专题12.2全等三角形重难点题型8个（原卷版）_初中数学人教版_8上-初中数学人教版_旧版_06习题试卷_6期中期末复习专题

专题12.2 全等三角形 重难点题型8个 题型1 全等三角形的判定 方法：5种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（特殊形式的SSA） 解题技巧：1）根据图形和已知条件，猜测可能的全等三角形；2）寻找边角相等的3组条件；3）往往有2 个条件比较好找，第3个条件需要推理 寻找第3个条件思路： 原则 1）需要证明的边或角需首先排除，不可作为第3个条件寻找 2）寻找第3个条件，往往需要根据题干给出的信息为指导，确定是找角还是边 全等三角形证明思路：  找夹角SAS    已知两边找第三边SSS   找直角 HL    边为角的对边找任一角 AAS     找夹角的另一边SAS 重已知一边和一角    边为角的邻边找夹角的另一角 ASA    找边的对角 AAS       找夹角 ASA  已知两角   找期中一角的对边 AAS 1°：SSS证全等 1. （2022·北京·首都师大二附八年级期中）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和 △FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 2．（2022·重庆渝北·八年级期末）工人常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角， 在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使CM＝CN，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 3．（2022·山东临沂·八年级期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形PCQD是一个 筝形，其中 ， ，在探究筝形的性质时，得到如下结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的结论有（ ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 4．（2022·福建莆田·八年级期末）莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”， 2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”．该剧中 “油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传 统戏曲乐歌．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨 ， ，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的 ．为什么？5．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中， 于点B， 于点D，点E， F分别在AB，AD上， ， ．(1)若 ， ，求四边形AECF的面积；(2)猜想 ∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 6．（2022·江苏·八年级专题练习）已知 为等腰直角三角形， ， ， (1)如图1，若以 为边在点C同侧作等边三角形 ，判断 所在直线与线段 的关系，并说明理 由．(2)如图2，将 绕若点B旋转60°得 ，若 ，求 的长． 2°：SAS证全等 1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝ ∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EFB＝ 40°；④AD＝AC，正确的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2021·江苏镇江·八年级期末）如图，△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在AB的延长线上，AD ＝AC，BD＝BO，若∠ACB＝40°，则∠ABC的度数为 _____． 3．（2021·江苏徐州·八年级期中）如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AC＝BD，∠BAC ＝∠ABD．求证：∠C＝∠D． 4．（2021·四川泸州·一模）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC． 求证：BC＝DE． 5．（2021·福建泉州·八年级期中）如图，点B、F、C、E在同一直线上，ABDE，BF CE，AB∥ DE，求证： ABC≌  DEF．AB AC AE  AD CAB EAD 6．（2022·湖北武汉市·八年级期末）如图， ， ， ． △AEC △ADB 90 BD CE （1）求证： ；（2）若 ，试判断 与 的数量及位置关系并证明； CAB EAD CFA （3）若 ，求 的度数． 3°：ASA证全等 1．（2022·四川攀枝花·模拟预测）小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一 块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 2．（2022·新疆吐鲁番·八年级期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则判定△ABD和△ACD全等的依据是（ ） A．SSS B．ASA C．SAS D．HL 3．（2022·江苏初三模拟）如图，在 ABC中，D是线段BC的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点， 且CF∥BE．求证：DE＝DF △ 4．（2021·江苏镇江市·九年级二模）如图，在四边形ABCD中，AD//BC ，点E为对角线BD上一点， ABEC AD BE ADDE  BC BDC 70 ADB ，且 ．（1）求证： ；（2）若 ，求 的度数． 5．（2021·广东广州市·八年级期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是线段BC上一个 1 动点，点F在线段AB上，且∠FDB＝ ∠ACB，BE⊥DF．垂足E在DF的延长线上． 2 （1）如图2，当点D与点C重合时，试探究线段BE和DF的数量关系．并证明你的结论； （2）若点D不与点B，C重合，试探究线段BE和DF的数量关系，并证明你的结论．ABCD AB//CD AD//BC E BD 6．（2021·上海宝山区·七年级期末）如图，已知四边形 中， ， ． 为 上 一点，且BE  AD，DEF ADC，EF 交BC的延长线于点F ． AD BC BF BD （1） 和 相等吗？为什么？（2） 和 相等吗？为什么？ 4°：AAS证全等 1．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）如图，AB CD，∠ACD=90°，CD=CB，DE⊥BC于点E．求证： AB=CE． 2．（2022·广西贵港·八年级期末）如图，在 中， ，点 是 边的中点， ， ，垂足分别为点 ， ．(1)求证： ；(2)若 ，求 的度数．3．（2021·广东广州·三模）如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC＝BE，∠ABC＝∠D．求证：AB＝ED． ABC AC  BC  4．（2021·重庆八中七年级期末）如图，在 中， ，点D在AB边上，点E在BC边上， ACD BDE CDDE 连接CD，DE．已知 ， ． AD 3 BD 5 （1）猜想AC与BD的数量关系，并证明你的猜想；（2）若 ， ，求CE的长． B F C E FB CE AB//ED 5．（2022·江苏东台初二期末）如图，点 、 、 、 在一条直线上， ， ， AC//FD AD BE O ABC  DEF AO OD ， 交 于 ．（1）求证： ．（2）求证： ．6．（2021·重庆巴蜀中学七年级期末）如图，点E在△ABC的边AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE 交BE于F，FD∥BC交AC于点D．（1）求证：△ABF≌△ADF；（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求 △EFD的周长． 5°：HL证全等 1．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，点E是BC的中点， ， ，AE平分 ，下 列结论：① ；② ；③ ；④ ，四个结论中成立的是 （ ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 2．（2022·江苏镇江·八年级期末）小明用两张完全相同的长方形纸片按如图所示的方式摆放，一张纸片压 住射线 ，另一张纸片压住射线 且与第一张纸片交于点 ，若 ，则 __．3．（2021·内蒙古·包头市第八中学八年级期中）如图，点D、A、E在直线m上，AB=AC，BD⊥m于点 D，CE⊥m于点E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，则DE=____________ 4．（2022·全国·七年级课时练习）已知，线段AC、BD交于点O，ABCD，BF  AC于点F，DE  AC 于点E，AECF，则（1）如图，若AOB为钝角，求证：BODO；（2）若AOB为锐角，其他条件 不变，请画图判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． AB  BD ED BD AC CE BC  DE 5．（2022·江西·八年级期末）已知： ， ， ， ． AC CE （1）试猜想线段 与 的位置关系，并证明你的结论． CD CB AC C E （2）若将 沿 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论 1 2 还成立吗？请说明理由． CD CB AC C E （3）若将 沿 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论 1 2 还成立吗？请说明理由．6．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延 长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．(1)求证：Rt ABE≌Rt CBF；(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度 数． △ △ 题型2. 全等三角形性质（求长度、角度） 1．（2022•洪山区八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点 D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 . （2022•弋江区八年级期末）如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC 的长可能是（ ）A．6 B．7 C．8 D．9 3.（2022•承德八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB上一点，且BE＝BC，过E作DE⊥AB 交AC于D，如果AC＝5cm，则AD+DE等于（ ） A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm ABC AB BC  ．（2022·北京西城区·八年级期末）如图，在 中，点D，E分别在边 ， 上，点A与点E关 于直线CD对称．若AB7，AC 9，BC 12，则 DBE的周长为（ ）  A．9 B．10 C．11 D．12 5．（2022·北京市八年级期中）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D 在l异侧，测得 ，AB//DE， ．(1)求证： ；(2)若 ， ，求 的长度．6.（2022春•岳麓区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE 相交于点H，AE＝BE．（1）求证：△AEH≌△BEC．（2）若AH＝4，求BD的长． 题型3 利用全等三角形求角度 1．（2022•郯城县八年级期中）如图，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝ 55°，∠BCD＝155°，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（ ） A．110° B．125° C．130° D．155° 2022•栾城区八年级期末）如图，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝ 110°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为（ ） A．50° B．60° C．40° D．20° 3．（2022•昌平区八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的 点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（ ）A．40° B．50° C．70° D．71° 4.（2022·雁塔陕西师大附中初一期末）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上 一点，点E在BC上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．若∠CAE＝30°，则∠BDC＝_____． 5．（2022•碑林区八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F，分别在AB，BC，AC边上， 且BE＝CF，BD＝CE，∠A＝30°，求∠DEF的度数． 6.（2022•姑苏区八年级期末）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在 BC上，且AE＝CF．（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度 数．题型4 利用全等三角形证明数量（位置）关系 1．（2022•高州市期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC，AC边上的高，AD，BE 相交于点F，连接CF，则下列结论：①BF＝AC；②∠FCD＝∠DAC；③CF⊥AB；④若BF＝2EC，则 △FDC周长等于AB的长．其中正确的有（ ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④ 2. （2022•三水区一模）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且 BM＝AN．（1）求证△AMB≌△CNA；（2）求证∠BAC＝90°． 3.（2022•揭阳八年级期末）已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E． （1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC＝180°； （2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系； （3）在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，试说明：EF＝ED．4.（2022•南丹县教学研究室八年级期末）如图1，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点， AD＝BC，AF＝BD． (1)判断DF与DC的数量关系为 ，位置关系为 ． (2)如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC， DF，CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由． 5．（2022·广东韶关·八年级期中）已知：如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，且AB∥DE，AB＝ DE，BE＝CF．(1)试说明：△ABC≌△DEF；(2)判断线段AC与DF的数量关系与位置关系，并说明理由．6．（2022·江苏江苏·七年级期末）角平分线的探究 【教材再现】苏科版八上P25页介绍了用尺规作图作角平分线，作法如下： ①如图1，以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D． ②分别以点C、D为圆心，大于 CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点M． ③作射线OM．则射线OM为∠AOB的平分线． （1）用尺规作图作∠AOB的平分线原理是证明两个三角形全等，那么证明三角形全等依据是 ． 【数学思考】在学习了这个尺规作图作角的平分线后，小亮同学研究了下面的方法画角的平分线（如图 2）： ①在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OC＝OD． ②过C作CE⊥OB，垂足为E．过D作DF⊥OA，垂足为F．CE、DF交于点M． ③作射线OM． （2）请画出图形，并证明OM平分∠AOB． 【问题解决】（3）已知：如图3，四边形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E． 试写出线段AB、AD、AE之间的数量关系，并说明理由． 题型5. 尺规作图与三角形全等 1．（2022·广东·二模）观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，能得出∠CPD=∠AOB的依据是 （ ）A．由“等边对等角”可得∠CPD=∠AOB B．由SSS可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD ∠AOB C．由SAS可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD ∠AOB D．由ASA可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD ∠AOB 2．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，已知 ，用直尺和圆规按以下步骤作出 ． （1）画射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，与 交于点 ； （2）分别以 ， 为圆心，线段 ， 长为半径画弧，两弧相交于点 ； （3）连接 ， ．则能用于证明 的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 3．（2021·湖北·来凤县实验中学八年级期中）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再 以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得： 的根 据是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 4.（2022·河北邢台·八年级期末）已知 ，按图示痕迹做 ，得到 ．则在作图时， 这两个三角形满足的条件是（ ）A． B． C． D． 5．（2022·湖南常德·八年级期中）请按以下要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． 用直尺和圆规作△DEF，使得△DEF≌△ABC，并指出判定△DEF≌△ABC的依据（请在作图区内画图）． 6．（2021·江苏泰州·一模）已知：如图1， 中， ． （1）请你以 为一边，在 的同侧构造一个与 全等的三角形 ，画出图形；（要求：尺规 作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题： 如图2，在四边形 中① ；② ；③ ．请在上述三条信息中选择其 中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由你选择 的条件是________，结论是_______（只要填写序号）题型6. 利用三角形全等测距离 1．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图， 为测量池塘两端 的距离， 学校课外实践小组在池塘旁的开 阔地上选了一点 ，测得 的度数，在 的另一侧测得 ， ，再测得 的长， 就是 的长．其依据是（ ） A． B． C． D． 2．（2021•温岭市八年级期中）某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面 示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐 着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出 CB的长度；如果不能，请说明理由． 3. （2022•大连八年级月考）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中， 设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、 乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到 点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可； 乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接 DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可． 甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．4．（2022•孝义市八年级期中）一位经历过战争的老战士讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地 与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离，在不能过河测量又没有任何 测量工具的情况下，一个战士想出来这样的办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽 檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点 上，接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离． 将这位战士看成一条线段，碉堡看成一点，示意图如下，你能根据示意图解释其中的道理吗 下面是彤彤同学写出的不完整的已知和求证，请你补全已知和求证，并完成证明． 已知：如图，AB⊥CD， ．求证： ． 证明： 5. （2022•金乡县八年级期中）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在 单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角 为∠1，小明站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，试求单元楼AB的高． 6．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明通过构造△ABC与 △BCD来测量A，B间的距离，其中 ， ．那么量出的BD的长度就是AB的距离． 请你判断小明这个方法正确与否，并给出相应理由． 题型7. 全等三角形中的动态问题 1．（2022·北京市师达中学八年级期中）如图， ， cm， cm，点P在线段 AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且 ， 当点P的运动时间为_________秒时，△ABC才能和△PQA全等．2．（2022·河南·开封市第二十七中学八年级期中）如图，AB＝16，AC＝6，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别 为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AB向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位 的速度沿射线BD方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与△CAP全等时，a的 值为______． 3．（2022·广西百色·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点． 如果点P在线段BC上以1.5厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上，由C点向A点 运动，为了使△BPD≌△CPQ，点Q的运动速度应为（ ） A．1厘米/秒 B．2厘米/秒 C．3厘米/秒 D．4厘米/秒 4．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，已知直线 于点P，B是 内部一点，过点B作 于点A， 于点C，四边形 是边长为8cm的正方形，N是 的中点，动点M从点 P出发，以2cm/s的速度，沿 方向运动，到达点C停止运动，设运动时间为 ，当时，t等于（ ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 5．（2021·江苏盐城·八年级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，CD＝14cm，∠B ＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度沿B﹣C运动，同时，点Q在线段CD上 由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 _______cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等． Rt△ABC C 90 AC 8cm BC 6cm D 6．（2021·四川宜宾市·八年级期末）在 中， ， ， ，点 在 AC 上，且AD 6cm，过点A作射线AE  AC（AE与BC在AC 同侧），若点P从点A出发，沿射 AE 1cm/s P t PD BD 线 匀速运动，运动速度为 ，设点 运动时间为 秒．连结 、 ．（1）如图①，当 PD BD △PDA≌△DBC PD AB F t 时，求证： ；（2）如图②，当 于点 时，求此时 的值．题型8. 全等三角形综合题  ABC BAC 90 AB AC D BC 1．（2021·湖南岳阳市·八年级期末）已知 中， ， ，点 为 的中点， E F AB AC EDF 90 EF 点 、 分别为边 、 上的动点，且 ，连接 ，下列说法正确的是______．（写出 1 S  S 所有正确结论的序号）①BEF CFE 270；②ED FD；③EF  FC ；④ 四边形AEDF 2 ABC ABC D,E AC ADCE  2．（2021·浙江宁波市·八年级期末）如图1， 是等边三角形， 为 上两点，且 ， BC CF CD BD，EF D,E BD  DF 延长 至点F，使 ，连结 ．（1）如图2，当 两点重合时，求证： ． FE BD BD EF DGE （2）如图3，延长 交线段 于点G．①求证： ．②求 的度数． O ABC AOB 110 BOC  CO 3．（2022·河北安平初二期末）如图，点 是等边 内一点， ， ，将 C 60 CD AD OD 150 AOD 绕点 顺时针方向旋转 得到 ，连接 ， .（1）当 时，判断 的形状，并说DAO  AOD 明理由；（2）求 的度数；（3）请你探究：当 为多少度时， 是等腰三角形？  ABC B BD  AB BD AB 4．（2021·湖北襄阳市·八年级期末）如图1，在 中，过点 作 ，且 ，连接 CD． ACB 90 AC  BC 8 D △BCD BC DE （问题原型）（1）若 ，且 ，过点 作的 的 边上的高 ，易证 △ABC≌△BDE △BCD ，从而得到 的面积为______． ACB 90 BC a a △BCD （变式探究）（2）如图2，若 ， ，用含 的代数式表示 的面积，并说明理 由． AB AC BC 8 △BCD （拓展应用）（3）如图3，若 ， ，则 的面积为______． 5．（2022·成都市初一期末）（1）如图1，在ABC中，AB=4，AC=6，AD是BC边上的中线，延长AD 到点E使DE=AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范 围是 ；（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且 DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角， 1 ∠B+∠ADC=180°，DA=DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF= ∠ADC，连接EF，试探索线段 2AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明． 6．（2022·青白江初一期中）现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的， 1 CD AB 用图形语言可以表示为：如图1在ABC中，C 90,若点D为AB的中点，则 2 ． 请结合上述结论解决如下问题：已知，点P是射线BA上一动点（不与A,B重合）分别过点A,B向直线CP 作垂线，垂足分别为E,F,其中Q为AB的中点（1）如图2，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系 ____________；QE与QF的数量关系是__________（2）如图3，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试 判断QE与QF的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结 论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路． 7．（2022·山东威海市·七年级期末）（问题情境） 1 ABCD AB AD B D 90 BAD120 E F （1）如图 ，在四边形 中， ， ， ．点 ， 分别是 BC CD EAF 60 BE EF DF 和 上的点，且 ，试探究线段 ， ， 之间的关系．小明同学探究此问题的 方法是：延长FD到点G，使DG  BE ，连接AG．先证明△ADG △ABE，再证明△AEF △AGF ，进而得出EF  BEDF ．你认为他的做法 ；（填“正确”或“错误”）． （探索延伸） 2 ABCD AB AD B 70 D110 BAD 100 E F （2）如图 ，在四边形 中， ， ， ， ，点 ， 分 BC CD EAF 50 别是 和 上的点，且 ，上题中的结论依然成立吗？请说明理由． （思维提升） 3 ABCD AB AD （3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图 ，在四边形 中，若 ， 1 BD 180，EAF  2 BAD，那么 EF  BEDF ．你认为正确吗？请说明理由．