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专题15 半角模型证全等
1．【问题背景】
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、
CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长 FD 到点 G，使 DG＝BE，连接 AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．
【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD
上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【学以致用】
如图 3，四边形 ABCD 是边长为 5 的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF 的周长
．
2．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕
B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF．
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2种情况下，求证：AE+CF＝EF．
（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给
予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．3．（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角
形三边的关系可判断线段AE的取值范围是 ；则中线AD的取值范围是 ；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点
F，连接EF，此时：BE+CF EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作∠ECF
＝70°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE+DF EF（填
“＞”或“＝”或“＜“）；
（4）若在图③的四边形ABCD中，∠ECF＝ （0°＜ ＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且
（ 3 ） 中 的 结 论 仍 然 成 立 ， 则 ∠ BCDα＝ α （ 用 含 的 代 数 式 表 示 ） .
α
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且
∠EAF＝ ∠BAD，求证：EF＝BE+FD．5．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是
BC、CD 上的点，且∠EAF＝60°，延长 FD 到点 G，使 DG＝BE，连接 AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得线段BE、EF、FD之间的数量关系为 ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，
且∠EAF＝ ∠BAD，线段BE、EF、FD之间存在什么数量关系，为什么？
（3）如图3，点A在点O的北偏西30°处，点B在点O的南偏东70°处，且AO＝BO，点A沿正
东方向移动249米到达E处，点B沿北偏东50°方向移动334米到达点F处，从点O观测到E、
F之间的夹角为70°，根据（2）的结论求E、F之间的距离．
6．阅读下面材料：
小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，
∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．
小辉发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACF，连接EF（如图2），由图形
旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解
△FCE，可求得FE（即DE）的长．
请回答：在图2中，∠FCE的度数是 ，DE的长为 ．
参考小辉思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且
∠EAF＝ ∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．7．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点且∠EAF＝45°．猜测线段
EF、BE、FD三者存在哪种数量关系？直接写出结论．（不用证明）结论： ．
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，
且∠EAF是∠BAD的一半．（1）中猜测的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，
请说明理由；
8．“截长补短法”证明线段的和差问题：
先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．
背景材料：
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是
BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，
延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可
得出的结论是 ．
探索问题：
（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，
且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程．9．（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC
于点F，连接EF．若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；
（2）如图（2），在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点
作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间
的数量关系，并加以证明．
10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别是BC，CD上的
点，且EF＝BE+FD，若∠EAF＝55°，求∠BAD的度数．
11．如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上
的点，且∠EAF＝ ∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．12．在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，现将一个30°角的顶点落在点
A处．
（1）如图①，当该角的两边分别与BC、CD边相交于E、F时．求证：EF＝BE+DF；
（2）现在将该角绕点A进行旋转，其两边分别与BC、CD边的延长线相交于点F，那么（1）
中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，试探究线段 BE与DF之间的等量关系，
并加以证明．（利用图②进行探索）
13．【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且
∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的方法是将△ABE绕点A
逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论： ．
【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD
上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【结论应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏东60°的A处，舰艇
乙在指挥中心南偏西20°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇
甲向正南方向以30海里/小时的速度前进，舰艇乙沿南偏东40°的方向以50海里/小时的速度前
进，1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹
角∠EOF＝70°，试求此时两舰艇之间的距离．直接写出结果．
