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专题 12.1 一线三等角模型
【典例1】已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．
（1）如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点D，E在直线l
上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为 ．
【思路点拨】
（1）①由题意画出图形即可；
②证明△CEA≌△ADB（AAS），根据全等三角形的性质得到AD＝CE，BD＝AE，结合图形证明结论；
（2）根据三角形的外角性质得到∠ABD＝∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答．
【解题过程】
解：（1）①依题意补全图形如图1所示．
②用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE．
证明：∵CE⊥l，BD⊥l，
∴∠CEA＝∠ADB＝90°．∴∠ECA+∠CAE＝90°．
∵∠BAC＝90°，直线l过点A，
∴∠CAE+∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°．
∴∠ECA＝∠BAD．
又∵AC＝AB，
∴△CEA≌△ADB（AAS），
∴CE＝AD，AE＝BD．
∴DE＝AE+AD＝BD+CE．
（2）用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE，
理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角，
∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，
∵∠BDA＝∠BAC，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
{∠ABD=∠CAE
∠ADB=∠CEA，
BA=AC
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE．
故答案为：DE＝BD+CE．
1．（2021秋•淮阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在边BC，CA，
AB上，且满足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，则∠FDE的度数为（ ）
A．75° B．80° C．65° D．95°2．（2021秋•南充期末）如图，点B，C，E在同一直线上，且AC＝CE，∠B＝∠D＝90°，AC⊥CD，下列
结论不一定成立的是（ ）
A．∠A＝∠2 B．∠A+∠E＝90° C．BC＝DE D．∠BCD＝∠ACE
3．（2021秋•邗江区期中）如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为10，2号、3号两个正方形的面积
和为8，则a，b，c三个正方形的面积和为（ ）
A．18 B．26 C．28 D．34
4．（2021秋•德州期中）如图，A、C、E三点在向一直线上，△ABC、△CDE都是等边三角形，连接
AD，BE，OC，则有以下四个结论：①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③ OC平分∠AOE；
④△BPO≌△EDO．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
5．（2021秋•房山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且BF
＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是 度．（用含α的代数式表示）6．（2021春•香坊区期末）如图，A、E、B三点共线，AC＝EB，AE＝BF，∠A＝∠B＝80°，则∠CEF的
度数为 °．
7．（2021秋•台江区期末）如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝
7，AB＝4，则BD的长为 ．
8．（2020•南关区校级四模）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得到
AD，边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝10，EN＝
4，则DM＝ ．
9．（2021秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝
∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．10．（2021秋•莱阳市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，
DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．
11．（2022•麻栗坡县校级模拟）如图，点A、E、C在同一条直线上，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且
BC⊥DE．
求证：AB＝CE．
12．（2021秋•海丰县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由．13．（2021秋•沙河口区期末）在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，
且ED＝EF，∠DEF＝∠B．
（1）如图1，求证：BC＝BD+CF；
（2）如图2，连接CD，若DE∥AC，求证：CD平分∠ACB．
14．（2021秋•佳木斯期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，
BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．15．（2021秋•青山区期末）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD
＝AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE．
（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度数；
（2）求证：∠BEC＝135°；
（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为 ．（用含a，b，c的式子表示）
16．（2022•信阳一模）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足
∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ；
（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请
说明理由；
（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，
FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．
