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专题 19.2 二次根式的性质
1. 掌握二次根式的非负性，并能够结合绝对值，偶次方等的非负性灵活运用。
教学目标
2. 掌握二次根式的其他性质，并能够在解决问题时熟练的应用。
1. 重点
（1）二次根式的性质。
教学重难点 2. 难点
（1）利用二次根式的性质化简及其求取值范围；
（2）利用二次根式为整数求值（易错点）。知识点01 二次根式 的性质
1. 二次根式 的性质：
二次根式具有双重非负性，二次根式本身 大于等于 0，被开方数 大于等于 0。
即 ≥ 0， ≥ 0。
考点：几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于0
初中的三大非负数类型： 、 、
【即学即练1】
1．已知❑√a+2+❑√b−1=0，那么（a+b）2025＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：∵❑√a+2+❑√b−1=0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
解得：a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2025＝（﹣2+1）2025＝﹣1，
故选：A．
【即学即练2】
2．若|a+1|+b2−4b+4+❑√c+3=0，则a+b3+c2的算术平方根（ ）
A．4 B．16 C．±4 D．﹣4
【答案】A
【解答】解：∵b2﹣4b+4＝（b﹣2）2，
∴原式可化为|a+1|+(b−2) 2+❑√c+3=0，
∴a＝﹣1，b＝2，c＝﹣3，
∴a+b3+c2＝﹣1+23+（﹣3）2＝16，
∵❑√16=4，
∴a+b3+c2的算术平方根为4，
故选：A．
知识点02 的性质
1. 的性质：一个非负数的算术平方根的平方等于 它本身 。即 a 。
【即学即练1】
3．若a=(❑√5) 2，则a＝（ ）
A．❑√5 B．±❑√5 C．±5 D．5
【答案】D
【解答】解：原式＝5．
故选：D．
【即学即练2】
4．(−❑√2025) 2= 202 5 ．
【答案】2025．
【解答】解：(−❑√2025) 2=2025，
故答案为：2025．
知识点03 的性质
1. 的性质：
一个数的平方的算术平方根等于 这个数的绝对值 。即 | a | 。再根据a的正负去绝
对值符号。
【即学即练1】
5．化简：❑√(3−π) 2= ﹣ 3 ．
【答案】 ﹣3 π
【解答】解：∵3﹣ ＜0，
π
∴原式＝|3﹣ |
π
＝ ﹣3．
π
故答案为： ﹣3．
π
【即学即练2】
π
6．如图，数轴上点A表示的数为a，化简❑√a2+❑√(a−5) 2的值是 5 ．
【答案】5．
【解答】解：由数轴知0＜a＜5，
则a﹣5＜0，
∴原式＝a﹣（a﹣5）
＝a﹣a+5＝5，
故答案为：5．
【即学即练3】
3
7．若❑√(2a−3) 2=3−2a，则a的取值范围是 a≤ ．
2
3
【答案】a≤ ．
2
【解答】解：根据二次根式的性质可知：3﹣2a≥0，
3
解得a≤ ，
2
3
故答案为：a≤ ．
2
【即学即练4】
3
8．若❑√(2a−3) 2=2a−3成立，则a的取值范围是 a≥ ．
2
3
【答案】a≥ ．
2
【解答】解：根据二次根式有意义条件可知2a﹣3|＝2a﹣3，
根据绝对值的意义，当且仅当2a﹣3≥0时，该等式成立，
解得2a≥3，
3
即 a≥ ．
2
3
故答案为：a≥ ．
2
【即学即练5】
9．已知❑√18n是正整数，则正整数n的最小值是 2 ．
【答案】2
【解答】解：❑√18n=❑√9×2n=3❑√2n，
∵n是正整数，❑√18n也是一个正整数，
∴n的最小值为2．
故答案为：2．
题型01 二次根式的性质
【典例1】下列各式中运算正确的是（ ）
A．❑√(−2) 2=−2 B．❑√49=±7C．❑√(−4) 2=±4 D．−❑√(−3) 2=−3
【答案】D
【解答】解：A、❑√(−2) 2=2≠−2，选项计算错误，不符合题意；
B、❑√49=7≠±7，选项计算错误，不符合题意；
C、❑√(−4) 2=4≠±4，选项计算错误，不符合题意；
D、−❑√(−3) 2=−3，选项计算正确，符合题意．
故选：D．
【变式1】下列各式中，正确的是（ ）
A．❑√(−5) 2=−5 B．−❑√52=−5
C．❑√(±5) 2=±5 D．❑√52=±5
【答案】B
【解答】解：A、❑√(−5) 2=5，故错误；
B、−❑√52=−5，正确；
C、❑√(±5) 2=5，故错误；
D、❑√52=5，故错误；
故选：B．
【变式2】若a+|a|＝0，则❑√(a+1) 2+❑√(a−1) 2的值是（ ）
A．2 B．﹣2a C．2或﹣2a D．2a
【答案】C
【解答】解：∵a+|a|＝0，
∴|a|＝﹣a，
∵|a|≥0，
∴a≤0，
则❑√(a+1) 2+❑√(a−1) 2
＝|a+1|+|a﹣1|
＝|a+1|+1﹣a，
当a＜﹣1时，则|a+1|+1﹣a＝﹣a﹣1+1﹣a＝﹣2a；
当﹣1≤a≤0时，则|a+1|+1﹣a＝a+1+1﹣a＝2；
故选：C．
题型02 二次根式的非负性
【典例1】已知❑√a−3+❑√b−8=0，则（a﹣b）2的平方根是 ± 5 ．
【答案】±5．【解答】解：根据算术平方根的非负性求出a，b的值可得：a﹣3＝0，b﹣8＝0，
∴a＝3，b＝8，
∴（a﹣b）2＝（3﹣8）2＝25，
∴（a﹣b）2的平方根是±❑√25=±5．
故答案为：±5．
【变式1】若(x−2) 2+❑√y+5+|z+1|=0，则xyz的值是（ ）
A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3
【答案】A
【解答】解：∵(x−2) 2+❑√y+5+|z+1|=0，
∴x﹣2＝0，y+5＝0，z+1＝0，
∴x＝2，y＝﹣5，z＝﹣1，
∴xyz＝10，
故选：A．
1
【变式2】若❑√a+2+4b2−4b+1=0，则a2023•b2024＝ − ．
2
1
【答案】− ．
2
【解答】解：∵❑√a+2+4b2−4b+1=0，即❑√a+2+（2b﹣1）2＝0，而❑√a+2≥0，(2b−1) 2≥0，
∴a+2＝0，2b﹣1＝0，
1
解得a＝﹣2，b= ，
2
1
∴a2023•b2024＝（﹣2）2023•（ ）2024
2
1 1
＝（﹣2）2023•（ ）2023×
2 2
1 1
＝（﹣2× ）2023×
2 2
1
＝﹣1×
2
1
=− ．
2
1
故答案为：− ．
2
题型03 利用二次根式的性质化简
【典例1】已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简❑√a2−|a+b|+❑√(c−a) 2+|b+c|=（ ）A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a
【答案】B
【解答】解：由数轴得：a＜b＜0＜c，|a|＞|c|＞|b|，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0，
∴原式＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+c﹣a+b+c＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c＝2b+2c﹣a，
故选：B．
【变式1】若﹣1≤x≤7，化简：❑√x2−14x+49−❑√x2+2x+1= 6 ﹣ 2 x ．
【答案】6﹣2x．
【解答】解：∵﹣1≤x≤7，
∴x﹣7≤0、x+1≥0，
∴原式=❑√(x−7) 2−❑√(x+1) 2
＝7﹣x﹣（x+1）
＝7﹣x﹣x﹣1
＝6﹣2x．
【变式2】若2、5、n为三角形的三边长，则化简❑√(3−n) 2+❑√(8−n) 2的结果为（ ）
A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5
【答案】A
【解答】解：由三角形三边关系可知：3＜n＜7，
∴3﹣n＜0，8﹣n＞1，
原式＝|3﹣n|+|8﹣n|
＝﹣（3﹣n）+（8﹣n）
＝﹣3+n+8﹣n
＝5，
故选：A．
【变式3】已知a，b，c为三角形的三边，则❑√(a+b−c) 2+❑√(b−c−a) 2+❑√(b+c−a) 2= a + b + c ．
【答案】a+b+c
【解答】解：∵a，b，c为三角形的三边，
∴a+b＞c，c+a＞b，b+c＞a，
∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0，
∴❑√(a+b−c) 2+❑√(b−c−a) 2+❑√(b+c−a) 2=|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|b+c﹣a|＝a+b﹣c+a+c﹣b+b+c﹣a＝
a+b+c．
故答案为：a+b+c．题型04 利用二次根式的性质求取值范围
【典例1】若❑√(a−5) 2=5−a，则a的取值范围是（ ）
A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5
【答案】D
【解答】解：若❑√(a−5) 2=5−a，
则a﹣5≤0，
解得a≤5，
故选：D．
【变式1】若❑√(a−5) 2=a﹣5，则a的取值范围是（ ）
A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5
【答案】C
【解答】解：∵❑√(a−5) 2≥0
且❑√(a−5) 2=a﹣5，
∴a﹣5≥0，解得a≥5．
故选：C．
【变式2】如果❑√(3a−1) 2=1﹣3a，则（ ）
1 1 1 1
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥
3 3 3 3
【答案】B
【解答】解：∵❑√(3a−1) 2=1﹣3a，
∴1﹣3a≥0，
∴﹣3a≥﹣1，
1
∴a≤ ，
3
故选：B．
题型05 根据二次根式是整数求值
【典例1】若❑√10−a是有理数，则满足条件的最大正整数a的值是 1 0 ．
【答案】10．
【解答】解：根据算术平方根的非负性可得，10﹣a≥0，
解得：a≤10，
由条件可知正整数a＝10或9或6或1，
则满足条件的最大正整数a的值是10，
故答案为：10．【变式1】已知二次根式❑√12n的值是正整数，其中n为整数，则n的最小值为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：❑√12n=❑√4×3n=2×❑√3n，
∵二次根式❑√12n的值是正整数，其中n为整数，
∴n的最小值为3，
故答案为：3．
【变式2】已知n是一个正整数，❑√75n是整数，那么n的最小值为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵❑√75n=5❑√3n，
∴n的最小值为3．
故答案为：3．
1．下列计算正确的是（ ）
A．❑√a2=a B．❑√(−a) 2=±a
C．❑√a4=a2 D．❑√a2+❑√b2=a+b
【答案】C
【解答】解：A、❑√a2=|a|≠a，原计算错误，不符合题意；
B、❑√(−a) 2=|a|≠±a，原计算错误，不符合题意；
C、❑√a4=a2，正确，符合题意；
D、❑√a2+❑√b2=|a|+|b|≠a+b，原计算错误，不符合题意，
故选：C．
2．《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即c=❑√a2+b2（a为“勾”，b为
“股”，c为“弦”）．若“勾”为2，“股”为3，则“弦”在如图所示数轴上可表示在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】C
【解答】解：若“勾”为2，“股”为3，
则❑√22+32=❑√13，
∵9＜13＜16，
∴3＜❑√13＜4，
则“弦”在如图所示数轴上可表示在C点，故选：C．
3．已知(x−1) 2+❑√y−2=0，则（x﹣y）2025的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023
【答案】B
【解答】解：已知(x−1) 2+❑√y−2=0，
（x﹣1）2＝0，❑√y−2=0，
∴x＝1，y＝2，
∴x﹣y＝﹣1，
∴（x﹣y）2025＝（﹣1）2025＝﹣1，
故选：B．
4．若2＜a＜3，则❑√(2−a) 2−❑√(3−a) 2=（ ）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5
【答案】D
【解答】解：因为2＜a＜3，
所以❑√(2−a) 2−❑√(3−a) 2=a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5，
故选：D．
5．若❑√(a+1) 2=−a−1，则a的值可以是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2
【答案】D
【解答】解：∵❑√(a+1) 2=−a−1，
∴a+1＜0，
∴a＜﹣1，
∴a的值可以是﹣2．
故选：D．
6．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：❑√a2+❑√(a−b) 2+❑√b2=（ ）
A．2a B．0 C．2a﹣2b D．2b
【答案】C
【解答】解：由数轴得，b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a﹣b＞0，
∴原式＝|a|+|a﹣b|+|b|
＝a+a﹣b﹣b
＝2a﹣2b．
故选：C．7．如果一个三角形的三边长分别为3、a、7，则❑√(a−4) 2−❑√(a−11) 2化简后为（ ）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．15﹣2a
【答案】C
【解答】解：一个三角形的三边长分别为3、a、7，
∴4＜a＜10，
∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，
∴❑√(a−4) 2−❑√(a−11) 2=a−4−(11−a)=a−4−11+a=2a−15，
故选：C．
√ 1 1
8．当0＜a＜1时，化简❑(a− ) 2− =（ ）
a a
2 2
A．a B．﹣a C．a− D． −a
a a
【答案】B
【解答】解：∵0＜a＜1，
1
∴a＜ ，
a
√ 1 1 1 1
∴❑(a− ) 2− =| −a|− =−a，
a a a a
故选：B．
9．已知y=❑√(x−2) 2−x+4，当x分别取1，2，3，⋯，2025时，所对应y值的总和是（ ）
A．2027 B．2025 C．4048 D．4052
【答案】D
【解答】解：由条件可知❑√(x−2) 2−x+4=|x−2|−x+4，需分两种情况讨论如下：
a．当 x≤2 时，|x﹣2|＝2﹣x，
∴y＝（2﹣x）﹣x+4＝6﹣2x，
x取1和2：
x＝1时，y＝6﹣2×1＝4，
x＝2时，y＝6﹣2×2＝2，
∴总和为 4+2＝6；
b．当x＞2时，|x﹣2|＝x﹣2，
∴y＝（x﹣2）﹣x+4＝2；
x从3到2025，共2023个值，每个y＝2，
∴和为2023×2＝4046，
综上，6+4046＝4052．
故选：D．
10．化简❑√ 23−6❑√10+4❑√3−2❑√2的结果是（ ）A．3+❑√2 B．3−2❑√2 C．3+2❑√2 D．3−❑√2
【答案】D
【解答】解：❑√ 23−6❑√10+4❑√3−2❑√2
=❑√ 23−6❑√ 10+4❑√ (❑√2−1) 2
=❑√23−6❑√10+4(❑√2−1)
=❑√23−6❑√10+4❑√2−4
=❑√23−6❑√4❑√2+6
=❑√ 23−6❑√ (2+❑√2) 2
=❑√23−6(2+❑√2)
=❑√23−12−6❑√2
=❑√11−6❑√2
=❑√ (3−❑√2) 2
=3−❑√2，
故选：D．
11．计算：❑√(−2) 2+(❑√5) 2= 7 ．
【答案】7．
【解答】解：❑√(−2) 2+(❑√5) 2=2+5＝7，
故答案为：7．
12．若❑√(5−a) 2+5=a，则a的取值范围是 a ≥ 5 ．
【答案】a≥5
【解答】解：∵❑√(5−a) 2+5=a，
∴❑√(5−a) 2=a−5，
∴a﹣5≥0，
∴a≥5，
故答案为：a≥5．
13．二次根式❑√24a是一个整数，那么正整数a的最小值是 6 ．
【答案】6．
【解答】解：∵❑√24a是一个整数，24＝4×6，
∴正整数a的最小值为6．
故答案为：6．
14．若1＜x＜2，化简❑√x2−2x+1−❑√x2−4x+4= 2 x ﹣ 3 ．
【答案】2x﹣3．【解答】解：原式=❑√(x−1) 2−❑√(x−2) 2，
∵1＜x＜2，
∴x﹣1＞0，x﹣2＜0，
∴原式＝x﹣1﹣（2﹣x）
＝x﹣1+x﹣2
＝2x﹣3．
故答案为：2x﹣3．
1
15．已知|❑√x2+ y−1|+ y2−4|y|+4=0，且xy＜0，则xy＝ ．
9
1
【答案】 ．
9
【解答】解：∵|❑√x2+ y−1|+ y2−4|y|+4=0，
∴|❑√x2+ y−1|+(|y|−2) 2=0，
∴|❑√x2+ y−1|=0，（|y|﹣2）2＝0，
∴❑√x2+ y−1=0，|y|﹣2＝0，
∴y＝±2，
当y＝2时，❑√x2+2−1=0，❑√x2=−1（无意义，舍去）；
当y＝﹣2时，❑√x2−2−1=0，❑√x2=3，解得x＝±3，
∵xy＜0，y＝﹣2，
∴x＞0，
∴x＝3，
1
∴xy=3−2=
，
9
1
故答案为： ．
9
16．通过计算下列各式的值探究问题：
（1）①❑√42= 4 ；❑√02=0；
②❑√(−2) 2= 2 ，
探究：对于任意负有理数a，❑√a2= ﹣ a ．
综上，对于任意有理数a，❑√a2= | a | ．
（2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示．
化简：❑√a2−❑√b2−❑√(a−b) 2+|a+b|．
【答案】（1）4，2，﹣a，|a|；（2）﹣a﹣3b．
【解答】解：（1）①❑√42=4；②❑√(−2) 2=2；
由❑√(−2) 2=2归纳出：对于任意负有理数a，❑√a2=−a；
由❑√42=4；❑√0=0，❑√(−2) 2=2归纳出：对于任意有理数a，❑√a2=|a|，
故答案为：4，2，﹣a，|a|；
（2）观察数轴可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，a﹣b＜0，a+b＜0
❑√a2−❑√b2−❑√(a−b) 2+|a+b|
＝﹣a﹣b﹣[﹣（a﹣b）]+[﹣（a+b）]
＝﹣a﹣b+a﹣b﹣a﹣b
＝﹣a﹣3b．
17．阅读理解：阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答：
化简：(❑√1−3x) 2−|1−x|．
1
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得x≤ ．
3
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．
启发应用：已知△ABC三条边的长度分别是❑√x+1，❑√(5−x) 2，4−(❑√4−x) 2．记△ABC的周长为
C△ABC ．
（1）若x＝2，求C△ABC 的值；
（2）请用含x的代数式表示△ABC的周长C△ABC （结果要求化简），并写出x的取值范围．
【答案】（1）5+❑√3；
（2）❑√x+1+5．
【解答】解：（1）当x＝2时，C△ABC =❑√2+1+❑√(5−2) 2+4−(❑√4−2) 2
=❑√3+3+4﹣2
＝5+❑√3．
（2）由二次根式有意义的条件可得x+1＞0，4﹣x≥0，且5﹣x≠0，
解得：﹣1＜x≤4，
则C△ABC =❑√x+1+❑√(5−x) 2+4−(❑√4−x) 2
=❑√x+1+（5﹣x）+4﹣（4﹣x）
=❑√x+1+5﹣x+4﹣4+x
=❑√x+1+5．
18．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就
❑√b ❑√b ❑√3 ❑√x−1
会出现类似 的形式，我们把形如 的式子称为根分式，例如 ， 都是根分式．
a a 2 xa ❑√3 ❑√a2+3
（1）下列式子中① ，② ，③ ， ③ 是根分式（填写序号即可）；
a2+1 ❑√x+1 2
❑√x−1
（2）写出根分式 中x的取值范围 x ≥ 1 且 x ≠ 2 ；
x−2
❑√x2−6x+7 ❑√2x−1
（3）已知两个根分式M= ，N= ，若M2﹣N2＝1，求x的值．
x−2 x−2
【答案】（1）③．
（2）x≥1且x≠2．
（3）x＝1．
【解答】解：（1）由题意可知：③是根分式．
故答案为：③．
{x−1≥0)
（2）由题意可知： ，
x−2≠0
解得：x≥1且x≠2．
故答案为：x≥1且x≠2．
x2−6x+7 2x−1
（3）M2= ，N2= ，
(x−2) 2 (x−2) 2
∵M2﹣N2＝1，
x2−6x+7−2x+1
∴ = 1，
(x−2) 2
x2−8x+8
=1，
(x−2) 2
x2﹣8x+8＝x2﹣4x+4，
﹣4x＝﹣4，
x＝1，
经检验：x＝1是原方程的解．
19．（1）当2≤a≤5时，化简；❑√(a−2) 2+❑√(a−5) 2= 3 ；
（2）若❑√(a+1) 2+❑√(a−5) 2=8，求a的值；
（3）已知实数a，b满足❑√(1−a) 2+|b+3|=9−❑√(a+4) 2−|b−1|，求a2+b2的最大值．
【答案】（1）3；
（2）a的值为﹣2或6；
（3）25．
【解答】解：（1）由条件可知❑√(a−2) 2+❑√(a−5) 2=a−2+5−a=3，
故答案为：3．
（2）由❑√(a+1) 2+❑√(a−5) 2=8可得，|a+1|+|a﹣5|＝8，当a＜﹣1时，﹣（a+1）﹣（a﹣5）＝8，
解得a＝﹣2；
当﹣1≤a≤5时，a+1﹣（a﹣5）＝8，不成立；
当a＞5时，a+1+（a﹣5）＝8，
解得a＝6；
∴a的值为﹣2或6．
（3）由条件可知|a﹣1|+|a+4|+|b+3|+|b﹣1|＝9，
又∵|a﹣1|+|a+4|≥5，当且仅当﹣4≤a≤1时取等号，
|b+3|+|b﹣1|≥4，当且仅当﹣3≤b≤1时取等号，
∴|a﹣1|+|a+4|＝5，﹣4≤a≤1，
且|b+3|+|b﹣1|＝4，﹣3≤b≤1，
∴当a＝﹣4，b＝﹣3时，a2+b2取最大值为（﹣4）2+（﹣3）2＝25．
20．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习
了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如3=(❑√3) 2 ；5=(❑√5) 2 ，下面我们观察：
(❑√2−1) 2=(❑√2) 2 −2×1×❑√2+12=2−2❑√2+1=3−2❑√2，反之，3−2❑√2=2−2❑√2+1=(❑√2−1) 2
∴3−2❑√2=(❑√2−1) 2 ，∴❑√3−2❑√2=❑√2−1．根据以上材料，求：
（1）❑√5+2❑√6；
（2）❑√4−❑√12；
（3）若❑√a±2❑√b=❑√m±❑√n，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
【答案】（1）❑√2+❑√3；
（2）❑√3−1；
（3）m+n＝a，mn＝b，
理由：
∵❑√a±2❑√b=❑√m±❑√n，
∴(❑√m±❑√n) 2=a±2❑√b，
∴m+n±2❑√mn=a±2❑√b，
∴m+n＝a，mn＝b．．
【解答】解：（1）原式=❑√ (❑√2+❑√3) 2=❑√2+❑√3；
（2）原式=❑√ (❑√3−1) 2=❑√3−1；
（3）m+n＝a，mn＝b，
理由：
∵❑√a±2❑√b=❑√m±❑√n，
∴(❑√m±❑√n) 2=a±2❑√b，∴m+n±2❑√mn=a±2❑√b，
∴m+n＝a，mn＝b．
