文档内容
第 02 讲 圆-垂径定理
1.掌握垂径定理及其推论；
2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.
知识点1 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条
弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
知识点2 垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
【题型1 运用垂径定理直接求线段的长度】
【典例1】（2023•南海区校级模拟）如图，线段CD是 O的直径，CD⊥AB
于点E，若AB长为16，OE长为6，则 O半径是（ ）
⊙
⊙
A．5 B．6 C．8 D．10【变式1-1】（2023春•开福区校级月考）如图， O的半径为5，弦AB＝8，
OC⊥AB于点C，则OC的长为（ ）
⊙
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】（澄城县期末）如图， O中，OD⊥弦AB于点C，交 O于点
D，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（ ）
⊙ ⊙
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式1-3】（2023•宿州模拟）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E．
若OE＝CE＝2，则BE的长为（ ）
⊙
A． B． C．1 D．2
【题型2 垂径定理在格点中的运用】
【典例2】（2023•平遥县二模）如图所示，一圆弧过方格的格点 AB，试在方
格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆
心坐标是（ ）A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
【变式2-1】（2022秋•兴义市期中）如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半
径为5的 A经过M、N，则A点坐标为（ ）
⊙
A．（﹣5，﹣6） B．（﹣4，﹣5） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6）
【变式2-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆
弧经过A（2，2），B（4，0），O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中
的（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【变式2-3】（2022秋•南开区校级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已
知一圆弧过正方形网格的格点 A，B，C，已知A点的坐标为（﹣3，5），B
点的坐标为（1，5），C点的坐标为（4，2），则该圆弧所在圆的圆心坐标
为 ．【题型3 垂径定理与方程的综合应用】
【典例3】（2023•寻乌县一模）如图， O的半径 OD⊥弦AB于点C，连接
AO 并延长交 O 于点 E，连接 EB．若 AB＝4，CD＝1，则 EB 的长为
⊙
（ ）
⊙
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3-1】（2021秋•瑶海区期末）如图，在 O中，OE⊥弦AB于点E，EO
的延长线交弦 AB 所对的优弧于点 F，若 AB＝FE＝8，则 O 的半径为（
⊙
）
⊙
A．5 B．6 C．4 D．2
【变式3-2】（2022秋•宜春期末）已知：如图， O的直径AC与弦BD（不是
直径）交于点E，若EC＝1，DE＝EB＝2，求AB的长．
⊙【题型4 同心圆与垂井定理综合】
【典例4】（2022秋•梁山县期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大
圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
【变式4-1】（2022秋•嘉兴期中）已知在以点 O为圆心的两个同心圆中，大圆
的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为
6，求AC的长．
【变式4-2】（2022秋•浦江县校级月考）如图，在以 O为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝10cm，CD＝6cm．
（1）求AC的长；
（2）若大圆半径为13cm，求小圆的半径．【题型5 垂径定理的实际应用】
【典例5】（2022秋•赣县区期末）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点
O为圆心的圆的一部分．如果 M是 O中弦CD的中点，EM经过圆心O交
O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求 O的半径．
⊙
⊙ ⊙
【变式5-1】（2022秋•信都区校级期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉
工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，
如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O
在水面上方，且 O被水面截得的弦AB长为4米， O半径长为3米．若点
C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
⊙ ⊙
A．1米 B． 米 C．3米 D． 米
【变式5-2】（2023•武义县一模）如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点
O为圆心的圆的一部分，M是 O中弦CD的中点，EM经过圆心O交 O于
⊙ ⊙点E．若CD＝6，EM＝9，则 O的半径为（ ）
⊙
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式5-3】（2023•桐乡市校级开学）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5
米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞
的最大高度是（ ）
A．2.25米 B．2.2米 C．2.15米 D．2.1米
【典例6】（2023•迎泽区校级一模）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度
AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有
4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
【变式6-1】（2021秋•恩施市校级期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面
宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面 3.4m，则此货
船是否能顺利通过这座圆弧形拱桥并说明理由．
【变式6-2】（2022秋•鼓楼区期中）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时
刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米．
（1）求主桥拱所在圆的半径；
（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度．
【变式6-3】（2022秋•南宁期中）如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，
其为圆弧型，跨度AB（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高（弧的中点到弦的距
离）为0.8米．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距蔬菜棚的一端（点B）0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高
度．1．（2021•鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光
启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图 1．筒车盛水桶的
运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且 O
被水面截得的弦AB长为6米， O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低
⊙
点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
⊙
A．1米 B．（4﹣ ）米 C．2米 D．（4+ ）米
2．（2021•凉山州）点P是 O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦
的长为6cm，则OP的长为（ ）
⊙
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
3．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，
“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，
AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分
钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
4．（2022•长沙）如图，A、B、C是 O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D
为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为 ．
⊙
5．（2022•黑龙江）如图，在 O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若
O的半径为2，则弦AB的长为 ．
⊙
⊙
6．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的
圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端
AB，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆
形瓦片所在圆的半径为 cm．
1．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．6
2．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆
材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”
译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，
锯口深 2 寸（ED＝2 寸），锯道长 8 寸”，问这块圆形木材的直径是多
少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（ ）
A．5寸 B．8寸 C．10寸 D．12寸
3．如图，AB是 O的直径，弦 CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则 O
的半径的长是（ ）
⊙ ⊙
A．5 B．4 C．3 D．2
4．如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽AB＝8，则水深
CD为（ ）A．3 B．2 C． D．
5．如图是一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内
水面AB＝8cm，则水深CD是（ ）
A． cm B． cm C．2cm D．3cm
6．如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度
AB为8cm，则槽的深度CD为 cm．
7．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例
如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为 2.5m，地
面入口宽为1m，则该门洞的半径为 m．
8．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，
埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转
化为现在的数学语言就是：如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为
E，AE＝1寸，CD＝10寸，则直径AB的长为 寸．
⊙9．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽 AB＝
48cm，则水的最大深度为 cm．
10．兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB＝16m，半径
OA＝10m，高度CD为 m．
11．为测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示
（单位：cm），则该铁球的直径为 ．
12．如图，以点 P为圆心的圆弧与 x轴交于 A，B两点，点 P的坐标为（4，
2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为 ．13．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OA＝2m，水面宽AB＝
2.4m．某天下雨后，水管水面上升后的水面宽度为 3.2m，则排水管水面上升
了 m．
14．证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
已知：如图，AB是 O的直径，CD是 O的弦， ．
求证： ．
⊙ ⊙
证明：
15．如图，OA＝OB，AB交 O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
⊙
（2）若CD＝8，EF＝2，求 O的半径．
⊙16．已知：如图，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，
以DB为直径作 O交射线AP于E、F两点．
（1）求圆心O到AP的距离；
⊙
（2）求弦EF的长．
17．如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．若A
点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），
（1）根据题意，画出平面直角坐标系；
（2）在图中标出圆心M的位置，写出圆心M点的坐标 ．
18．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径
R．19．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面 3.4m，则此货
船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．
