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专题11 锐角的三角函数重难点题型专训（7大题型）
【题型目录】
题型一 正弦、余弦与正切的概念辨析
题型二 求角的正弦值
题型三 已知正弦值求边长
题型四 求角的余弦值
题型五 已知余弦值求边长
题型六 求角的正切值
题型七 已知正切值求边长
【知识梳理】
知识点1：正切与余切
1.正切
直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan
A．
．
2.余切
直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot
A．
．
B
c
a
A
C b
知识点2：正弦与余弦
1.正弦
直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A．．
2.余弦
直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A．
．
B
c
a
A
C b
【经典例题一 正弦、余弦与正切的概念辨析】
1．（2023上·福建泉州·九年级校考期中）若 是锐角，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·福建泉州·统考一模）在 中， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021上·吉林·九年级校考阶段练习）如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在
格点上，则∠AOB的正弦值是 ．
4．（2022上·九年级单元测试）当 时， ．在 中， 是斜边 上的高，那么与 的值相等的锐角三角函数是 ．
5．（2023上·山西长治·九年级校联考阶段练习）如图，在 中， ， ， ， ，
的对边分别是 ， ， ．
(1)利用锐角三角函数的定义求证： ；
(2)若 ，求 的值．
【经典例题二 求角的正弦值】
1．（2023上·江苏淮安·九年级校考期中）如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接 ， ，则
的正弦值为（ ）
A． B． C． D．2
2．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）如图， 的半径为8， 内接于
， 于点D，F为弦 的中点，连接 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．3．（2023上·安徽阜阳·九年级校考阶段练习） 中 ，则 ．
4．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）如图，在 个形状、大小完全相同的正方形组成的网格中，正方
形的顶点称为格点，点 都在格点上，则 的值是 ．
5（2022上·江西宜春·九年级江西省宜丰中学校考期中）如图，在 中， ， ，
，
(1)求 的长；
(2)求 ．
【经典例题三 已知正弦值求边长】
1．（2022上·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）在 中， ，斜边上的中线 ， ，
则 （ ）
A．18 B． C． D．没有正确答案
2．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，点A，B，C均在 上，连接 、 、 ，过点O作
于点D，若 的半径为4， ，则弦 的长是（ ）A．2 B． C． D．4
3．（2023上·重庆万州·九年级重庆市万州第二高级中学校考期中）在 中， ，
，则 的值为 ．
4．（2023下·九年级课时练习）在 中，若 ，则 ．
5．（2023上·上海崇明·九年级校联考期中）如图，在 中， ， ， ．
(1)求 的长．
(2)若点D在 边上，且 ，求 的值．
【经典例题四 求角的余弦值】
1．（2023上·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校联考期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）在 中， ， ，则 的值是（）
A． B． C． D．
3．（2023上·上海·九年级上海市第三女子初级中学校考阶段练习）已知点 在平面直角坐标系
中，射线 与 轴正半轴的夹角为 ，那么 的值为 ．
4．（2023上·河北秦皇岛·七年级统考期中）如图，在矩形 中，点 是 的中点，点 是 上一
点，且 ，连接 、 ．若 ，则 的值是 ．5．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）如图，在 中， ， 是 的中点， ，
．
(1)求 的长；
(2)求 与 的值．
【经典例题五 已知余弦值求边长】
1．（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，在直角梯形 中， ， ， ，且
， ，则下底 的长是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·四川南充·九年级校考阶段练习）如图， 为 的 边上一点， ，
， ， ，则 （ ）A． B． C． D．4
3．（2023·山东聊城·统考三模）在 中， ， ， ，以AC所在直线为轴，
把 旋转一周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为 ．
4．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，在四边形 中， ， ， ，
， ，则 ．
5．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）在矩形 中，对角线 ， 交于点 ，过点 作
于点 ．
(1)求证；
(2)求证：
(3)若 ， ，求 的长．【经典例题六 求角的正切值】
1．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，四边形 为正方形，点 在边 上，且
，点 在边 上，且 ．若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）如图， 和 均为等腰直角三角形，
， ， ，点B在线段 上，已知 ， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．3
3．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）如图， 中， ，点D在 上，
连接 ，将 沿 翻折，使得点C落在 边上的点E处，则 ．
4．（2022春·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校联考自主招生）如图， 中，
， 于D，E为 上一点， 于F， 与 交于点G，若 ，则的值是 ．
5．（2022春·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校联考阶段练习）如图，在边长为9的正方形 中，
等腰 的直角顶点与正方形 的顶点C重合，斜边EF与正方形 的对角线交于点E，射
线 与 交于点P，与 交于点Q且 ．
(1)求证： ；
(2)求 的长；
(3)求 的值．
【经典例题七 已知正切值求边长】
1．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）如图，在矩形纸片 中，点 在边 上，沿着 折叠使
点 落在边 上点 处，过点 作 交 于点 ．若 ， ，则 的长为
（ ）A． B．2 C． D．
2．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）如图，平行四边形 中， ， ，
，点O为对角线 交点，点E为 延长线上一动点，连接 交 于点F，当
时，求 的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ，点G为 的重心，若 ，
，那么 的长等于 ．
4．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）已知 ，点P在边
上， ，点M，N在边 上， ，如果 ，那么 ．
5．（2023春·浙江·九年级校联考阶段练习）在 中， ， 分别是 ， 的中点，延长 至点
，使得 ，连结 ．(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2) 于点 ，连结 ，若 是 的中点， ，
①求 的长．
②求平行四边形 的周长．
【重难点训练】
1．（2023上·湖南娄底·九年级校考阶段练习）在 中， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，融创乐园彩虹滑梯的高度为 ，滑梯的坡角为 ，
那么彩虹滑梯的长度 为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·安徽六安·九年级统考阶段练习）在 中， ， ， ，则 的
长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·陕西榆林·九年级校考阶段练习）在 中， ， ， ，则 的度数是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2023上·山东济南·九年级统考期中）在 中， ， 是 边上的中线， ，
，则 （）
A． B． C． D．
6．（2023上·山西临汾·九年级校考阶段练习）如图，点 为 边上的任意一点，作 于点 ，
于点 ，下列用线段比表示 的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）在菱形 中， ， ，点 是直线 上的一
点，且 ，则 ．
8．（2023上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）如图，在 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为
格点， 的顶点都在格点上，则图中 的余弦值是
9．（2023上·四川成都·九年级校联考期中）如图，在 中， ，以点C为圆心，
长为半径作弧，交 于点D，连接 ；再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作弧，两
弧C相交于点E，作射线 交 于点F，若 ，则线段 的长为 ．10．（2023·广东东莞·校联考一模）如图，在正方形 中， ，点 分别在 上，且
与 交于点 为 的中点，连接 ，作 交 于点M，连接 ，则
的值为 ．
11．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第二十五中学校考期中）如图，点E在边 上，连接 ，将
矩形 沿着 折叠，使点D恰好落在 边上的F处， ；
（1） ；
（2）若 ，则 ；
12．（2023上·广东佛山·九年级校考期中）如图，在 中， ， ， ，
，以下结论正确的是 ．
① ；②若 ，则 ；③ 和 相似，则 ；④连接 ，则 的
最大值为 ．13．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）如图所示，在菱形 中， 于E， ，
，求此菱形的边长．
14．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，请
选择适当的格点，用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹．
(1)以O点为旋转中心，将 逆时针方向旋转 得 ，画出 ，并写出 的坐标______；
(2)画出A关于直线 的对称点D；(3)在 上画点P，使 ．
15．（2023上·安徽六安·九年级统考阶段练习）如图， 是正方形 的对角线， 平分 交
于 ，点 在 上，且 ，连接 并延长，分别交 ， 于点G，F．
(1)求证： ；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
16．（2023上·安徽阜阳·九年级校考阶段练习）如图，在 中过点A作 ，垂足为E，连接
，F为 上一点，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的面积．
17．（2022上·山西运城·九年级统考期中）综合与实践【问题情境】
如图1，点G在正方形 的对角线 上， ，垂足为点F．
（1）求证：四边形 是正方形．
（2）求 的值．
【类比探究】
（3）如图2，将正方形 绕点C按顺时针方向旋转 ，试探究线段 与 长度之间的
数量关系．
18．（2023上·河南周口·九年级统考期中）如图，在 中， ，点 为 的中点，
于点 ，连接 ，已知 ．
(1)若 ，求 的长度；
(2)若 ，求 ．
