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专题17 角度相关知识专题复习
考点一 角的度量
【知识点睛】
角的表示:
角用“∠”表示，读作“角”，角的表示方法共有3种：
表示方法 图示 记法 应注意问题题
B
1.用一个大写字
只有一个
母表示 O A ∠A 单独的角 C
B
2.用三个大写字 均适用
母表示 C ∠AOB等
A F 2
O
B 1 3
3.用数字或希腊 在图形上标
字母并在顶点处 α C ∠1、∠α 注后才能用 5 E
加弧线 O 1 A A 4
B
如上右图：把图中用数字表示的角改用大写字母
表示是: ∠ 1 = ∠ AF E 、∠ 2 = ∠ CF E 、∠ 3 = ∠ CE F 、∠ 4 = ∠ B 、∠ 5 = ∠ A。
角的度量单位有：度°、分′、秒″，1° =60′， 1′=60″，1°=3600″．
角的和差计算应该注意：
①相同单位的加或减（即度与度相加减，分与分相加减，秒与秒相加减）；
②加法结果，分或秒大于60时要减60向上一单位进1，减法运算时，被减数分或秒
不够减时要向上一单位借1当本单位的60。
【类题训练】
1．下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．角还可以用一个希腊字母表示，
或用阿拉伯数字表示．
【解答】解：能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是选项A中的图，选项B，C，D
中的图都不能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形，
故选：A．
2．如图所示，射线OA的方向为北偏东29°，∠AOB＝90°，则射线OB的方向为（ ）A．南偏东61° B．南偏东71° C．南偏东29° D．南偏东51°
【分析】利用已知得出∠1的度数，进而得出OB的方向角．
【解答】解：如图，
∵OA是北偏东29°方向的一条射线，∠AOB＝90°，
∴∠1＝90°﹣29°＝61°，
∴OB的方向角是南偏东61°．
故选：A．
3．下列度、分、秒运算中，正确的是（ ）
A．48°39'+67°31'＝115°10'
B．90°﹣70°39'＝20°21'
C．1.45°＝86'
D．1800″＝0.5°
【分析】根据角度的度分秒的换算依次判断各个选项即可．
【解答】解：48°39'+67°31'＝115°70'＝116°10′，故A计算错误；
90°﹣70°39'＝89°60′﹣70°39′＝19°21'，故B计算错误；
1.45°＝1.45×60′＝87'，故C计算错误；
1800′′＝1800÷60′＝30′＝30÷60°＝0.5°，故D计算正确；
故选：D．4．如图所示，∠AOB的大小可由量角器测得，则图中∠AOB的度数为（ ）
A．60° B．75° C．120° D．150°
【分析】由图形可直接得出．
【解答】解：由题意，可得∠AOB＝120°，
故选：C．
5．如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（ ）
A．FH＞HG B．FH＝HG C．FH＜HG D．PF＜PG
【分析】由作图痕迹得PC平分∠APB，EF垂直平分PQ，过H点作HM⊥PA于M点，如图，根据
角平分线的性质得到HM＝HG，则利用垂线段最短得到HF＞HM，所以HF＞HG．
【解答】解：由作图痕迹得PC平分∠APB，EF垂直平分PQ，
过H点作HM⊥PA于M点，如图，
∴HM＝HG，
∵HF＞HM，
∴HF＞HG．故选：A．
6．时钟显示为2：00时，时针与分针所夹的角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：2：00时，时针与分针所夹角度是30°×2＝60°，
故选：C．
7．计算：180°﹣（35°54'+21°33'）= ．
【分析】依据度分秒相邻单位之间的换算是60进制，即可计算．
【解答】解：180°﹣（35°54'+21°33'）
＝179°60'﹣57°27′
＝122°33'．
8．计算：
（1）45°10′﹣21°35′20″；
（2）48°39′+67°31′﹣21°17′；
（3）42°16′+18°23′×2．
【分析】（1）根据度分秒之间的进率解答；
（2）根据度分秒之间的进率解答；
（3）先计算乘法，再计算加法．
【解答】解：（1）原式＝44°69′60″﹣21°35′20″
＝23°34′40″；
（2）原式＝115°70′﹣21°17′
＝94°53′；
（3）原式＝42°16′+36°46′
＝79°2′．
考点二 角的运算
【知识点睛】
分类：锐角：0°＜锐角＜90°；直角=90°；钝角：90°＜钝角＜180°；平角=180°；周角
=360°；
B
角平分线：从一个角的顶点引出，将一个角分成相等的两个角的射线
P
几何语言：如图，因为 OP是∠AOB的平分线（OP平分∠AOB）
所以∠AOP=∠BOP =½∠AOB
O
或∠AOB=2∠AOP =2∠BOP A
角的运算① 角的加减
② 直角三角板上各角的读数为：30°、60°、90°；45°、45°、90°
③ 余角/补角定义：
余角相关：如果两个角的和等于90°，我们就称这两个角互为余角，简称互余，
其中一个角叫做另一个角的余角。
补角相关：如果两个角的和等于180°，我们就称这两个角互为补角，简称“互补”，
其中一个角叫做另一个角的补角。
性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。
以上两个定理常用于角度间的等量代换。
【类题训练】
9．如图，OC平分∠AOB，OD平分∠BOC，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C．∠BOC＝ ∠AOD D．
【分析】根据角平分线的定义逐一进行判断即可．
【解答】解：∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC＝∠AOC＝ ∠AOB，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠COD＝ ∠BOC，
∴∠COD＝ ∠AOB，
故A选项不符合题意；
∵∠AOD＝∠AOC+∠COD＝3∠BOD，
∴∠BOD＝ ∠AOD，
故B选项不符合题意；
∴∠BOC＝ ∠AOD，
故C选项符合题意；∵∠AOB＝4∠BOD，∠AOD＝3∠BOD，
∴∠AOD＝ ∠AOB，
故D选项不符合题意；
故选：C．
10．如图，将一张长方形纸片ABCD分别沿着BE，BF折叠，使迈AB，CB均落在BD上，得到折痕
BE，BF，则∠ABE+∠CBF等于（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【分析】先根据折叠的性质可得，∠CBF＝∠DBF＝ ，∠ABE＝∠DBE＝ ，因为
∠ABD+∠CBD＝90°，根据∠ABE+∠CBF＝ ＝ （∠ABD+∠CBD），代入计算
即可得出答案．
【解答】解：由折叠性质得，
∠CBF＝∠DBF＝ ，∠ABE＝∠DBE＝ ，
∠ABE+∠CBF＝ ＝ （∠ABD+∠CBD）＝ ＝ ＝45°．
故选：C．
11．如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于 O点，已知∠AOB＝160°，则∠COD的
度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】由∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，求出∠AOC，再由∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，即可计算．
【解答】解：∵∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，
∴∠AOC＝160°﹣90°＝70°，∵∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，
∴∠COD＝90°﹣70°＝20°．
故选：A．
12．一个角等于它的余角的2倍，那么这个角的补角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【分析】设这个角的余角为 ，则这个角为2 ，则可得 +2 ＝90°，即可算出这个角的度数，根据
补角的定义进行计算即可得出α答案． α α α
【解答】解：设这个角的余角为 ，则这个角为2 ，
则 +2 ＝90°， α α
解得α：α2a＝60°，
这个角的补角是180°﹣60°＝120°．
故选：C．
13．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，若∠AOC＝60°，∠AOD和∠DOE互余，则∠COE
的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【分析】根据OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，得出∠AOD＝30°，再根据平角的定义得出∠COD＝
30°，即可得出∠COE的度数．
【解答】解：∵OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，
∴∠AOD＝∠DOC＝30°，
∠EOD＝90°﹣30°＝60°，
OE＝30°．
故选：A．
14．已知∠ ＝25°30'，则它的补角为（ ）
A．25°30α′ B．64° 30' C．164° 30' D．154°30′
【分析】由补角的概念，即可计算．
【解答】解：180°﹣25°30′＝154°30′．
故选：D．
15．如图，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足是D，则图中与∠B互余的角有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】此题直接利用直角三角形两锐角之和等于90°的性质即可顺利解决．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠C＝90°；
又∵AD⊥BC，
∴∠BDA＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
故图中与∠B互余的角有2个．
故选：B．
16．已知∠ 是钝角，∠ 与∠ 互补，∠ 与∠ 互余，则∠ 与∠ 的关系式为 ∠ ﹣∠ ＝ 90 °
． α α β β γ α γ α γ
【分析】根据余角和补角的定义解决此题．
【解答】解：由题意得，∠ +∠ ＝180°，∠ +∠ ＝90°．
∴∠ ＝180°﹣∠ ＝90°﹣∠α ．β β γ
∴∠β﹣∠ ＝90°α． γ
故答α案为：γ∠ ﹣∠ ＝90°．
17．如图，将一副α三角γ尺按不同的位置摆放，∠ 与∠ 一定相等的图形有 A 、 C ．（多选）
α β
【分析】根据对顶角相等，平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小
题分析判断即可得解
【解答】解：A：根据对顶角相等，可得∠ ＝∠ ，故A符合题意；
B：∠ ＝45°，∠ ＝60°，故B不符合题意；α β
C：根α据同角的余β角相等，∠ ＝∠ ，故C符合题意；
D：∠a＝135°，∠ ＝120°，故α D不β符合题意．
β故答案为：A、C．
考点三 直线的相交
【知识点睛】
对顶角性质：两直线相交，对顶角相等；
垂直的定义：当两条直线相交所构成的4个角中有一个是直角时，两条直线互相垂直；
推论1：在同一平面内，过一点有且仅有1条直线垂直于已知直线
推论2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【类题训练】
18．如图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据对顶角的定义进行判断即可．
【解答】解：由对顶角的定义可知，
图 中的∠1与∠2是对顶角，
故选：B．
19．如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠BOE＝15°，∠AOD＝2∠DOE，则∠DOB的度数为（
）
A．50° B．56° C．60° D．65°
【分析】设∠DOB＝x，根据邻补角的概念得到∠AOD＝180°﹣x，根据题意列出方程，解方程得到
答案．
【解答】解：设∠DOB＝x，
则∠AOD＝180°﹣x，
由题意得：180°﹣x＝2（x+15°），
解得：x＝50°，
∴∠DOB＝50°，
故选：A．20．下列说法中正确的是（ ）
A．3时30分，时针与分针的夹角是90° B．6时30分，时针与分针重合
C．8时45分，时针与分针的夹角是30° D．9时整，时针与分针的夹角是90°
【分析】根据时钟上一大格是30°，时针一分钟转0.5°，进行计算逐一判断即可．
【解答】解：A、3时30分，时针与分针的夹角是75°，故A不符合题意；
B、6时30分，时针与分针不重合，故B不符合题意；
C、8时45分，时针与分针的夹角是7.5°，故C不符合题意；
D、9时整，时针与分针的夹角是90°，故D符合题意；
故选：D．
21．如图1，直线ED上有一点O，过点O在直线ED上方作射线OC，将一直角三角板AOB（∠OAB＝
30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线ED上方，将直角三
角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t秒．若射线OC的位置保持不变，且
∠COE＝140°．则在旋转过程中，如图2，当t＝ 2 或 8 或 32 秒时，射线OA，OC与OD中的某
一条射线恰好是另两条射线所夹角的平分线．
【分析】分三种情况进行解答，即①射线OA是∠COD的平分线，②射线OC是∠AOD的平分线
③射线OD是∠COA的平分线，根据角平分线的定义以及角之间的和差关系进行计算即可．
【解答】解：当射线OA是∠COD的平分线时，
∵∠COD＝180°﹣∠COE＝40°，OA是∠COD的平分线，
∴∠AOD＝ ∠COD＝20°，
∴t＝ ＝2；
当射线OC是∠AOD的平分线时，
∠AOD＝2∠COD＝80°，
∴t＝ ＝8；
当射线OD是∠COA的平分线时，
360﹣10t＝40，∴t＝32，
故答案为：2或8或32．
22．如图，OA的方向是北偏东15°，OC的方向是北偏西40°，若∠AOC＝∠AOB，则OB的方向是（
）
A．北偏东 65° B．东偏北20° C．北偏东50° D．东偏北15°
【分析】先根据角的和差得到∠AOC的度数，根据∠AOC＝∠AOB得到∠AOB的度数，再根据角的
和差得到OB的方向．
【解答】解：∵OA的方向是北偏东15°，OC的方向是北偏西40°，
∴∠AOB＝∠AOC＝15°+40°＝55°，
∴OB的方向是北偏东15°+55°＝70°，或者东偏北90°﹣70°＝20°．
故选：B．
23．如图，∠1＝15°，AO⊥CO，直线BD经过点O，则∠2的度数为（ ）
A．75° B．105° C．100° D．165°
【分析】由OC⊥OA，可知∠BOC+∠1＝90°，而∠1＝15°，可求∠BOC，再根据∠2+∠BOC＝180°
求∠2．
【解答】解：∵OC⊥OA，
∴∠BOC＝90°﹣∠1＝90°﹣15°＝75°，
又∵∠2+∠BOC＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣75°＝105°．
故选：B．
24．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，∠BOE＝50°，则∠AOC等于（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】应用垂线的性质及对顶角的定义进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠EOD＝∠BOE+∠BOD，
∴∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE＝90°﹣50°＝40°，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°．
故选：B．
25．如图，∠A＝90°，点B到线段AC的距离指的是下列哪条线段的长度（ ）
A．AB B．BC C．BD D．AD
【分析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴AB⊥AD，
∴点B到线段AC的距离指的是线段AB的长度．
故选：A．
26．如图，AB、CD、NE相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°
（1）线段 MO 的长度表示点M到NE的距离；
（2）比较MN与MO的大小（用“＜”号连接）： MO ＜ MN ，并说明理由： 垂线段最短 ；
（3）求∠AON的度数．
【分析】（1）根据点到直线的距离解答即可；
（2）根据垂线段最短解答即可；（3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可．
【解答】解：（1）线段MO的长度表示点M到NE的距离；
（2）比较MN与MO的大小为：MO＜MN，是因为垂线段最短；
（3）∵∠BOD＝∠AOC＝50°，OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝25°，
∴∠AON＝180°﹣∠BOM﹣∠MON＝180°﹣25°﹣90°＝65°．
故答案为：MO；MO＜MN；垂线段最短．
27．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若
∠NEC＝32°，求∠FMN的大小．
【分析】根据正方形的性质得到∠A＝∠C＝∠D＝90°，根据折叠的性质得到∠F＝∠A＝90°，
∠FEN＝∠C＝90°，∠DNM＝∠ENM，根据平角的定义得到∠ENM＝ （180°﹣∠ENC）＝
（180°﹣58°）＝61°，根据四边形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A
落在点F处，
∴∠F＝∠A＝90°，∠DNM＝∠ENM，∠FEN＝∠D＝90°，
∵∠NEC＝32°，
∴∠ENC＝90°﹣32°＝58°，
∴ ，
∴∠FMN＝360°﹣90°﹣90°﹣61°＝119°．
28．如图，点O在直线AB上，∠COD＝2∠BOC，∠AOE＝ ∠DOA．
（1）求∠COE的度数；
（2）若∠COD＝50°，求∠BOE的度数．【分析】（1）根据角的比例可得∠BOC+∠AOE＝120°，再根据角的和差可得答案；
（2）首先得出∠BOC＝25°，再根据∠BOE＝∠BOC+∠COE可得答案．
【解答】解：（1）∵∠COD＝2∠BOC，
∴∠BOC＝ BOD，
∵∠AOE＝ ∠DOA，
∴∠BOC+∠AOE＝ ∠BOD+ ∠AOD＝ ∠AOB＝60°，
∴∠COE＝180°﹣（∠BOC+∠AOE）＝180°﹣60°＝120°；
（2）∵∠COD＝2∠BOC，
∴∠BOC＝ COD＝25°，
由（1）得，∠COE＝120°，
∴∠BOE＝∠BOC+∠COE＝25°+120°＝145°．
29．如图所示，∠AOC比∠BOC小30°，∠AOD＝∠BOD，求∠DOC的度数．
【分析】由∠BOC﹣∠AOC＝（∠BOD+∠COD）﹣（∠AOD﹣∠COD）求出∠DOC的度数．
【解答】解：∵∠BOC﹣∠AOC＝（∠BOD+∠COD）﹣（∠AOD﹣∠COD）
＝∠BOD+∠COD﹣∠AOD+∠COD＝2∠COD＝30°，
∴∠COD＝15°．
答：∠COD是15°．
30．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，求∠BOD
的度数．【分析】利用图中角与角的关系即可求得．
【解答】解：∵∠COE是直角，∠COF＝34°
∴∠EOF＝90°﹣34°＝56°
又∵OF平分∠AOE
∴∠AOF＝∠EOF＝56°
∵∠COF＝34°
∴∠AOC＝56°﹣34°＝22°
则∠BOD＝∠AOC＝22°．
故答案为22°．
31．如图所示，OD平分∠BOC，∠AOF＝∠EOF＝∠EOC．
（1）如果∠BOD＝30°，∠AOF＝15°，求∠AOB的度数；
（2）如果∠BOF＝90°，∠COD＝35°，求∠AOD的度数．
【分析】（1）根据角的定义可知∴∠AOC＝∠AOF+∠EOF+∠EOC＝45°，根据题意得出∠AOB＝
∠AOC+BOC，即可求出∠AOB的度数；
（2）根据题意得出∠COF＝∠BOF﹣∠BOC，再根据∠COF＝∠EOF+∠EOC，∠EOF＝∠EOC，
求出∠EOF＝∠EOC，可得∠AOD＝∠AOF+∠EOF+∠EOC+∠COD，可求出∠AOD的度数．
【解答】解：（1）∵OD平分∠BOC，∠BOD＝30°，
∴∠BOC＝60°∵∠AOF＝∠EOF＝∠EOC，∠AOF＝15°，
∴∠AOC＝∠AOF+∠EOF+∠EOC＝45°，
∴∠AOB＝∠AOC+BOC＝45°+60°＝105°；
（2）∵OD平分∠BOC，∠COD＝35°∴∠BOC＝70°∵∠BOF＝90°
∴∠COF＝∠BOF﹣∠BOC＝90°﹣70°＝20°
∵∠COF＝∠EOF+∠EOC，∠EOF＝∠EOC
∴∠EOF＝∠EOC＝10°
∵∠AOF＝∠EOF，
∴∠AOF＝10°
∴∠AOD＝∠AOF+∠EOF+∠EOC+∠COD＝10°+10°+10°+35°＝65°．
