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考点 04 指对幂函数（核心考点讲与练）
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如 y ＝ x α 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N ，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝
+
(a>0，m，n∈N，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
+
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ a r ＋ s；(ar)s＝ a r s；(ab)r＝ a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象
定义域 R
值域 ( 0 ，＋∞ )
过定点 ( 0 ， 1 )，即x＝0时，y＝1
性质
当x>0时， y > 1； 当x<0时， y > 1；当x<0时， 0 <y < 1 当x>0时， 0 <y < 1
在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
4.对数的概念
一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logN，即b＝logN(a>0，且a≠1).其中，
a a
数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.
5.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alog N＝N；②logab＝b(a>0，且a≠1).
a a
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①log(MN)＝log M ＋ lo gN；
a a a
②log＝log M － lo gN；
a a a
③logMn＝ n lo gM(n∈R)；
a a
④log m Mn＝logM(m，n∈R，且m≠0).
a a
(3)换底公式：log N ＝ (a，b均大于零且不等于1).
b
6.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logx(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
a
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象
定义域： ( 0 ，＋∞ )
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点 ( 1 ， 0 )
性质
当x>1时，y>0； 当x>1时，y<0；
当0<x<1时，y<0 当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
7.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数 y＝ax y＝logx y＝xn
a
性质 (a>1) (a>1) (n>0)
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳1.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征
α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过
(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.
3.指数函数的单调性取决于底数 a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分 0<a<1和
a>1两种情况分类讨论.
4.对数值取正、负值的规律
当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，log b>0；
a
当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，log b<0.
a
5.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把
不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.
6.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.
7.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线 y＝1交点的横坐标进行判
定.指数函数
一、单选题
1．（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知 是正实数，函数 的图象经过点 ，则
的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．2
2．（2022·江西上饶·二模（理））函数 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·河北秦皇岛·二模）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江嘉兴·二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·广东汕头·二模）设a，b，c都是正数，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．三、填空题
6．（2022·江苏南通·模拟预测）若 ，则 的最小值为_________．
7．（2022·辽宁锦州·一模）已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是
___________.
8．（2022·山西·二模（理））已知函数 给出下列结论：① 是偶函数；② 在
上是增函数；③若 ，则点 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．
9．（2022·福建龙岩·一模）已知函数 ，若方程 有解，则实数 的
取值范围是_________．
10．（2022·海南·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，则 _________．
对数函数
一、单选题
1．（2022·辽宁锦州·一模）若 ， ，则x，y，z的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东惠州·一模）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：
，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信
号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数
中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比 从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附： ）
A．20% B．23% C．28% D．50%
3．（2022·北京顺义·二模）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南新乡·二模（文））函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知函数 在 上为减函数，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·山西·二模（理））已知 是 的一个零点， 是 的一个
零点， ，则（ ）
A． B．
C． D． 或
二、多选题7．（2021·河北石家庄·模拟预测）已知函数 是偶函数，则（ ）
A． B． 在 上是单调函数
C． 的最小值为1 D．方程 有两个不相等的实数根
8．（2020·全国·模拟预测）已知函数 ，若 ，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
三、双空题
9．（2022·河北石家庄·二模）已知函数 ，若存在实数 .满足
，且 ，则 ___________， 的取值范围是
___________.
四、填空题
10．（2022·海南·模拟预测）若对任意的 且 ，函数 的图象恒过定点P，则点P
的坐标为___________.
11．（2022·江西赣州·二模（理））若函数 在 上是减函数，则 的取值范围
是___________.
五、解答题
12．（2020·全国·一模（文））（1）已知 ， ， ，证明： ；（2）已知 ， ， ，且 ，若 恒成立，求实数k的最
大值.
幂函数
一、单选题
1．（2022·北京·一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知幂函数 是定义在区间 上的奇函数，则
（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
3．（2021·江西·模拟预测）已知幂函数 的图象过点 ，则 （ ）
A．0 B．2 C．4 D．5
4．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（理））已知幂函数 和 ，其中 ，
则有下列说法：
① 和 图象都过点 ；
② 和 图象都过点 ；
③在区间 上，增长速度更快的是 ；
④在区间 上，增长速度更快的是 .则其中正确命题的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
5．（2022·全国·贵阳一中二模（文））下列函数中是减函数的为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·陕西宝鸡·三模（理））若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2022·全国·模拟预测）已知实数 ,且 ,则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·山东·模拟预测）已知实数 ， 满足 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．若 ， ，则
C．
D．若 ， ，则
9．（2021·全国·模拟预测）已知e为自然对数的底数，则下列判断正确的是（ ）
A．3e﹣2π＜3πe﹣2 B．πlog e＞3log e
3 π
C．log e D．πe＜eπ
π
10．（2021·山东潍坊·三模）已知函数 （ 且 ）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与
函数解析式对应正确的是（ ）A． B．
C． D．
三、填空题
11．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ______．
① ；
②当 时， ；
③ ；
12．（2022·四川泸州·模拟预测（文））已知当 时，函数 的图象与 的图象有
且只有一个公共点，则实数 的取值范围是________.
13．（2022·北京通州·一模）幂函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，能
够使 是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．
一、单选题1．（2021·全国·高考真题）已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常
用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．
已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
3．（2020·天津·高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·全国·高考真题（理））若 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则（ ）
5 8 13
A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
6．（2020·全国·高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根
据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其
中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
7．（2020·全国·高考真题（文））设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·全国·高考真题（文））设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2020·全国·高考真题（理））设函数 ，则f(x)（ ）A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
二、多选题
10．（2020·海南·高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为 ，
且 ，定义X的信息熵 .（ ）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着 的增大而增大
C．若 ，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 ，且 ，则H(X)≤H(Y)
三、填空题
11．（2020·山东·高考真题）若 ，则实数 的值是______.
12．（2020·北京·高考真题）函数 的定义域是____________．
13．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
一、单选题
1. （2022·全国·模拟预测）开普勒（Johannes Kepler，1571~1630），德国数学家、天文学家，他发现所有
行星运行的轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之比约为2:3，地球运行轨道的半长
轴为a，则金星运行轨道的半长轴约为（ ）
A. 0.66a B. 0.70a C. 0.76a D. 0.96a
2. （2022·全国·模拟预测）已知 是函数 的零点，则
的值（ ）
A. 为正数 B. 为负数 C. 等于0 D. 无法确定正负
3. （2022·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
4. （2022·广东汕头·一模） 已知 ， ， ，则以下不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. （2022·河北·模拟预测）设 ， ， 则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6. （2022·山东·模拟预测）已知非零实数m，n满足 ，则下列关系式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
7. （2022·全国·模拟预测）分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是长
度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线
段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……，依次进行“n次分形”（ ）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长
度，要得到一个长度不小于20的分形图，则n的最小值是（ ）
（取 ， ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
8. （2022·全国·模拟预测）设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. （2022·全国·模拟预测）已知 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
10. （2022·山东济宁·一模）已知函数 ，若 ， ， ，
则（ ）
A. 在 上恒为正 B. 在 上单调递减
C. a，b，c中最大的是a D. a，b，c中最小的是b
11. （2022·山东菏泽·一模）下列结论正确的有（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 （其中e为自然对数的底数），则D. 若 ，则
12. （2022·湖南永州·二模）已知定义在 的偶函数 ，其周期为4，当 时， ，
则（ ）
A. B. 的值域为
C. 在 上为减函数 D. 在 上有8个零点
13. （2022·全国·模拟预测）若正实数 满足 ，则下列结论正确的有（
）
A. B. C. D.
