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专题12 三角函数值的相关计算与应用（11大题型）
【题型目录】
题型一 求特殊角的三角函数值
题型二 特殊角三角函数值的混合运算
题型三 由特殊角的三角函数值判断三角形形状
题型四 由计算器求锐角三角函数值
题型五 根据特殊角三角函数值求角的度数
题型六 已知角度比较三角函数值的大小
题型七 根据三角函数值判断锐角的取值范围
题型八 利用同角三角函数关系求值
题型九 求证同角三角函数关系式
题型十 互余两角三角函数的关系
题型十一 三角函数综合
【知识梳理】
知识点1：特殊锐角三角比的值
1.特殊锐角的三角比的值
30°
45° 1 1
60°
3.通过观察上面的表格，可以总结出：当0 90 ， 的正弦值随着角度的增大而增大， 的余弦值随着角度的增大而减小； 的
正切值随着角度的增大而增大， 的余切值随着角度的增大而减小．
【经典例题一 求特殊角的三角函数值】
1．（2023上·湖南娄底·九年级校考阶段练习）下列各式中不正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）若 是锐角， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．1
3．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中） 的算术平方根等于 ．
4．（2023上·重庆万州·九年级重庆市万州第二高级中学校考期中） ．
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）先化简，再求代数式 的值，其中
； ．
【经典例题二 特殊角三角函数值的混合运算】
1．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）计算 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·黑龙江大庆·八年级校考期中）下列计算结果是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第九中学校考期中） ．
4．（2023下·九年级课时练习） ．5．（上海市闵行区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）计算：
【经典例题三 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】
1．（2022下·全国·九年级专题练习）若 ，则 是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．含有 的任意三角形
D．顶角为钝角的等腰三角形
2．（2019上·广东梅州·九年级广东梅县东山中学校考期末）在 中， 、 都是锐角，且
， ，则 是（ ）.
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
3．（2022上·山东泰安·九年级校考阶段练习）在 中，若 ，则 是
三角形．
4．（2023上·山东威海·九年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）在 中，若
， ， 都是锐角，则 的形状是 ．
5．（2022春·全国·九年级专题练习）如图， 在平面坐标系内，点 ， ．点 为 轴
上动点，求 的最小值．【经典例题四 由计算器求锐角三角函数值】
1．（2022·山东东营·模拟预测）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
2 yx 3 － 16 ＝，按键的结果为m；
2ndF 6 4 － 2 x2 ＝，按键的结果为n；
9 ab/c 2 － cos 60 ＝，按键的结果为k．
下列判断正确的是（ ）
A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k
2．（2023秋·九年级课时练习）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是 ．
B．用科学计算器计算：13× ×sin14°≈ （结果精确到0.1）
3．（2023秋·九年级课时练习）用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【经典例题五 根据特殊角三角函数值求角的度数】
1．（22·23上·西安·阶段练习）如图，点A为反比例函数 图像上一点，B、C分别在x、y轴上，连接AB与y轴相交于点D，已知 ，且 的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
2．（22·23下·九江·三模）如图，已知在抛物线 上有一点 ， 轴于B点，连接 ，
将 绕O点顺时针方向旋转一定的角度后，该三角形的A．B两点中必有一个顶点落在抛物线上，这
个角度是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，顶点为 的抛物线
经过点 和 轴正半轴上的点 ， ．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)联结 ，求 的度数；
(3)联结 、 、 ，若在坐标轴上存在一点 ，使 ，求点 的坐标．【经典例题六 已知角度比较三角函数值的大小】
1．（2019上·淮北·阶段练习）已知 ，那么锐角 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022上·邵阳·期末）下列说法中正确的是（ ）
A． B．若 为锐角，则
C．对于锐角 ，必有 D．若 为锐角，则
3．（2021春·全国·九年级专题练习）我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变
化的，如图所示.
（1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试分别比较 ， ， ， 角的正弦，余弦，正切值的大小.
【经典例题七 根据三角函数值判断锐角的取值范围】
1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试）已知 ，则锐角 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD 中，O是对角线AC的中点，E为AD上一点，若，则AB的最大值为 ．
3．（2022春·九年级单元测试）（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化
而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较 ， ， ， ， ，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“>”或“=”）
若 ，则 ___________ ；若 ，则 __________ ；若 ，则
__________ ；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小： ， ， ，
．
【经典例题八 利用同角三角函数关系求值】
1．（2023上·湖南邵阳·九年级统考阶段练习）如果 是锐角，且 ，那么 的值（ ）
A． B． C． D．2．（2023·湖南娄底·统考中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了
这样的一个结论：三边分别为a、b、c的 的面积为 ． 的边a、
b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则 ．下列结论中正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）已知 ， 是锐角，则 .
4．（2023上·福建莆田·九年级校考开学考试）在 中， ，若 ，则 的值为
．
5．（2022·湖南湘潭·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：
， ；
， ．
例： ．
(1)试仿照例题，求出 的值；
(2)若已知锐角α满足条件 ，求 的值．【经典例题九 求证同角三角函数关系式】
1．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含
有的数学语言应正确表达为（ ）（假设有任意角α）
A． B． C． D．
2．（2020上·九年级校考课时练习）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于 的是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2018下·九年级单元测试）已知：实常数 同时满足下列两个等式：⑴ ；
⑵ （其中 为任意锐角），则 之间的关系式是：
4．（2019下·九年级单元测试）已知： ， ，
，请你根据上式写出你发现的规律 ．
5．（2022春·九年级单元测试）如图，在 中， 、 、 三边的长分别为 、 、 ，则
， ， ．我们不难发现： ， 试探求 、 、 之
间存在的一般关系，并说明理由．
【经典例题十 互余两角三角函数的关系】
1．（2023上·辽宁沈阳·九年级东北育才双语学校校考阶段练习）在 中， ， ，则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试）已知 ，则锐角 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）在 中， ， ，则 的值为 ．
4．（2019上·上海青浦·九年级校考期中）已知 ， ，则 ．
5．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题．
(1) ； ； ．
(2)观察上述等式，猜想：在 中， ，都有 ；
(3)如图④，在 中， ， ， ， 的对边分别是 ， ， ，利用三角函数的定义
和勾股定理，证明你的猜想；
(4)若 ，且 ，求 的值．
【经典例题十一 三角函数综合】
1．（2023上·上海青浦·九年级校考阶段练习）在 中， ， ，则下列各式中正确的
是（ ）A． B． C． D．
2．（2022上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期末）如图， 是半圆 的直径，弦
相交于点P，那么 （ ）
A． B． C． D．以上都不对
3．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）当 为锐角，且 时， 的取值范围是
．
4．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）如图，在平行四边形 中， ，E是 边上的点，
， ，F是 边上的一点，且 ，若M、N分别是线段 、 上的动点，则
的最小值为 ．
5．（2022秋·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图（1）， 中， 于点
D．由直角三角形边角关系，可将三角形的面积公式变形为 ，即三角形的面积等于两边
之长与夹角正弦值之积的一半如图（2），在 中， 于点D， ， ，
∵ ，由公式①，得 ，即：
．
(1)请证明等式： ；
(2)请利用结论求出 的值．
【重难点训练】
1．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）在 中， ， 是 边上的高，如果 ，
，那么 的长为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·河北唐山·九年级统考期中） 的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
3．（2023上·四川广元·九年级校考阶段练习）在 中， ，若 ，则 的值为
（）
A． B． C． D．
4．（2023上·山东聊城·九年级校考阶段练习）在 中，若 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖南娄底·统考一模）定义一种运算： ，
例如：当 ， 时，，则 的值为( )
A． B． C． D．
6．（2022下·浙江·九年级专题练习）已知 ，关于角 的三角函数的命题有：① ，
② ，③ ，④ ，其中是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）在正方形网格中，A，B，C，D，E均为格点，则
．
8．（2023上·浙江·九年级校联考期中）若 的直径 为2，弦 ，弦 ，则 的度
数为 ．
9．（2023上·山东淄博·九年级校考阶段练习）已知 为锐角， ，则 ．
10．（2023上·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，正方形 中，点E、F分别在边 上，
, ，则 °；若 的面积等于1，则 的值是 ．
11．（2022·福建厦门·统考模拟预测）在等腰三角形 中， ， ，点D是 边上一点，若 ，则 的度数为 ．
12．（2023·河北·统考二模）小明在计算 时，先对题目进行了分析，请你
根据他的思路填空：
（1）原式中“ ”可以转化为 ， 的值为 .
（2）原式中“ ”的结果为 ；
（3）原式中“ ”的结构特征满足某个乘法公式，该公式为 ；
（4）原式的最终结果为1.
13．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）计算：
(1)
(2)
14．（2023上·山西晋中·九年级统考阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
15．（2023上·山西临汾·九年级校考阶段练习）(1) ；(2) ；
(3)已知 ， ， 是锐角三角形 的三个内角，且满足 ，求 的
度数；
(4)已知 的值是方程 的一个根，求式子 的值．
16．（2023上·湖南永州·九年级校联考期中）计算：
(1)
(2)
17．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校联考期中）阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形
中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，
可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对 ．
如图1，在 中， ，顶角 的正对记作 ，这时 底边 腰 ．容易知道一个角的
大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)计算： ______；
(2)对于 ， 的正对值 的取值范围是______；(3)如（3）图，已知 ， ，其中 为锐角，试求 的值．
