文档内容
考点 23 同角三角函数基本关系式及诱导公式（3 种核心题
型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2.掌握诱导公式，并会简单应用．
【知识点】
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： .
(2)商数关系： .
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α
余弦 cos α
正切 tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
【核心题型】
题型一 同角三角函数基本关系
(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个
式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【例题1】（2024·河南信阳·一模）若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【变式1】（多选）（2023·海南·模拟预测）已知 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则
.
【变式3】（2024·山西朔州·一模）若 ，则
．
题型二 诱导公式
诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
【例题2】（23-24高三上·江苏南通·期末）已知 ，则
（ ）
A．3 B． C． D．2
【变式1】（多选）（22-23高一下·河南焦作·阶段练习）已知角 ， 是锐角三角形
的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）在 中， ， 是方程 的两个根，则 的值是 ．
【变式3】（2023·湖南邵阳·模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ，
，若 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积 的最大值.
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联
系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．
【例题3】（22-23高三上·陕西安康·阶段练习）在 中，“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1】（2024·广西·二模）已知 ，则 .
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知点 与点
关于原点对称，则 ．
【变式3】（23-24高三上·北京·阶段练习）已知 是第二象限内的角，
(1)求 的值；
(2)已知函数 ，求 的值．【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）若 ，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东·二模） （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·辽宁沈阳·二模）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（23-24高三上·江西·阶段练习）下列结论正确的是（ ）A．若 ，则 B．
C．若 ，则 D．若锐角 满足 ，则
6．（2024·河南周口·模拟预测）设 ， ，则下列计算正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
三、填空题
7．（2024·全国·二模）已知 ，则 .
8．（2024·广东惠州·一模）若角 的终边在第四象限，且 ，则
．
9．（2024·全国·模拟预测）已知 为第二象限角，则
．
四、解答题
10．（2023·广东珠海·模拟预测）在三角形 中，内角 、 、 对应的边分别是 、 、
，已知 ， ， .求：
(1) 的值：(2) 的值.
11．（2023·河南·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求 的值；
(2)设 ，求函数 的最小值.
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南·二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江西·二模）已知 ，求 （ ）A． B． C． D．
5．（2024·山东济南·三模）若 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
6．（2024·湖南岳阳·二模）已知 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024高三下·全国·专题练习）已知角 为第三象限角， ，则
（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·新疆·一模）已知: ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高一上·广东清远·期末）已知 ，其中 且
，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．C． D．
10．（2024·云南·一模）为得到函数 的图象，只需要将函数 的图
象（ ）
A．向左平行移动 个单位 B．向左平行移动 个单位
C．向右平行移动 个单位 D．向右平行移动 个单位
11．（2023·广东·模拟预测）如图是函数 的部分图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（2024·黑龙江·二模）已知函数 满足： ，则
．
13．（2023·青海·模拟预测）如图，直径 的半圆， 为圆心，点 在半圆弧上，为 的中点， 与 相交于点 ，则 .
14．（2024·江苏·一模）已知 ，且 ， ，则
．
四、解答题
15．（2024·广东深圳·模拟预测）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的最大值．
16．（2024·全国·模拟预测）已知 为锐角三角形，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的最小值．
17．（2024·湖北·一模）在 中，已知 ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，求函数 在 上的单调递增区间．18．（2024·四川内江·三模）在斜 中，角A、B、C所对的边分别为
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
19．（2022·浙江·模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)若 ，求C；
(2)求 的取值范围.
【拓展冲刺练】
一、单选题1．（2024·福建南平·二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁丹东·一模）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南南阳·一模）已知三个锐角 满足 ，则
的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三上·浙江·阶段练习）若 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖北·模拟预测）设 ，则（ ）A． B．
C． D．
三、填空题
7．（21-22高二下·浙江金华·阶段练习）已知 ，求
.
8．（2023·广东惠州·二模）函数 经过点 ，图象如
图所示，图中阴影部分的面积为 ，则 .
9．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知锐角三角形 的内角A，B，C所对的边分别是
a，b，c，且 ，若 ，则 的取值范围为 ．
四、解答题
10．（2024·全国·模拟预测）在 中，已知
．
(1)若 ，证明： 为直角三角形；
(2)若 ，求 的面积．11．（22-23高三上·陕西商洛·期中）在非 中，已知 ，
其中 ．
(1)若 ， ，求 的值；
(2)是否存在 使得 为定值？若存在，求 的值，并求出该定值为多少；
若不存在，请说明理由．
