文档内容
第 02 讲 二次函数的图像与性质——顶点式
课程标准 学习目标
①二次函数 的图像与性质
1. 掌握 、 、
②二次函数 的图像与性质
的函数与性质。
③二次函数 的图像与性
2. 能够利用三种函数的图像与性质进行解题。
质
知识点01 的图像与性质
1. 的图像与性质：
由函数的平移可知，可将 向 平移 个单位得到函数 。由
的图像与性质可得到函数 的图像与性质如下：（向左平移） （向右平移） （向左平移） （向右平移）
大致图像
开口方向
顶点坐标
对称轴
对称轴右边y随x的增大而 对称轴右边y随x的增大而
。 。
增减性
对称轴左边y随x的增大而 对称轴左边y随x的增大而
。 。
函数轴最 值 函数轴最 值
最值
这个值是 。 这个值是 。
题型考点：①二次函数 的图像与性质。
【即学即练1】
1．抛物线y＝（x+1）2的对称轴是（ ）
A．直线y＝﹣1 B．直线y＝1 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝1
【即学即练2】
2．同一坐标系中，二次函数y＝（x﹣a）2与一次函数y＝a+ax的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练3】
3．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法正确的是（ ）A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．当x＞﹣4时，y随x的增大而减小
D．顶点坐标为（﹣2，﹣3）
知识点02 的图像与性质
1. 的图像与性质：
由函数的平移可知，可将 向 平移 个单位得到函数 。由
的图像与性质可得到函数 的图像与性质如下：
（向下平移） （向上平移） （向下平移） （向上平移）
大致图像
开口方向
顶点坐标
对称轴
对称轴右边y随x的增大而
。 对称轴右边y随x的增大而 。
增减性
对称轴左边y随x的增大而 对称轴左边y随x的增大而 。
。
函数轴最 值 函数轴最 值
最值
这个值是 。 这个值是 。
题型考点：①二次函数 的图像与性质。
【即学即练1】
4．抛物线的解析式y＝﹣2x2﹣1，则顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（0，﹣1） D．（0，1）
【即学即练2】5．若抛物线y＝2 +（m﹣5）的顶点在x轴下方，则m的值为（ ）
A．m＝5 B．m＝﹣1 C．m＝5或m＝﹣1 D．m＝﹣5
【即学即练3】
6．函数y＝ax2+b与y＝ax+b（ab≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练4】
7．对于二次函数y＝﹣2x2+3的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标为（0，3）
D．x＞0时，y随x的增大而减小
知识点03 的图像与性质
1. 的图像与性质：
由函数的平移可知，可将 先向 平移 个单位，再向 平移 个单
位得到函数 。由 的图像与性质可得到函数 的图像与性质如下：
开口方向
顶点坐标
对称轴
对称轴右边y随x的增大 对称轴右边y随x的增大
而 。 而 。
增减性
对称轴左边y随x的增大 对称轴左边y随x的增大
而 。 而 。
函数轴最 值 函数轴最 值
最值
这个值是 。 这个值是 。题型考点：①二次函数 的图像与性质。
【即学即练1】
8．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【即学即练2】
9．关于y＝2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为（﹣3，2）
B．对称轴为直线y＝3
C．当x≥3时，y随x增大而增大
D．当x≥3时，y随x增大而减小
【即学即练3】
10．关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
【即学即练4】
11．二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（ ）
A． B．
C． D．题型01 二次函数的性质
【典例1】
二次函数y＝2（x﹣1）2﹣5的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标为（ ）
A．开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点（﹣1，﹣5）
B．开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，5）
C．开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点（1，﹣5）
D．开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，﹣5）
【典例2】
由二次函数y＝2（x﹣3）2+1可知（ ）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为x＝﹣3
C．其最大值为1
D．当x＜3时，y随x的增大而减小
【典例3】
已知二次函数y＝﹣2（x+3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝3；③
其图象顶点坐标为（3，1）；④当x＞3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型02 函数图像
【典例1】
二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】
在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【典例3】
已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【典例4】
在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
题型03 二次函数的最值
【典例1】
关于二次函数y＝﹣（x﹣4）2+3的最值，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值3 B．有最小值4 C．有最大值3 D．有最大值4
【典例2】
已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大
值为﹣1，则h的值为（ ）A．3或4 B．1或6 C．1或3 D．4或6
【典例3】
已知二次函数y＝（x﹣a）2+1，当﹣1≤x≤2时，y的最小值为a+1，则a的值为（ ）
A．0或1 B．0或4 C．1或4 D．0或1或4
【典例4】
已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当0≤x≤2a+1时，y有最大值4，则a的值为 ．
1．二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（2，1） C．（3，﹣1） D．（3，1）
2．对于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，3）
C．对称轴为直线x＝1
D．当x＝3时，y＞0
3．若二次函数y＝（x+2）2+m与y＝x2+nx+3的图象重合，则m，n的值为（ ）
A．m＝1，n＝4 B．m＝1，n＝﹣4 C．m＝﹣1，n＝﹣4 D．m＝﹣1，n＝4
4．函数 y＝ax﹣a 和 y＝ax2+2（a 为常数，且 a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数 y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当 2≤x≤5时，函数y的最大值为﹣1，则h的值为
（ ）
A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6
6．如果二次函数y＝（x﹣m）2+n的图象如图所示，那么一次函数y＝mx+n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
7．已知二次函数y＝（x﹣2）2+2，当点（3，y ）、（2.5，y ）、（4，y ）在函数图象上时，则y 、y 、
1 2 3 1 2
y
3
的大小关系正确的是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 1 2 2 1 3 3 2 1 1 2 3
8．设函数y ＝﹣（x﹣a ）2，y ＝﹣（x﹣a ）2．直线x＝1的图象与函数y ，y 的图象分别交于点A（﹣
1 1 2 2 1 2
1，c ），B（1，c ），得（ ）
1 2
A．若1＜a ＜a ，则c ＜c B．若a ＜1＜a ，则c ＜c
1 2 1 2 1 2 1 2
C．若a ＜a ＜1，则c ＜c D．若a ＜a ＜1，则c ＜c
1 2 1 2 1 2 2 1
9．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴为直线
．
10．抛物线y＝2（x﹣3）2+1的顶点坐标是 ．
11．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤4的情况下，与其对应的函数
y的最小值为5，则h的值为 ．12．点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 ．
13．已知抛物线y＝（k﹣1）x2﹣2kx+3k，其中k为实数．
（1）若抛物线经过点（1，3），求k的值；
（2）若抛物线经过点（1，a），（3，b），试说明ab＞﹣3．
14．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b＝a2+ab﹣2等式右边是通常的加法、减法及乘法、乘方
运算．
⊕
比如：2（1 3）＝2×（12+1×3﹣2）
＝2×（1+3﹣2）
⊕
＝2×2＝4
（1）求方程x 1＝0的解；
⊕
（2）验证点 是否在函数y＝x （﹣1）的图象上；
⊕
（3）用配方法求出函数 的对称轴和顶点坐标．
15．如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值；
（2）求a的值，并求出点P到对称轴的距离；
（3）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点 P及C的一段，分别记为P'，C'．平移该胶片，
使C'所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+4x﹣4．求点P'移动的最短路程．
