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专题 16 正方形中“十字架”模型
解题思路
【十字架-模型归纳】
分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图 1中的线段AF
与BE，图2中的线段EF与MN，图3中的线段BE与AF）满足：若垂直，则相等。
典例分析
【典例 1】（2022 秋•三元区期中）如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是
BC、CD的中点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G，求证：
（1）△ADF≌△DCE；
（2）AF⊥DE．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，
∵BE＝CF，
∴BC﹣BE＝CD﹣CF，即CE＝DF，在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS）；
（2）由（1）知△ADF≌△DCE，
∴∠DAF＝∠CDE，
∵∠ADC＝90°，即∠CDE+∠EDA＝90°，
∴∠DAF+∠EDA＝90°，
∴∠AGD＝180°﹣（∠DAF+∠EDA）＝90°，
∴AF⊥DE．
【变式1-1】（2022秋•盐津县期中）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别
在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G．
（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；
（2）线段AF与DE有怎样的位置关系，请判断并说明理由．
【解答】解：（1）由图示得出与∠AED 相等的角有∠AFB，∠DAF 或
∠EDC．
（2）AF⊥DE．理由如下：
由正方形ABCD的性质可得，AB＝AD，∠DAB＝∠B＝90°，
在Rt△AED和Rt△BFA中，
，
∴Rt△AED≌Rt△BFA（HL），
∴∠AED＝∠AFB．
∵∠AFB+∠FAB＝90°，
∴∠AED+∠FAB＝90°，
∴∠AGE＝90°，即AF⊥DE
【变式1-2】（2022春•广阳区校级期末）如图，在正方形 ABCD中，点P在
AD上，且不与 A，D重合，点 H在AB上，且不与 A，B重合，连接 BP、
CH，BP与CH交于点E．
（1）若BP＝CH，求证：BP⊥CH；
（2）在（1）的条件下，若正方形ABCD的边长为12，AP＝5，求线段BE
的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，
在Rt△PAB和Rt△HBC中，
，
∴Rt△PAB≌Rt△HBC（HL），
∴∠APB＝∠BHC，
∵∠APB+∠PBA＝90°，
∴∠CHB+∠PBA＝90°＝∠CEB，
∴BP⊥CH；
（2）解：∵正方形ABCD的边长为12，
∴AB＝BC＝12，
∵AP＝5，
由（1）Rt△PAB≌Rt△HBC得BH＝AP＝5，
在Rt△HBC中，由勾股定理得：CH＝ ，
∵△HBC的面积＝ CH•BE＝ HB•BC，
∴ ，解得：BE＝ ，
即线段BE的长为 ．
【变式1-3】（2022春•海淀区校级期中）在正方形 ABCD中，P是边BC上一
动点（不与点B、C重合），E是AP的中点，
过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N．
（1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明；
（2）连接BD交MN于点F．
①根据题意补全图形；
②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论 ．
【解答】解：（1）MN＝AP．
证明：过点M作MG⊥CD于点G，则四边形AMGD是矩形，
∴MG＝AD，∠MGN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP＝90°，AB＝BC＝AD，
∴MG＝AB，∠ABP＝∠MGN，
又∵MN⊥AP，
∴∠AEM＝90°，∴∠AME+∠BAP＝90°，
又∵∠NMG+∠AME＝90°，
∴∠NMG＝∠BAP，
∴△ABP≌△MGN（ASA），
∴AP＝MN；
（2）①补全图形如图2，
②如图 3，过点 P 作 PH∥AB 交 MN 于点 H，交 BD 于点 K，过点 M 作
MG⊥CD于点G，
∵AM∥PH，
∴∠MAE＝∠EPH，
∵E为AP的中点，
∴AE＝EP，
又∵∠AEM＝∠PEH，
∴△AME≌△PHE（ASA），
∴ME＝EH，AM＝PH，
∵四边形AMGD是矩形，
∴AM＝DG，∴DG＝PH，
∵∠CBD＝45°，∠BPK＝90°，
∴∠BPK＝∠BKP＝45°，
∴BP＝PK，
由（1）知△ABP≌△MGN，
∴BP＝NG，
∴PK＝NG，
∴HK＝DN，
又∵NK∥DN，
∴∠HKF＝∠NDF，
∴△HKF≌△NDF（AAS），
∴HF＝NF，
∴EF＝EH+HF＝EM+FN．
故答案为：EF＝EM+FN．
夯实基础
1．（2022 秋•碑林区校级期末）如图，在边长为 的正方形 ABCD 中，
∠CDE＝30°，DE⊥CF，则AF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC＝AB＝4 ，∠BCD＝∠B＝90°，
∵DE⊥CF，
∴∠CDE+∠DCF＝90°＝∠DCF+∠BCF，∴∠CDE＝∠BCF＝30°，
∴BC＝ BF＝4 ，
∴BF＝4，
∴AF＝AB﹣BF＝4 ﹣4，
故选：D．
2．（2022秋•阜平县月考）如图所示，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边
AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH＝ AB，则图中阴影部分
的面积与正方形ABCD的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝AD，∠DAB＝∠ABF＝90°，
∵AE＝ AB，BF＝ BC，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠ADM＝∠BAN，
∵∠BAN+∠DAM＝90°，
∴∠ADM+DAM＝90°，∴∠AMD＝90°，
同理：∠ANB＝90°，
∴∠AMD＝∠ANB，
∴△DAM≌△ABN（AAS），
∴AM＝BN，
同理可以证明△BCP，△CDQ，△DAM，△ABN是全等的直角三角形，它们
的面积相等，
∵BE＝ AB，DG＝ DC，AB∥DC，
∴四边形EBGD是平行四边形，
∴ED∥BG，
∴AM：AN＝AE：AB＝1：4，
令正方形ABCD的边长是a，AM＝b，则BN＝b，AN＝4b，
∴正方形ABCD的面积是a2，△ABN的面积是 b•4b＝2b2，
∵AB2＝BN2+AN2，
∴a2＝b2+16b2＝17b2，
∵阴影的面积＝a2﹣4×2b2＝17b2﹣8b2＝9b2，
∴阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比是 ＝ ．
故选：A．
4．（2022秋•汝州市期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的
中点， CE，DF 交于点 G，连接 AG，下列结论： ① CE＝DF；
② CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（
）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE＝ AB，CF＝ BC，
∴BE＝CF，
在△CBE与△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故②正确；
∴∠EGD＝90°，
延长CE交DA的延长线于H，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，
∴△AEH≌△BEC（AAS），
∴BC＝AH＝AD，
∵AG是斜边的中线，∴AG＝ DH＝AD，
∴∠ADG＝∠AGD，
∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠AGE＝∠CDF．故③正确；
∵CF＝ BC＝ CD，
∴∠CDF≠30°，
∴∠ADG≠60°，
∵AD＝AG，
∴△ADG不是等边三角形，
∴∠EAG≠30°，故④错误；
故选：D．
5．（2022秋•茂南区期末）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是
边BC的中点，连接CE、DF．求证：CE＝DF．
【解答】证明：∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°，
又∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴BE＝CF，
在△CEB和△DFC中，
，
∴△CEB≌△DFC，
∴CE＝DF．
6．（2022•碑林区校级开学）如图，在正方形 ABCD中，E是边AD的中点，F是CE上点．过点F作GH⊥CE，分别交AB、CD于点G、H，若BG＝1，
CH＝5，求AG的长．
【解答】解：过G作GM⊥CD于M，如图：
∵正方形ABCD，
∴∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，BC＝CD＝AD，
∵GM⊥CD，
∴四边形GBCM是矩形，
∴GM＝BC＝CD，CM＝BG＝1，∠GMH＝90°＝∠D，
∵GH⊥CF，
∴∠DCE＝90°﹣∠FHM＝∠MGH，
在△GMH和△CDE中，
，
∴△GMH≌△CDE（ASA），
∴HM＝DE，
∵CH＝5，
∴HM＝CH﹣CM＝4＝DE，
∵E是AD边的中点，
∴AB＝AD＝2DE＝8，
∴AG＝AB﹣BG＝8﹣1＝7，∴AG的长为7．
7.（2021•滨江区校级三模）如图，在正方形 ABCD中，E、F分别为边AB、BC
的中点，连接AF、DE交于点G，连结BG．
（1）试判断AF与DE的数量关系与位置关系，并证明．
（2）求证：BG平分∠EGF．
【答案】（1）AF＝DE，AF⊥DE （2）略
【解答】（1）解：AF＝DE，AF⊥DE，理由如下：
∵ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∵E、F分别为边AB、BC 的中点，
∴AE＝BF．
∴△DAE≌△ABF（SAS）．
∴AF＝DE，∠ADE＝∠BAF．
∵∠DAG+∠EAG＝90°，
∴∠DAG+∠ADG＝90°．
∴∠AGD＝90°．
∴AF⊥DE；
（2）证明：如图，过点B作BM⊥AF，垂足为M，则BM∥GE，
∵AE＝BE，
∴AG＝GM．
设BF＝a，则AB＝2a，AF＝ a，BM＝ a，AM＝ a，
∴GM＝BM＝ a．
∴△BMG为等腰直角三角形．∴∠BGM＝45°，∠BGE＝90°﹣45°＝45°．
∴∠BGM＝∠BGE．
∴BG平分∠EGF．
能力提升
8．（2022春•阎良区期末）如图，E、F分别是正方形 ABCD的边CD，AD上
的点，且 CE＝DF，AE，BF 相交于点 O，下列结论① AE＝BF；
②AE⊥BF；③AO＝OE；④S ＝S 中，正确结论的个数为（
△AOB 四边形DEOF
）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，
即AF＝DE，
在△ABF和△DAE中， ，
∴△ABF≌△DAE（SAS），∴AE＝BF，故①正确；
∠ABF＝∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABF+∠BAO＝90°，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO＝OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；∵△ABF≌△DAE，
∴S ＝S ，
△ABF △DAE
∴S ﹣S ＝S ﹣S ，
△ABF △AOF △DAE △AOF
即S ＝S ，故④正确；
△AOB 四边形DEOF
综上所述，错误的有③．
故选：B．
9．（2022秋•江北区校级期末）如图所示，正方形ABCD中，AB＝4，点E为
BC中点，BF⊥AE于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，作DL⊥AE于点H，交AB于点L，
∵BF⊥AE，
∴DL∥BF，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠C＝90°，
∴BL∥DF，
∴四边形BFDL是平行四边形，
∵∠AGB＝90°，
∠BAE＝90°﹣∠ABG＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，
∵E为BC中点，
∴BE＝CF＝ BC＝ CD，
∴DF＝CF＝ CD，
∴BL＝DF＝ CD＝ AB，
∴AL＝BL＝ AB，
∴ ＝ ＝1，
∴AH＝GH，
∵DA＝AB＝4，
∴DG＝DA＝4，
故选：B．10．（2022秋•皇姑区校级期末）如图，边长为 5的正方形ABCD中，点E、G
分别在射线AB、BC上，F在边AD上，ED与FG交于点M，AF＝1，FG＝
DE，BG＞AF，则MC的最小值为 ．
【答案】 ﹣ 2
【解答】解：取FD的中点H，作FK垂直BC于点K，
∵DE＝FG，AD＝FK，∠A＝∠FKG＝90°，
∴△AED≌△KFG（HL），
∴∠ADE＝∠KFG，
又∵∠FGK＝∠DFM，∠KFG+∠FGK＝90°，
∴∠DFM+∠ADE＝90°，∴∠FMD＝90°，
∴MH＝ ＝2，
所以M在以H为圆心，2为半径的圆弧上运动，
∵MC≥CH﹣MH
当M落在CH上时，取到等号
即MC达到最小，最小值为CH﹣M′H＝ ﹣2．
11．（2022•迎泽区校级模拟）综合与实践：
如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重
合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）如图1，求证：△ABF≌△BCE；
（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；
（3）如图3，若AB＝4，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是
否存在最小值，若存在，请直接写出 AG最小值，及此时AE的值；若不存在，
请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，
∴∠CEB+∠BCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠ABF+∠CEB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE，
在△ABF和△BCE中，
，∴△ABF≌△BCE（ASA），
（2）证明：如图2，延长CD，BF交于点H，
∵点E是AB的中点，
∴BE＝ AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，AD＝AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，
∴∠CEB+∠BCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠ABF+∠CEB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE，
又∵AB＝BC，∠FAB＝∠EBC＝90°，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
∴BE＝AF，
∴BE＝AF＝ AB＝ AD，
∴AF＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠H，
在△ABF和△DHF中，
，
∴△ABF≌△DHF（AAS）
∴AB＝DH，∴DH＝CD，
又∵BF⊥CE，
∴∠BGH＝90°，
∴DC＝DH＝DG．
（3）解：AG存在最小值．
如图3，以BC为直径作 O，连接AO，OG，
⊙
∵BF⊥CE，
∴∠BGC＝90°，
∴点G在以BC为直径的 O上，
在△AGO中，AG≥AO﹣GO，
⊙
∴当点G在AO上时，AG有最小值，
此时：如图4，
∵BC＝AB＝4，点O是BC中点，
∴BO＝2＝CO，
∵AO＝ ＝ ＝2 ，
∴AG＝2 ﹣2，
∵OG＝OB，∴∠OBG＝∠OGB，
∵AD∥BC，
∴∠AFG＝∠OBG，
∴∠AFG＝∠OBG＝∠OGB＝∠AGF，
∴AG＝AF＝2 ﹣2，
由（2）可得AF＝BE＝2 ﹣2，
∴AE＝AB﹣BE＝4﹣（2 ﹣2）＝6﹣2 ．
