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专题 11.2 三角形的周长与面积
【典例1】课题学习：三角形的中线
在认识了三角形的三条重要线段高、角平分线、中线之后，张华同学观察自己作的图形“△ABC边BC边
上的中线AD…”时，发现：线段AD不仅平分△ABC的边BC，还平分△ABC的面积．
（一）探究与发现：张华的同桌思考之后，给出了以下思路和证明：过点 A作BC边上的高AE，则：
1
S = DB⋅AE…
△ADB 2
所以，三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积．
请你添加张华的同桌所作的辅助线，并将其证明过程补充完整．
（二）运用与实践：请你根据以上发现，解决以下问题：
（1）如图2，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，△ABC的面积为40，BD＝5，求△ABE的面积
和点E到BC的距离．
（2）如图3，有一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块试验田分
成面积相等的四块三角形地块．请你设计出四种不同的划分方案．
【思路点拨】
（一）如图1中，过点A作AE⊥BC于E．利用三角形面积公式证明即可．
（二）（1）如图2中，过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用（一）中结论解决问题即可．
（2）利用三角形中线的性质画出图形即可（答案不唯一）．
【解题过程】
解：（一）探究与发现：如图1中，过点A作AE⊥BC于E．
∵AD是△ABC边BC边上的中线1
∴DB= BC，
2
1 1 1 1
∴S = •BD•AE= • •BC•AE= •S ．
△ABD 2 2 2 2 △ABC
（二）运用与实践：
（1）如图2中，过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵AD是△ABC的中线，
1
∴S = S ；
△ABD 2 △ABC
1
同理，S ＝S = S ，
△BDE △ABE 2 △ABD
1 1
∴S ＝S = S = ×40＝10．
△BDE △ABE 4 △ABC 4
1 1 1
∵S = BD•EF，所以 BD•EF= S ．
△BDE 2 2 4 △ABC
又△ABC的面积为40，BD＝5，
∴EF＝4，
即E到BC的距离是4．
（2）如图所示（取各边中点或中线的中点）．
1．（2020秋•蠡县期中）在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与
15cm两部分，求三角形各边长．
【思路点拨】根据中线的定义得到AD＝CD，设AD＝CD＝x，则AB＝2x，分类讨论：当x+2x＝12，BC+x＝15；当x+2x
＝15，BC+x＝12，然后分别求出x和BC，即可得到三角形三边的长．
【解题过程】
解：如图，
∵DB为△ABC的中线
∴AD＝CD，
设AD＝CD＝x，则AB＝2x，
当x+2x＝12，解得x＝4，
BC+x＝15，解得BC＝11，
此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝8，BC＝11；
当x+2x＝15，BC+x＝12，解得x＝5，BC＝7，
此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝10，BC＝7．
3
2．（2020春•五华区校级期末）已知△ABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，AB= AC．
2
（1）如图，当AC＝10cm时，求BD的长．
（2）若AC＝12cm，能否求出DC的长？为什么？
【思路点拨】
（1）根据三角形中线的性质解答即可；
（2）根据三角形周长和边的关系解答即可．
【解题过程】
3
解：（1）∵AB= AC，AC＝10cm，
2∴AB＝15cm．
又∵△ABC的周长是33cm，
∴BC＝8cm．
∵AD是BC边上的中线，
1
∴BD= BC=4cm．
2
（2）不能，理由如下：
3
∵AB= AC，AC＝12cm，
2
∴AB＝18cm．
又∵△ABC的周长是33cm，
∴BC＝3cm．
∵AC+BC＝15＜AB＝18，
∴不能构成三角形ABC，则不能求出DC的长．
3．（2020秋•重庆期末）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB
上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等．
（1）求线段AE的长．
1
（2）若图中所有线段长度的和是53cm，求BC+ DE的值．
2
【思路点拨】
（1）设AE＝xcm，根据三角形BDE与四边形ACDE的周长相等列方程，解方程即可；
（2）找出图中所有的线段，再根据所有线段长度的和是53cm，求出2BC+DE，得到答案．
【解题过程】
解：（1）∵三角形BDE与四边形ACDE的周长相等，
∴BD+DE+BE＝AC+AE+CD+DE，
∵BD＝DC，
∴BE＝AE+AC，
设AE＝x cm，则BE＝（10﹣x）cm，由题意得，10﹣x＝x+6．
解得，x＝2，
∴AE＝2cm；
（2）图中共有8条线段，
它们的和为：AE+EB+AB+AC+DE+BD+CD+BC＝2AB+AC+2BC+DE，
由题意得，2AB+AC+2BC+DE＝53，
∴2BC+DE＝53﹣（2AB+AC）＝53﹣（2×10+6）＝27，
1 27
∴BC+ DE= （cm）．
2 2
4．（2021春•麦积区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，点E是BC上一个
动点（点E与B，C不重合），连AE，
（1）若AE平分△ABC的周长，求BE的长；
（2）是否存在线段AE将三角形ABC的周长和面积同时平分，若存在，求出BE的长；若不存在，请说明
理由．
【思路点拨】
（1）设BE的长为x，则CE的长为8﹣x，根据题意可得方程6+（8﹣x）＝10+x，解得x＝2，即得答案；
（2）由（1）可知，当AE将△ABC分成周长相等的△AEC和△ABE时，EC＝6，BE＝2，分别计算两个三
角形面积即可判断．
【解题过程】
解：（1）设BE的长为x，则CE的长为8﹣x，
依题意得方程：6+（8﹣x）＝10+x，
解得x＝2，
即BE的长为2；
（2）不存在，理由如下：
∵当AE将△ABC分成周长相等的△AEC和△ABE时，EC＝6，BE＝2，1 1
此时，△AEC的面积为： EC⋅AC= ×6×6=18，
2 2
1 1
△ABE的面积为： BE⋅AC= ×2×6=6，
2 2
两个三角形面积不相等，
∴不存在线段AE将三角形ABC的周长和面积同时平分．
5．（2021秋•嘉祥县月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝10cm，BC＝8cm，AC
＝6cm，
（1）求CD的长；
（2）若AE是BC边上的中线，求△ABE的面积．
【思路点拨】
（1）利用面积法求高即可；
（2）根据三角形的中线的性质即可解决问题；
【解题过程】
解：（1）∵CD是AB边上的高，
1 1
∴△ABC的面积= AC•BC= AB•CD，
2 2
AC⋅BC
∴CD= =4.8；
AB
1 1
（2）∵△ABC的面积= AC•BC= ×6×8＝24cm2，
2 2
∵AE是BC边上的中线，
1
∴△ABE的面积= •S ＝12cm2．
2 △ABC
6．（2021春•天心区期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂
足为点F．
（1）∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，∠BAD＝30°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为30，EF＝5，求CD的长度．【思路点拨】
（1）由所给的条件不难求出∠ABE的度数，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而
可求∠BED的度数；
1 1 1
（2）由AD，BE是三角形的中线，可得到S = S ，S = S ，再由S = BD⋅EF，可求得
△ABD 2 △ABC △BDE 2 △ABD △BDF 2
BD的长度，从而可求CD的长度．
【解题过程】
解：（1）∵∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，
∴∠ABE＝35°﹣18°＝17°，
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝17°+30°＝47°；
（2）∵AD是△ABC的中线，
1
∴S = S ，
△ABD 2 △ABC
又∵S ＝30，
△ABC
1
∴S = ×30＝15，
△ABD 2
又∵BE为△ABD的中线
1
∴S = S ，
△BDE 2 △ABD
1 15
∴S = ×15= ，
△BDE 2 2
∵EF⊥BC，且EF＝5，
1
∴S = •BD•EF，
△BDE 2
1 15
∴ •BD×5= ，
2 2∴BD＝3，
∴CD＝BD＝3．
7．（2021春•重庆期末）如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝
8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
【思路点拨】
（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；
（2）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；
（3）由于 AE 是中线，那么 BE＝CE，于是△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC+AE+CE﹣
（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB，易求其值．
【解题过程】
解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
1 1
∴ AB•AC= BC•AD，
2 2
AB⋅AC 6×8
∴AD= = =4.8（cm），即AD的长度为4.8cm；
BC 10
（2）方法一：如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，
1 1
∴S = AB•AC= ×6×8＝24（cm2）．
△ABC 2 2
又∵AE是边BC的中线，
∴BE＝EC，
1 1
∴ BE•AD= EC•AD，即S ＝S ，
2 2 △ABE △AEC
1
∴S ABE= S ＝12（cm2）．
△ 2 △ABC
∴△ABE的面积是12cm2．1
方法二：因为BE= BC＝5，由（1）知AD＝4.8，
2
1 1
所以S = BE•AD= ×5×4.8＝12（cm2）．
△ABE 2 2
∴△ABE的面积是12cm2．
（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝8﹣6＝2（cm），即△ACE和
△ABE的周长的差是2cm．
8．（2020秋•魏县期中）如图（1），AD，AE分别是△ABC中BC边上的高和中线，已知AD＝5cm，EC
＝2cm．
（1）求△ABE和△AEC的面积；
（2）通过做题，你能发现什么结论？请说明理由．
（3）根据（2）中的结论，解决下列问题：如图（2），CD是△ABC的中线，DE是△ACD的中线，EF是
△ADE的中线，若△AEF的面积为1cm2，求△ABC的面积．
【思路点拨】
（1）根据三角形中线的定义得到BE＝EC＝2cm，然后根据三角形的面积公式计算△ABE和△AEC的面积；
（2）根据计算的结果得到等底等高的三角形的面积相等；
（3）根据等底等高的三角形的面积相等先得到 S ＝2cm2，再得到S ＝S ＝2cm2，则S ＝
△ADE △DEC △ADE △ADC
4cm2，然后根据结论得到S ＝S ＝4cm2，所以S ＝8cm2．
△BDC △ADC △ABC
【解题过程】
解：（1）∵AE是△ABC中BC边上的中线，
∴BE＝EC＝2cm，
1 1 1 1
∴S = ×BE×AD= ×2×5＝5（cm2）；S = ×EC×AD= ×2×5＝5（cm2）；
△ABE 2 2 △AEC 2 2
（2）等底等高的三角形的面积相等；
（3）∵EF是△ADE的中线，若△AEF的面积为1cm2，∴S ＝S ＝1cm2，
△DFE △AEF
∴S ＝2cm2，
△ADE
∵DE是△ACD的中线，
∴S ＝S ＝2cm2，
△DEC △ADE
∴S ＝4cm2，
△ADC
∵CD是△ABC的中线，
∴S ＝S ＝4cm2，
△BDC △ADC
∴S ＝8cm2．
△ABC
9．（2021秋•赵县月考）在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点．
（1）如图1，若S ＝1cm2，求△BEF的面积．
△ABC
（2）如图2，若S ＝1cm2，则S ＝ ．
△BFC △ABC
【思路点拨】
1 1
（1）利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则 S ＝S ，S = S ，S =
△ABD △ACD △BDE 2 △ABD △CDE 2
1 1
S ，则S = S ，所以S ＝S = S ；
△ACD △EBC 2 △ABC △BEF △BCF 4 △ABC
1
（2）利用（1）中S = S 求解．
△BCF 4 △ABC
【解题过程】
解：（1）∵点D为BC的中点，
∴S ＝S ，
△ABD △ACD
∵点E为AD的中点，
1 1
∴S = S ，S = S ，
△BDE 2 △ABD △CDE 2 △ACD
1 1
∴S ＝S +S = （S +S ）= S ，
△EBC △BDE △CDE 2 △ABD △ACD 2 △ABC
∵点F为CE的中点，1 1 1
∴S ＝S = S = S = （cm2）；
△BEF △BCF 2 △EBC 4 △ABC 4
1
（2）由（1）得S = S ；
△BCF 4 △ABC
∴S ＝4S ＝4×1＝4（cm2）．
△ABC △BCF
10．（2020春•江阴市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，若动点P从
点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动的时间为t秒．
（1）当t＝ 时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？
（2）当t＝ 时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？
（3）当t为何值时，△BCP的面积为18cm2？
【思路点拨】
（1）由点P的运动的路程＝△ABC的周长的一半，列出方程可求解；
（2）由三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，列出方程可求解；
（3）分两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．
【解题过程】
1
解：（1）由题意得，3t= （6+8+10），
2
解得，t＝4，
故答案为：4；
（2）∵三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，
∴3t＝8+5，
13
解得t= ，
3
13
故答案为： ；
3
（3）如图，当点P在AC上时，1
∵S = ×6×3t＝18，
△BCP 2
∴t＝2，
当点P在AB上时，过点C作CD⊥AB于D，
1 1
∵S = ×AC×BC= ×AB×CD，
△ABC 2 2
6×8 24
∴CD= = ，
10 5
1 24
∵S = ×（18﹣3t）× =18，
△BCP 2 5
7
∴t= ，
2
7
综上所述：当t＝2或 时，△BCP的面积为18cm2．
2
11．（2020•渝中区校级开学）如图，△ABC的面积为21平方厘米，DC＝3DB，AE＝ED，求阴影部分面
积．
【思路点拨】连接FD，可推出△AEF和△DEF、△AEC和△DEC面积之间的关系，进而可确定△ACF和△DCF面积之
间的关系；再由DC＝3BD推出△BDF和△DCF面积之间的关系；然后根据△BDF，△DCF，△ACF所占
整个图形的份数，即可由已知的△ABC的面积求出阴影部分的面积．
【解题过程】
解：连接FD，如图：
∵AE＝ED，
∴S ＝S ，S ＝S ．
△AEF △DEF △AEC △DEC
∴S ＝S +S ＝S +S ＝S ；
阴影 △AEF △DEC △DEF △DEC △DFC
S +S ＝S +S ．
△AEC △AEF △DEF DEC
即S ＝S ．
△AFC △DFC
∵CD＝3BD，
∴S ＝3S ．
△FDC △FBD
设S ＝x平方厘米，则S ＝S ＝3x平方厘米，
△BDF △CDF △AFC
∵S ＝21平方厘米，
△ABC
∴x+3x+3x＝21．
∴x＝3．
即S ＝3（平方厘米）．
△BDF
∴S ＝S ＝3x＝9（平方厘米）．
阴影 △DFC
12．如图，两个相同的直角三角形部分重叠在一起，求阴影部分的面积．（单位：厘米）
【思路点拨】
连接BO，则S ＝S ﹣（甲+乙+丙+丁），根据题意可知：S ＝S ，S ＝S （等底等高），S ＝2S
阴影 △ABC 甲 丁 乙 丙 丙，S ＝2S ，（等高不等底的三角形的面积比，等于其对应底的比），分别求出甲、乙、丙、丁的面积，
丁 乙 甲
即可求出阴影部分的面积．
【解题过程】
解：如图，连接BO，
则S ＝S ﹣（甲+乙+丙+丁），
阴影 △ABC
根据题意可知：S ＝S ，S ＝S ，S ＝2S ，S ＝2S ，
甲 丁 乙 丙 丙 丁 乙 甲
1
∵S = ×6×（6+3）＝27（平方厘米），
△DBC 2
27
∴S ＝S = （平方厘米），
甲 丁 5
1 81
∵S = ×（6+3）×（6+3）= （平方厘米），
△ABC 2 2
81 27
∴S = −（27+ ）
阴影 2 5
81
=
10
＝8.1（平方厘米）．
答：阴影部分的面积为8.1平方厘米．
13．（2020春•张家港市期末）如图，已知∠BDC+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B．
（1）求证：ED∥BC；
（2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6．
①求△ABC的面积；
②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积．【思路点拨】
（1）根据同角的补角得出∠BDC＝∠EFD，即可证得AB∥EF，根据平行线的性质得出∠ADE＝∠DEF，
即可得出∠B＝∠ADE，从而证得结论；
（2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形进行计算即可．
2 16
（3）连接 DG，由 CG＝2BG，得到 S ＝2S ，即可得到S = S = ，进一步得到
△DCG △DBG △DCG 3 △DBC 3
1 8
S = S = ．
△FCG 2 △DCG 3
【解题过程】
解：（1）∵∠BDC+∠EFC＝180°，∠EFD+∠EFC＝180°，
∴∠BDC＝∠EFD，
∴AB∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF，
又∵∠B＝∠DEF，
∴∠B＝∠ADE，
∴ED∥BC；
（2）设△CEF的面积为a，
∵F是CD的中点，
∴S ＝a，
△DEF
∴S ＝2a，
△CDE
同理，S ＝4a，S ＝8a，
△ADC △ABC
∴S ＝3a，
四边形ADFE
∵四边形ADFE的面积为6．
∴3a＝6，即a＝2，
∴S ＝8a＝16；
△ABC
（3）如图，连接DG，∵CG＝2BG，
∴S ＝2S ，
△DCG △DBG
2 16
∴S = S = ，
△DCG 3 △DBC 3
∵F是CD的中点，
1 8
∴S = S = ．
△FCG 2 △DCG 3
14．（2020春•丽水期末）如图，线段AB的长为5，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝2，DB＝1，
点P为线段AB上的一个动点，连接CP，DP．
（1）若AP＝a，请用含a的代数式表示BP；
（2）当AP＝1时，求△ACP与△BPD的面积之比；
（3）若C，D是同一平面内的两点，连接CD，若点P以每秒1个单位的速度从点A向点B运动，设运动
时间为t秒，当t为何值时，△PCD的面积等于3．
【思路点拨】
（1）根据BP＝AB﹣AP求得即可；
（2）根据三角形面积公式即可求得；
（3）分两种情况得到关于t的方程，解方程即可．
【解题过程】
解：（1）∵线段AB的长为5，
∴若AP＝a，BP＝5﹣a；
（2）∵AB＝5，AP＝1，
∴BP＝4，1
×1×2
S 2 1
∴ △ACP= = ；
S 1 2
△BPD ×4×1
2
（3）当C、D在线段AB的同侧时，
1 1 1
由图1可知：S ＝S ﹣S ﹣S = （2+1）×5− t×2− （5﹣t）×1
△PCD 梯形ABDC △ACP △BPD 2 2 2
∵△PCD的面积等于＝3，
1 1 1
∴ （2+1）×5− t×2− （5﹣t）×1＝3，
2 2 2
解得t＝4，
∴当t＝4时，△PCD的面积等于3；
当C、D在线段AB的异侧时，
1 1 1
由图2可知：S ＝S ﹣S ﹣S = ×2×5− t×2− t×1
△PCD △ADC △ACP △APD 2 2 2
∵△PCD的面积等于＝3，
1 1 1
∴ ×2×5− t×2− t×1＝3，
2 2 2
4
解得t= ，
3
4
综上，当t为4或 时，△PCD的面积等于3．
315．（2020春•汝阳县期末）如图，长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，点E是CD的中点，动点P
从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当x
为何值时，△APE的面积等于32cm2？（提醒：同学们，要分类讨论哦！）
【思路点拨】
分为三种情况：画出图形，根据三角形的面积求出每种情况即可．
【解题过程】
解：①如图1，
当P在AB上时，
∵△APE的面积等于32，
1
∴ ×2x•8＝32，
2
解得：x＝4；
②当P在BC上时，
∵△APE的面积等于32，
∴S ﹣S ﹣S ﹣S ＝32，
矩形ABCD △CPE △ADE △ABP
1 1 1
∴10×8− （10+8﹣2x）×5− ×8×5− ×10×（2x﹣10）＝32，
2 2 2
解得：x＝6.6；
③当P在CE上时，1
∴ （10+8+5﹣2x）×8＝32，
2
1
解得：x＝7.5＜ （10+8+5），
2
x＝7.5时2x＝15，P在BC边，
∴舍去；
答：4或6.6．
16．（2021•西城区校级开学）如图所示，设四边形 ABCD的面积为S ，四边形EFGH的面积为S ，其中
1 2
E、F分别为AB边上的两个三等分点，G、H分别为CD边上的两个三等分点，请直接写出S 与S 的等量
1 2
关系，并说明理由．
【思路点拨】
连接DE、EG、GB，BD．由题意，S ＝S ，S ＝S （等底同高），推出 S ＝S ，又
△DHE △HGE △EFG △FBG 2 四边形DEBG
1 1 1 1 1 2 2
S +S = S + S = （S +S ）= S = S 推出S = S 可得2S = S 可得
△ADE △BCG 3 △ADB 3 △DCB 3 △ADB △DCB 3 四边形ABCD 3 1 四边形DEBG 3 1 2 3 1
结论．
【解题过程】
解：S＝3S．
1 2
理由：连接DE、EG、GB，BD．∵DH＝HG＝GC，AE＝EF＝FB，
∴S ＝S ，S ＝S （等底同高），
△DHE △HGE △EFG △FBG
1
∴S = S ，
2 2 四边形DEBG
1 1 1 1 1
又∵S +S = S + S = （S +S ）= S = S
△ADE △BCG 3 △ADB 3 △DCB 3 △ADB △DCB 3 四边形ABCD 3 1
2
∴S = S
四边形DEBG 3 1
2
∴2S = S
2 3 1
∴S＝3S．
1 2
17．（2020•浙江自主招生）如图，已知P是△ABC内任意一点，连接AP，BP，CP并延长交BC，CA，
PD PE PF
AB于D，E，F三点，令T= + + ，猜测T的值，并证明．
AD BE CF
【思路点拨】
PD S❑ PE S❑ PF S❑
利用三角形的面积可得 = △BCP ， = △PAC ， = △PAB ，即可求解．
AD S❑ BE S❑ CF S❑
△ABC △ABC △ABC
【解题过程】
解：猜想：T＝1，
理由如下：
PD S S
∵ = △PCD = △PBD ，
AD S S
△ACD △ABDPD S
∴ = △BCP ，
AD S
△ABC
PE S PF S
同理可得： = △PAC ， = △PAB ，
BE S CF S
△ABC △ABC
PD PE PF S S S S
∴T= + + = △PBD+ △PAC + △PAB = △ABC =1．
AD BE CF S S S S
△ABD △ABC △ABC △ABC
18．（2020春•姑苏区期中）【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．
【经验发展】面积比和线段比的联系：
如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM，若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S＝
（用含a的代数式表示）．
CD 1 CE 1
【结论应用】如图2，已知△CDE的面积为1， = ， = ，求△ABC的面积．
AC 4 CB 3
1
【迁移应用】如图3，在△ABC中，M是AB的三等分点（AM= AB），N是BC的中点，若△ABC的面积
3
是1，请直接写出四边形BMDN的面积为 ．
【思路点拨】
【经验发展】根据等高三角形面积的比等于它们底的比求得即可；
【结论应用】连接BD，根据等高三角形面积的比等于它们底的比求得即可；
【迁移应用】连接BD，根据等高三角形面积的比等于它们底的比求得即可．
【解题过程】
解：【经验发展】∵M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM，
2
∴S= a，
3
2
故答案为 a；
3
【结论应用】连接BD，CE 1
∵△CDE的面积为1， = ，
CB 3
∴S ＝3S ＝3，
△BDC △DEC
CD 1
∵ = ，
AC 4
∴S ＝4S ＝12；
△ABC △BDC
【迁移应用】连接BD，
设S ＝a，
△ADM
1
∵M是AB的三等分点（AM= AB），
3
∴S ＝3a，S ＝2a，
△ABD △BDM
∵N是BC的中点，
∴S ＝S ，S ＝S ，
△ABN △ACN △BDN △CDN
∴S ＝S ＝3a，
△ADC △ADB
∴S ＝4a，
△ACM
1
∵AM= AB，
3
∴S ＝2S ＝8a，
△CBM △ACM
∴S ＝6a，S ＝12a，
△CDB △ABC
∴S ＝3a，
△BDN
∴S ＝5a，
四边形BMDN
5 5 5
∴S = S = ×1= ，
四边形BMDN 12 △ABC 12 125
故答案为 ．
12
19．（2020秋•婺城区校级期末）操作与探究
探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA、若△ACD的面积为S ，则S ＝
1 1
（用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE、若△DEC
的面积为S，则S＝ （用含a的代数式表示）；
2 2
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）、若阴影部分的
面积为S，则S＝ （用含a的代数式表示）．
3 3
发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们
称△ABC向外扩展了一次、可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 倍．
【思路点拨】
（1）根据等底等高的三角形面积相等解答即可；
（2）分别过A、E作BD的垂线，根据三角形中位线定理及三角形的面积公式求解即可；
（3）由△BFD、△ECD及△AEF的边长为△ABC边长的一半，高与△AEF的高相等解答即可．
【解题过程】
解：（1）∵CD＝BC，△ABC的面积为a，△ABC与△ACD的高相等，
∴S＝S ＝a；
1 △ABC
（2）分别过A、E作AG⊥BD，EF⊥BD，G、F为垂足，则AG∥EF，
1
∵A为CE的中点，∴AG= EF，
2∵BC＝CD，
∴S＝2S＝2a；
2 1
（3）∵△BDF的边长BD是△ABC边长BC的2倍，两三角形的两边互为另一三角形两边的延长线，
∴S ＝2S ，
△BDF △ABC
∵△ABC面积为a，∴S ＝2a．
△BDF
同理可得，S ＝2a，S ＝2a，∴S＝S +S +S ＝2a+2a+2a＝6a．
△ECD △AEF 3 △BDF △ECD △AEF
∵S＝S +S +S ＝6a，
3 △BDF △ECD △AEF
∴S ＝S+S ＝6a+a＝7a，
△EDF 3 △ABC
S 7a
∴ △≝¿ = =¿7，
S a
△ABC
∴扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍．
20．（2021•安徽模拟）S 、S 、S 、S 分别表示△OAB、△OAD、△OBC、△OCD的面积．
△OAB △OAD △OBC △OCD
（1）如图1，O为四边形ABCD对角线上任一点，请写出S 、S 、S 、S 之间存在的一种等式，
△OAB △OAD △OBC △OCD
3
并根据此等式关系，求出当S ＝3，S ＝6，S = 时，S 的值．
△OAB △OAD △OBC 2 △OCD
（2）如图2，O为BD上任一点，S 、S 、S 、S 是否还存在（1）中的等式关系？如果存在，
△OAB △OAD △OBC △OCD
请给出证明；如果不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）过点A作AM⊥BD于M，过点C作CN⊥BD于点N，根据三角形面积公式即可得出结论，再把S
△OAB3
＝3，S ＝6，S = 代入，即可求出S 的值；
△OAD △OBC 2 △OCD
（2）过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于点F，根据三角形面积公式即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）如图，过点A作AM⊥BD于M，过点C作CN⊥BD于点N，
1 1 1 1
∵S = ×BO×AM，S = ×DO×AM，S = ×BO×CN，S = ×DO×CN，
△OAB 2 △OAD 2 △OBC 2 △OCD 2
1 1
∴S ×S = ×BO×AM×DO×CN，S ×S = ×DO×AM×BO×CN，
△OAB △OCD 4 △OAD △OBC 4
∴S ×S ＝S ×S ，
△OAB △OCD △OAD △OBC
3
当S ＝3，S ＝6，S = 时，
△OAB △OAD △OBC 2
3
∴3S ＝6× ，
△OCD 2
∴S ＝3；
△OCD
（2）存在，理由如下：
如图，过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于点F，
1 1 1 1
∵S = ×BO×AE，S = ×DO×AE，S = ×BO×CF，S = ×DO×CF，
△OAB 2 △OAD 2 △OBC 2 △OCD 2
1 1
∴S ×S = ×BO×AE×DO×CF，S ×S = ×DO×AE×BO×CF，
△OAB △OCD 4 △OAD △OBC 4∴S ×S ＝S ×S ．
△OAB △OCD △OAD △OBC
