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专题 12 压轴大题精选二（圆，相似）
1．如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ为半
径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．
在平面直角坐标系xOy中：
（1）如图2，已知点A（7，0），点B在直线y＝x+1上．
①若点B（3，4），点C（3，0），则在点O，C，A中，点 是△AOB关于点B的内联
点；
②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；
（2）已知点D（2，0），点E（4，2），将点D绕原点O旋转得到点F．若△EOF关于点E的
内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围．
2．在平面直角坐标系xOy中， O的半径为1．
给出如下定义：记线段AB的⊙中点为M，当点M不在 O上时，平移线段AB，使点M落在 O
上，得到线段A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点）⊙线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O
的“平移距离”． ⊙
（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B在x轴上．
①若点B与原点O重合，则线段AB到 O的“平移距离”为 ；
②若线段AB到 O的“平移距离”为2⊙，则点B的坐标为 ；
⊙ 4
（2）若点A，B都在直线y= x+4上，且AB＝2，记线段AB到 O的“平移距离”为d ，求d
1 1
3
⊙
的最小值；
（3）若点A的坐标为（3，4），且AB＝2，记线段AB到 O的“平移距离”为d ，直接写出
2
⊙d 的 取 值 范 围 ．
2
3．在△ABC中，∠B＝90°，D是△ABC外接圆上的一点，且点D是∠B所对的弧的中点．
（1）尺规作图：在图1中作出点D；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，连接BD，CD，过点B的直线交边AC于点M，交该外接圆于点E，交CD的延长
线于点P，BA，DE的延长线交于点Q．
①若^AE=^BC，AB＝4，BC＝3，求BE的长；
√2
②若DP= （AB+BC），DP＝DQ，求∠PDQ的度数．
24．如图， O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交 O于点D．
（1）求⊙AD的长； ⊙
（2）试探究CA、CB、CD之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）连接OD，P为半圆ADB上任意一点，过P点作PE⊥OD于点E，设△OPE的内心为M，
当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．
5．如图，已知在△ABC中，∠A是钝角，以AB为边作正方形ABDE，使△ABC正方形ABDE分居
在AB两侧，以AC为边作正方形ACFG，使△ABC正方形ACFG分居在AC两侧，BG与CE交
于点M，连接AM．
（1）求证：BG＝CE；
（2）求：∠AMC的度数；
（3）若BG＝a，MG＝b，ME＝c，求：S△ABM ：S△ACM （结果可用含有a，b，c的式子表示）．
6．对于平面内的图形G 和图形G ，记平面内一点P到图形G 上各点的最短距离为d ，点P到图
1 2 1 1
形G 上各点的最短距离为d ，若d ＝d ，就称点P是图形G 和图形G 的一个“等距点”．
2 2 1 2 1 2
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），B（0，2√3）．
（1）在R（3，0），S（2，0），T（1，√3）三点中，点A和点B的等距点是 ；
（2）已知直线y＝﹣2．
①若点A和直线y＝﹣2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为 ；
②若直线y＝a上存在点A和直线y＝﹣2的等距点，求实数a的取值范围；
√3
（3）记直线AB为直线l ，直线l ：y=− x，以原点O为圆心作半径为r的 O．若 O上有
1 2
3
⊙ ⊙
m个直线l 和直线l 的等距点，以及n个直线l 和y轴的等距点（m≠0，n≠0），当m≠n时，
1 2 1
求r的取值范围．
7．如图， O为Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，BC＝4√3，AC＝4，点D是 O上的动点，且
⊙ ⊙点C、D分别位于AB的两侧．
（1）求 O的半径；
（2）当⊙CD＝4√2时，求∠ACD的度数；
（3）设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM
的最大值；若不存在，请说明理由．
8．如图， O是四边形ABCD的外接圆，直径为10，过点D作DP⊥AB，交BA的延长线于点P，
AD平分⊙∠PAC．
（1）如图1，若AC是 O的直径，求证：PD与 O相切；
（2）在（1）的条件下⊙，若PA+PD＝4，求线段B⊙C的长；
（3）如图2，若BC＝CD，求AB+AD的最大值．
9．如图，BC是 O的直径，点A在 O上且AB＝AC．
（1）如图1，⊙点D为直径BC上⊙一点（不与点 B，C重合），将线段 AD绕点A顺时针旋转
90°，得到线段AE，连接DE、BE，试探索线段BD，CD，DE之间满足的等量关系，并证明你
的结论；
（2）如图2，若点D为 O外一点且∠ADB＝45°，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量
关系，并证明你的结论；⊙
（3）若点D为 O上一点且∠ADB＝45°，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并
证明你的结论．⊙10．在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点
P及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最大值，且最
大值恰好为2d．则称点P为图形W的“倍点”．
（1）如图1，图形W是半径为1的 O．
①图形W上任意两点间的距离的最⊙大值d为 ；
②在点P （0，2），P （3，3），P （﹣3，0）中， O的“倍点”是 ；
1 2 3
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，⊙点A（﹣1，1）．若点E（t，3）是正方形
ABCD的“倍点”，求t的值；
（3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的 O上存在线段MN的“倍
点”，直接写出所有满足条件的点T组成的图形的面积． ⊙
11．如图，点C是以AB为直径的半圆O上一动点，且AB＝2，AD平分∠BAC交BC于点D，CP
平分∠BCA交AD于点P，PF⊥AC，PE⊥BC．
（1）求证：四边形CEPF为正方形；
（2）求AC•BC的最大值；
1 1
（3）求 + 的最小值．
AC DC12．在平面直角坐标系xOy中． O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段
AB关于直线l对称，可以得到⊙ O的弦A′B′（A′，B′分别为A，B的对应点），则称线段
AB是 O的关于直线l对称的“⊙关联线段”．例如：在图1中，线段AB是 O的关于直线l对
称的“⊙关联线段”． ⊙
（1）如图2，点A ，B ，A ，B ，A ，B 的横、纵坐标都是整数．
1 1 2 2 3 3
①在线段A B ，A B ，A B 中， O的关于直线y＝x+2对称的“关联线段”是 ；
1 1 2 2 3 3
②若线段A B ，A B ，A B 中，⊙存在 O的关于直线y＝﹣x+m对称的“关联线段”，则m＝
1 1 2 2 3 3
； ⊙
√3
（2）已知直线y=− x+b（b＞0）交x轴于点C，在△ABC中，AC＝3，AB＝1．若线段AB是
3
√3
O的关于直线y=− x+b（b＞0）对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以
3
⊙
及 相 应 的 BC 长 ．13．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q
两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的 2倍，则称点P为图形M的“二分
点”．已知点N（3，0），A（1，0），B（0，√3），C（√3，﹣1）．
（1）①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是 ；
②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；
（2）以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在 O的“二分点”，直接写出r的取值范
围． ⊙
14．已知：如图①，AD为 O的直径，点A为优弧^BC的中点，延长BO交AC于点E．
⊙（1）求证：∠BAC＝2∠ABE；
（2）若△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的度数；
（3）如图②，若弦BC垂直平分半径OD，连接DE交BC于点F，DF＝a，EF＝k•DF，S△BEF
＝1，M、N、P分别为直线BD、BF、DF上的三个动点，求△MNP周长的最小值．
15．在平面直角坐标系xOy中， O的半径为1，点A在 O上，点P在 O内，给出如下定义：
连接AP并延长交 O于点B，⊙若AP＝kAB，则称点P是⊙点A关于 O的⊙k倍特征点．
（1）如图，点A的⊙坐标为（1，0）． ⊙
1
①若点P的坐标为（− ，0），则点P是点A关于 O的 倍特征点；
2
⊙
1 1 1 1 1
②在C （0， ），C （ ，0），C （ ，− ）这三个点中，点 是点A关于 O的
1 2 3
2 2 2 2 2
⊙
倍特征点；
③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A关于 O的
⊙
1
倍特征点，求点E的坐标；
2
（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在 O上都存在
点N，使得点M是点N关于 O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值． ⊙
⊙16．如图1，△ABC为等边三角形，D为AG右侧一点，且AD＝AC，连接BD交AC于点E，延长
DA、CB交于点F．
（1）若∠BAF＝30°，AF=√3，求AD；
（2）证明：CF＝AF+AE；
（3）如图2，若AB＝2，G为BC中点，连接AG，M为AG上一动点，连接CM，将CM绕着M
点逆时针旋转90°到MN，连接AN，CN，当AN最小时，直接写出△CMN的面积．
17．在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，
连接CE．
（1）如图1，当B、A、E三点共线时，连接AE，若AB＝2，求CE的长；
（2）如图2，取CE的中点F，连接DF，猜想AD与DF存在的数量关系，并证明你的猜想；
CD+AB
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE、AP交于G点．若GF＝DF，请直接写出 的
BE
值．18．如图，在△ABC中，AB＝3，点E、D分别是AB边上的三等分点，CD⊥AB于点D，点P是
AC边上的一个动点，连接PE、EC，作△EPC关于AC的轴对称图形△FPC．
AP
（1）当PE∥BC时，求 的值；
AC
（2）当F、P、B三点共线时，求证：AP•AC＝3；
（3）当CD＝2，且AP＞PC时，线段PE的中垂线GQ分别交线段PE、CD于点G、Q，连接
PQ、EQ，求线段PQ的最小值．
