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专题 13.2 几何图形中的翻折变换
【典例1】如图是两个全等的直角三角形纸片，且AC：BC：AB＝3：4：5，按如图的两种方法分别将其折
叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分
别为S，S．
1 2
（1）若AC＝3，求S 的值．
1
（2）若S+S＝26，求单个直角三角形纸片的面积是多少．
1 2
【思路点拨】
1 1
（1）设DM＝CM＝x，则BM＝4﹣x，依据S = AB×DM= BM×AC，即可得到x的值，进而得出S 的
△ABM 2 2 1
值．
1 1 3 3
（2）如图1，依据S = AB×DM= BM×AC，即可得到 DM= x，进而得出 S = x2 ；如图2，依据
△ABM 2 2 2 1 2
1 1 4 2
S = AB×EN= AN×BC，即可得到EN= x，进而得出S = x2 ，再根据S+S ＝26，即可得到x2＝12，
△ABN 2 2 3 2 3 1 2
进而得出单个直角三角形纸片的面积．
【解题过程】
解：（1）∵AC：BC：AB＝3：4：5，AC＝3，
∴BC＝4，AB＝5，
由折叠可得，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°，AD＝AC＝3，
设DM＝CM＝x，则BM＝4﹣x，1 1
∵S = AB×DM= BM×AC，
△ABM 2 2
∴AB×DM＝BM×AC，即5x＝3（4﹣x），
3
解得x= ，
2
1 1 3 3
∴S = BD×DM= ×2× = ．
1 2 2 2 2
（2）由AC：BC：AB＝3：4：5，可设AC＝3x，BC＝4x，AB＝5x，
如图1，由折叠可得，AD＝AC＝3x，BD＝5x﹣3x＝2x，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°，
1 1
∵S = AB×DM= BM×AC，
△ABM 2 2
∴AB×DM＝BM×AC，即5x×DM＝（4x﹣DM）×3x，
3
解得DM= x，
2
1 1 3 3
∴S = BD×DM= ×2x× x= x2；
1 2 2 2 2
如图2，由折叠可得，BC＝BE＝4x，EN＝CN，
∴AE＝x，AN＝3x﹣EN，
1 1
∵S = AB×EN= AN×BC，
△ABN 2 2
∴AB×EN＝AN×BC，即5x×EN＝（3x﹣EN）×4x，
4
解得EN= x，
3
1 1 4 2
∴S = AE×EN= ×x× x= x2，
2 2 2 3 3
∵S+S＝26，
1 2
3 2
∴
x2+ x2=26，
2 3
解得x2＝12，
1
∴S = ×3x×4x=6x2＝72．
△ABC 2
1．（2022春•镇平县期末）如图①是一个直角三角形纸片，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕
为BD，如图②，如果C′为AB的中点，△BCD的面积为1，则△ABC的面积为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】
根据翻折变换的性质可得S ＝S ＝1，再利用全等三角形的判定与性质得出 S ＝S ＝S ＝
△BCD △BC′D △ADC′ △BCD △BC′D
1，最后利用△ABC的面积＝S +S +S 得出结果．
△ADC′ △BDC′ △BCD
【解题过程】
解：∵△ABC为直角三角形，
∴∠C＝∠BC′D＝∠AC′D＝90°，
由折叠的性质得：△BCD≌△BC′D，
∴S ＝S ＝1，
△BCD △BC′D
∵C′为AB的中点，
∴AC′＝BC′，
∵∠BC′D＝∠AC′D＝90°，DC′＝DC′，
∴△ADC′≌△BDC′（SAS），
∴S ＝S ＝S ＝1，
△ADC′ △BCD △BC′D
∴△ABC的面积＝S +S +S ＝3，
△ADC′ △BDC′ △BCD
故选：B．
2．（2022春•槐荫区期末）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，以BC所在直线为对称轴翻折
△ABC得到△A′BC，点A的对称点为A′，连结BA′，AH⊥BA′于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确
的是（ ）
A．A′C＝A′H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A′H
【思路点拨】
由折叠的性质可得 AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°，由“AAS”可证
△BHE≌△AHA'，可得BE＝AA'＝2AC．【解题过程】
解：∵将△ABC沿直线BC折叠，
∴AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°，
∴∠ABA'＝45°，AA'＝2AC，
∵AH⊥A'B，
∴∠ABH＝∠BAH＝45°，
∴AH＝BH，
∵∠A'+∠HAA'＝90°，∠A'+∠A'BC＝90°，
∴∠A'BC＝∠HAA'，
又∵AH＝BH，∠BHE＝∠AHA'＝90°，
在△BHE和△AHA'中，
{
∠A'BC=∠HAA'
∠BHE=∠AHA'=90°，
BH=AH
∴△BHE≌△AHA'（AAS），
∴BE＝AA'，
∴BE＝2AC，
故选：B．
3．（2022春•江岸区校级月考）如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的
点M处．折痕为AP，再将△PCM和△ADM分别沿PM，AM折叠，此时点C，D落在AP上的同一点N
处．下面结论：①M是CD的中点；②∠ABP＝90°；③MN⊥AP；④AD∥BC．其中正确的个数为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
由折叠的性质可得∠B＝∠AMP，∠DAM＝∠MAP＝∠PAB，∠DMA＝∠AMN，∠CMP＝∠PMN，∠D＝
∠ANM，∠C＝∠MNP，DM＝MN＝CM，可得M是CD的中点，故①正确；可得由平角的性质可得
∠D+∠C＝180°，∠AMP＝90°，可证AD∥BC，故④正确；由平行线的性质可得∠ABP＝∠AMP＝90°，故
②正确，由题意证明∠DAM＝∠MAN＝∠BAN＝30°，再根据翻折即可证明MN不垂直AP，故③错误，即可求解．
【解题过程】
解：由折叠的性质可得：∠B＝∠AMP，∠DAM＝∠MAP＝∠PAB，∠DMA＝∠AMN，∠CMP＝∠PMN，
∠D＝∠ANM，∠C＝∠MNP，DM＝MN＝CM，AD＝AN，CP＝PN，
∴M是CD的中点，故①正确；
∵∠ANM+∠MNP＝180°，
∴∠D+∠C＝180°，
∴AD∥BC，故④正确；
∴∠B+∠DAB＝180°，
∵∠DMN+∠CMN＝180°，
∴∠DMA+∠CMP＝90°，
∴∠AMP＝90°，
∴∠ABP＝∠AMP＝90°，故②正确；
∵AD∥BC，
∴∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠DAM＝∠MAN＝∠BAN＝30°，
又∵∠CPM＝∠MPN＝∠BPN＝60°，
∴∠DAM+∠CPM＝90°，
∴∠AMP＝90°，
∵∠C≠90°，
∴MN不垂直于AP，故③错误，
综上所述：正确的是①②④，共3个．
故选：C．
4．（2022•东坡区校级模拟）如图，AD是△ABC的高线，BD＝CD，点E是AD上一点，BE＝BC，将
△ABE沿BE所在直线折叠，点A落在点A′位置上，连接AA'，BA′，EA′与AC相交于点H，BA′与AC相交
于点F．小夏依据上述条件，写出下列四个结论：①∠EBC＝60°；②∠BFC＝60°；③∠EA′A＝60°；
④∠A′HA＝60°
以上结论中，正确的是（ ）A．① B．③④ C．①②③ D．①②④
【思路点拨】
连接EC，由线段垂直平分线的性质可证△BEC是等边三角形，可得∠EBC＝∠BEC＝∠BCE＝60°，
∠BED＝∠CED＝30°，由折叠的性质可得∠AEB＝∠BEA'＝150°，AE＝A'E，∠BAD＝∠BA'E，可证
△AEA'是等边三角形，可得∠EA'A＝60°，由“SSS”可证△ABE≌△ACE，可得∠BAD＝∠DAC＝∠BA'E，由
外角的性质可得∠EOA'+∠CAD＝∠BFC＝60°．
【解题过程】
解：连接EC，
∵BD＝CD，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝EC，且BE＝BC，
∴BE＝EC＝BC，
∴△BEC是等边三角形，且ED⊥BC，
∴∠EBC＝∠BEC＝∠BCE＝60°，∠BED＝∠CED＝30°，故①符合题意，
∴∠AEB＝150°，
∵将△ABE沿BE所在直线折叠，点A落在点A′位置上，
∴∠AEB＝∠BEA'＝150°，AE＝A'E，∠BAD＝∠BA'E，
∴∠AEA'＝60°，∴△AEA'是等边三角形，
∴∠EA'A＝60°，故③符合题意，
∵AB＝AC，BE＝EC，AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE（SSS）
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BA'E，
∵∠AEA'＝∠EOA'+∠EA'O＝60°，
∴∠EOA'+∠CAD＝∠BFC＝60°，
故②符合题意，
∵∠A'HA＝∠AFA'+∠BA'E＞60°，
∴故④不符合题意，
故选：C．
5．（2021秋•渝北区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，D是边BC上一点，连接AD．
将△ABD沿直线AD翻折后，点B恰好落在边AC上B'点，若AB'：B'C＝3：2，则点D到AC的距离是
15
．
4
【思路点拨】
根据折叠可得AB＝AB′＝6，由AB'：B'C＝3：2，可求出B′C＝4，根据三角形面积之间的关系可求出答案．
【解题过程】
解：由折叠得，AB＝AB′＝6，△ABD≌△AB′D，
∵AB'：B'C＝3：2，
∴B′C＝4，
∴AC＝AB′+B′C＝AB+B′C＝6+4＝10，
S ：S ：S ＝2：3：3，
△B′CD △AB′D △ABD
2 1 1 15
∴S = S = × ×6×10= ，
△B′CD 2+3+3 △ABC 4 2 2
设点D到AC的距离为h，
1 15
则 ×4×h= ，
2 215
∴h= ，
4
15
即点D到AC的距离为 ，
4
15
故答案为： ．
4
6．（2022春•姜堰区期末）如图，在△ABC纸片中，∠BAC＝45°，BC＝4，且S ＝5，P为BC上一点，
△ABC
将纸片沿AP剪开，并将△ABP、△ACP分别沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，连接DE，则△ADE
25
面积的最小值为 ．
8
【思路点拨】
根据将△ABP、△ACP分别沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，可得△ADE是等腰直角三角形，要使
△ADE面积最小，即是使AD（AE）的长度最小，也就是AP长度最小，此时AP为△ABC的边BC上的高，
5 1 25
根据BC＝4，且S ＝5，可得AP最小为 ，即可得△ADE面积的最小值为 AD•AE= ．
△ABC 2 2 8
【解题过程】
解：∵将△ABP、△ACP分别沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，
∴AD＝AP，∠DAB＝∠PAB，AE＝AP，∠EAC＝∠PAC，
∴AD＝AP＝AE，∠DAB+∠EAC＝∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
要使△ADE面积最小，即是使AD（AE）的长度最小，也就是AP长度最小，此时AP为△ABC的边BC上
的高，
∵BC＝4，且S ＝5，
△ABC
2S 2×5 5 5
∴AP最小为 △ABC = = ，即AD（AE）的最小值为 ，
BC 4 2 2
1 1 5 5 25
∴△ADE面积的最小值为 AD•AE= × × = ，
2 2 2 2 825
故答案为： ．
8
7．（2022•沙坪坝区校级开学）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为
“准直角三角形”．在三角形纸片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在
BC边上的点D处．设∠BED＝x°，则能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为 1 0 ．
【思路点拨】
由∠C＝100°，∠A＝∠B，得∠A＝∠B＝40°，根据将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处，
可得∠EDF＝∠A＝40°，当△BED为“准直角三角形”时，2x+40°＝90°或x+2×40°＝90°，可解得x＝25°
或x＝10°，①当x＝25°时，即∠DEB＝25°，可得∠CFD＝55°，2∠CDF+∠CFD＝105°，2∠CFD+∠CDF＝
135°，故△CDF不是“准直角三角形”；②当x＝10°时，即∠DEB＝10°，可得∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF
＝70°，2∠CDF+∠CFD＝90°，△CDF是“准直角三角形”，即可得到答案．
【解题过程】
解：∵∠C＝100°，∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝40°，
∵将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处，
∴∠EDF＝∠A＝40°，
当△BED为“准直角三角形”时，2∠DEB+∠B＝90°或∠DEB+2∠B＝90°，
∴2x+40°＝90°或x+2×40°＝90°，
∴x＝25°或x＝10°，
①当x＝25°时，即∠DEB＝25°，
∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝65°，
∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝25°，
∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝55°，
此时2∠CDF+∠CFD＝105°，2∠CFD+∠CDF＝135°，
∴△CDF不是“准直角三角形”；
②当x＝10°时，即∠DEB＝10°，
∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝50°，∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝10°，
∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝70°，
此时2∠CDF+∠CFD＝90°，
∴△CDF是“准直角三角形”；
综上所述，能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为10，
故答案为：10．
8．（2022春•五华县期末）如图，AB∥CD，∠C＝60°，点E是射线CD上一点，连接AE，将△AEC沿着
AE翻折得△AEF，点C的对应点为点F，若∠EAF＝2∠FAB，那么∠AEC＝ 60 ° 或 72 ° ．
【思路点拨】
分AF在AB上方和AF在AB下方，两种情况进行讨论，即可得出答案．
【解题过程】
解：分两种情况：
①如图，当AF在AB上方时，
设∠BAF＝x，
∵将△ACE沿着AE翻折得△AEF，∠EAF＝2∠FAB，
∴∠CAE＝∠EAF＝2x，∠EAB＝x，
∴∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝3x，
∵AB∥CD，∠C＝60°，
∴∠AEC＝∠EAB，∠CAB＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，
∴3x＝120°，解得：x＝60°，
∴∠AEC＝∠EAB＝60°；
②如图，当AF在AB下方时，
设∠BAF＝x，
∵将△ACE沿着AE翻折得△AEF，∠EAF＝2∠FAB，
∴∠CAE＝∠EAF＝2x，∠EAB＝3x，
∴∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝5x，
∵AB∥CD，∠C＝60°，
∴∠AEC＝∠EAB，∠CAB＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，
∴5x＝120°，
解得：x＝24°，
∴∠EAB＝3×24°＝72°，
∴∠AEC＝∠EAB＝72°，
综上所述，∠AEC＝60°或72°，
故答案为：60°或72°．
9．（2021秋•汉阳区期中）如图，三角形纸片△ABC，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个
三角形，折痕为BD（点D在线段AC上且不与A，C重合）．
（1）如图①，若点C落在AB边上的点E处，求△ADE的周长；
（2）如图②，若点C落在AB边下方的点E处，记△ADE的周长为L，直接写出L的取值范围 7 ＜ L ＜
10 ．【思路点拨】
（1）由翻折变换的性质可得CE＝CD，BE＝BC，再求出AE＝2，AD+DE＝AC＝5，然后由三角形的周长
公式计算即可；
（2）由翻折变换的性质可得CE＝CD，BE＝BC，再求出AE＝2，AD+DE＝AC＝5，然后由三角形的三边
关系求出2＜AE＜5，即可求解．
【解题过程】
解：（1）∵折叠△ABC，顶点C落在AB边上的点E处，
∴DE＝DC，BE＝BC＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2，
∵AD+DE＝AD+CD＝AC＝5，
∴△AED的周长＝AD+DE+AE＝5+2＝7；
（2）∵折叠△ABC，顶点C落在AB边下方的点E处，
∴DE＝DC，BE＝BC＝6，
在△ADE中，AD+DE＝AD+CD＝AC＝5，AE＜AD+DE，
即AE＜5．
在△ABE中，AE＞AB﹣BE，
即AE＞2．
∴2＜AE＜5，
∴2+AD+DE＜AE+AD+DE＜5+AD+DE，
即2+5＜L＜5+5，
即7＜L＜10，
故答案为：7＜L＜10．
10．（2022春•广州期中）在长方形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°．
（1）如图1，∠ADB＝20°，P为BC上一动点，将△ABP沿AP翻折到△AEP位置，若AE∥BD，求∠BAP
的度数；
（2）如图2，若CD＝3，BD＝5，BC＝4，P是线段BD上一动点，连接CP，求线段CP的最小值．【思路点拨】
（1）设∠BAP＝x°，根据∠BAD＝90°及△ABP沿AP翻折到△AEP，可得2x﹣90°＝20°，即可解得答案；
12
（2）过C作CP'⊥BD于P'，根据垂线段最短可得线段CP的最小值为 ．
5
【解题过程】
解：（1）设∠BAP＝x°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DAP＝（90﹣x）°，
∵△ABP沿AP翻折到△AEP，
∴∠EAP＝∠BAP＝x°，
∴∠EAD＝∠EAP﹣∠DAP＝x°﹣（90﹣x）°＝（2x﹣90）°，
∵AE∥BD，∠ADB＝20°，
∴∠EAD＝∠ADB＝20°，即2x﹣90°＝20°，
解得x＝55°，
答：∠BAP的度数为55°；
（2）过C作CP'⊥BD于P'，如图：
当P运动到P'时，根据垂线段最短可知，此时CP最小，最小值即为CP'的长度，
∵2S ＝BC•CD＝BD•CP'，
△BCD
BC⋅CD 4×3 12
∴CP'= = = ，
BD 5 5
12
∴线段CP的最小值为 ．
5
11．（2021秋•斗门区期末）如图1，将长方形ABEF的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点A′处，
OC为折痕，则OC平分∠AOA′．
（1）若∠AOC＝25°，求∠A'OB的度数；
（2）若点D在线段BE上，角顶点B沿着折痕OD折叠落在点B′处，且点B′在长方形内．
①如果点B′刚好在线段A′O上，如图2所示，求∠COD的度数；
②如果点B′不在线段A′O上，且∠A'OB'＝40°，求∠AOC+∠BOD的度数．【思路点拨】
（1）根据角平分线的定义计算即可；
（2）①根据折叠的性质、平角的定义计算；
②分图3、图4两种情况，根据平角的定义计算即可．
【解题过程】
解：（1）∵OC平分∠AOA′，∠AOC＝25°，
∴∠A'OA＝2∠AOC＝50°，
∴∠A'OB＝180°﹣∠A'OA＝180°﹣50°＝130°；
1 1
（2）①由折叠的性质可知，∠COA′= ∠AOA′，∠DOB′= ∠BOA′，
2 2
∵∠AOA′+∠BOA′＝180°，
∴∠COD＝∠COA′+∠DOB′＝90°；
②如图3，
∵∠A'OB'＝40°，
∴∠AOA′+∠BOB′＝180°﹣40°＝140°，
1 1
∵∠COA= ∠AOA′，∠DOB= ∠BOA′，
2 2
1
∴∠AOC+∠BOD= ×140°＝70°，
2如图4，
1
同上作法可知，∠AOC+∠BOD= ×（180°+40°）＝110°，
2
综上所述：∠AOC+∠BOD的度数为70°或110°．
12．（2022春•法库县期中）在△ABC中，∠B，∠C均为锐角且不相等，线段AD，AE分别是△ABC中
BC边上的高和△ABC的角平分线．
（1）如图1，∠B＝70°，∠C＝30°，则∠DAE的度数．
（2）若∠B＝α，∠DAE＝10°，则∠C＝ α﹣20 °
（3）F是射线AE上一动点，G、H分别为线段AB，BE上的点（不与端点重合），将△ABC沿着GH折叠，
使点B落到点F处，如图2所示，其中∠1＝∠AGF，∠2＝∠EHF，请直接写出∠1，∠2与∠B的数量关
系．
【思路点拨】
（1）三角形根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由角平分线性质求得∠BAE，再根据三角形的高和直角
三角形的性质求得∠BAD，进而由角的和差关系求得结果；
（2）根据直角三角形的性质求得∠BAD，再由角的和差关系求得∠BAE，由角平分线的定义求得∠BAC，
最后根据三角形内角和定理求得结果；（3）根据邻补角性质和角平分线定义用∠1、∠2分别表示∠BGH和∠BHG，再由三角形内角和定理得结
果．
【解题过程】
解：（1）∵∠B＝70°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝40°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝20°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°；
（2）∵∠B＝α，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣α，
∵∠DAE＝10°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝100°﹣α，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝200°﹣2α，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣α﹣200°+2α＝α﹣20°，
故答案为：α﹣20°；
（3）当点F在线段AE上时，∠1+∠2＝2∠B．
1 1
理由：由折叠知，∠BGH= ∠BGF，∠BHG= ∠BHF，
2 2
∵∠BGF＝180°﹣∠1，∠BHF＝180°﹣∠2，
1 1
∴∠BGH＝90°− ∠1，∠BHG＝90°− ∠2，
2 2
1 1
∴∠B＝180°﹣∠BGH﹣∠BHG= ∠1+ ∠2，
2 2
即∠1+∠2＝2∠B．
同理：当点F在AE的延长线上时，可得∠1﹣∠2＝2∠B．
13．（2021春•襄汾县期末）如图1，点D为△ABC边BC的延长线上一点．
（1）若∠A：∠ABC＝3：4，∠ACD＝140°，求∠A的度数；
（2）若∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P．试说明：∠MCP＝1
90°− ∠A；
2
（3）在（2）的条件下，将△MCB以直线BC为对称轴翻折可得到△NBC，∠NBC的角平分线与∠NCB的
角平分线交于点Q（如图2），若∠A＝60°，试求出∠BQC的度数．
【思路点拨】
（1）先根据∠A：∠ABC＝3：4，设∠A＝3k，∠ABC＝4k，再由三角形外角的性质求出k的值，进而可得
出结论；
（2）根据三角形外角的性质得出∠M＝∠MCD﹣∠MBC，∠A＝∠ACD﹣∠ABC．再由MC、MB分别平分
1 1 1 1
∠ACD、∠ABC得出∠MCD= ∠ACD，∠MBC= ∠ABC，故∠M= （∠ACD﹣∠ABC）= ∠A．根据
2 2 2 2
CP⊥BM即可得出结论；
1 1
（3）根据BQ平分∠CBN，CQ平分∠BCN可知∠QBC= ∠CBN，∠QCB= ∠BCN，再根据三角形内角和
2 2
1 1 1 1
定理可知，∠Q＝180°− （∠CBN+∠BCN）= （180°﹣∠N）＝90°+ ∠N．由（2）知：∠M= ∠A．根
2 2 2 2
据轴对称性质知：∠M＝∠N，由此可得出结论．
【解题过程】
解：（1）如图1，∵∠A：∠ABC＝3：4
∴可设∠A＝3k，∠ABC＝4k
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC＝140°
∴3k+4k＝140°，
解得：k＝20°∴∠A＝60°；
（2）如图1，∵∠MCD是△MBC的外角，
∴∠M＝∠MCD﹣∠MBC．
同理可得：∠A＝∠ACD﹣∠ABC．
∵MC、MB分别平分∠ACD、∠ABC
1 1
∴∠MCD= ∠ACD，∠MBC= ∠ABC．
2 2
1 1
∴∠M= (∠ACD−∠ABC)= ∠A．
2 2
∵CP⊥BM，
1
∴∠MCP=90°−∠M=90°− ∠A；
2
（3）如图2，∵BQ平分∠NBC、CQ平分∠NCB，
1 1
∴∠QBC= ∠CBN，∠QCB= ∠BCN．
2 2
1 1 1
∴∠Q=180°− (∠CBN+∠BCN)= (180°−∠N)=90°+ ∠N．
2 2 2
1
由（2）知：∠M= ∠A．
2
又由轴对称性质可知：∠M＝∠N．
1
∴∠Q=90°+ ∠A．
4
∵∠A＝60°，
∴∠BQC＝105°．
14．（2021秋•仁怀市期末）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM
上运动，连接AB．
（1）如图1，已知AC，BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，①点A，B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试
求出∠ACB的大小．
②如图2，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，记作点C'，则∠ABO＝ 3 0 °；如图3，将
△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，记作点C″，则∠ABO＝ 6 0 °．
（2）如图4，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E，
3
F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的 倍，求∠ABO的度数．
2
【思路点拨】
（1）由直线 MN 与直线 PQ 垂直相交于 O，得到∠AOB＝90°，根据三角形的外角的性质得到
1 1
∠PAB+∠ABM＝270°，根据角平分线的定义得到∠BAC= ∠PAB，∠ABC= ∠ABM，于是得到结论；
2 2
（2）由于将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，得到∠CAB＝∠BAQ，由角平分线的定义得
到∠PAC＝∠CAB，根据三角形的内角和即可得到结论；根据将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线
MN上，得到∠ABC＝∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC＝∠MBC，于是得到结论；
1 1
（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO= ∠BAO，∠EOQ= ∠BOQ，进而得出∠E的度
2 2
数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由一个角是另一个角
3
的 倍分两种情况进行分类讨论．
2
【解题过程】
解：（1）∠ACB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠PAB+∠ABM＝270°，
∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
1
∴∠BAC＝∠PAB，∠ABC= ∠ABM，
2
1
∴∠BAC+∠ABC= （∠PAB+∠ABM）＝135°，
2
∴∠ACB＝45°；（2）∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，
∴∠CAB＝∠BAQ，
∵AC平分∠PAB，
∴∠PAC＝∠CAB，
∴∠PAC＝∠CAB＝∠BAO＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，
∴∠ABC＝∠ABN，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC＝∠MBC，
∴∠MBC＝∠ABC＝∠ABN，
∴∠ABO＝60°，
故答案为：30，60；
（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
1 1
∴∠EAO= ∠BAO，∠EOQ= ∠BOQ，
2 2
1 1
∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO= （∠BOQ﹣∠BAO）= ∠ABO，
2 2
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF＝90°．
在△AEF中，
3
∵有一个角是另一个角的 倍，故有：
2
3
①∠EAF= ∠F，∠E＝30°，∠ABO＝60°；
2
3
②∠F= ∠E，∠E＝36°，∠ABO＝72°；
2
3
③∠EAF= ∠E，∠F＝60°，∠ABO＝120°（舍去）；
2
3
④∠E= ∠F，∠E＝54°，∠ABO＝108°（舍去）；
2
∴∠ABO为60°或72°．15．（2021春•镇江期中）将△ABC纸片的一角∠CAB折叠，使点A落在点P的位置，折痕为DE．
（1）如图1，点A落在△ABC内的点P的位置．
①若PE∥AC，那么PD与AB有怎样的位置关系，请说明理由；
②如图2，∠1、∠2与∠A之间有怎样的数量关系？并说明理由；
③连接CP、BP，已知CP、BP恰好分别平分∠ACB、∠ABC（如图3），∠1、∠2与∠CPB之间有怎样的
数量关系，并说明理由；
（2）如图4，点A落在△ABC外的点P的位置连接CP、BP，如果CP、BP恰好分别平分△ABC的两个外
1
角∠MCB，∠NBC，那么∠1、∠2与∠CPB之间的数量关系是 90 °= （∠ 1+∠ 2 ）＝∠ CPB （请直接
4
写出结果）．
【思路点拨】
（1）①根据翻折的性质和平行线的性质证明∠PEB＝∠P，即可解决问题；
②根据翻折的性质和三角形内角和定理即可解决问题；
③根据翻折的性质和三角形内角和定理即可解决问题；
（2）根据翻折的性质和角平分线定义即可解决问题．
【解题过程】
解：（1）①如图1，PD∥AB，理由如下：
∵PE∥AC，∴∠PEB＝∠A，
由翻折可知：∠A＝∠P，
∴∠PEB＝∠P，
∴PD∥AB；
②如图2，∠1+∠2＝2∠A，理由如下：
由翻折可知：∠ADP＝2∠ADE，∠AEP＝2∠AED，
∴∠1＝180°﹣2∠ADE，∠2＝180°﹣2∠AED，
∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，
∴∠1+∠2＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED
＝2（∠A+∠ADE+∠AED）﹣2∠ADE﹣2∠AED
＝2∠A；
∴∠1+∠2＝2∠A，
1
③ （∠1+∠2）+90°＝∠CPB，理由如下：
4
如图3，
∵CP、BP恰好分别平分∠ACB、∠ABC，
1 1
∴∠PCB= ∠ACB，∠CBP= ∠ABC，
2 2
∵∠PCB+∠CPB+∠CBP＝180°，
1 1
∴ ∠ACB+ ∠ABC+∠CPB＝180°，
2 2
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，
1 1 1
∴ ∠A+ ∠ACB+ ∠ABC＝90°，
2 2 2
由②可知：∠1+∠2＝2∠A，
1 1
∴ ∠A= （∠1+∠2），
2 4
1
∴∠CPB＝90°− （∠1+∠2）＝180°，
4
1
∴∠CPB− （∠1+∠2）＝90°；
4
1
（2） （∠1+∠2）+90°＝∠CPB，理由如下：
4如图4，CP、BP平分△ABC的两个外角∠MCB，∠NBC，
1 1
∴∠PCB= ∠MCB，∠CBP= ∠NBC，
2 2
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，
2∠PCB+∠ACB＝180°，2∠PBC+∠ABC＝180°，
2∠PCB+∠ACB+2∠PBC+∠ABC＝360°，
∵∠PCB+∠CPB+∠CBP＝180°，
2∠PCB+2∠CPB+2∠CBP＝360°，
∴2∠CPB＝∠ABC+∠ACB°＝180°﹣∠A，
∴∠A+2∠CPB＝180°，
由②可知：∠1+∠2＝2∠A，
1
∴ （∠1+∠2）+2∠CPB＝180°．
2
1
∴90°− （∠1+∠2）＝∠CPB．
4
1
故答案为：90°− （∠1+∠2）＝∠CPB．
4
16．（2021春•沙坪坝区期末）如图，在△ABC中，点D在边AC上，∠ABD＝90°．将△BCD沿BD对折
得到△BED，BE交AC于点F．
（1）如图①，若∠A＝40°，∠C＝30°，求∠AFB的度数；
（2）如图②，若∠1＝∠2，请说明∠4＝4∠3；
（3）若∠A＝40°，将△BED绕点B逆时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜180°），记旋转中的△BED为
△BDE ．在旋转过程中，直线DE 分别与直线AB、直线AC交于点M、点N，是否存在这样的点M、点
1 1 1 1
N，使∠AMN与∠ANM相等？若存在，请直接写出旋转角α的度数；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）利用直角三角形的性质求得∠ADB＝50°，再利用三角形的外角性质以及折叠的性质求得∠EBD＝∠CBD＝20°，最后利用三角形的外角性质即可求解；
（2）利用三角形的外角性质以及折叠的性质求得∠2+∠3＝90°，∠2＝2∠3+∠C，再在△FED中利用三角
形内角和定理即可计算证明∠4＝4∠3；
（3）分当∠AMN＝∠ANM＝20°和∠AMN＝∠ANM＝70°时两种情况讨论，分别画出图形，利用折叠和旋
转的性质以及三角形内角和定理即可求解．
【解题过程】
解：（1）∠ABD＝90°，∠A＝40°，
∴∠ADB＝50°，
由折叠的性质得∠EBD＝∠CBD，
∵∠ADB＝∠CBD+∠C，∠C＝30°，
∴∠CBD＝50°﹣30°＝20°，
∴∠AFB＝∠FBC+∠C＝2∠CBD+∠C＝70°；
（2）∵∠ABD＝90°，∠1＝∠2，∠EBD＝∠CBD＝∠3，
∴∠1+∠EBD＝90°，即∠2+∠3＝90°，
∵∠2＝∠FBC+∠C＝2∠3+∠C，
∴90°﹣∠3＝2∠3+∠C，即∠C＝90°﹣3∠3，
由折叠的性质得∠E＝∠C，
在△∠FED中，∠EFD＝∠2＝2∠3+∠C＝2∠3+90°﹣3∠3＝90°﹣∠3，
∴∠4＝180°﹣∠EFD﹣∠E＝180°﹣（90°﹣∠3+90°﹣3∠3）＝4∠3；
（3）存在，
如图，当∠AMN＝∠ANM时，
∵∠BAC＝40°，则∠AMN＝∠ANM＝20°，
∵∠ABD＝90°，∠BAC＝40°，∴∠ADB＝50°，
由折叠和旋转的性质得：∠EBD＝∠CBD＝∠EBD，∠C＝∠E＝∠BED，
1 1 1 1
∵∠ADB＝∠CBD+∠C＝50°，则∠BDN＝∠EBD+∠BED＝50°，
1 1 1 1 1
∴∠BFD＝∠BDN+∠ANM＝70°，
1
∴∠DBD＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
1
即旋转角度为60°；
如图，当∠AMN＝∠ANM时，
∵∠BAC＝40°，则∠AMN＝∠ANM＝70°，
同理，∠BDN＝50°，
1
∴∠DMB＝∠AMN＝70°，
1
∴∠DBM＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
1
∴∠DBD＝60°+90°＝150°，
1
即旋转角度为150°，
综上，旋转角α的度数为60°或150°．
17．（2022春•沙坪坝区期末）如图，在△ABC中，点D，E是边BC上两点，点F是边AB上一点，将
△ADC沿AD折叠得到△ADG，DG交AB于点H，将△EFB沿EF折叠得到△EFH．
（1）如图1，当点G与点H重合时，请说明∠BAC＝∠EHD；
（2）当点G落在△ABC外，且HE∥AD，∠GAB：∠CAD＝1：3．
①如图2，请说明∠EHD＝4∠GAB；
②如图3，若∠B＝30°，将△EFH绕点H顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜180°），则在这个旋转过程
中，当△EFH的其中一边与△AHG的某一边平行时，直接写出旋转角α的度数．【思路点拨】
（1）利用翻折变换的性质以及三角形内角和定理证明即可；
（2）①由∠GAB：∠CAD＝1：3，可以假设∠GAB＝x，∠CAD＝∠DAG＝3x，证明∠DHE＝4x即可；
②分四种情形：如图3﹣1中，当FH∥AG时．如图3﹣2中，当EH∥AG时．如图3﹣3中，当EF∥AB时．
如图3﹣4中，当EF∥AG时，分别求解即可．
【解题过程】
（1）证明：如图1中，
由翻折变换的性质可知，∠AHD＝∠C，∠B＝∠EHB，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠EHB+∠EHD+∠AHD＝180°，
∴∠EHD＝∠BAC；
（2）①证明：如图2中，
∵∠GAB：∠CAD＝1：3，
∴可以假设∠GAB＝x，∠CAD＝∠DAG＝3x，
∴∠DAH＝∠DAG﹣∠GAB＝2x，∵EH∥AD，
∴∠EHB＝∠DAH＝2x，∠EHD＝∠ADH＝∠ADC，
∴∠B＝∠EHB＝2x，
∵∠ADC＝∠B+∠DAB＝4x，
∴∠DHE＝4∠GAB；
②解：由题意，∠B＝30°，
∴∠B＝∠DAB＝30°，
∴∠GAB＝15°，
∴∠DAG﹣∠DAC＝45°，
∴∠C＝∠∠BAC＝75°，
∴∠ADC＝∠ADG＝∠BDG＝60°，
∴∠DHB＝90°，
如图3﹣1中，当FH∥AG时，旋转角∠FHB＝∠GAB＝15°．
如图3﹣2中，当EH∥AG时，旋转角∠FHB＝15°+30°＝45°．
如图3﹣3中，当EF∥AB时，旋转角∠FHB＝90°．如图3﹣4中，当EF∥AG时，旋转角∠FHB＝90°+15°＝105°，
综上所述，满足条件的旋转角α为15°或45°或90°或105°．
18．（2022春•泗阳县期末）如图1，已知直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，G点为射线FD
上一动点，且∠FEG＞∠EFG，将△EFG沿着EF翻折得到△EFH，直线EQ平分∠BEH交直线CD于点
P．
（1）当EG⊥CD时，
①若∠EFG＝30°，则∠PEF＝ 45 ° ．
②若去掉条件“∠EFG＝30°”，你还能求出∠PEF的度数吗？试一试．
（2）如图2，在点G运动的过程中，当∠EGF＝a时，求∠PEF的度数（用含a的代数式表示）；
（3）在点G运动的过程中，若∠PEG＝5°，且∠EGF＝4∠EFG，直接写出∠EGF的度数．
【思路点拨】
（1）①先根据翻折的性质得出∠FEH＝∠FEG，再根据平行线的性质得出∠BEH＝150°，最后利用角平分
线的性质得出结论；②先根据翻折的性质得出∠FEH＝∠FEG，再根据平行线的性质得出∠BEH＝180°﹣∠FEG+∠EFG，最后
利用角平分线的性质得出结论；
（2）先根据翻折的性质得出∠FEH＝∠FEG，再根据平行线的性质得出∠BEH＝180°﹣∠FEG+∠EFG，最
后利用角平分线的性质得出结论；
1 1
（3）先得出∠EFG= ∠EGF，再根据点G在点P的右侧时，得出∠FEG＝∠PEF+∠PEG= ∠EGF+5°，
4 2
最后再根据三角形的内角和定理得出结果．
【解题过程】
解：（1）当EG⊥CD时，∠EGF＝90°，
①若∠EFG＝30°，则∠FEG＝60°，
由翻折可知：∠FEH＝CFEG＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFG＝30°，
∴∠AEH＝∠FEH﹣∠AEF＝30°，
∴∠BEH＝180°﹣∠AEH＝150°，
∵EQ平分∠BEH，
1
∴∠BEQ= ∠BEH＝75°，
2
∴∠AEP＝∠BEQ＝75°，
∴∠PEF＝∠AEP﹣∠AEF＝45°，
故答案为：45°；
②若去掉条件“∠EFG＝30°“，还能求出∠PEF的度数，
∵∠EGF＝90°，
∴∠EFG+∠FEG＝90°，
由翻折可知：∠FEH＝∠FEG，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFG，
∴∠AEH＝∠FEH﹣∠AEF＝∠FEG﹣∠EFG，
∴∠BEH＝180°﹣∠AEH＝180°﹣∠FEG+∠EFG，
∵EQ平分∠BEH，
1 1 1
∴∠BEQ= ∠BEH＝90°− ∠FEG+ ∠EFG，
2 2 21 1
∴∠AEP＝∠BEQ＝90°− ∠FEG+ ∠EFG，
2 2
1 1
∴∠PEF＝∠AEP﹣∠AEF＝90°− ∠FEG+ ∠EFG﹣∠EFG
2 2
1 1
＝90°− ∠FEG− ∠EFG
2 2
1
＝90°− （∠FEG+∠EFG）
2
＝90°﹣45°
＝45°；
（2）在点G运动的过程中，当∠EGF＝a时，
∠EFG+∠FEG＝180°﹣a，
由翻折可知：∠FEH＝∠FEG，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFG，
∴∠AEH＝∠FEH﹣∠AEF＝CFEG﹣∠EFG，
∴∠BEH＝180°﹣∠AEH＝180°﹣∠FEG+∠EFG，
∵EQ平分∠BEH，
1 1 1
∴∠BEQ= ∠BEH＝90°− ∠FEG+ ∠EFG，
2 2 2
1 1
∴∠AEP＝∠BEQ＝90°− ∠FEG+ ∠EFG，
2 2
1 1
∴∠PEF＝∠AEP﹣∠AEF＝90°− ∠FEG+ ∠EFG﹣∠EFG
2 2
1 1
＝90°− ∠FEG− ∠EFG
2 2
1
＝90°− （∠FEG+∠EFG）
2
1
＝90°− （180°﹣a）
2
1
= a，
2
1
即∠PEF的度数为 α；
2
（3）由（2）知：在点G运动的过程中，1
∠PEF= ∠EGF，
2
在点G运动的过程中，若∠PEG＝5°，且∠EGF＝4∠EFG，
1
则∠EFG= ∠EGF，
4
点G在点P的右侧时，
1
∠FEG＝∠PEF+∠PEG= ∠EGF+5°
2
∵∠EGF+∠EFG+∠FEG＝180°，
1 1
∴∠EGF+ ∠EGF+ ∠EGF﹣5°＝180°
4 2
740°
解得：∠EGF= ，
7
740°
综上所述，∠EGF的度数为100°或 ．
7
