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第 02 讲 二次函数 y=ax ²与 y=ax ²+c 的图像和性质
知识点1：二次函数y=ax²的图像和性质
知识点2：二次函数y=ax²+c的图像和性质
1. y=ax²的图像画法：
（1）应先列表，（2）再描点，（3）最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选
取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
【问题1】在平面直角坐标系中画出y＝x2的图象并简单描述其性质。
【解答】解：（1）列表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
（2）描点、连线：
．
二次函数y＝x2 的性质：（1）y＝-x2 图像是一条抛物线（2）关于y轴对称
（3）开口向上（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，
当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点.
【问题2】在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2函数的图象．
【解答】解：列表得：
﹣2 ﹣1 0 1 2﹣4 ﹣1 0 ﹣1 ﹣4
y＝﹣x2
描点、连线可得图象为：
．
二次函数y＝-x2 的性质：（1）y＝-x2图像是一条抛物线（2）关于y轴对
称（3）开口向下（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，
当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点.
2. y=ax²的图像的性质
小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 来说， 越大，抛物线的开口越
小
y = ax²
【题型1：二次函数y=ax²的性质】
【典例1】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）已知抛物线y=x2，则以下说法中，错误
的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标是(0,0)C．对称轴是直线x=0 D．当x=0时，y有最大值为0
【答案】D
【分析】本题考查了基本二次函数y=ax2的性质，根据抛物线y=x2的开口方向，顶点
坐标，结合图象进行判断．
【详解】解：由抛物线y=x2可知，
A.a=1>0，抛物线开口向上，故选项A正确，不符合题意；
B.顶点坐标为(0,0)，故选项B正确，不符合题意；
C.对称轴为直线x=0，故选项C正确，不符合题意；
D.当x=0时，y有最小值0，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【变式1】（24-25九年级上·湖北恩施·期末）下列关于抛物线y=5x2的说法正确的是
（ ）
A．图象开口向下 B．对称轴是y轴
C．有最高点 D．y随x的增大而增大
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象及
性质．
由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求
得答案．
【详解】解：抛物线y=5x2的开口向上，有最低点，对称轴为y轴，
当x<0时，函数值y随x的增大而减小，
∴四个选项中只有B选项的说法正确，
故选：B．
【变式2】（24-25九年级下·浙江温州·期末）已知二次函数y=−2x2，则该函数图象一定
经过点（ ）
A．(2,4) B．(−2,8) C．(−2,−8) D．(2,−4)
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象上点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
把x=−2，x=2，分别代入计算即可判断．
【详解】解：当x=−2时，y=(−2)×(−2) 2=−8，∴二次函数y=−2x2的图象经过(−2,−8)点不经过点(−2，8)，
当x=2时，y=(−2)×22=−8，
∴二次函数y=2x2的图象不经过点(2，4)，(2,−4)
故选：C．
【变式3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）抛物线y=−2x2的顶点坐标为 ．
【答案】(0,0)
【分析】本题考查了二次函数顶点坐标的计算，掌握顶点坐标的计算方法是解题的关
键．
根据二次函数y=ax2(a≠0)的性质求顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线y=−2x2的顶点坐标为(0,0)，
故答案为：(0,0) ．
【题型2：二次函数y=ax²的图像】
【典例2】（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数y =a x2，y =a x2，
1 1 2 2
y =a x2 ，y =a x2 的图象如图所示，则a ，a ，a ，a 的大小关系是（ ）
3 3 4 4 1 2 3 4
A．a a >0,
1 2
∵由图像可知y =a x2 ，y =a x2 开口向下，并且y =a x2 开口小于y =a x2 的开口，
3 3 4 4 4 4 3 3
∴|a )>|a ),
4 3
又a <0，a <0,
4 3
∴a 2 C．a>0 D．a<0
【答案】B
【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟悉抛物线的开口方向和a的关系是解题的关
键．由题意得，2−a<0，即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=(2−a)x2的图象开口向下，
∴2−a<0，
∴a>2．
故选：B．
【变式2】（九年级·安徽滁州·阶段练习）如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①
y =ax2 ；②y =bx2 ；③y =cx2 ；④y =dx2 ，比较a,b,c,d的大小，用“>”连接为
1 2 3 4（ ）．
A．a>b>d>c B．b>a>c>d C．a>b>c>d D．b>a>d>c
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据y=ax2中a决定开口方向和开口大小，
|a)越大，开口越小，进行判断即可．
【详解】解：由图象可知：a>b>0,cb>d>c；
故选A．
【变式3】（24-25九年级上·贵州黔南·期中）二次函数y=2x2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象．熟练正确二次函数的图象是解题的关键．
根据图象开口向上，对称轴为直线x=0，顶点坐标为(0,0)判断作答即可．
【详解】解：∵y=2x2，
∴图象开口向上，对称轴为直线x=0，顶点坐标为(0,0)，∴图象为 ，
故选：D．
【题型3：二次函数y=ax²的中的y值大小比较】
( 1 )
【典例3】（24-25九年级上·河南郑州·期中）点(−1,y ), − ,y ,(2,y )都在二次函数
1 2 2 3
y=−x2的图象上，则y ,y ,y 的大小（ ）
1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
3 2 1 1 2 3 2 1 3 2 3 1
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的
增减性判断即可．
【详解】解：∵二次函数为y=−x2
∴对称轴为y轴，抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴水平距离越远，函数值越小，
1
∵0− <0−1<2−0
2
∴y >y >y
2 1 3
故选：C．
【变式1】（24-25九年级上·河北保定·期末）已知a>1，且点(a−1,y )，(a,y )，
1 2
(a+1,y )都在函数y=−x2的图象上，则（ ）
3
A．y 0时，y随x的增大而减小，
由a>1得到a+1>a>a−1>0，最后结合函数图象上点的特征即可解答．
【详解】解：∵二次函数y=−x2中二次项系数−1<0，
∴函数y=−x2的图象开口向下，∵函数y=−x2的图象对称轴为直线x=0，
∴当x>0时，y随x的增大而减小，
∵a>1，
∴a+1>a>a−1>0，
又∵点(a−1,y )，(a,y )，(a+1,y )都在函数y=−x2的图象上，
1 2 3
∴y y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
3 2 1 2 1 3 1 3 2 3 1 2
【答案】A
【分析】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性．先
求得抛物线开口方向和对称轴．再根据二次函数的增减性即可判断．
【详解】解：∵二次函数y=x2，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为y轴．
∴当x≥0时，y随x的增大而增大，(−1,y )关于y轴的对称点是(1,y )，
2 2
∵0<1<2，
∴y >y >y ，
3 2 1
故选：A．
【变式3】（24-25九年级上·贵州·阶段练习）已知抛物线y=ax2（a<0）过点M(2,m)，
N(−1,n)两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A．m<00）的图象可能是下图中的（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数y=ax2+k（a≠0，k>0）的顶点坐标为(0，k)，即可判断C、D它的开口方向向下，即可判断A、B，即可解答．
本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向．
【详解】解：二次函数y=ax2+k（a≠0，k>0）的顶点坐标为(0，k)，选项C、D
错误
对称轴为y轴，它的开口方向向下，选项B错误．
故选：A．
【变式6-1】（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数
y=mx2−m的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．D点 B．C点 C．B点 D．A点
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得对称轴为y轴，进而结
合选项，即可求解．
【详解】解：∵y=mx2−m
∴对称轴为直线x=0，即y轴，
∴坐标原点可能是C点，
故选：B．
【变式6-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数y=ax2+b的大致图象如图所
示，则y=bx2+a的大致图象为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由原图可知，抛物线图象开口向上，
∴a＞0
抛物线图象交于y轴负半轴，
∴b＜0
∴y=bx2+a的图象开口向下，交于y轴的正半轴
故答案选A
【题型7：二次函数y=ax²+c中y值大小比较】
【典例7】（2025·广东珠海·三模）若点(0,y )，(1,y )，(2,y )都在二次函数y=x2+1
1 2 3
图象上，则（ ）
A．y |x )，则y 与y 的大小关系为（ ）
1 2 1 2
A．y = y B．y >y C．y |x )，
1 2
∴ y ”、“<”或“=”）
【答案】>
【分析】本题考查了二次函数的性质，把把A(1,a)，B(2,b)分别代入y=−2x2+1，
进行计算，得a>b，即可作答．
【详解】解：依题意，把A(1,a)，B(2,b)分别代入y=−2x2+1，
得a=−2+1=−1,b=−2×4+1=−7，
∵−1>−7，
∴a>b，
故答案为：>．
【变式3】（24-25九年级上·广东阳江·期末）点A(1,y )，B(2,y )都在二次函数y=x2+1
1 2
的图象上，则y y ．（填“>”、“=”或“<”）．
1 2
【答案】<
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键．
根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：二次函数y=x2+1的图象开口向上，对称轴是y轴，当x>0时，y随x的
增大而增大，1<2，
∵y 0，
∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；
B、∵−1<0，对称轴为y轴，
∴当x>0时，y随x的增大而减小，当x<0时，y随x的增大而增大，故该选项不符合
题意；
C、y=−2x+1,−2<0，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；
D、∵2>0，
∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．（24-25九年级上·广西梧州·期末）二次函数y=2x2的图象是（ ）
A．直线 B．双曲线 C．抛物线 D．不确定
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象特征，理解特征是解题的关键．
根据二次函数的图象特征进行判断即可求解．
【详解】解：由题意得，二次函数y=2x2的图象是抛物线．
故选：C．
3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）抛物线y=−x2+2024的对称轴是（ ）
A．直线x=2024 B．直线x=−2024C．x轴 D．y轴
【答案】D
b
【分析】本题考查抛物线的的性质，根据抛物线的对称轴为x=− 即可得出答案
2a
b 0
【详解】解：抛物线y=−x2+2024的对称轴是x=− =− =0，即为y轴，
2a 2×(−1)
故选：D
4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线y=−x2−2的顶点坐标是（ ）
A．(−2,0) B．(2,0) C．(0,2) D．(0,−2)
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数解析式特征是关键．
对于二次函数y=ax2+c(a≠0)，其顶点坐标为(0,c)，据此可得答案．
【详解】解：抛物线y=−x2−2的顶点坐标是(0,−2)，
故选：D．
5．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）抛物线y=−x2−3开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
利用二次函数的性质判定即可．
【详解】解：∵抛物线y=−x2−3
∴a=−1<0
∴抛物线y=−x2−3的图象开口向下，
故选：B．
6．（24-25九年级上·北京·期中）抛物线y=2x2不具有的性质是（ ）
A．开口向上 B．与x轴不相交
C．对称轴是y轴 D．最低点是坐标原点
【答案】B
【分析】本题考査二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意．
根据题目中的抛物线的解析式可以判断各个选项中的说法是否正确即可．
【详解】解：∵a=2>0，
∴开口向上，∴顶点坐标为(0,0)，对称轴是y轴，有最低点为原点，与x轴交于(0,0)点，
故选B．
7．（24-25九年级上·山东临沂·期末）若点(0,y )，(1,y )，(2,y )都在二次函数
1 2 3
y=x2+2的图象上，则（ ）
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
2 1 3 3 2 1 1 3 2 3 1 2
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性质和增减性，
是解题的关键．
根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向上，在对称轴的
右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．
【详解】解：∵二次函数y=x2+2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点为(0,2)，
∴当x>0时，y随x增大而增大，
∵(0,y )，(1,y )，(2,y )都在二次函数y=x2+2的图象上，且2>1>0,
1 2 3
∴y >y >y ．
3 2 1
故选：B．
8．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，二次函数y=−2x2+1的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的
左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；
当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y
随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是(0,k)，对称轴为y轴．【详解】解：∵y=−2x2+1，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为(0,1)．
故选A．
1 1
9．（24-25九年级上·北京通州·期末）关于函数y=−2x2，y= x2 ，y=3x2，y=− x2
3 3
的图象的共同点，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．都有最低点
C．y随x增大而增大 D．对称轴是y轴
【答案】D
【分析】本题考查函数图象性质，熟练掌握函数y=ax2 (a≠0)的图象性质是解题的关
键．
根据a值得函数图象的开口方向，从而判定A；根据a值得函数图象的开口方向，即可
得出函数有最高点或最低点，从而判定B；根据函数的增减性判定C；根据函数的对称
轴判定D．
1
【详解】解：A．函数y=−2x2与y=−x2的开口向下，函数y= x2 与y=3x2开口向
3
上，故此选项不符合题意；
1
B．函数y=−2x2与y=−x2的开口向下，有最高点；函数y= x2 与y=3x2开口向上，
3
有最低点，故此选项不符合题意；
C．函数y=−2x2与y=−x2，当x<0时，y随x增大而增大，当x>0时，y随x增大而
1
减小；函数y= x2 与y=3x2，当x<0时，y随x增大而减小，当x>0时，y随x增大
3
而增大；故此选项不符合题意；
1
D．函数y=−2x2,y= x2,y=3x2,y=−x2 的对称轴都是y轴，故此选项符合题意；
3
故选：D．
10．（23-24九年级上·河北·阶段练习）当−2≤x≤1时，函数y=−2x2的最大值与最小值
的和为（ ）
A．3 B．−10 C．−8 D．−2
【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，
抛物线开口向下，对称轴为直线x=0，即y轴，函数有最大值，距离对称轴越远，函
数值越小，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴是
解题的关键．
【详解】解：由二次函数y=−2x2可知，对称轴为直线x=0，即y轴，−2<0，
∴当x=0时，二次函数y=−2x2有最大值0，
由|−2−0)>|1−0)，根据距离对称轴越远，函数值越小，
∴当x=−2时，有最小值y=−8，
∴当−2≤x≤1时，函数y的取值范围为−8≤ y≤0，
∴最大值与最小值的和为−8+0=−8，
故选：C．
二、填空题
11．（24-25九年级上·广西南宁·期中）拋物线y=3x2的对称轴是 轴．
【答案】y
【分析】本题考查二次函数y=ax2的图象及性质，掌握y=ax2的图象及性质是解题
的关键．根据二次函数y=ax2的图象及性质，即可求得．
【详解】解：∵抛物线y=−3x2顶点为(0,0)，
∴该抛物线的对称轴是直线x=0，即y轴，
故答案为：y
12．（24-25九年级上·山东淄博·期末）抛物线y=−2x2的顶点坐标为 ．
【答案】(0,0)
【分析】本题考查了二次函数顶点坐标的计算，掌握顶点坐标的计算方法是解题的关
键．
根据二次函数y=ax2(a≠0)的性质求顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线y=−2x2的顶点坐标为(0,0)，
故答案为：(0,0) ．
1
13．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若抛物线y=ax2与y=− x2 形状相同，开口方
2
向相反，则抛物线的解析式为 ．1
【答案】y= x2
2
【分析】本题考查了二次函数的基本性质，掌握二次函数中形状相同，开口方向的性
质是解决本题的关键．由形状和开口方向即可得出的值
1
【详解】抛物线y=ax2与y=− x2 形状相同，开口方向相反
2
( 1) 1
则a=− − = ，
2 2
1
∴y=ax2的解析式为y= x2
2
1
故答案为：y= x2
2
14．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知二次函数y=x2的图象经过点A(2,b)，则b=
．
【答案】4
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，把点A(2,b)直接代入函数解析
式求出b的值即可．
【详解】解：∵二次函数y=x2的图象经过点A(2,b)，
∴b=22=4,
故答案为：4．
15．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）对于二次函数y=−5x2+3，当−2≤x≤1时，
y的取值范围是 ．
【答案】−17≤ y≤3
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数y=−5x2+3，得出开口方
向向下，对称轴是y轴，结合−2≤x≤1，得出y的取值范围是−17≤ y≤3，即可作答．
【详解】解：∵二次函数y=−5x2+3，
b 0
∴开口方向向下，对称轴为直线x=− =− =0，即对称轴是y轴，
2a 2×(−5)
此时在x=0时，y有最大值，且y=3，
∵−2≤x≤1，且|−2−0)=2>|1−0)=1，
∴在x=−2时，y有最小值，且y=−5×(−2) 2+3=17，∴y的取值范围是−17≤ y≤3，
故答案为：−17≤ y≤3．
16．（24-25九年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,2)和点
B(−1,2)，若抛物线y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是
．
1
【答案】 ≤a≤2
2
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．分别把A、B点的坐标代入y=ax2得a的
值，根据二次函数的性质得到a的取值范围．
1
【详解】解：把A(2,2)代入y=ax2得a= ；
2
把B(−1,2)代入y=ax2得a=2，
1
∴a的取值范围为 ≤a≤2．
2
1
故答案为： ≤a≤2．
2
三、解答题
17．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知抛物线y=ax2经过点(−1,2)，(2,m)．
(1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
(2)求m的值；
【答案】(1)函数图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)
(2)8
【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的
关键是：（1）利用二次函数的图象性质，找出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出m；
（1）先把(−1,2)代入y=ax2，求出函数解析式，再根据函数的解析式，a=2，可得
出抛物线开口向上，并找出抛物线的对称轴及顶点坐标．
（2）把(2,m)代入（1）中所求的解析式计算即可求解．
【详解】（1）解：把(−1,2)代入y=ax2，得2=a×(−1) 2
解得：a=2
∴y=2x2
∵a=2>0
∴函数图象的开口向上、对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)．
（2）解：把(2,m)代入y=2x2，得
m=2×22=8．
18．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知抛物线y=ax2经过点A(−2,−8)．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)判断点B(1,4)是否在此抛物线上．
【答案】(1)y=−2x2
(2)不在
【分析】本题考查二次函数y=ax2的性质：
（1）把A(−2,−8)代入线y=ax2求出a的值即可；
（2）在y=−2x2中，令x=1，求出对应的y值，即可判断．
【详解】（1）解：把A(−2,−8)代入线y=ax2得：−8=4a，
解得a=−2，
∴y=−2x2；
（2）解：在y=−2x2中，令x=1，得y=−2≠4，
∴点B(1,4)不在此抛物线上．
19．（24-25九年级上·河南三门峡·阶段练习）如图，已知点A(−2,4)在抛物线
y=ax2(a≠0)上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B．
(1)求a的值和点B的坐标；
(2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的△ABP的面积为2时，求点
P的坐标．
【答案】(1)a=1，B(2,4)(2)(−❑√3,3)或(❑√3,3)或(−❑√5,5)或(❑√5,5)
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的对称性等等：
（1）先把点A坐标代入解析式中求出a的值，即求出抛物线解析式，再根据对称性即
可求出点B的坐标；
1
（2）先求出AB=4，再根据题意可得 AB⋅|y −4)=2，据此求出点P的纵坐标即
2 P
可得到答案．
【详解】（1）解：把A(−2,4)代入y=ax2(a≠0)中得：4=a⋅(−2) 2，
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=x2，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∵AB∥x轴，且点B在抛物线上，
∴点A和点B关于抛物线对称轴对称，即关于y轴对称，
∴B(2,4)
（2）解：∵A(−2,4)，B(2,4)，
∴AB=2−(−2)=4，
∵△ABP的面积为2，AB∥x轴，
1
∴ AB⋅|y −4)=2，
2 P
1
∴ ×4|y −4)=2，
2 P
∴y =3或y =5，
P P
在y=x2中，当y=x2=3时，x=±❑√3，当y=x2=5时，x=±❑√5，
∴点P的坐标为(−❑√3,3)或(❑√3,3)或(−❑√5,5)或(❑√5,5)．
