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专题16 二元一次方程的整数解及其应用
【例题讲解】
阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程 有无数个解，但在实际问题中往往只
需求出其正整数解．例：由 ，得： （ 、 为正整数）．要使
为正整数，则 为正整数，可知： 为3的倍数，从而 ，代入 ．所
以 的正整数解为 ．
问题：
(1)请你直接写出方程 的正整数解___________．
(2)若 为自然数，则求出满足条件的正整数 的值．
(3)关于 ， 的二元一次方程组 的解是正整数，求整数 的值．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，解得： ，∵ 、 为正整数，
∴ 是3的倍数，且 ，∴0＜y＜4，∴y=1，
∴方程 的正整数解为 ；故答案为：
（2）解：∵ 为自然数，x为正整数，∴x-2取6或3或2或1，
∴x取8或5或4或3；
（3）解：解方程组 得： ，
∵方程组的解是正整数，∴8是 的倍数， ∴4-k=8或4或2或1，∴k取-4或0或2或3，
当k=-4时， ，符合题意；当k=0时， ，符合题意；
当k=2时， ，符合题意；当k=3时， ，不符合题意；
综上所述，整数 的值为-4或0或2．
【综合解答】
1．为安置50名培训人员入住，需要同时租用6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则租
房方案共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
【答案】A
【分析】设租用x间6人间，租用y间4人间，根据参加培训的共50人，即可得出关于x，y的二
元一次方程，再结合x，y均为正整数即可得出结论．
【详解】解：设租用x间6人间，租用y间4人间，
依题意，得： ，
∴ ．
又∵x，y均为正整数，
∴ 或 或 或 ，
∴共有4种租房方案．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
2．方程 的正整数解有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】A
【分析】先将方程化为 ，再根据 均为正整数进行分析即可得．
【详解】解：方程 可化为 ，∵ ， 均为正整数，
∴ ，且是 的倍数，
，且 为偶数，
则当 时， ，
即方程 的正整数解为 ，共有1组，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握方程的解法是解题关键．
3．在“双减”政策下，王老师把班级里43名学生分成若干小组，每组只能是4人或5人，则分组
方案有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】A
【分析】设可以分成x组4人组，y组5人组，根据各组的人数之和为43人，即可得出关于x，y
的二元一次方程，结合x，y均为自然数，即可得出共有2种分组方案．
【详解】解：设可以分成x组4人组，y组5人组，
依题意得： ，
∴ ．
又∵x，y均为自然数，
∴ 或 ，
∴共有2种分组方案．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
4．嘉琪购买铅笔和钢笔两种笔共用去18元，已知钢笔4元/个，铅笔2元/个，有（ ）种购买方
案．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】利用二元一次方程的解法进而分别代入正整数求出即可．
【详解】解：设购买钢笔x个，铅笔y个，由题意可得：4x+2y=18，化简得：2x+y=9，
当x=1时，y=7，
当x=2时，y=5，
当x=3时，y=3，
当x=4时，y=1，
故符合题意的有4种．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
5．某地突发地震，为了紧急安置 名地震灾民，需要搭建可容纳 人或 人的帐篷，若所搭建的
帐篷恰好 既不多也不少 能容纳这 名灾民，则不同的搭建方案有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】C
【分析】根据题意，列出满足题意的方程，求方程的非负整数解即可．
【详解】解：设搭建可容纳 人的帐篷 个，可容纳 人的帐篷 个，
依题意得： ，
又 ， 均为自然数，
或 或 或 ，
不同的搭建方案有 种．
故选： ．
【点睛】本题考查二元一次方程解个数的求解，熟练掌握二元一次方程解得定义是解题的关键．
6．方程 的非负整数解有（ ）
A．无数个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】把y看做已知数表示出x，确定出方程的非负整数解即可．
【详解】解：方程x+2y=5，
解得：x=-2y+5，
当y=0时，x=5；y=1时，x=3；y=2时，x=1，
则方程的非负整数解有3个，故选B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数表示出另一个未知
数．
7．关于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整数解有（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】将y看作已知数，求出x，即可确定出方程的正整数解．
【详解】解：
当 时， ；当 时， ；当 时，
则方程的正整数解有3对．
故选：C
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看作已知数，表示出x．
8．班级要用40元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号口罩必须都买，已知A型口罩每个6元，
B型口罩每个4元，在钱全部用尽的情况下，购买方案有( )
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【分析】设可以买 个 型口罩， 个 型口罩，利用总价 单价 数量，即可得出关于 ， 的
二元一次方程，结合 ， 均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【详解】解：设可以买 个 型口罩， 个 型口罩，
依题意得： ，
∴ ，
又 ， 均为正整数，
∴ 或 或 .
∴共有 种购买方案．
故选：B．
【点睛】本题考查了应用二元一次方程解决实际问题，找准等量关系，正确列出二元一次方程是
解题的关键．
9．为迎接2022年北京冬奥会，清华附中初二级部开展了以“绿色冬奥，人文冬奥，科技冬奥”为主题的演讲比赛，计划拿出240元钱全部用于购买奖品，奖励优胜者，已知一等奖品每件15元，
二等奖品每件10元，则两种奖项齐全的购买方案有（ ）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
【答案】B
【分析】设购买x件一等奖品，y件二等奖品，由题意：现计划拿出240元钱全部用于购买奖品，
已知一等奖品每件15元，二等奖品每件10元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【详解】解：设购买x件一等奖品，y件二等奖品，
由题意得：15x+10y=240，
∴ ，
又∵x，y均为正整数，
∴ 或 或 或 或 或 或 ，
∴购买方案有7种，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
10．二元一次方程 的正整数解有（ ）
A．一个 B．二个 C．三个 D．无数多个
【答案】A
【分析】根据题意，可求0＜y＜2，即可求解．
【详解】解：2x+5y＝11中，
∵方程的解为正整数，
∴0＜y＜2，
∴y＝1，x＝3，是方程的唯一正整数解，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系是解题
的关键．
11．二元一次方程 的正整数解的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】把x看作已知数求出y，即可确定出方程的正整数解．【详解】解：方程2x＋y＝7，
解得：y＝−2x＋7，
若x＝1时，y＝5；x＝2时，y＝3；x＝3时，y＝1，
则方程的正整数解的个数有3个．
故选：C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
12．二元一次方程 的整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的解的定义求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵对于任意一个整数y，都有一个整数x与之对应，
∴方程 的解有无数个，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解的定义是解题的关键．
13．二元一次方程3x+y＝8的非负整数解共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】B
【分析】由题意，令x＝0，x＝1，x＝2分别求出y＝8，y＝5，y＝2，即可求解．
【详解】解：当x＝0时，y＝8，
当x＝1时，y＝5，
当x＝2时，y＝2，
∴方程的非负整数解为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，根据题意，对x的取值进行讨论，从而确定二元一次方程
的解是解题关键．
三、填空题14．凤翔中学准备了270元活动经费用于购买即将到来的校园歌手大赛奖品，现有两种笔袋可选，
甲每个24元，乙每个30元，现经费正好全部用完，那么有 _____种购买方案．
【答案】2##两
【分析】设购买甲x个，购买乙y个，根据题意有： ，且x、y为正整数，即有
，根据x、y为正整数即可求解．
【详解】设购买甲x个，购买乙y个，
根据题意有： ，且x、y为正整数，
则有 ，且x、y为正整数，
当x=5时，y=5，
当x=10时，y=1，
即第一种方案：购买甲5个，购买乙5个；
第二种方案：购买甲10个，购买乙1个；
即有两种购买方案，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了求解二元一次方程的正整数的解的应用，明确题意列出二元一次方程，并变
形得到 是解答本题的关键．
15．二元一次方程3x+y=9的所有正整数解有______组．
【答案】2
【分析】把y看作已知数求出x，即可确定出正整数解．
【详解】解：方程3x+y=9，
解得：x=3- ，
当y=3时，x=2；
y=9时，x=1；
则方程的正整数解为2组，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了解二元一次方程和二元一次方程的解，解题的关键是将y看作已知数求出x．
16．写出方程x=3y的一个整数解______．【答案】 （答案不唯一）
【分析】先给y一个整数值，再确定x的值即可．
【详解】解：当 时，有 ，
∴ 是方程 的一个整数解；
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，先给出未知数的一个整数值，再确定另一个的值是解题
的关键．
17．小颖在我国数学名著《算法统宗》看到一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧
三人分一个，大小和尚各几丁？”她依据本题编写了一道新题目：“大、小和尚分一百个馒头，
大和尚每人吃三个，小和尚三人吃一个，问大、小和尚各多少人？”写出一组能够按照新题目要
求分完一百个馒头的和尚人数：大和尚______人，小和尚______人．
【答案】 20 120
【分析】设大和尚有x人，小和尚有y人，根据“大、小和尚分一百个馒头，大和尚每人吃三个，
小和尚三人吃一个”列出方程，求得正整数解即可．
【详解】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，
依题意，得3x y＝100．
因为x、y都是正整数，
所以x＝20，y＝120符合题意．
或x＝25，y＝75也符合题意．
故答案是：20，120（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了二元一次方程的应用，解答此题的关键是根据题中的数量关系，找出对应量，
列方程解答即可．
18．方程x+2y=3的非负整数解是_________________．
【答案】 ，
【分析】先用y表示x，再取非负整数解即可．
【详解】解：x＋2y＝3，x＝3−2y，
当y＝0时，x＝3；
当y＝1时，x＝1，
y取其它的非负整数得到的x不为非负整数，
即方程有两个非负整数解： ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解和等式的性质的应用，能理解二元一次方程的解的定义是
解此题的关键．
19．请写出满足方程 3y－x＝5 的一组整数解：________．
【答案】
【分析】假定x的值，代入方程即可解得．
【详解】解：
当x=2时，y=1．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的解．
20．二元一次方程 的正整数解为________．
【答案】
【分析】由于要求二元一次方程3x+y=5的正整数解，则令x=1、2等，然后求出对应的y的值，从
而确定方程的正整数解．
【详解】解：当x=1时，则3×1+y=5，解得y=2；
当x=2，则3×2+y=5，解得y=-1，
所以方程3x+y=5的正整数解为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程：二元一次方程有无数组解；有些二元一次方程可确定它的
特殊解，如正整数解等．
21．关于x，y的二元一次方程2x＋3y＝12的非负整数解有______组．
【答案】3
【分析】把x看做已知数表示出y，确定出非负整数x与y的值即．
【详解】解：方程2x+3y=12，
解得：y=- x+4，
当x=0时，方程变形为3y=12，解得y=4；
当x=3时，方程变形为6+3y=12，解得y=2；
当x=6时，方程变形为12+3y=12，解得y=0；
∴关于x，y的二元一次方程2x+3y=12的非负整数解有3组： 、 和 ．
故答案为3
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，用x表示出y是解本题的关键．
四、解答题
22．某校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球，若购买2个足球和3个篮球需
220元；若购买4个足球和2个篮球需280元．
(1)求出足球和篮球的单价分别是多少？
(2)已知该年级决定用800元购进两种球，若两种球都要有，请问有几种购买方案，并请加以说明．
【答案】(1)足球的单价为50元，篮球的单价为40元；
(2)有三种购买方案，方案1：购进4个足球，15个篮球；方案2：购进8个足球，10个篮球；方案
3：购进12个足球，5个篮球．
【分析】（1）设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，根据“若购买2个足球和3个篮球需220
元；若购买4个足球和2个篮球需280元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得
出结论；
（2）设购买m个足球，n个篮球，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
（1）
解：设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，
依题意，得： ，
解得： ，
答：足球的单价为50元，篮球的单价为40元；
（2）
设购买m个足球，n个篮球，
依题意，得：50m＋40n＝800，
解得：n
∵m，n均为正整数，
∴当m＝4时，n＝15；当m＝8时，n＝10；当m＝12时，n＝5；
∴有三种购买方案，
方案1：购进4个足球，15个篮球；
方案2：购进8个足球，10个篮球；
方案3：购进12个足球，5个篮球．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准
等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
23．综合与实践：
问题情境：我们知道：任何一个二元一次方程都有无数个解，但在实际问题中，我们常常只需要
知道二元一次方程的正整数解即可，数学课上，王老师给出如下问题：有12个同学去公园划船，
共有两种型号的船只，小船一只可乘2人，大船一只可乘3人，若同时租用两种船只，问应租用几
只小船，几只大船？
思路引导：设需要x只小船，y只大船，由题意可得：2x+3y＝12，只要找到这个二元一次方程的
正整数解即可．
解法示范：设需要x只小船，y只大船，由题意可得：2x+3y＝12，
∴ ，
∵x，y均为正整数，∴ ，解得：0＜y＜4，
又∵ 为正整数，
∴y只能为2的倍数，
∴y＝2，代入得x＝3，
∴方程2x+3y＝12的正整数解为 ，即应租用3只小船，2只大船．
理解运用：
（1）请你写出方程2x+y＝5的所有正整数解；
解决问题：
（2）果农王大叔有苹果25吨，计划同时租用A、B两种型号的货运车一次运送到冷库保存，且每
辆车都载满已知1辆A型车一次可运3吨，1辆B型车一次可运4吨．
①请你帮王大叔设计所有可能的租车方案；
②若1辆A型车的租金为100元/次，1辆B型车的租金为120元/次，请选出费用最少的租车方案，
并求出最少租车费．
【答案】（1） ；（2）①有两种租车方案，方案一： 型车7辆， 型车1辆；方案
二： 型车3辆， 型车4辆；②方案二的租金最少，最少租车费用为： 元．
【分析】（1）根据题目的例题分析求解即可
（2）①设 型车 辆， 型车 辆，根据题意等量关系，列出二元一次方程，并按（1）的方法求
得正整数解即可；
②分别求出所有方案的租金，比较即可知道最少费用及方案．
【详解】（1）2x+y＝5，
，
根据题意知： 且 均为正整数，
且 是2的倍数，
当 时， ，此时 ，
当 时， ，此时 ，方程2x+y＝5的所有正整数解为： ．
（2）设 型车 辆， 型车 辆，根据题意，得：
，
，
且 均为正整数，
，且 是3的倍数，
当 时， ，此时 ，
当 时， ，此时 ，
原方程的正整数解为： ，
答：有两种租车方案，方案一： 型车7辆， 型车1辆；方案二： 型车3辆， 型车4辆．
② 1辆A型车的租金为100元/次，1辆B型车的租金为120元/次，
方案一的租金为： （元），
方案二的租金为： （元），
，
方案二的租金最少，最少租车费用为： 元．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，求二元一次方程的整数解是解题的关键．
