计算；
（2）将分数化为小数及去括号，再根据加减法计算法则计算；
（3）利用乘法分配律计算；
（4）利用乘法分配律计算法则计算；（5）先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法；
（6）先同时化简绝对值及乘方，再计算乘法和除法，最后计算减法.
解：（1）-（-2.5）+(+2.2)-3.1+(-0.5)-(+1.1)
=2.5+2.2-3.1-0.5-1.1
=0；
解：（2）
=-0.5-3.25-2.75+7.5
=7-6
=1；
解：（3）
=
=18+20-21
=17；
解：（4）
=
=0；
解：（5）（-1）9×（-3）3-30
=-1 （-27）-30
=27-30
=-3；
解：（6）-︱-3︱×（-4）-6÷（- ）2
=
=12-54
=-42.
【点拨】此题考查计算，掌握有理数的加法法则、减法法则、乘方法则、混合计算法则，
正确计算是解题的关键.
10．4【分析】
根据题意将小数和分数互相转化，将分数除法转变为分数乘法，然后根据分数的乘法运算
法则和乘法分配律计算即可．
解：原式
=
=
=
=4
故答案为4．
【点拨】本题考查了含小数的分数乘除混合运算，关键是掌握分数除法的运算法则，并且
要将小数转化为分数或分数转化为小数．
11．（1） ；（2） ；（3）
【分析】
（1）（2）根据例题中所给出的式子列式计算即可；
（3）先将分母变形，再根据例题中的规律列式计算即可．
解：（1）
=
=
= ；
解：（2）
==
= ；
解：（3）
=
=
=
=
【点拨】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解答此题的关键．
12．1
【分析】
根据有理数的混合运算法则计算即可．
解：因为1+2+3+…+n= {（1+2+…+n）+[n+（n-1）+（n-2）+…+1]}
= [（1+n）+（2+n-1）+（3+n-2）+…+（n+1）]= n（n+1），所以
．
所以原式=1+2（ - ）+2（ - ）+…+2（ =1
【点拨】本题考查的是有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键，解
答时，注意正确找出规律．
13．– ．
【分析】
根据阅读材料介绍的方法，利用乘法分配律求出原式倒数的值，即可求出原式的值．解：（ – + – ）÷（– ）
=（ – + – ）×（–42）
=（–42）× –（–42）× +（–42）× –（–42）×
=–7+9–28+12
=–14，
故原式=– ．
【点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括
号，要先做括号内的运算．
14．（1）原式=5 ；（2）原式＝3.
【分析】
（1）运用加法的运算律，把小数与小数相加，整数与整数相加，分数与分数相加；
（2）把带分数化为假分数，除法转化为乘法，再按有理数的混合运算法则计算.
解：（1）原式=3.587+5-5 +7-3 -1.587
=（3.587-1.587）+（5+7）+（-5 -3 ）
=2+12-8
=5 .
解：（2）原式＝-1×{[- ÷4+0.5]÷（- ）-9}
＝-1×[（- ）÷（- ）-9]
＝-1×（6-9）
＝-1×（-3）
＝3.
4
15．（1）70；（2）
；（3）−2
；（4）－385.5；（5）2.2；（6） .
5试题分析：（1）利用有理数的乘方和有理数乘除法法则计算即可；
（2）按先乘除，后加减的顺序计算，注意有因数为0；
（3）利用乘法分配率进行简算；
（4）利用乘法分配率进行简算；
（5）按先乘除，后加减，有括号先算括号内的；
（6）按照有理数四则混合运算顺序进行计算即可．
解：（1）原式=16+18×3=16+54=70；
（2）原式= = ；
（3）原式= = = ；
（4）原式= ；
（5）原式=
（6）原式= ．
16．①－12②－19
试题分析：①根据有理数的加减法法则，直接计算即可；
②根据乘法分配律和有理数的乘法法则计算即可.
解：①+(+7)-(-20) + (-40)-(+6) -| -3-4 |
=7+20－40－6＋7
=－12
②
=－18＋20－21
=－19
【点拨】此题主要考查了有理数的运算，解题时运用有理数的加减法法则和乘除法法则，
结合运算顺序和运算律计算即可.
17．（1）22 （2）
解：（1）先把小括号里边进行通分再进行计算，然后再进行乘法运算： ==22
（2）有理数的乘除运算：根据除法法则除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数，先将
算式统一为乘法，然后再按顺序进行运算，
【结束】
18．（1） （2）18
解：根据有理数的混合运算的法则和运算律计算即可，解题时注意运算符号，避免出错.
解：（1）
=
=-3-
=-5
解：（2）(-81)
=-81× ×（ ）× +2×4×2
=2+16
=18
19．（1）-15（2）
解：试题分析：根据有理数的混合运算的法则和运算律计算即可，解题时注意运算符号，
避免出错.
解：（1）
=-33- - +
=-33+12+20-14
=-15解：（2）
=
= --
=-3
20．（1）-5（2）-13
试题分析：（1）根据乘法分配律先去括号，然后根据有理数的乘法计算即可；
（2）根据乘方、绝对值、和有理数的除法计算即可.
解：（1）
=18-44+21
=-5
解：（2）
=-8+3-8
=-13
21．（1） （2）
试题分析：（1）先去括号和绝对值符号后，再计算即可；（2）按等式性质称项、两边同
时乘2，直至系数为1即可；
解：（1）原式＝ ;
解：（2） { [ ( -3)-3]-3}-3=0
{ [ ( -3)-3]-3}=3[ ( -3)-3]-3=6
[ ( -3)-3]=9
( -3)-3=18
( -3)=21
-3=42
=45
x=90
22． ， ；（1） ；（2）
【分析】
归纳总结得到一般性规律，写出第10个等式及第n个等式即可；
（1）原式变形后，计算即可得到结果；
（2）利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
解：第10个算式是 ，
第n个算式是 ；
（1）
=
=
= ；
解：（2）∵ ，
∴a-2=0，b-4=0，∴a=2，b=4，
∴
=
=
=
=
【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（1） ；（2） ；（3）
【分析】
（1）根据已知等式作出猜想，写出即可；
（2）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；
（3）算式前面整体乘以 ，则可按（2）中规律计算．
解：（1）猜想得到： = ，
故答案为： ；
解：（2）
=
=
=
故答案为： ；解：（3）
=
=
=
=
【点拨】本题考查了裂项法在有理数混合运算中的应用，读懂题意，明确裂项法的原理，
是解题的关键．
24．
【分析】
首先利用非负数的性质得出a、b的数值，进一步代入，把分数分解求得答案即可．
解：∵|ab-3|+|1-b|=0，
∴ab-3=0，1-b=0，
解得a=3，b=1，
∴
=
=
=
=
= ．
【点拨】此题考查分式的化简求值、代数式求值，非负数的性质，把分数拆分是解决问题的关键．
25．（1）440； （2） ； （3）1260.
【分析】
通过观察，根据给定等式的变化找出变化规律
（1）根据变化规律将算式展开后即可得出原式 ，此题得解；
（2）根据变化规律将算式展开后即可得出原式 ，此题得解；
（3）通过类比找出变化规律
，依此规律将算式展
开后即可得出结论．
解：观察，发现规律： ， ，
，…，
∴ ，
解：（1）原式
；
解：（2）原式
；故答案为： ；
解：（3）观察，发现规律：
…，
∴ ，
∴原式=
故答案为：1260.
【点拨】本题考查了规律型中数字的变化类以及有理数的混合运算，根据等式的变化找出
变化规律是解题的关键．
26．(1)A同学的计算是错误的，正确过程见解析；(2)99900.
【分析】
（1）利用有理数的混合运算法则计算即可；
（2）模仿题目中的计算方式，利用有理数混合运算法则以及乘法对加法的结合律即便运算
即可.
解：(1)解:A同学的计算是错误的
6÷(－ + )
= 6÷(－ )
=－
(2)解：999×118 +333×(－ )－999×18
=999×(118 － －18 )=99900
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则以及简便算法是解
题关键.
27．（1） ， （2） （3）
【分析】
（1）根据已知的式子可得 = ，故可求解；
（2）根据（1）中的规律将原式变形即可求解；
（3）根据题中的规律将原式变形即可求解.
解：（1）∵ ； ； ； …．
∴ = ， =
故填： ， ；
解：（2） + + +…+ +
= + + +…+
=1-
=
解：（3） + + +…+ +
= + + +…+
= ×[ + + +…+ ]
= ×[ + + +…+ ]
= ×[1- ]
= ×=
【点拨】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是根据已知的式子发现规律进行求解.
28．（1） ；（2） .
【分析】
(1)模仿题目中的例子可以解答本题；
(2)类比题目中的例子，找到 和 的关系，将它转化为一般关系，即可求解.
解：（1） ；
（2）∵ ， ， …….
∴原式=
=
=
= .
【点拨】本题考查有理数的混合运算，规律型：数字的变化类，能通过题中规律得出
以及抵消法的运用是解决本题的关键.
29． ； ； .
【分析】
根据所给的算式，可找出规律： ；现根据所给的式子，利用两个非负数
的和等于，则每一个非负数等于0，可求出 、 ，再把 、 的值代入所求式子，利用公式 进行计算即可．
解： = ；
，
， ，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题主要是寻找规律，再根据有理数的混合运算计算，并利用了两个非负数的和
等于0，则每一个非负数等于0的知识．
30．
【分析】
参考小红和小明的两种不同方法计算即可.
解：法 ：原式的倒数为
，
∴ ；
法 ：原式 ．
【点拨】灵活采用运算技巧能使计算简化.31．（1）4；（2）-81；（3）60；（4）-3
【分析】
（1）先化简绝对值，同时去括号，再根据加减法法则计算；
（2）先将除法化为乘法，计算乘法，最后计算加减法；
（3）根据乘法分配率计算；
（4）先化简乘方、绝对值，乘法，最后计算加减法.
解：（1）
=2-3+5
=4；
解：（2）
=-1-5 4 4
=-1-80
=-81；
解：（3）
=
=-18+108-30
=60；
解：（4）
=-1-3+
=-4+1
=-3.
【点拨】此题考查有理数的混合运算，正确掌握绝对值的化简，乘方运算，乘法分配率运
算法则是解题的关键.
