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考点 04 指对幂函数（核心考点讲与练）
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如 y ＝ x α 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N ，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝
+
(a>0，m，n∈N，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
+
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ a r ＋ s；(ar)s＝ a r s；(ab)r＝ a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 00时， y > 1； 当x<0时， y > 1；当x<0时， 0 0时， 0 0，且a≠1).其中，
a a
数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.
5.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alog N＝N；②logab＝b(a>0，且a≠1).
a a
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①log(MN)＝log M ＋ lo gN；
a a a
②log＝log M － lo gN；
a a a
③logMn＝ n lo gM(n∈R)；
a a
④log m Mn＝logM(m，n∈R，且m≠0).
a a
(3)换底公式：log N ＝ (a，b均大于零且不等于1).
b
6.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logx(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
a
(2)对数函数的图象与性质
a>1 01时，y>0； 当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
7.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数 y＝ax y＝logx y＝xn
a
性质 (a>1) (a>1) (n>0)
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳1.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征
α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过
(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.
3.指数函数的单调性取决于底数 a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分 01两种情况分类讨论.
4.对数值取正、负值的规律
当a>1且b>1或00；
a
当a>1且01时，log b<0.
a
5.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把
不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.
6.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.
7.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线 y＝1交点的横坐标进行判
定.指数函数
一、单选题
1．（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知 是正实数，函数 的图象经过点 ，则
的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．2
2．（2022·江西上饶·二模（理））函数 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·河北秦皇岛·二模）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江嘉兴·二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·广东汕头·二模）设a，b，c都是正数，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．三、填空题
6．（2022·江苏南通·模拟预测）若 ，则 的最小值为_________．
7．（2022·辽宁锦州·一模）已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是
___________.
8．（2022·山西·二模（理））已知函数 给出下列结论：① 是偶函数；② 在
上是增函数；③若 ，则点 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．
9．（2022·福建龙岩·一模）已知函数 ，若方程 有解，则实数 的
取值范围是_________．
10．（2022·海南·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，则 _________．
对数函数
一、单选题
1．（2022·辽宁锦州·一模）若 ， ，则x，y，z的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东惠州·一模）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：
，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信
号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数
中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比 从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附： ）
A．20% B．23% C．28% D．50%
3．（2022·北京顺义·二模）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南新乡·二模（文））函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知函数 在 上为减函数，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·山西·二模（理））已知 是 的一个零点， 是 的一个
零点， ，则（ ）
A． B．
C． D． 或
二、多选题7．（2021·河北石家庄·模拟预测）已知函数 是偶函数，则（ ）
A． B． 在 上是单调函数
C． 的最小值为1 D．方程 有两个不相等的实数根
8．（2020·全国·模拟预测）已知函数 ，若 ，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
三、双空题
9．（2022·河北石家庄·二模）已知函数 ，若存在实数 .满足
，且 ，则 ___________， 的取值范围是
___________.
四、填空题
10．（2022·海南·模拟预测）若对任意的 且 ，函数 的图象恒过定点P，则点P
的坐标为___________.
11．（2022·江西赣州·二模（理））若函数 在 上是减函数，则 的取值范围
是___________.
五、解答题
12．（2020·全国·一模（文））（1）已知 ， ， ，证明： ；（2）已知 ， ， ，且 ，若 恒成立，求实数k的最
大值.
幂函数
一、单选题
1．（2022·北京·一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知幂函数 是定义在区间 上的奇函数，则
（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
3．（2021·江西·模拟预测）已知幂函数 的图象过点 ，则 （ ）
A．0 B．2 C．4 D．5
4．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（理））已知幂函数 和 ，其中 ，
则有下列说法：
① 和 图象都过点 ；
② 和 图象都过点 ；
③在区间 上，增长速度更快的是 ；
④在区间 上，增长速度更快的是 .则其中正确命题的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
5．（2022·全国·贵阳一中二模（文））下列函数中是减函数的为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·陕西宝鸡·三模（理））若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2022·全国·模拟预测）已知实数 ,且 ,则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·山东·模拟预测）已知实数 ， 满足 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．若 ， ，则
C．
D．若 ， ，则
9．（2021·全国·模拟预测）已知e为自然对数的底数，则下列判断正确的是（ ）
A．3e﹣2π＜3πe﹣2 B．πlog e＞3log e
3 π
C．log e D．πe＜eπ
π
10．（2021·山东潍坊·三模）已知函数 （ 且 ）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与
函数解析式对应正确的是（ ）A． B．
C． D．
三、填空题
11．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ______．
① ；
②当 时， ；
③ ；
12．（2022·四川泸州·模拟预测（文））已知当 时，函数 的图象与 的图象有
且只有一个公共点，则实数 的取值范围是________.
13．（2022·北京通州·一模）幂函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，能
够使 是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．
一、单选题1．（2021·全国·高考真题）已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常
用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．
已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
3．（2020·天津·高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·全国·高考真题（理））若 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则（ ）
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A．a
