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专题15 一元一次方程的综合应用25题
【类题训练】
1．如图，一个棱长为10cm的立方块固定在一个长、宽、高分别为20cm，20cm，30cm的长方体容器
的底部，现将一个直径为20cm，高为20cm的圆柱形容器盛满水倒入长方体容器内，则此时长方体
容器内水面的高度约为（ ）cm（不计耗损， 取3）
π
A．15 B．17.5 C．22.5 D．30
【分析】设长方体容器内水面的高度为 xcm，根据水的体积不变，即可得出关于 x的一元一次方程，
解之即可得出结论．
【解答】解：设长方体容器内水面的高度为xcm，
依题意得：20×20×10﹣10×10×10+20×20（x﹣10）＝3×（ ）2×20，
解得：x＝17.5，
∴此时长方体容器内水面的高度约为17.5cm．
故选：B．
2．如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点，点P沿O→A→O以每秒2
个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒），若点
P在运动过程中，当PB＝2，则运动时间t的值为（ ）
A． 秒或 秒
B． 秒或 秒或 秒或 秒
C．3秒或7秒或 秒或 秒
D． 秒或 秒或 秒或 秒
【分析】分0≤t≤5与5≤t≤10两种情况进行讨论，根据PB＝2列方程，求解即可．【解答】解：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，
∵PB＝2，
∴|2t﹣5|＝2，
∴2t﹣5＝﹣2，或2t﹣5＝2，
解得t＝ 或t＝ ；
②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20﹣2t，
∵PB＝2，
∴|20﹣2t﹣5|＝2，
∴20﹣2t﹣5＝2，或20﹣2t﹣5＝﹣2，
解得t＝ 或t＝ ，
综上所述，运动时间t的值为 或 或 或 ；
故选：D．
3．我国古代的“九宫图”是由3×3的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一
条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算x的值是（ ）
2025
x 2
3
A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019
【分析】根据题意，先求出左上角的数是﹣2020，不妨设正中间的数字为a，即可列出关于x的方程，
从而可以求出x的值．
【解答】解：2+3﹣2025＝﹣2020，
如右图所示，
设正中间的数字为a，
由题意可得﹣2020+a+3＝a+x+2，
解得x＝﹣2019．
故选：D．4．如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组
尝试将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使
6条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
【分析】根据将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”
图中，使6条边上四个数之和都相等，可得 ，再观察“六角幻星”图可知
﹣a+3与﹣a﹣3相差6，只有﹣3，3或0，6满足，依此即可求解．
【解答】解：设右下边为x，由满足6条边上四个数之和都相等，他们的和为x﹣1，如图所示：观察图形还有﹣4，﹣3，0，3，4，6五个数字，观察“六角幻星”图可知﹣a+3与﹣a﹣3相差6，
只有﹣3，3或0，6满足，
则﹣a﹣3＝﹣3或﹣a﹣3＝0，
解得a＝0或a＝﹣3，
当a＝0时，x﹣（x+a﹣4）＝4，x或x+a﹣4又有1个为0（不合题意舍去），
当a＝﹣3时，符合题意．
故选：B．
5．父亲和女儿的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍的时候，女儿的年龄是父亲现在
年龄的 ，则女儿现在的年龄是（ ）岁．
A．24 B．26 C．28 D．30
【分析】设女儿现在年龄是x岁，则父亲现在的年龄是（91﹣x）岁，根据父女的年龄差不变，即可
得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设女儿现在年龄是x岁，则父亲现在的年龄是（91﹣x）岁，
根据题意得：91﹣x﹣x＝2x﹣ （91﹣x），
解得：x＝28．
答：女儿现在的年龄是28岁．
故选：C．
6．某商品按原价的8折出售，仍可获利20%，若商品的原价为2400元，则该商品的进价为（ ）
A．1600元 B．1640元 C．1680元 D．1860元
【分析】此题的等量关系：实际售价＝进价×（1+获利率）．这里注意原价是原售价，8折即原价的
80%．
【解答】解：设该商品的进价为x元，
则有（1+20%）x＝2400×0.8，解得：x＝1600．
故选：A．
7．一商店以每件75元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利 25%，另一件亏损25%，则该商店
卖这两件商品总的盈亏情况是（ ）
A．亏损10元 B．盈利10元 C．亏损20元 D．不盈不亏
【分析】设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，根据销售收入﹣进价＝利润，即
可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再由两件商品的销售收入﹣成本＝
利润，即可得出商店卖这两件商品总的亏损10元．
【解答】解：设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，
根据题意得：75﹣x＝25%x，75﹣y＝﹣25%y，
解得：x＝60，y＝100，
∴75+75﹣60﹣100＝﹣10（元）．
故选：A．
8．如图，某同学将一个正方形纸片剪去一个宽为 5cm的长条后．再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽
为6cm的长条．若两次剪下的长条面积正好相等，则每一个长条的面积为（ ）
A．30cm2 B．900cm2 C．160cm2 D．150cm2
【分析】设原来正方形纸的边长是xcm，则第一次剪下的长条的长是xcm，宽是5cm，第二次剪下的
长条的长是（x﹣5）cm，宽是6cm；然后根据第一次剪下的长条的面积＝第二次剪下的长条的面积，
列出方程，求出x的值是多少，即可求出每一个长条面积为多少．
【解答】解：设原来正方形纸的边长是xcm，则第一次剪下的长条的长是xcm，宽是5cm，第二次剪
下的长条的长是（x﹣5）cm，宽是6cm，
由题意得：5x＝6（x﹣5），
解得：x＝30，
∴30×5＝150（cm2）．
故选：D．
9．如图，甲、乙两人沿着长为 90m的正方形按 A→B→C→D→A的路线行走，甲从点 A出发，以50m/分钟的速度行走，同时，乙从点B出发，以70m/分钟的速度行走，当乙第一次追上甲时，将在
正方形ABCD的（ ）
A．AB边 B．BC边 C．CD边 D．DA边
【分析】设乙行走t分钟后第一次追上甲，根据题意列出方程90×3+50t＝70t，求出相遇时间；再由
相遇时间确定乙的位置．
【解答】解：设乙行走t分钟后第一次追上甲，根据题意得：
甲的行走路程为50tm，乙的行走路程70tm，
当乙第一次追上甲时，
90×3+50t＝70t，
解得t＝13.5，
此时乙所在位置为：
70×13.5＝945（m），
945÷（90×4）＝2……225（m），
∴当乙第一次追上甲时，在正方形的AD边处．
故选：D．
10．在某月的月历中圈出相邻的3个数，其和为43．这3个数的位置可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设最小的数是x，假设A、B、C、D都可能，月历中的数的特点是：横行中的数后面的数
比前面的数大1，竖列中的数下面的数比上面的数大 7，由A图得x+x+7+x+7+1＝43，由B图得
x+x+1+x+1+7＝43，由C图得x+x+1+x+7＝43，由D图得x+x+7﹣1+x+7＝43，分别求出相应的x的
值可发现只有由D图列出的方程的解符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：设最小的数是x，假设A、B、C、D都可能，
由A图得x+x+7+x+7+1＝43，
解得x＝ ，不符合题意，所以3个数的位置不可能是A；
由B图得x+x+1+x+1+7＝43，
解得x＝ ，不符合题意，
所以3个数的位置不可能是B；
由C图得x+x+1+x+7＝43，
解得x＝ ，不符合题意，
所以3个数的位置不可能是C；
由D图得x+x+7﹣1+x+7＝43，
解得x＝10，符合题意，
所以3个数的位置可能是D，
故选：D．
11．某书店推出如下优惠方案：（1）一次性购书不超过100元不享受优惠；（2）一次性购书超过100
元但不超过300元一律九折；（3）一次性购书超过300元一律八折．某同学两次购书分别付款 80
元、252元，如果他将这两次所购书籍一次性购买，则应付款（ ）
A．288 B．360 C．288或316 D．360或395
【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多
少元，第一次购物显然没有超过100，即是80元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超
过300元一律9折；一种是购物超过300元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三
种方案计算即是他应付款数．
【解答】解：（1）第一次购物显然没有超过100元，
即在第二次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元．
（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．
设第二次实质购物价值为x，
依题意有x×0.9＝252，
解得：x＝280．
②第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．
设第二次实质购物价值为x，
依题意有x×0.8＝252，
解得：x＝315．即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．
综上所述，他两次购物的实质价值为80+280＝360（元）或80+315＝395（元），均超过了300元．
因此均可以按照8折付款：
360×0.8＝288（元），
395×0.8＝316（元）．
故选：C．
12．某公司话费收费有A套餐（月租15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租0元，通话费每分
钟0.15元）两种，当A，B两种套餐收费一样时，月通话时间为（ ）
A．100分钟 B．200分钟 C．300分钟 D．400分钟
【分析】根据题意可知：当A，B两种套餐收费一样时，套餐的A的费用＝套餐B的费用，然后列
出方程求解即可．
【解答】解：当A，B两种套餐收费一样时，设月通话时间为x分钟，
由题意可得：15+0.1x＝0.15x，
解得x＝300，
即当A，B两种套餐收费一样时，月通话时间为300分钟，
故选：C．
13．一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆游向上到达中游的乙港，共用了 12小
时．已知这艘轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18
千米，则甲、丙两港间的距离为（ ）千米．
A．30 B．36 C．44 D．48
【分析】设船在静水中的速度为x千米/小时，由题意得x+2＝2（x﹣2）从而得出船在静水中的速度，
则设乙、丙两地相距y千米，根据来回共用12小时得出方程，解方程即可．
【解答】解：设船在静水中的速度为x千米/小时，
由题意得：x+2＝2（x﹣2），
解得：x＝6，
则顺流时的速度为8千米/小时，逆流时的速度为4千米/小时，
设乙、丙两地相距y千米，
由题意得： + ＝12，
解得：y＝26，
则y+18＝44，即甲、丙两港间的距离为44千米．
故选：C．
14．小明早上8点从家骑车去图书馆，计划在上午11点30分到达图书馆．出发半小时后，小明发现若
原速骑行，将迟到10分钟，于是他加速继续骑行，平均每小时多骑行1千米，恰好准时到达，则小
明原来的速度是（ ）
A．12千米/小时 B．17千米/小时
C．18千米/小时 D．20千米/小时
【分析】设小明原来的速度是x千米/小时，则加速后的速度为（x+1）千米/小时，利用路程＝速度×
时间，结合小明家到图书馆之间的路程不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设小明原来的速度是x千米/小时，则加速后的速度为（x+1）千米/小时，
依题意得：（11 ﹣8）x＝ x+（11 ﹣8﹣ ）（x+1），
解得：x＝18，
∴小明原来的速度是18千米/小时．
故选：C．
15．某商场为促销对顾客实行优惠，规定：
（1）如一次性购物不超过200元，则不予优惠；
（2）如一次性购物超过200元，但不超过500元的，按标价给予9折优惠；
（3）如一次性购物超过500元的，其中500元按（2）给予优惠，超过500元的部分则给予8折优惠．
某人两次购物，分别付款160元与360元，如果他一次性购买这些商品，则应付（ ）
A．468元 B．498元 C．504元 D．520元
【分析】由于此人两次购物，分别付款160元与360元．根据商场的优惠规定，可知第一次付款160
元没有享受优惠，即没有打折，第二次享受优惠，并且根据已知条件得到只享受九折优惠，然后根
据已知条件即可确定实际购物的款数．
【解答】解：∵此人两次购物，分别付款160元与360元，
∴第一次付款160元没有享受优惠，即没有打折，第二次享受优惠，
设第二次实际购物款为x元，而500×0.9＝450＞360，
∴0.9x＝360，
∴x＝400，
所以此人两次去该超市购物实际购物的款数为160+400＝560（元），
∴在他决定一次性购买分两次购买的物品，
他需付款500×0.9+60×0.8＝498（元）．故选：B．
16．有一列数，按一定规律排列成﹣1，3，﹣9，27，﹣81，243，…其中某三个相邻数的和是1701，
这三个数各是多少？请列方程求解．
【分析】设三个数中最前面的数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，根据三个数之和为1701，即
可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入﹣3x和9x中，得出三个数．
【解答】解：设三个数中最前面的数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，
依题意，得：x﹣3x+9x＝1701，
解得：x＝243，
∴﹣3x＝﹣729，9x＝2187，
答：这三个数依次是243，﹣729，2187．
17．某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价300元，领带每条定价50元．厂方在国庆节期间开
展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
国庆特惠
方案一：买一套西装送一条领带；
方案二：西装和领带都按定价的九折付款．
（1）某客户要到该服装厂购买西装20套，领带30条．通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算．
（2）若客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）．
①若该客户按方案一购买需付款 （ 5000+5 0 x ） 元（用含x的代数式表示）；
②若该客户按方案二购买，需付款 （ 5400+4 5 x ） 元（用含x的代数式表示）；
③当x＝ 8 0 时，两种优惠方案所付的钱数相同．（直接填空，不说明理由）
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，结合服装厂给出的优惠方案，即可分别求出选项两种优惠方
案所需费用，比较后即可得出结论；
（2）①利用总价＝单价×数量，结合服装厂给出的优惠方案，即可用含 x的代数式表示出选择方案
一所需费用；
②利用总价＝单价×数量，结合服装厂给出的优惠方案，即可用含x的代数式表示出选择方案二所
需费用；
③根据两种优惠方案所付的钱数相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）选择方案一所需费用为300×20+50×（30﹣20）＝6500（元），
选择方案二所需费用为300×0.9×20+50×0.9×30＝6750（元）．
∵6500＜6750，
∴选择方案一购买较为合算；
（2）①若该客户按方案一购买，需付款300×20+50（x﹣20）＝（5000+50x）（元），故答案为：（5000+50x）；
②若该客户按方案二购买，需付款300×0.9×20+50×0.9x＝（5400+45x）（元），
故答案为：（5400+45x）；
③依题意得：5000+50x＝5400+45x，
解得：x＝80，
∴当x＝80时，两种优惠方案所付的钱数相同．
故答案为：80．
18．已知一个棱长为8cm的立方体铁块．
（1）如图，把铁块放入装满水的圆柱形杯子中（杯子底面直径和高度均为 20cm），则溢出水的体
积为 51 2 cm3；
（2）将铁块恰好分割成16个棱长为2cm的立方体与6个棱长为acm的立方体，求a的值．
【分析】（1）利用正方体的体积计算公式，可求出铁块的体积，结合溢出水的体积等于铁块的体积，
即可得出结论；
（2）根据铁块的体积不变，即可得出关于a的方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）8×8×8＝512（cm3），
∴溢出水的体积为512cm3．
故答案为：512．
（2）依题意得：2×2×2×16+6a3＝512，
解得：a＝4．
答：a的值为64．
19．已知数轴上点A表示的数为﹣5，点B是数轴上在点A右侧的一点，且A、B两点间的距离为8个
单位长度，点P为数轴上的一个动点，其对应的数为x．
（1）写出点B所表示的数为 3 ．
（2）①若点P到点A，点B的距离相等，则点P所表示的数为 ﹣ 1 ．②数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为10，若存在，求出x的值，若不存在，
说明理由．
（3）点A以1个单位长度/秒向右运动，点B以2个单位长度/秒的速度向左运动，同时点P以5个
单位长度/秒从原点向左运动，当点P遇到点A时，立即以原来的速度向右运动，当点P遇到点B时，
立即以原来的速度向左运动，并不停地往返于点 A与点B之间，求当点A与点B重合时点P所经过
的总路程，并直接写出此时点P在数轴上表示的数．
【分析】（1）由数轴直接得出即可；
（2）①由数轴直接得出即可；
②分情况列出方程求解即可；
（3）根据题意先求出相遇时的时间即可求出P点的运动路程．
【解答】解：（1）由题知，B点在A点的右侧，且A、B两点间的距离为8个单位长度，
∴B点表示的数为3，
故答案为：3；
（2）①∵P到点A，点B的距离相等，
由数轴可知，P点所表示的数为 ＝﹣1，
故答案为：﹣1；
②∵P到点A，点B的距离之和为10，
∴当P点在A点左侧时，3﹣x+（﹣5﹣x）＝10，
解得x＝﹣6，
当P点在B点右侧时，x﹣3+x﹣（﹣5）＝10，
解得x＝4，
综上，当x的值为﹣6或4时，P到点A，点B的距离之和为10；
（3）当点A与点B重合时，点P运动的时间是点A与点B相遇的时间为8÷（2+1）＝ （秒），
∴P点运动的路程为5× ＝ ，
即点P所经过的总路程是 个单位长度．
20．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向右移动3cm到达B点，然后
再向右移动 到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm．（1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置；
（2）把点C到点A的距离记为CA，则CA＝ cm．
（3）若点A沿数轴以每秒3cm匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为3cm？
【分析】（1）由题意得：A点对应的数为﹣2，B点对应的数为1，点C对应的数为 ，将A，B，
C三点在数轴上表示即可；
（2）利用数轴计算OA，OC的长度后相加即可；
（3）设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，利用分类讨论的思想分两种情形列出方程即可得出结
论；
【解答】解：（1）由题意得：A点对应的数为﹣2，B点对应的数为1，点C对应的数为 ，
点A，B，C在数轴上表示如下图：
（2）设原点为O，如下图，
∴OA＝2，OC＝ ，
∴AC＝OA+OC＝ ．
故答案为： ．
（3）①当点A在点C的左侧时，
设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，由题意得：
﹣3x＝3，
解得：x＝ ．
②当点A在点C的右侧时，
设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，由题意得：3x﹣ ＝3，
解得：x＝ ．
综上，经过 或 秒后点A到点C的距离为3cm．
21．某市公布的居民用电阶梯电价方案如下：第一阶梯电价：月用电量不超过230度的部分，每度电的
价格为0.5元；第二阶梯电价：月用电量超过230度不超过420度的部分，每度电的价格为0.55元；
第三阶梯电价：月用电量超过420度的部分，每度电的价格为0.8元．
（1）如果按此方案计算，小华家某月用电量是300度，则这个月的电费为 153. 5 元．
（2）如果按此方案计算，小华家1月份的电费为247.5元，请你求出小华家1月份的用电量．
（3）居民根据用电情况，可以申请“峰谷电价”，其收费方式如下：
高峰时段8：00﹣22：00，其电价在各档电价基础上加价0.03元/度；
低谷时段8：00﹣22：00以外时间，其电价在各档电价基础上降价0.2元/度．
小华家2月的用电量为350度且高峰用电量大于230度，他家申请“峰谷电价”后，能节约17.5元，
请求出小华家2月份高峰时段、低谷时段用电量分别是多少？
【分析】（1）根据居民用电阶梯电价方案，即可算得用电量是300度，电费为153.5元；
（2）先判断小华家 1 月份的用电量超过 420 度，再设小华家 1 月份的用电量为 x 度，可得
230×0.5+（420﹣230）×0.55+0.8（x﹣420）＝247.5，即可解得答案；
（3）设小华家2月份高峰时段用电量是y度，根据他家申请“峰谷电价”后，能节约17.5元列方程，
即可解得答案．
【解答】解：（1）根据居民用电阶梯电价方案，用电量是300度，电费为230×0.5+0.55×（300﹣
230）＝153.5（元）；
故答案为：153.5；
（2）用电量是420度，电费为230×0.5+（420﹣230）×0.55＝219.5，
∵247.5＞219.5，
∴小华家1月份的用电量超过420度，
设小华家1月份的用电量为x度，
根据题意得：230×0.5+（420﹣230）×0.55+0.8（x﹣420）＝247.5，
解得x＝455，
答：小华家1月份的用电量为455度；
（3）设小华家2月份高峰时段用电量是y度，则低谷时段用电量是（350﹣y）度，根据题意得：230×（0.5+0.03）+（0.55+0.03）×（y﹣230）+（0.5﹣0.2）×（350﹣y）＝
230×0.5+0.55×（350﹣230）﹣17.5，
解得y＝250，
∴350﹣y＝350﹣250＝100，
答：小华家2月份高峰时段用电量是250度，低谷时段用电量是100度．
22．湖笔是我国非物质文化遗产，尤其以善琏湖笔最为出名．某传统手工艺品网店准备在“11.11”网
购节期间实施一系列优惠活动回馈新老客户，该店针对一款原价 25元/支的湖笔推出了两种优惠方
案：方案一：每支按8折销售；方案二：购买20支以内无优惠，当购买数量超过20支但不超过50
支时，每多购买1支，每支湖笔的单价就会减少0.2元，当购买数量超过50支时，每支单价为18元．
（1）购买数量为50支时，求方案二湖笔的单价；
（2）王老师准备在该网店购买一次性购买x支湖笔赠与学生留念（已知x＞20）．
①根据题意填写表：（请用含x的代数式表示）
方案 购买数量（支） 购买单价（元） 总金额（元）
方案一 x 2 0 2 0 x
方案二 20＜x≤50 ﹣ 0. 2 x +2 9 ﹣ 0. 2 x 2 +2 9 x
x＞50 18 18x
②若王老师有一张满1100减200的优惠券，可与上述两种优惠方案同享，则当x＝55时，选择方案
几购买更划算？为什么？
【分析】（1）利用单价＝25﹣0.2×超过20支的数量，即可求出结论；
（2）①根据方案一每支按8折销售，可得单价，从而可得方案一购买的总金额，利用单价＝25﹣
0.2×超过20支的数量，即可用含x的代数式表示出方案二购买单价，再利用总金额＝购买单价×购买
数量，即可用含x的代数式表示出总金额；
②结合①和满1100减200，分别求出方案一，方案二所需总金额，再比较即可得到答案．
【解答】解：（1）25﹣0.2×（50﹣20）
＝25﹣0.2×30
＝25﹣6
＝19（元），
答：购买数量为50支时，方案二湖笔的单价为19元；
（2）①方案一：购买单价为25×0.8＝20（元），购买x支总金额为20x元；
方案二：当 20＜x≤50时，购买单价为 25﹣0.2（x﹣20）＝（﹣0.2x+29）元，总金额是x（﹣
0.2x+29）＝（﹣0.2x2+29x）元，故答案为：20，20x，﹣0.2x+29，﹣0.2x2+29x；
②当x＝55时，
方案一：20×55＝1100（元），1100﹣200＝900（元），
方案二：﹣0.2×552+29×55＝﹣605+1595＝990（元），
∵900＜990，
∴选择方案一购买更划算．
23．列方程解应用题
十七中学刚完成校舍的修建，有一些相同的办公室需要粉刷墙面．一天5名一级技工去粉刷了8个
办公室外还多粉刷了60平方米的展示厅墙面；同样时间内4名二级技工粉刷了7个办公室，结果有
10平方米的墙面未来得及粉刷完，已知每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米的墙面．
（1）求每个办公室需要粉刷的墙面面积．
（2）已知每天需要给每名一级技工支付费用180元，每天需要给每名二级技工支付费用160元．十
七中学有40个办公室的墙面和600平方米的展览墙需要粉刷，现有5名一级技工的甲工程队，4名
二级技工的乙工程队，要来粉刷墙面．十七中学有两个选择方案，方案一：全部由甲工程队粉刷；
方案二：全部由乙工程队粉刷；若使得总费用最少，十七中学应如何选择方案，请通过计算说明．
【分析】（1）设每个办公室需要粉刷墙面的面积为xm2，根据每名一级技工比二级技工一天多粉刷
10m2墙面建立方程，求解即可；
（2）首先求出十七中学需要粉刷的墙面总面积，再分别求出方案一与方案二的费用，比较即可．
【解答】解：（1）设每个办公室需要粉刷墙面的面积为xm2，根据题意得，
﹣ ＝10，
解得x＝30．
答：每个办公室需要粉刷墙面的面积为30m2；
（2）40×30+600＝1800（m2）．
方案一：甲队每日工作量：8×30+60＝300（m2），
1800÷300＝6（天），
6×5×180＝5400（元）；
方案二：乙队每日工作量：7×30﹣10＝200（m2），
1800÷200＝9（天），
9×4×160＝5760（元），∵5400＜5760，
∴选择方案二总费用少．
24．惠民超市“十一”大酬宾，对顾客实行优惠购物，规定如下：若顾客一次性购物不超过200元，则
不予优惠；若顾客一次性购物超过200元，但不超过500元，则按标价给予九折优惠；若顾客一次
性购物超过500元，其中500元按上述给予九折优惠，超过500元的部分给予八折优惠．
（1）刘阿姨在该超市购买了一台标价750元的吸尘器，她应付多少元？
（2）何叔叔先后两次去该超市购物，分别付款189和554元，如果何叔叔一次性购买，只需要付款
多少元？
【分析】（1）根据题意列出算式求解即可；
（2）先求出何叔叔优惠前要付的费用，再根据其两次的费用之和再进行求解即可．
【解答】解：（1）依题意得：
500×0.9+（750﹣500）×0.8
＝450+250×0.8
＝450+200
＝650（元）．
答：应付650元；
（2）设第一次优惠前应付款x元，第二次优惠前应付款y元，依题意得：
0.9x＝189，0.9×500+（y﹣500）×0.8＝554，
解得：x＝210，y＝630，
则如一次性购买应付款为：
500×0.9+（189+630﹣500）×0.8
＝450+255.2
＝705.2（元）．
或500×0.9+（210+630﹣500）×0.8
＝450+272
＝722（元）．
答：何叔叔一次性购买，只需要付款705.2元或722元．
25．如图①，已知数轴上点A，O，B，C，D对应的数分别为﹣6，0，4，8，12，点P，Q是数轴上的
两个动点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，同时动点 Q从
点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒．
（1）移动t秒时，点P在数轴上所表示的数为 2 t ﹣ 6 ，点Q在数轴上所表示的数为 12 ﹣ t；（用含t的式子表示）
（2）当t为何值时，P，Q两点相距 个单位长度．
（3）现将数轴在原点O和点B，点C处各折一下，得到如图②所示的一条“折线数轴”．动点P
从点O到点B速度为起始速度的一半，从B点到C点的速度为起始速度的2倍，C点之后立刻恢复
起始速度；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当t
为何值时，P，Q两点相距 个单位长度．
【分析】（1）由点P，点Q的运动速度，可知t秒两个动点各自运动的距离，根据点A，点D对应
的数分别为﹣6，12，即可求解；
（2）根据题意可得出关于t的方程，求解即可；
（3）根据点P在“折线数轴”上每段的运动速度，可得点P在每段的运动时间，再根据点Q在
“折线数轴”上运动的时间，可知两动点在“折线数轴”上相遇的位置，进而可得此时点 P，点Q
对应的数，进而可推算出点P，Q相距 个单位时，P，Q的位置，列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，点P在数轴上所表示的数为：2t﹣6，点Q在数轴上所表示的数为：
12﹣t；
故答案为：2t﹣6，12﹣t；
（2）根据题意可知，分两种情况：
①点P在点Q的左侧时，
有2t﹣6+ ＝12﹣t，
解得t＝ ；
②点P在点Q的右侧时，2t﹣6﹣ ＝12﹣t，
解得t＝ ；∴当t为 或 时，P，Q两点相距 个单位长度．
（3）根据题意可得，点P在OA段的运动速度为2个单位长度/秒，在OB段的运动速度为1个单位
长度/秒，在BC段的运动速度为4个单位长度/秒，在CD段的运动速度为2个单位长度/秒，
∴点P在OA 段的运动时间为3秒，在OB段的运动时间为4秒，在BC段的运动时间为1秒，在
CD段的运动时间为2秒，
∵点Q在D﹣C﹣B﹣O﹣A 段的运动速度为1个单位长度/秒，
∴点Q在CD段的运动时间为4秒，在BC段的运动时间为4秒，在OB段的运动时间为4秒，在OA
段的运动时间为6秒，
∴点P，Q在BC段相遇，
∴点P在BC段表示的数为4（t﹣7）+4，点Q在BC段表示的数为8﹣（t﹣4），
∵P，Q两点相遇时，点P，Q表示的数相同，
∴4（t﹣7）+4＝8﹣（t﹣4），
解得t＝ ，
∴当t＝ 时，P，Q两点相遇；
此时点P，Q所对应的数为4 ，
∴P，Q两点相距 个单位长度时也在BC段．
∴4（t﹣7）+4+ ＝8﹣（t﹣4）或4（t﹣7）+4﹣ ＝8﹣（t﹣4），
解得t＝7.1或7.3．
∴当t为7.1或7.3时，P，Q两点相距 个单位长度．
