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专题 19.2 二次根式的性质
1. 掌握二次根式的非负性，并能够结合绝对值，偶次方等的非负性灵活运用。
教学目标
2. 掌握二次根式的其他性质，并能够在解决问题时熟练的应用。
1. 重点
（1）二次根式的性质。
教学重难点 2. 难点
（1）利用二次根式的性质化简及其求取值范围；
（2）利用二次根式为整数求值（易错点）。知识点01 二次根式 的性质
1. 二次根式 的性质：
二次根式具有双重非负性，二次根式本身 0，被开方数 0。
即 0， 0。
考点：几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于0
初中的三大非负数类型： 、 、
【即学即练1】
1．已知❑√a+2+❑√b−1=0，那么（a+b）2025＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
【即学即练2】
2．若|a+1|+b2−4b+4+❑√c+3=0，则a+b3+c2的算术平方根（ ）
A．4 B．16 C．±4 D．﹣4
知识点02 的性质
1. 的性质：
一个非负数的算术平方根的平方等于 。即 。
【即学即练1】
3．若a=(❑√5) 2，则a＝（ ）
A．❑√5 B．±❑√5 C．±5 D．5
【即学即练2】
4．(−❑√2025) 2= ．
知识点03 的性质
1. 的性质：
一个数的平方的算术平方根等于 。即 。再根据a的正负去绝对值符
号。
【即学即练1】5．化简：❑√(3−π) 2= ．
【即学即练2】
6．如图，数轴上点A表示的数为a，化简❑√a2+❑√(a−5) 2的值是 ．
【即学即练3】
7．若❑√(2a−3) 2=3−2a，则a的取值范围是 ．
【即学即练4】
8．若❑√(2a−3) 2=2a−3成立，则a的取值范围是 ．
【即学即练5】
9．已知❑√18n是正整数，则正整数n的最小值是 ．
题型01 二次根式的性质
【典例1】下列各式中运算正确的是（ ）
A．❑√(−2) 2=−2 B．❑√49=±7
C．❑√(−4) 2=±4 D．−❑√(−3) 2=−3
【变式1】下列各式中，正确的是（ ）
A．❑√(−5) 2=−5 B．−❑√52=−5
C．❑√(±5) 2=±5 D．❑√52=±5
【变式2】若a+|a|＝0，则❑√(a+1) 2+❑√(a−1) 2的值是（ ）
A．2 B．﹣2a C．2或﹣2a D．2a
题型02 二次根式的非负性
【典例1】已知❑√a−3+❑√b−8=0，则（a﹣b）2的平方根是 ．
【变式1】若(x−2) 2+❑√y+5+|z+1|=0，则xyz的值是（ ）
A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3
【变式2】若❑√a+2+4b2−4b+1=0，则a2023•b2024＝ ．
题型03 利用二次根式的性质化简
【典例1】已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简❑√a2−|a+b|+❑√(c−a) 2+|b+c|=（ ）A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a
【变式1】若﹣1≤x≤7，化简：❑√x2−14x+49−❑√x2+2x+1= ．
【变式2】若2、5、n为三角形的三边长，则化简❑√(3−n) 2+❑√(8−n) 2的结果为（ ）
A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5
【变式3】已知a，b，c为三角形的三边，则❑√(a+b−c) 2+❑√(b−c−a) 2+❑√(b+c−a) 2= ．
题型04 利用二次根式的性质求取值范围
【典例1】若❑√(a−5) 2=5−a，则a的取值范围是（ ）
A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5
【变式1】若❑√(a−5) 2=a﹣5，则a的取值范围是（ ）
A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5
【变式2】如果❑√(3a−1) 2=1﹣3a，则（ ）
1 1 1 1
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥
3 3 3 3
题型05 根据二次根式是整数求值
【典例1】若❑√10−a是有理数，则满足条件的最大正整数a的值是 ．
【变式1】已知二次根式❑√12n的值是正整数，其中n为整数，则n的最小值为 ．
【变式2】已知n是一个正整数，❑√75n是整数，那么n的最小值为 ．1．下列计算正确的是（ ）
A．❑√a2=a B．❑√(−a) 2=±a
C．❑√a4=a2 D．❑√a2+❑√b2=a+b
2．《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即c=❑√a2+b2（a为“勾”，b为
“股”，c为“弦”）．若“勾”为2，“股”为3，则“弦”在如图所示数轴上可表示在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
3．已知(x−1) 2+❑√y−2=0，则（x﹣y）2025的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023
4．若2＜a＜3，则❑√(2−a) 2−❑√(3−a) 2=（ ）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5
5．若❑√(a+1) 2=−a−1，则a的值可以是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2
6．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：❑√a2+❑√(a−b) 2+❑√b2=（ ）
A．2a B．0 C．2a﹣2b D．2b
7．如果一个三角形的三边长分别为3、a、7，则❑√(a−4) 2−❑√(a−11) 2化简后为（ ）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．15﹣2a
√ 1 1
8．当0＜a＜1时，化简❑(a− ) 2− =（ ）
a a
2 2
A．a B．﹣a C．a− D． −a
a a
9．已知y=❑√(x−2) 2−x+4，当x分别取1，2，3，⋯，2025时，所对应y值的总和是（ ）
A．2027 B．2025 C．4048 D．4052
10．化简❑√ 23−6❑√10+4❑√3−2❑√2的结果是（ ）
A．3+❑√2 B．3−2❑√2 C．3+2❑√2 D．3−❑√2
11．计算：❑√(−2) 2+(❑√5) 2= ．
12．若❑√(5−a) 2+5=a，则a的取值范围是 ．
13．二次根式❑√24a是一个整数，那么正整数a的最小值是 ．
14．若1＜x＜2，化简❑√x2−2x+1−❑√x2−4x+4= ．15．已知|❑√x2+ y−1|+ y2−4|y|+4=0，且xy＜0，则xy＝ ．
16．通过计算下列各式的值探究问题：
（1）①❑√42= ；❑√02=0；
②❑√(−2) 2= ，
探究：对于任意负有理数a，❑√a2= ．
综上，对于任意有理数a，❑√a2= ．
（2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示．
化简：❑√a2−❑√b2−❑√(a−b) 2+|a+b|．
17．阅读理解：阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答：
化简：(❑√1−3x) 2−|1−x|．
1
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得x≤ ．
3
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．
启发应用：已知△ABC三条边的长度分别是❑√x+1，❑√(5−x) 2，4−(❑√4−x) 2．记△ABC的周长为
C△ABC ．
（1）若x＝2，求C△ABC 的值；
（2）请用含x的代数式表示△ABC的周长C△ABC （结果要求化简），并写出x的取值范围．18．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就
❑√b ❑√b ❑√3 ❑√x−1
会出现类似 的形式，我们把形如 的式子称为根分式，例如 ， 都是根分式．
a a 2 x
a ❑√3 ❑√a2+3
（1）下列式子中① ，② ，③ ， 是根分式（填写序号即可）；
a2+1 ❑√x+1 2
❑√x−1
（2）写出根分式 中x的取值范围 ；
x−2
❑√x2−6x+7 ❑√2x−1
（3）已知两个根分式M= ，N= ，若M2﹣N2＝1，求x的值．
x−2 x−2
19．（1）当2≤a≤5时，化简；❑√(a−2) 2+❑√(a−5) 2= ；
（2）若❑√(a+1) 2+❑√(a−5) 2=8，求a的值；
（3）已知实数a，b满足❑√(1−a) 2+|b+3|=9−❑√(a+4) 2−|b−1|，求a2+b2的最大值．20．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习
了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如3=(❑√3) 2 ；5=(❑√5) 2 ，下面我们观察：
(❑√2−1) 2=(❑√2) 2 −2×1×❑√2+12=2−2❑√2+1=3−2❑√2，反之，3−2❑√2=2−2❑√2+1=(❑√2−1) 2
∴3−2❑√2=(❑√2−1) 2 ，∴❑√3−2❑√2=❑√2−1．根据以上材料，求：
（1）❑√5+2❑√6；
（2）❑√4−❑√12；
（3）若❑√a±2❑√b=❑√m±❑√n，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
