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第12讲 期末复习角的计算专题（原卷版）
第一部分 教学案
类型一 方程思想
1．（2012秋•高淳区期末）已知∠ 和∠ 互为补角，并且∠ 的一半比∠ 小30°，求
∠ ．
α β β α
α
2．（2021秋•潜江期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝
20°，求∠AOB的度数．
3．如图，A、O、B三点在一条直线上，∠AOC＝2∠COD，OE平分∠BOD，∠COE＝
77°，求∠COD的度数．
1
4．如图，已知∠AOB内有两条射线 OC，OD，∠AOD＝2∠BOD，∠AOC= ∠COB，
3
∠COD＝70°．求∠AOC的度数．
5．（2019秋•东西湖区期末）如图，∠AOC与∠BOC互余，OD平分∠BOC，∠EOC＝
4∠AOE．
（1）若∠AOD＝70°，求∠AOE的度数；（2）若∠DOE＝63°，求∠EOC的度数．
类型二 分类讨论思想6．已知∠AOB＝70°，∠COB＝40°，则∠AOC的度数是 ．
7．如图，∠AOB＝120°，∠AOC＝70°，过点 O作射线 OD，使∠BOD＝3∠BOC．求
∠AOD的度数．
类型三 单角平分线
8．（2022秋•萧山区期末）已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB上
方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝50°，设∠BOE＝n．
（1）若射线OE在∠BOC的内部（如图1），
①若n＝43°，求∠COD的度数；
②当∠AOD＝3∠COE时，求∠COD的度数．
（2）若射线OE恰为图中某一个角（小于180°）的角平分线，试求n的值．
9．（2021秋•未央区校级期末）如图，已知∠AOB＝150°，OC为∠AOB内部的一条射线，
1
∠BOC＝60°．若OE平分∠AOB，OD为∠BOC内部的一条射线，∠COD= ∠BOD，
2
求∠DOE的度数．10．（1）如图1，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE 在
∠BOC内，∠COE＝2∠BOE，∠DOE＝70°，求∠COE的度数．
（2）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．
①请你数一数，图中有 个小于平角的角；
②求出∠BOD的度数；
③请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
1
11．如图，已知OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠BOE= ∠EOC，∠AOC＝170°．
3
（1）若知∠AOB＝70°，求∠EOC的度数；
（2）若知∠DOE＝70°，求∠EOC的度数．
类型四 双角平分线
12．（如图1，已知∠AOB的内部有一条射线OC，OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）若∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，求∠MON的度数．
（2）若去掉（1）中的条件∠BOC＝40°，只保留∠AOB＝120°，求∠MON的度数．
（3）若将∠AOB内部的射线OC旋转到∠AOB的外部，如图2，∠AOB＝120°，求
∠MON的度数，并请用一句话或一个式子概括你发现的∠MON与∠AOB的数量关系．
13．如图，已知 OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∠AOD＝110°，∠BOE＝100°，求
∠AOE的度数．14．（2020秋•和平区期末）如图：∠AOB：∠BOC：∠COD＝2：3：4，射线OM、ON，
分别平分∠AOB与∠COD，又∠MON＝84°，则∠AOB为（ ）
A．28° B．30° C．32° D．38°
类型五 整体思想
15．如图，∠AOC与∠BOC互补，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，试说明∠COE与
∠COF具有怎样的数量关系．
16．（2019秋•天峨县期末）如图，直线 AB、CD相交于点O，∠BOE＝90°，OM平分
∠AOD，ON平分∠DOE．
（1）若∠MOE＝27°，求∠AOC的度数；
（2）当∠BOD＝x°（0＜x＜90）时，求∠MON的度数．17．如图，已知∠AOB内部有顺次的四条射线：OE、OC、OD、OF、OE平分∠AOC，OF
平分∠DOB
（1）若∠AOB＝160°，∠COD＝40°，求∠EOF的度数；
（2）若∠AOB＝ ，∠COD＝ ，求∠EOF的度数
（3）从（1）、（2）的结果，你能看出什么规律吗？
α β
类型六 射线的转动
19．（2021秋•盱眙县期末）【阅读理解】
1
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA= ∠BOC，则称射线OC是射线OA在
2
1
∠AOB 内的一条“友好线”．如图 1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC=
2
∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】
（1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD 射线OB在∠AOB内的一
条“友好线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，
ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 ；（用含n的代数式表示）
（3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋
转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速
度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，
射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组
成的角内的一条“友好线”？1
20．已知，OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOC= ∠AOB．
3
（1）如图1所示，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，求∠MON的度
数；
（2）如图2所示，∠AOB＝x°，射线OP、射线OQ分别从OC、OB出发，并分别以每
秒1°和每秒2°的速度绕着点O顺时针旋转，OP和OQ分别只在∠AOC和∠BOC内部旋
转；
①当运动 t秒时，请分别写出∠AOP和∠COQ的度数（用 x、t表示）；∠AOP和
∠COQ的数量关系如何？
②若∠AOB＝150°，当t为何值时，OP⊥OQ？
（3）如图 3 所示，∠AOB 是直角，从 O 点出发引射线 OD，且∠AOD﹣∠BOD＝
∠COD，请直接写出∠COD与∠AOB的度数之比．第二部分 配套作业
一．选择题
1．（2019秋•青山区期末）如图，∠AOB＝ ，∠BOC＝ ，OM，ON分别平分∠AOB，
∠COB，OH平分∠AOC，下列结论：①∠MON＝∠HOC；②2∠MOH＝∠AOH﹣
α β
∠BOH；③2∠MON＝∠AOC+∠BOH；④2∠NOH＝∠COH+∠BOH．其中正确的个
数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
2．（2021秋•江岸区期末）如图，射线 OB、OC为锐角∠AOD的三等分线，若图中所有
锐角度数之和为200°，则∠AOD的度数为 ．
三．解答题（共16小题）
3．（2010秋•南长区期末）一个角的补角比这个角的三倍多10度，求这个角的余角．
1
4．（2019秋•宜州区期末）已知一个角的余角比这个角的补角的 小12°，如果设这个角
2
为x度，请求出这个角的余角和补角的度数．5．（2021春•奎文区期中）下面是小明参加七年级数学期中考试解的一道题．
题目：在同一平面内，若∠AOB＝70°，∠BOC＝20°，求∠AOC的度数．
解：根据题意可画出图形．
因为∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝70°﹣20°＝50°，
所以∠AOC＝50°．
若你是老师，你会给小明判满分吗？若会，请说明理由；若不会，请你指出小明的错误，
并给出正确的解答．
6．（2020秋•苏州期末）补全下面的解题过程：
如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，OD是∠AOB的平分线，∠AOC＝2∠BOC，
且∠BOC＝40°，求∠COD的度数．
解：∵∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝ °．
∴∠AOB＝∠AOC+∠ ＝ °．
∵OD平分∠AOB，
1
∴∠AOD= ∠ ＝ °．
2
∴∠COD＝∠ ﹣∠AOD＝20°．
7．（2021秋•石景山区期末）如图，已知∠AOB＝120°，OP平分∠AOB．反向延长射线
OA至C．
（1）依题意画出图形，直接写出∠BOC的度数是 °．
（2）完成下列证明过程：
证明：如图，∵OP是∠AOB的平分线，
1
∴∠AOP= ∠ ．（ ）
2
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOP＝ °．∵∠BOC＝ °．
∴∠AOP＝∠BOC．（ ）
8．（2018秋•长丰县期末）如图，已知∠AOD＝90°，∠BOE＝90°，OC平分∠BOD，
∠COD＝30°，求∠AOE的度数．
9．（2018秋•开州区期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC＝
38°，求∠COD的度数．
1
10．（2021 秋•滨江区期末）如图，OC⊥AB 于点 O，∠COD= ∠BOD，OE 平分
4
∠BOD．
（1）求∠COE和∠AOE的度数．
（2）过点O作射线OF，若OF⊥OE，求∠BOF的度数．
11．将分别含有30°和45°的三角板如图放置，且30°和45°角的顶点重合在一起，OM平分
∠AOC，ON平分∠DOC．
（1）画出几何图形，并求出∠MON的大小；
（2）若将30°角的三角板换成一个任意角的纸三角板，其他条件不变，则（1）中的结
论是否变化？说明理由．12．（2019秋•高新区期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝48°，OD平分∠AOC，
∠DOE＝90°．
（1）图中有 个小于平角的角；
（2）求出∠BOD的度数；
（3）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．
13．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝60°，∠BOC＝20°，求∠AOD
的度数．14．（2017秋•荔湾区期末）已知，∠AOD＝160°，OB、OM、ON是∠AOD内的射线
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，则∠MON＝ °
（2）如图 2，OC是∠AOD内的射线，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分
∠BOD，当射线OB在∠AOC内时，求∠MON的大小；
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠AOB＝2t°时，∠AOM：∠DON＝2：3，求t的值．
15．（2017 秋•兴隆台区期末）如图，OC、OD 为∠AOB 内部的两条射线，OM 平分
∠AOC，ON平分∠BOD．
（1）若∠AOB＝90°，∠MON＝70°，求∠COD的度数；
（2）若∠AOB＝ ，∠M0N＝ ，求∠COD的度数（用含有 、 的式子表示）．
α β α β
16．（2020秋•徐州期末）如图，AB与OC交于点O，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
（1）若∠BOC＝60°，求∠AOE的度数；
（2）∠COD与∠EOC存在怎样的数量关系？请说明理由．1
17．射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA= ∠BOC，则我们称射线OC是射线
2
OA的伴随线．例如，如图（1），∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则
1 1
∠AOC= ∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD= ∠AOD，称
2 2
射线OD是射线OB的伴随线．
（1）如图（2），∠AOB＝120°，射线 OM 是射线 OA 的伴随线，则∠AOM＝
°，若∠AOB的度数是 ，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，
则∠NOC的度数是 ；（用含 的代数式表示）
α
（2）如图（3），若∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速
α
度逆时针转动，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针转动，当射
线OD与射线OA重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°？若存在，求出t的值；若不
存在，请说明理由；
②当t的值为多少时，射线OC，OD，OA中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一
条 射 线 的 伴 随 线 ？
18．如图1，已知∠AOB＝30°．
（1）如图2，∠BOC为∠AOB外的一个锐角，且∠BOC＝80°，OM平分∠BOC，ON
平分∠AOC，求∠MON的度数．
（2）若射线OP绕点O在∠AOB外部旋转，OM平分∠POB，ON平分∠POA，请直接
写出∠MON的度数．
