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第 03 讲 二次函数 的图像和性质
1. 会用描点法画出二次函数 y=ax²+c（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物
线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念；
2. 掌握二次函数 y=ax²+c（a≠0）性质，掌握 y=ax²（a≠0）与 y=ax²+c
（a≠0）之间联系。
知识点 1 y=ax²+c的图像性质：
【问题1】画出函数y＝x2﹣1的图象．
【解答】解：∵次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为：（0，﹣1），当y＝0时x＝1或x＝﹣
1，
∴此图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣1，0），
∴其图象如图所示：
二次函数y＝x2﹣1的性质：（1）y=x2﹣1 图像是一条抛物线（2）关于y
轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，-1）（5）当x＜0时，y随x的增大
而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点.
【问题2】画出函数y＝﹣x2+1的图象．
【解答】解：列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 ﹣8 …
描点、连线如图．二次函数y＝-x2+1的性质：（1）y=-x2+1 图像是一条抛物线（2）关于y轴
对称（3）开口向下（4）顶点（0，1）（5）当x＜0时，y随x的增大而增
大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点.
总结： y=ax²+c的图像的性质
知识点2： y=ax²（a≠0）与 y=ax²+c（a≠0）之间的关系
【题型1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】
【典例1】（2023•南海区模拟）抛物线y＝﹣x2+1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝0 C．直线x＝1 D．直线
【变式1-1】（2020九上·路南期末）抛物线 y=−x2+2 的对称轴为（ ）
A．x 轴 B．y 轴 C．x=2 D．y=21
【变式1-2】（2021九上·阳东期中）二次函数y=− x2−2的图象的对称轴为
2
．
【典例2】（2022秋•丰南区校级期末）二次函数y＝x2+2的图象的顶点坐标是
（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，0）
【变式2】（2021九上·长春月考）抛物线y＝2x2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）
【题型2 二次函数y=ax²+c图像性质】
【典例3】（2022秋•九龙坡区期末）关于抛物线 y＝﹣x2+2，下列说法正确的
是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．有最小值
D．当x＜0时，函数y随x的增大而减小
【变式3-1】（2022九上·徐汇期中）下列关于二次函数y=−x2+3的图像说法中
错误的是（ ）
A．它的对称轴是直线x=0
B．它的图像有最高点
C．它的顶点坐标是(0，3)
D．在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小
【变式3-2】（2021九上·亳州期末）抛物线y=4x2抛物线y=−4(x+2) 2的相同
点是（ ）
A．顶点相同 B．对称轴相同
C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上
【变式3-3】（2021九上·奉贤期中）关于二次函数 y=−2x2+1 的图象，下列
说法中，正确的是（ ）．
A．对称轴为直线 x=1
B．顶点坐标为（-2，1）
C．可以由二次函数 y=−2x2 的图象向左平移1个单位得到；D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降．
【题型3 二次函数y=ax²+c中y值大小比较】
【典例4】（2023•虹口区一模）如果点A（﹣2，y ）与点B（﹣3，y ）都在抛
1 2
物线y＝x2+k上，那么y 和y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y ＞y B．y ＜y C．y ＝y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【变式4-1】（2022九上·阳春期末）已知点(x ，y )，(x ，y )均在抛物线
1 1 2 2
y=x2−1上，下列说法正确的是（ ）
A．若x =−x ，则y =−y B．若y = y ，则x =x
1 2 1 2 1 2 1 2
C．若x <x <0，则y <y D．若0<x <x ，则y <y
1 2 1 2 1 2 1 2
【变式4-2】（2021九上·海珠期末）函数y＝x2﹣5的最小值是 ．
【题型4 二次函数y=ax²平移规律】
【典例5】（2023•宾阳县一模）抛物线y＝x2向上平移2个单位，所得抛物线的
解析式是（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2
【变式5-1】（2023九上·东阳期末）若把抛物线y＝3x2﹣1向右平移2个单位，
则所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝3x2﹣3 B．y＝3x2+1
C．y＝3（x+2）2+1 D．y＝3（x﹣2）2﹣1
【变式5-2】（2022秋•铜梁区校级期末）将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移3
个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝﹣x2+3 B．y＝﹣x2﹣3C．y＝﹣（x+3）2D．y＝﹣（x﹣3）2
【题型5二次函数y=ax²与一次函数综合问题】
【典例6】（2022秋•赛罕区校级期末）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2
与二次函数y＝x2+m的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【变式6-1】（2023九上·孝南期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数
y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2022九上·新抚月考）函数y＝ax－a和y=ax2+2（a为常数，且
a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【题型6 y=ax²（a≠0）与 y=ax²+c（a≠0）之间的关系】
【典例7】（2020九上·梅河口期末）已知，直线 y=−2x+3 与抛物线 y=ax2
相交于 A 、 B 两点，且 A 的坐标是 (−3,m)
（1）求 a ， m 的值；
（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．
【变式7-1】（九上·西城月考）抛物线 y=3x2，y=−2x2+1 在同一直角坐标
系内，则它们（ ）
A．都关于 y 轴对称 B．开口方向相同
C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到
【变式7-2】（2020九上·南昌月考）已知点（3，13）在函数y＝ax2+b的图象
上，当x＝﹣2时，y＝8．
（1）求a，b的值；
（2）如果点（6，m），（n，20）也在这个函数的图象上，求m与n的值．1．（2023•庐阳区一模）抛物线y＝3x2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（0，﹣5） B．（0，0） C．（0，5） D．（3，﹣5）
2．（2023•小店区校级模拟）对于二次函数y＝﹣ x2+2，当x为x 和x 时，对
1 2
应的函数值分别为y 和y ．若x ＞x ＞0，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．y ＞y B．y ＜y C．y ＝y D．无法比较
1 2 1 2 1 2
3．（2023•庐阳区校级一模）二次函数 y＝x2﹣2的图象经过点（a，b），则代
数式b2+6a2的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023•宁波模拟）下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象
大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023•青浦区一模）抛物线y＝3x2﹣1在y轴右侧的部分是 ．（填
“上升”或“下降”）
6．（2021.深圳）抛物线 y=3x2，y=−2x2+1 在同一直角坐标系内，则它们
（ ）
A．都关于 y 轴对称 B．开口方向相同
C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到7．（2021.佛山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点
1
A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y= x2于B，C两点，则BC的长为
3
。
1 1
8.（2021.百色）如图，两条抛物线 y =− x2+1,y =− x2−1 与分别过点（
1 2 2 2
−2 ， −1 ）（2， −3 ）且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴部分的面积为
（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
9．（2021.长沙）已知 y=(m+2)xm2+m−4+1 是关于x的二次函数.
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，
y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随
x的增大而减小？1．（2022秋•曲阜市期末）二次函数y＝x2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（0，2）
2．（2022秋•郊区期末）抛物线 y＝﹣4x2+3的开口方向和顶点坐标分别是（
）
A．向上，（﹣4，3） B．向下，（﹣4，3）
C．向下，（0，3） D．向上，（0，3）
3．（2021.河池）下列各点在抛物线 y=x2+1 上的是（ ）
A．(0,1) B．(−1,0) C．(0,0) D．(1,1)
4．（2021.云南）关于二次函数 y=−2x2+1 的图象，下列说法中，正确的是
（ ）．
A．对称轴为直线 x=1
B．顶点坐标为（-2，1）
C．可以由二次函数 y=−2x2 的图象向左平移1个单位得到；
D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降．
5．（2021.浙江）二次函数 y=2x2−3 的图象是一条抛物线，下列关于该抛物
线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线与 x 轴有两个交点
C．抛物线的对称轴是直线 x =1 D．抛物线经过点（2,3）
6．（2021.柳州）二次函数y＝x2的图象向下平移2个单位后得到函数解析式为
（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2
C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x+2）2
7．（2021.贵阳）抛物线 y=2x2−1 的图像经过点 A(−3,y ) ， B(1,y ) ，
1 2
C(4,y ) ，则 y ， y ， y 大小关系是（ ）
3 1 2 3
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 2 18．（2022秋•利川市期末）设点（﹣1，y ）， ，（2，y ）是抛物线
1 3
y＝﹣2x2+1上的三点，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
3 2 1 2 1 3 1 2 3 2 3 1
9．（2022秋•宽城区校级期末）当a＜0，c＞0时，二次函数y＝ax2+c的图象
大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋•越秀区校级期末）在同一坐标系中，一次函数 y＝ax+k与二次函
数y＝kx2+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋•镇江期末）已知函数 y＝2x2﹣3，当x＝ 时，函数值等于
5．
12．（2023•金山区二模）抛物线 在y轴的右侧呈 下降 趋势（填
“上升”或者“下降”）．
1
13.（2021九上·澄海期末）二次函数y=− x2+5有最 值为 ．
2
14．（2020秋•宜阳县期末）如图为函数y＝ x2+1和y＝ x2的图象，则图中阴
影部分的面积为 ．
