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考点 03 函数及其性质（核心考点讲与练）
1.函数的概念
设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那
么就称 f ： A → B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的定义域、值域
(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合 {y |y ＝ f (x ) ，
x ∈ A }叫做这个函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
5.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M A，如果取区间M中任意两个值
x，x，改变量Δx＝x－x>0，则当
1 2 2 1 ⊆
定义 Δ y ＝ f (x ) － f (x )>0 时，就称
2 1
Δ y ＝ f (x ) － f (x )<0 时，就称函数y
2 1
函数y＝f(x)在区间M上是增函
＝f(x)在区间M上是减函数
数
图象描
述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M
称为单调区间.
6.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意x∈I，都有 f ( x )≤ M； (3)对于任意x∈I，都有 f ( x )≥ M；(2)存在x∈I，使得f(x)＝M (4)存在x∈I，使得 f ( x ) ＝ M
0 0 0 0
结论 M为最大值 M为最小值
7.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都
奇函数 关于原点对称
有－x∈D，且 f ( － x ) ＝－ f ( x )，则这个函数叫做奇函数
设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都
偶函数 关于 y 轴 对称
有－x∈D，且 g ( － x ) ＝ g ( x )，则这个函数叫做偶函数
8.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 f ( x
＋ T ) ＝ f (x )，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 存 在一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)
的最小正周期.
1.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2.已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
3.函数的对称性与单调性，指数式、对数式的大小比较．
比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质
比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，
或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．
4.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）考查数形结合思想的应用．
函数及其表示
一、单选题
1．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知函数 ，若在区间
上存在 个不同的数 ，使得 成立，则 的取值集合是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知函数 ，若 ，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·河北·模拟预测）设函数 则不等式 的解集为
（ ）A． B．
C． D．
4．（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是
（ ）（ 是自然对数的底数）
A． B．
C． D．
5．（2022·天津·耀华中学模拟预测）已知函数 （ ，且 ）在区间
上为单调函数，若函数 有三个不同的零点，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知函数 ，则图象为下图的函
数可能是（ ）A． B． C． D．
7．（2021·全国·模拟预测）已知函数 的定义域是 （m，n为整数），值域是 ，
则满足条件的整数对 的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2020·南开中学模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
9．（2020·广东中山·模拟预测）下列各组表示同一函数的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
10.（2020·全国·一模）网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表如下，第一行是我们习惯称呼的
“鞋号”（单位：.号），第二行是脚长（单位： ），请根据表中数据，思考：他们家正好有一款“32
号”的女鞋在搞打折，那么适合购买这款鞋的脚长的取值范围是（ ）
鞋码 35 36 37 38 39
脚长 225 230 235 240 245
A． B． C． D．
二、多选题11．（2022·江苏南通·模拟预测）已知定义在R上的函数 的图象连续不间断，当 时，
，且当 时， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 在 上单调递减
C．若 ，则
D．若 是 的两个零点，且 ，则
12．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学
定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是
一个关键概念，定义如下：设 是定义在R上的函数，对于 R，令 ，若存在正
整数k使得 ，且当00），若 的最大值为 ，则正实数
a=___________.
10．（2020·山东临沂·二模）若 ， ，则实数 的取值范围为___________.
11．（2021·北京延庆·模拟预测）同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电
线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，
这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰
当的坐标系中，这类函数的表达式可以为 （其中 ， 是非零常数，无理数
…），对于函数 以下结论正确的是______．
①如果 ，那么函数 为奇函数；
②如果 ，那么 为单调函数；
③如果 ，那么函数 没有零点；
④如果 那么函数 的最小值为2．
12．（2021·浙江浙江·二模）设 ， ，若 ，且 的最大值是 ，则
___________.
四、解答题
13．（2022·海南·模拟预测）已知函数 .(1)求 在区间 上的最大值和最小值；
(2)设 ，若当 时， ，求实数a的取值范围.
14．（2021·江西·模拟预测）设函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，
.
(1)求 的解析式；
(2)若 ，使得 ，求实数 的取值范围.
三、函数的奇偶性
一、单选题
1．（2022·广东茂名·二模）已知 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南湘潭·三模）函数 的部分图象大致为（ ）A． B．
C． D．
3．（2022·广东茂名·二模）已知函数 ， 分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且
，若函数 有唯一零点，则正实数 的值为
（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2021·全国·模拟预测）已知 为定义在R上的奇函数，且当 时， ，则
（ ）
A．﹣2022 B．2022 C． D．
5．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数 ，若 且 ，则有
（ ）
A． 可能是奇函数，也可能是偶函数 B．
C． 时， D．
6．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数 为奇函数，则实数 的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．7．（2022·湖北·二模）已知函数 ，则使不等式 成立的x的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·天津三中二模）设函数 的定义域为D，若对任意的 ，且 ，恒有
，则称函数 具有对称性，其中点 为函数 的对称中心，研究函数
的对称中心，求
（ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
二、多选题
9．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在 上的单调递增的函数 满足：任意 ，有
， ，则（ ）
A．当 时，
B．任意 ，
C．存在非零实数 ，使得任意 ，
D．存在非零实数 ，使得任意 ，
三、填空题
10．（2022·广东深圳·二模）已知函数 是偶函数，则 ___________．
11．（2022·山东菏泽·一模）已知奇函数 在区间 上是增函数，且 ， ，当， 时，都有 ，则不等式 的解集为______．
四、函数的周期性
一、单选题
1．（2022·山东济宁·一模）定义在R上的奇函数 满足 ，则
（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．2022
2．（2022·福建·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数， ，且 ，则
（ ）
A．1 B．0 C． D．
3．（2022·江苏江苏·二模）已知 是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1) .若g(x
＋1)是偶函数，则 ＝( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
二、多选题
4．（2022·河北·模拟预测）若函数 （ ）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是
（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．2是函数 的一个周期
C．
D．
5．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 是函数 的一个周期B． 是函数 的一条对称轴
C．函数 的最大值为 ，最小值为
D．函数 在 上单调递增
6．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知定义在 上的偶函数 对任意的 满足 ，当
时， ，函数 且 ，则下列结论正确的有
（ ）
A． 是周期为 的周期函数
B．当 时，
C．若 在 上单调递减，则
D．若方程 在 上有 个不同的实数根，则实数 的取值范围是
三、填空题
7．（2022·广东茂名·二模）请写出一个函数 _______，使之同时具有以下性质：①图象关于y轴
对称；② ， ．
8．（2022·重庆·二模）已知定义域为R的函数 满足 且 ，则函数
的解析式可以是______.
五、函数的对称性
一、单选题
1．（2022·广东佛山·模拟预测）已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，将 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，则函数 在 时的值域
为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·模拟预测）已知函数 ，且对任意的实数x，
恒成立.若存在实数 ， ，…， （ ），使得 成立，则n
的最大值为（ ）
A．25 B．26 C．28 D．31
3．（2021·浙江·模拟预测）已知定义在 上的图象连续的函数 的导数是 ，
，当 时， ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·广东·梅州市梅江区嘉应中学模拟预测）已知定义在R上的函数 满足：对任意 ，都
有 ，且当 时， （其中 为 的导函数）．设 ，
， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知三次函数 ，若函数
的图象关于点（1，0）对称，且 ，则（ ）A． B． 有3个零点
C． 的对称中心是 D．
三、填空题
6．（2022·重庆·模拟预测）写出一个同时满足下列三个条件的函数 的解析式__________.
① 的定义域为 ，值域为 ；
② ；
③ 在 上单调递减.
7．（2022·广东广州·二模）函数 的所有零点之和为__________．
一、单选题
1．（2020·山东·高考真题）已知函数 是偶函数，当 时， ，则该函数
在 上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·山东·高考真题）已知函数 的定义域是 ，若对于任意两个不相等的实数 ， ，总有成立，则函数 一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
3．（2020·山东·高考真题）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题（理））设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，
当 时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高考真题（文））设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·高考真题（理））设函数 ，则下列函数中为奇函数的是
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2021·全国·高考真题）已知函数 是偶函数，则 ______.
三、解答题
8．（2021·全国·高考真题（文））已知函数 ．（1）画出 和 的图像；
（2）若 ，求a的取值范围．
一、单选题
1. （2022·全国·模拟预测）已知函数 的值域为 ，则a的最小值为（
）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. （2022·北京·北师大实验中学模拟预测） 下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的函数是
（ ）
A. B. C. D.
3. （2022·全国·模拟预测） 函数 在 上的大致图象为（ ）A. B.
C. D.
4. （2022·全国·模拟预测）已知函数 ，则 （ ）
A. e B. 1 C. D.
5. （2022·全国·模拟预测）函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6. （2022·全国·模拟预测）已知定义域为R的函数 满足 ，且当 时，
，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D.
7. （2022·全国·模拟预测）若函数 在 上的最大值与最小值
之和不小于 ，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. （2022·全国·模拟预测） 已知 为R上的奇函数， ，若 且 ，
都有 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
9. （2022·广东汕头·一模）定义在R上的偶函数 满足 ，且当 时，
，若关于x的方程 至少有8个实数解，则实数m的取值范
围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题10. （2022·辽宁大东·模拟预测）已知 是定义域为 的奇函数，且 为偶函数，
若当 时， ，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. （2022·河北·模拟预测）已知定义在 上的偶函数 ，其导函数为 ，当 时，
.则（ ）
A. B. 函数 在区间 上单调递减
C. 不等式 的解集为
D. 不等式 的解集为
12. （2022·江苏泰州·一模） 定义：在区间 上，若函数 是减函数，且 是增函数，
则称 在区间 上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）
A. 在 上是“弱减函数”
B. 在 上是“弱减函数”
C. 若 在 上是“弱减函数”，则D. 若 在 上是“弱减函数”，则
13. （2022·全国·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 当 时，函数 在 上单调递增
D. 若函数 在 上存在零点，则a的取值范围是
14. （2022·山东菏泽·一模）对圆周率 的计算几乎贯穿了整个数学史．古希腊数学家阿基米德（公元
前287—公元前212）借助正96边形得到著名的近似值： ．我国数学家祖冲之（430—501）得出近似
值 ，后来人们发现 ，这是一个“令人吃惊的好结果” ．随着科技的发展，计算 的
方法越来越多．已知 ，定义 的值为
的小数点后第n个位置上的数字，如 ， ，规定 ．记 ，
，集合 为函数 的值域，则以下结论正确的有（ ）
A. B.
C. 对 D. 对 中至少有两个元素
三、填空题15. （2022·山东潍坊·一模） 已知函数 则
______.
16. （2022·全国·模拟预测）已知函数 ，则不等式
的解集为______.
17. （2022·全国·模拟预测） 已知函数 为偶函数，则 __________.
18. （2022·全国·模拟预测）已知函数 （ 且 ），若不等式
的解集为 ，则a的取值范围是___________.
