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第 03 讲 二次函数 的图像和性质
1. 会用描点法画出二次函数 y=ax²+c（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物
线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念；
2. 掌握二次函数 y=ax²+c（a≠0）性质，掌握 y=ax²（a≠0）与 y=ax²+c
（a≠0）之间联系。
知识点 1 y=ax²+c的图像性质：
【问题1】画出函数y＝x2﹣1的图象．
【解答】解：∵次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为：（0，﹣1），当y＝0时x＝1或x＝﹣
1，
∴此图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣1，0），
∴其图象如图所示：
二次函数y＝x2﹣1的性质：（1）y=x2﹣1 图像是一条抛物线（2）关于y
轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，-1）（5）当x＜0时，y随x的增大
而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点.
【问题2】画出函数y＝﹣x2+1的图象．
【解答】解：列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 ﹣8 …
描点、连线如图．二次函数y＝-x2+1的性质：（1）y=-x2+1 图像是一条抛物线（2）关于y轴
对称（3）开口向下（4）顶点（0，1）（5）当x＜0时，y随x的增大而增
大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点.
总结： y=ax²+c的图像的性质
知识点2： y=ax²（a≠0）与 y=ax²+c（a≠0）之间的关系
【题型1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】
【典例1】（2023•南海区模拟）抛物线y＝﹣x2+1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝0 C．直线x＝1 D．直线
【变式1-1】（2020九上·路南期末）抛物线 y=−x2+2 的对称轴为（ ）
A．x 轴 B．y 轴 C．x=2 D．y=21
【变式1-2】（2021九上·阳东期中）二次函数y=− x2−2的图象的对称轴为
2
．
【典例2】（2022秋•丰南区校级期末）二次函数y＝x2+2的图象的顶点坐标是
（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，0）
【变式2】（2021九上·长春月考）抛物线y＝2x2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）
【题型2 二次函数y=ax²+c图像性质】
【典例3】（2022秋•九龙坡区期末）关于抛物线 y＝﹣x2+2，下列说法正确的
是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．有最小值
D．当x＜0时，函数y随x的增大而减小
【变式3-1】（2022九上·徐汇期中）下列关于二次函数y=−x2+3的图像说法中
错误的是（ ）
A．它的对称轴是直线x=0
B．它的图像有最高点
C．它的顶点坐标是(0，3)
D．在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小
【变式3-2】（2021九上·亳州期末）抛物线y=4x2抛物线y=−4(x+2) 2的相同
点是（ ）
A．顶点相同 B．对称轴相同
C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上
【变式3-3】（2021九上·奉贤期中）关于二次函数 y=−2x2+1 的图象，下列
说法中，正确的是（ ）．
A．对称轴为直线 x=1
B．顶点坐标为（-2，1）
C．可以由二次函数 y=−2x2 的图象向左平移1个单位得到；D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降．
【题型3 二次函数y=ax²+c中y值大小比较】
【典例4】（2023•虹口区一模）如果点A（﹣2，y ）与点B（﹣3，y ）都在抛
1 2
物线y＝x2+k上，那么y 和y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y ＞y B．y ＜y C．y ＝y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【变式4-1】（2022九上·阳春期末）已知点(x ，y )，(x ，y )均在抛物线
1 1 2 2
y=x2−1上，下列说法正确的是（ ）
A．若x =−x ，则y =−y B．若y = y ，则x =x
1 2 1 2 1 2 1 2
C．若x
