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专题19 七上期末复习易错题集合
一．选择题（共17小题）
1．（2021秋•洛阳期末）下列各式中，相等的是（ ）
A．23和32 B．﹣（﹣2）和﹣|﹣2| C．（﹣2）3和|﹣2|3 D．（﹣3）3和﹣33
【分析】依据有理数的乘方法则进行计算，即可得到正确选项．
【解答】解：A.23＝8，32＝9，故不合题意；
B．﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣2|＝﹣2，故不合题意；
C．（﹣2）3＝﹣8，|﹣2|3＝8，故不合题意；
D．（﹣3）3＝﹣33＝﹣27，符合题意；
故选：D．
2．（2021秋•洛阳期末）在2022年1月份的月历表中，任意框出表中竖列上或者横行上相邻的三个数，
请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（ ）
日 一 二 三 四 五 六
1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31
A．72 B．60 C．51 D．40
【分析】一竖列上相邻的三个数的关系是：上面的数总是比下面的数小 7．可设中间的数是x，则上面
的数是x﹣7，下面的数是x+7．则这三个数的和是3x，因而这三个数的和一定是3的倍数；一横行上相
邻的三个数的关系是：左面的数总是比右面的数小1．可设中间的数是x，则左面的数是x﹣1，右面的
数是x+1．则这三个数的和是3x，因而这三个数的和一定是3的倍数．
【解答】解：①框出表中竖列上相邻的三个数，
设中间的数是x，则上面的数是x﹣7，下面的数是x+7．
则这三个数的和是（x﹣7）+x+（x+7）＝3x，
当3x＝72时，x＝24，这三个数分别是17、24、31，故不符合题意；
当3x＝60时，x＝20，这三个数分别是13、20、27，故不符合题意；
当3x＝51时，x＝17，这三个数分别是10、17、24，故不符合题意；
当3x＝40时，x不是正整数，故符合题意；②框出表中横行上相邻的三个数，
设中间的数是x，则左面的数是x﹣1，右面的数是x+1．
则这三个数的和是（x﹣1）+x+（x+1）＝3x，
因而这三个数的和一定是3的倍数．
当3x＝72时，x＝24，这三个数分别是23、24、25，故不符合题意；
当3x＝60时，x＝20，这三个数分别是13、20、27，故不符合题意；
当3x＝51时，x＝17，这三个数分别是16、17、18，故不符合题意；
当3x＝40时，x不是正整数，故符合题意；
故选：D．
3．（2021秋•霍邱县期末）如图，∠AOB是直角，OD是∠AOB内的一条射线，OE平分∠BOD，若
∠BOE＝23°，则∠AOD的度数是（ ）
A．46° B．44° C．54° D．67°
【分析】首先根据OE平分∠BOD，∠BOE＝23°，求出∠BOD的度数是多少；然后根据∠AOB是直角，
求出∠AOD的度数即可．
【解答】解：∵OE平分∠BOD，∠BOE＝23°，
∴∠BOD＝23°×2＝46°；
∵∠AOB是直角，
∴∠AOD＝90°﹣46°＝44°．
故选：B．
4．（2019秋•洛阳期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 …这样的数称为“三角形数”，而
把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于 1的“正方形数”都可
以看作两个相邻“三角形数”之和．则下列符合这一规律的等式是（ ）
A．20＝4+16 B．25＝9+16 C．36＝15+21 D．40＝12+28
【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21…“正方形数”的规律为1、4、9、16、25…
根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形
数”之和．可得出最后结果．
【解答】解：根据题目中的已知条件结合图象可以得到任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个
相邻“三角形数”之和，再观察出“三角形数”和“正方形数”的变化规律，
可以再写出一个符合这一规律的等式：36＝15+21，
故选：C．
5．（2021秋•红花岗区期末）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是 2厘米，若在这个数轴
上随意画出一条长2022厘米的线段CD，则线段CD盖住的整点个数有（ ）
A．1011个 B．1010个
C．1010个或1011个 D．1011个或1012个
【分析】分线段的端点与整数点重合、不重合两种情况进行计算即可．
【解答】解：∵2022÷2＝1011，
当长2022厘米的线段AB的端点A与整数点重合时，两端与中间的整数点共有1012个，
当长2022厘米的线段AB的端点A不与整数点重合时，中间的整数点只有1011个，
故选：D．
6．（2021秋•洛阳期末）如图，A，B两地之间有一条东西走向的道路．在A地的东边5km处设置第一个
广告牌，之后每往东12km就设置一个广告牌．一辆汽车从A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n
个广告牌时，此车所行驶的路程为（ ）
A．（12n+7）km B．（12n+5）km C．（12n﹣7）km D．（12n﹣5）km
【分析】根据题意和图形，可以用代数式表示出这辆汽车行驶的路程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
一汽车在A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为：5+12（n﹣1）
＝（12n﹣7）km，
故选：C．
7．（2021秋•开封期末）如图是一个运算程序：若第一次输入 a的值为8，则2022次输出的结果是
（ ）A．4 B．2 C．1 D．0
【分析】将a＝8代入，根据输出数的规律可知答案．
【解答】解：将当第一次输入的数是a＝8时，
第一次输出0.5×8＝4，
第二次输出0.5×4＝2，
第三次输出0.5×2＝1，
第四次输出1+3＝4，
第五次输出0.5×4＝2，
第六次输出0.5×2＝1，
第七次输出1+3＝4，
第八次输出0.5×4＝2，
第九次输出0.5×2＝1.....．
可以发现，输出结果以4，2，1为一个循环，
∵2022÷3＝674，
∴第2022次输出的数是1，
故选：C．
8．（2021秋•红花岗区期末）定义一种新运算a b＝（a+b）×2﹣b．如：2 3＝（2+3）×2﹣3＝7．计算
（﹣5） 3的值为（ ） ⊙ ⊙
A．﹣7⊙ B．﹣1 C．1 D．﹣4
【分析】根据a b＝（a+b）×2﹣b，可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵⊙a b＝（a+b）×2﹣b，
∴（﹣5） 3 ⊙
⊙＝（﹣5+3）×2﹣3
＝（﹣2）×2﹣3
＝﹣4﹣3
＝﹣7，
故选：A．
9．（2021秋•仁怀市期末）某小区的一块正方形空地（即ABCD），为了不让该地空着，现将该空地分成
三块长方形（如图所示），分别种上三种不同花草，经测量BE＝2.5m，AG＝3m，通过计算发现长方形
AEHG的面积与长方形BCFE的面积相等，那么长方形DGHF的面积为（ ）
A．37.5m2 B．45m2 C．75m2 D．150m2
【分析】先求正方形边长，再求长方形面积．
【解答】解：设正方形ABCD的边长为xm，则：AE＝（x﹣2.5）m，GD＝（x﹣3）m．
∵长方形AEHG的面积与长方形BCFE的面积相等，
∴3（x﹣2.5）＝2.5x．
解得：x＝15．
∴长方形GDHF的面积＝GD•GH＝（x﹣3）•（x﹣2.5）＝12×12.5＝150（m2）．
故选：D．
10．（2021秋•仁怀市期末）如图是用棋子摆成“仁”字型的一组图形．
按照这种规律摆下去，第n个“仁”字型图形中所用棋子的个数为（ ）
A．4n+7 B．6n+5 C．9n+2 D．12n﹣1
【分析】由图形的变化可知，第①个图形有棋子数为：11，第②个图有棋子数为：15，则可总结出第
n个图形有棋子的个数．
【解答】解：∵第①个图形有棋子数为：11＝2×3+2+3＝3×3+2，
第②个图有棋子数为：15＝2×4+3+4＝3×4+3，第③个图有棋子数为：19＝2×5+4+5＝3×5+4，
..．
∴第n个图有棋子数为：3（n+2）+n+1＝4n+7，
故选：A．
11．（2021秋•仁怀市期末）三个有理数a，b，c在数轴上表示的位置如图所示，则化简|b﹣a|﹣|a+c|﹣|b
﹣c|的结果是（ ）
A．0 B．2b C．2c D．﹣2a
【分析】根据a，b在数轴上的位置关系判断b﹣a＞0，a+c＜0，b﹣c＜0，再根据去绝对值法则去掉绝
对值，最后去括号、合并同类项．
【解答】解：根据a，b在数轴上的位置关系可得：b﹣a＞0，a+c＜0，b﹣c＜0，
∴|b﹣a|﹣|a+c|﹣|b﹣c|
＝（b﹣a）﹣（﹣a﹣c）﹣（﹣b+c）
＝b﹣a+a+c+b﹣c
＝2b．
故选：B．
12．（2022•娄底模拟）2021的绝对值是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的意义，正数的绝对值是它本身即可求出答案．
【解答】解：2021的绝对值即为：|2021|＝2021．
故选：A．
13．（2021秋•岳麓区校级期末）下列结论：①若a≠b，那么a2≠b2；②若|a|＞|b|，那么a＞b；③若a
＞|b|，那么a2＞b2；④若a2＞b2，那么a＞b；⑤|a|+|b|＝|a+b|，则ab＞0，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】应用有理数的乘法，绝对值及有理数的加法进行判定即可得出答案．
【解答】解：①当a＝2，b＝﹣2时，a≠b，则a2＝4，b2＝4，a2＝b2，所以①结论不正确；
②当a＝﹣4，b＝﹣3时，|a|＞|b|，但a＜b，所以②结论不正确；
③当a＞|b|时，因为|b|≥0，所以a2＞b2，所以③结论正确；
④当a＝﹣2，b＝1时，a2＝4，b2＝1，a2＞b2，但a＜b，所以④结论不正确；⑤当a，b同号时，|a|+|b|＝|a+b|，则ab＞0，所以⑤结论正确．
结论正确的有③⑤共2个．
故选：B．
14．（2022•丽水模拟）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；
二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无
车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（ ）
A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2x+9
C． D．3（x﹣2）＝2（x+9）
【分析】设车x辆，根据乘车人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设车x辆，
根据题意得：3（x﹣2）＝2x+9．
故选：B．
15．（2021秋•大同期末）比较﹣ ，﹣2， 的大小，结果正确的是（ ）
A． ＜ ＜﹣2 B． C．﹣2＜﹣ ＜ D．﹣2＜ ＜﹣
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个
负数不就大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵|﹣ |＝ ，|﹣2|＝2，而 ，
∴ ．
故选：C．
16．（2021秋•大同期末）已知∠AOB＝60°，自∠AOB的顶点O引射线OC，若∠AOC：∠AOB＝1：4，
那么∠BOC的度数是（ ）
A．48° B．45° C．48°或75° D．45°或75°
【分析】分两种情况求解：①当OC在∠AOB内时；②当OC在∠AOB外时；分别画图求出∠BOC即
可．
【解答】解：如图1，当OC在∠AOB内时，
∵∠AOC：∠AOB＝1：4，∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝15°，∴∠BOC＝45°；
如图2，当OC在∠AOB外时，
∵∠AOC：∠AOB＝1：4，∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝15°，
∴∠BOC＝75°；
∴∠BOC＝45°或75°，
故选：D．
17．（2021秋•瓦房店市期末）如图，在 4×4的方格中，大正方形的边长为 4a，则阴影部分的面积是（
）
A． B．19a2 C． D．13a2
【分析】用大正方形的面积减去两个白色的三角形的面积即可得到答案．
【解答】解：根据题意，得：
阴影部分的面积＝（4a）2﹣ ×a×4a﹣
＝16a2﹣2a
＝ a2．故选：A．
二．填空题（共12小题）
18．（2021秋•洛阳期末）已知∠ 的补角的度数为125°12'，则∠ 的余角的度数是 35°1 2 ′ ．
【分析】由补角的定义可得出∠α 的度数，再根据余角的定义，α用90°﹣∠ 的度数即可．
【解答】解：∵180°﹣125°12'＝5α4°48′， α
∴90°﹣54°48′＝35°12′．
故答案为：35°12′．
19．（2021秋•长沙期末）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，p的绝对值等于2，则关于x的方程
（a+b）x2+3cd•x﹣p2＝0的解为x＝ ．
【分析】由相反数得出a+b＝0，由倒数得出cd＝1，由绝对值得出p＝±2，然后将其代入关于x的方程
（a+b）x2+3cd•x﹣p2＝0中，从而得出x的值．
【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，p的绝对值等于2，
∴a+b＝0，cd＝1，p＝±2，
将其代入关于x的方程（a+b）x2+3cd•x﹣p2＝0中，
可得：3x﹣4＝0，
解得：x＝ ．
20．（2021秋•陵水县期末）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，则这个角＝ 4 0 °．
【分析】可先设这个角为∠ ，则根据题意可得关于∠ 的方程，解即可．
【解答】解：设这个角为∠α，依题意， α
得180°﹣∠ +10°＝3（90°﹣α∠ ）
解得∠ ＝40α°． α
故答案α为40．
21．（2021秋•瓦房店市期末）计算：1﹣2+3﹣4+5﹣6+…﹣2020+2021﹣2022＝ ﹣ 101 1 ．
【分析】所求的式子可以整理为：（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+…﹣2020+（2021﹣2022），从而可
求解．
【解答】解：1﹣2+3﹣4+5﹣6+…﹣2020+2021﹣2022
＝（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+…﹣2020+（2021﹣2022）
＝﹣1+（﹣1）+（﹣1）+…+（﹣1）
＝﹣1×1011＝﹣1011．
故答案为：﹣1011．
22．（2021秋•洛阳期末）规定计算机按如图所示程序工作，如果输出的数是 125，那么输入的自然数是
11 或 30 ．
【分析】根据程序图列式计算．
【解答】解：当输出的数为125时，
125÷5+5＝25+5＝30，
30÷5+5＝6+5＝11，
11不能被5整除，
∴输入的自然数是11或30，
故答案为：11或30．
23．（2021秋•永吉县期末）单项式 的系数为m，次数为n，则4mn的值为 ．
【分析】根据单项式的系数是数字部分，可得系数m，根据单项式的次数是字母指数和，可得次数n，
代入计算可得答案．
【解答】解：∵单项式 的系数为m，次数为n，
∴m＝﹣ ，n＝1+2＝3，
∴4m•n＝4×（﹣ ）×3＝﹣ ，
故答案为：﹣ ．
24．（2021秋•红花岗区期末）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为﹣4，则输出的值为 2 8 ．【分析】把﹣4代入程序中计算即可确定出输出结果．
【解答】解：把﹣4代入程序中得：（﹣4）2＝16＞10，则有4×（16﹣9）＝28，
故答案为：28
25．（2019秋•洛阳期末）如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形
纸片上剪去一个宽为5cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原来的正方形的面积是
400 cm2．
【分析】设正方形的边长为xcm，根据题意列出方程即可求出答案．
【解答】解：设正方形的边长为xcm，
由题意可知：5（x﹣4）＝4x，
解得：x＝20，
∴该正方形的面积为：202＝400cm2，
故答案为：400．
26．（2021秋•永吉县期末）如图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方
体的左面与右面所标注式子的值相等，则x的值为 ．
【分析】根据正方体的表面展开图的特征，判断相对的面，再根据题意列方程求解即可．
【解答】解：由正方体的表面展开图的特征可知：
当前面是“A”，则左面为“x﹣3”，右面为“3x﹣2”，
由题意得，
x﹣3＝3x﹣2，
解得x＝﹣ ，故答案为：﹣ ．
27．（2021秋•红花岗区期末）小明发现一种方法来扩展数，并称这种方法为“亮化”，步骤如下（以﹣
20为例）：①写出一个数：﹣20；②将该数加2，得到数：﹣18；③将上述两数依序合并在一起，得
到第一次亮化后的一组数：[﹣20，﹣18]；④将[﹣20，﹣18]各项加2，得到[﹣18，﹣16]，再将这两组
数依序合并，可得第二次亮化后的一组数：[﹣20，﹣18，﹣18，﹣16]；…按此步骤，不断亮化，会得
到一组数：[﹣20，﹣18，﹣18，﹣16，﹣18，﹣16，﹣16，﹣14，⋯]，则这组数的第132个数是 ﹣
14 ．
【分析】首先根据题意确定每一次亮化后的具体数量，然后再根据变化规律找到数字．
【解答】解：根据题意得：
第一次亮化之后为：[﹣20，﹣18]，为2位为21；
第二次亮化之后为：[﹣20，﹣18，﹣18，﹣16]，为4位为22；
第三次亮化之后为：[﹣20，﹣18，﹣18，﹣16，﹣18，﹣16，﹣16，﹣14]，为8位为23；
第四次亮化之后位：[﹣20，﹣18，﹣18，﹣16，﹣18，﹣16，﹣16，﹣14，﹣18，﹣16，﹣16，﹣
14，﹣16，﹣14，﹣14，﹣12]，为16位为24；
128＝27，第7次亮化为64个数字，第132个数为第7次亮化后第4个数字加2得到，
所以，﹣16+2＝﹣14．
故答案为：﹣14．
28．（2021•鹿城区校级自主招生）一个幻方中，每一行，每一列，及每一对角线上的三个数之和有相同
的值，如图所示已知一个幻方中的三个数，x的值是 2 6 ．
【分析】由题意可先得到右上角的数为28，由于要求每一行，每一列，及每一对角线上的三个数之和
有相同的值，所以中央的数是右上角与左下角的数的平均数，故可求得x的值．
【解答】解：右上角的数为：22+27+x﹣x﹣21＝28，
中央数为：（22+28）÷2＝25，
故x+27+22＝22+25+28，
解得：x＝26．
故本题答案为：26．29．（2021秋•瓦房店市期末）一次有奖问答活动中，设计了25道题，答对一道得4分，不答或答错一道
题扣1分，同学甲25道题全答完，结果得了70分，则他答对了 1 9 道．
【分析】题目中的相等关系为：①答对题得分﹣答错题得分＝70分；②答对题的道数+答错题的道数
＝25道．故可令答对了x道题，则答错了（25﹣x）道题，再运用①列出方程求解即可．
【解答】解：设同学甲答对了x道题，则不答或答错了（25﹣x）道题，
由题意可得：4x﹣（25﹣x）×1＝70，
解之得：x＝19，
∴他答对19道题．
故答案是：19．
三．解答题（共20小题）
30．（2021秋•洛阳期末）计算：
（1）﹣24﹣（﹣1）2021﹣|﹣9|；
（2）﹣8×（﹣ ）2+（ ﹣ ）÷（﹣ ）．
【分析】（1）原式先算乘方及绝对值，再算加减即可得到结果；
（2）原式先算乘方，再算乘法，最后算加减即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝﹣16﹣（﹣1）﹣9
＝﹣16+1﹣9
＝﹣15﹣9
＝﹣24；
（2）原式＝﹣8× +（ ﹣ ）×（﹣24）
＝﹣2+ ×（﹣24）﹣ ×（﹣24）
＝﹣2﹣16+15
＝﹣3．
31．（2021秋•开封期末）计算题：
（1） ﹣ +（﹣ ）；
（2）﹣12022﹣23﹣（1﹣32）×（﹣ ）2．
【分析】（1）先化简符号，再计算即可；（2）先算乘方，再算括号内的和乘法，最后算加减．
【解答】解：（1）原式＝ ﹣ ﹣
＝0；
（1）原式＝﹣1﹣8﹣（1﹣9）×
＝﹣1﹣8﹣（﹣8）×
＝﹣1﹣8+18
＝9．
32．（2021秋•洛阳期末）如果关于x的方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解与方程 的解相
同，求字母a的值．
【分析】分别求解两个方程，再由同解方程可得﹣ a＝10，即可求a的值．
【解答】解：4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1，
4x﹣3a﹣1＝6x+2a﹣1，
﹣2x＝5a，
x＝﹣ a，
，
2（x﹣4）﹣48＝﹣3（x+2），
2x﹣8﹣48＝﹣3x﹣6，
5x＝50，
x＝10，
∵两个方程的解相同，
∴﹣ a＝10，
∴a＝﹣4．
33．（2021秋•洛阳期末）列方程解应用题：
某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向
客户提供两种优惠方案：方案一：买一条裤子送一件T恤；
方案二：裤子和T恤都按定价的80%付款．
现某客户要购买裤子30件，T恤x件（x＞30）：
（1）按方案一、购买裤子和T恤共需付款 （ 5 0 x +150 0 ） 元（用含x的式子表示）；
按方案二，购买裤子和T恤共需付款 （ 4 0 x +240 0 ） 元（用含x的式子表示）；
（2）计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？
（3）若两种优惠方案可同时使用，当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？若能，请直接
写出该购买方案下共需付款数目．
【分析】（1）根据已知，分方案一、方案二分别列出代数式即可；
（2）根据（1）中的代数式列方程，即可解得答案；
（3）用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，即可得到共需付款数目．
【解答】解：（1）购买裤子30件，T恤x件，按方案一共需付款100×30+50（x﹣30）＝（50x+1500）
元，
按方案二共需付款30×100×80%+50x×80%＝（40x+2400）元，
故答案为：（50x+1500），（40x+2400）；
（2）根据题意得：50x+1500＝40x+2400，
解得x＝90，
答：购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样；
（3）能给出一种更为省钱的购买方案：用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件
T恤，共需付款30×100+50×（40﹣30）×80%＝3400（元），
∴共需付款3400元．
34．（2021秋•开封期末）如图的数轴，
（1）数轴上的点C表示的数为 ﹣ 2 ．
（2）数轴上表示与原点的距离为1个单位长度的点为 P 点， E 点 ．
（3）若表示数m的点在原点的左边，|m|＝ ﹣ m ，|m|表示的几何意义为 m 到原点的距离 ．
（4）若a，b两数在数轴上对应的点分别为A，B．请化简|a|﹣|a+b|+|3﹣b|．
【分析】（1）由数轴可以直接得出数值，C点所对应的数值为﹣2；
（2）理解点和点之间距离的意思，很显然P点、E点到原点的距离为1；（3）数轴上可以表示任何有理数，去掉绝对值与零有关系，即|a|＝ ，一个数的绝对值表
示这个数到原点的距离；
（4）根据数与零的大小关系去掉绝对值符号，合并化简．
【解答】解：（1）C点所对应的数值为﹣2，
故答案为﹣2；
（2）观察数轴可知P点、E点到原点的距离为1，
故答案为P点、E点；
（3）表示数m的点在原点的左边，则m＜0，|m|＝﹣m，
故答案为﹣m；
（4）|a|﹣|a+b|+|3﹣b|＝﹣a+a+b+3﹣b＝3．
35．（2021秋•红花岗区期末）如图所示是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题：
（1）A对面的字母是 D ，F对面的字母是 B ；（请直接填写答案）
（2）已知A＝﹣x+3，B＝﹣2x﹣5，C＝﹣6， ， ， ．若字母A表示
的数与它对面的字母表示的数互为相反数，字母C表示的数与它对面的字母表示的数互为倒数，求xy的
值．
【分析】（1）根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，即可解答；
（2）根据相反数，倒数的意义可得 ， ，然后进行计算可得x
＝2，y＝5，最后再代入到式子中进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
A与D是相对面，C与E是相对面，
∴B与F是相对面，
故答案为：D；B；（2）由题意有： ， ，
解得：x＝2，y＝5，
∴xy＝25＝32，
∴xy的值为32．
36．（2021秋•仁怀市期末）如图所示，已知线段m和A，B，C，D四点在同一平面内，请根据下列要求
画图（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）作线段CD、直线AC；
（2）作射线BA并在射线BA上作线段AD＝m；
（3）在以A，B，C，D为顶点的四边形内求作一点O使得OA+OB+OC+OD最小．
【分析】（1）根据线段，直线的定义画出图形即可；
（2）根据线段的定义画出图形；
（3）连接AD，BC交于点O，点O即为所求．
【解答】解：（1）如图，线段CD，直线AC即为所求；
（2）如图，线段AD即为所求；
（3）如图，点O即为所求．
37．（2021秋•长沙期末）若（m﹣3）x2|m|﹣5﹣4m＝0是关于x的一元一次方程，求m2﹣2m+1的值．
【分析】根据一元一次方程的定义，判断出x的次数为1且系数不为0，求出m的值，再代入m2﹣2m+1
即可．
【解答】解：∵（m﹣3）x2|m|﹣5﹣4m＝0是关于x的一元一次方程，
∴2|m|﹣5＝1且m﹣3≠0，解得m＝﹣3，原式＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）+1＝16．
38．（2021秋•大同期末）如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，请按下列要求画图：
（1）画线段BC；
（2）画射线AC；
（3）延长BC到D，使得BD＝2BC；
（4）在直线l上找一点M，使得AM+BM最小，并说明你的作图依据： 两点之间线段最短 ．
【分析】根据线段，直线，射线的定义，两点之间线段最短画出图形即可．
【解答】解：（1）如图，线段BC即为所求；
（2）如图，射线AC即为所求；
（3）如图，线段CD即为所求；
（4）如图，点M即为所求．理由是：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
39．（2021秋•仁怀市期末）如图所示，已知∠AOD＝30°，OD平分∠AOC，∠AOB与∠BOC互补．
（1）求∠BOC的度数；
（2）点M为∠AOB内一点，且∠BOC＝3∠COM，求∠BOM的度数．
【分析】（1）由角平分线的定义可求解∠AOC＝60°，结合补角的定义可得2∠BOC+∠AOC＝180°，计
算可求解∠BOC的度数；
（2）由∠BOC＝3∠COM可求解∠COM的度数，再分两种情况：当点M在∠BOC内部时，当点M在
∠BOC内外部时，分别计算可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOD＝30°，OD平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOD＝60°，
∵∠AOB与∠BOC互补，
∴∠AOB+∠BOC＝180°，
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，
∴2∠BOC+∠AOC＝180°，
即2∠BOC+60°＝180°，
解得∠BOC＝60°；
（2）∵∠BOC＝3∠COM，∠BOC＝60°，
∴∠COM＝20°，
当点M在∠BOC内部时，∠BOM＝∠BOC﹣∠COM＝60°﹣20°＝40°；
当点M在∠BOC内外部时，∠BOM＝∠BOC+∠COM＝60°+20°＝80°．
综上，∠BOM的度数为40°或80°．
40．（2019秋•温江区期末）（1）解方程： ＝1﹣
（2）先化简，再求值： （9ab2﹣3）+（7a2b﹣2）+2（ab2+1）﹣2a2b，其中a、b满足（a+2）2+|b﹣
3|＝0．
【分析】（1）首先去分母，然后去括号、移项、合并同类项、系数化成1即可求解；
（2）去括号、合并同类项即可化简，然后根据非负数的性质求得a和b的值，代入化简后的式子即可
求值．
【解答】解：（1）去分母，得5（x﹣1）＝15﹣3（3x+2），
去括号，得5x﹣5＝15﹣9x﹣6，
移项，得5x+9x＝15﹣6+5，
合并同类项，得14x＝14，
系数化成1得x＝1；
（2） （9ab2﹣3）+（7a2b﹣2）+2（ab2+1）﹣2a2b＝3ab2﹣1+7a2b﹣2+2a2b+2﹣2a2b
＝5ab2+5a2b﹣1，
∵（a+2）2+|b﹣3|＝0，
∴a+2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣2，b＝3．
则原式＝5×（﹣2）×9+5×4×3﹣1＝﹣31．41．（2019秋•温江区期末）方程 和方程 的解相同，求a的值．
【 分 析 】 先 依 据 解 方 程 的 步 骤 求 出 方 程 的 解 ， 将 x 的 值 代 入 方 程
，求出a的值即可．
【解答】解：解方程 ，
分母化为整数可得： ，
去分母，得：2（17﹣20x）﹣6＝8+10x，
去括号，得：34﹣40x﹣6＝8+10x，
移项、合并同类项，得：﹣50x＝﹣20，
系数化为1，得：x＝ ，
根据题意，将x＝ 代入方程 ，得： ，
，
，
，
a＝ ．
42．（2021秋•永吉县期末）A，B两地相距150千米，甲车从A地匀速行驶前往B地，每小时行驶40千米；
乙车从B地匀速行驶前往A地，每小时行驶60千米．
（1）甲、乙两车同时出发， 1. 5 小时相遇．
（2）甲、乙两车同时出发， 1. 4 或 1. 6 小时两车相距10千米．
（3）若乙车先行驶半小时，甲车再出发，求甲车出发几小时两车相遇？
【分析】（1）设甲、乙两车同时出发，x小时相遇，依据时间＝路程÷速度列出方程即可解答，
（1）分两种情况：相遇前两车相距10千米和相遇后两车相距10千米．
（2）设甲车出发y小时后两车相遇，根据A、B两地距离是150米列出方程并解答．
【解答】解：（1）设甲、乙两车同时出发，x小时相遇，依题意得：（60+40）x＝150，
解得x＝1.5，
即甲、乙两车同时出发，1.5小时相遇，
故答案为：1.5；
（2）设甲、乙两车同时出发，n小时后两车相距10千米，
①相遇前两车相距10千米，
依题意得：（60+40）n+10＝150，
解得n＝1.4，
即甲、乙两车同时出发，1.4小时后两车相距10千米；
②相遇后两车相距10千米，
依题意得：（60+40）n﹣10＝150，
解得n＝1.6
即甲、乙两车同时出发，1.6小时后两车相距10千米；
综上所述，甲、乙两车同时出发，1.4或1.6小时后两车相距10千米，
故答案为：1.4或1.6；
（3）设甲车出发y小时两车相遇，根据题意，得
40y+60y+60×0.5＝150．
解得 x＝1.2．
∴甲车出发1.2小时两车相遇．
43．（2019秋•洛阳期末）为了加强市民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯收费的调控手段以
达到节水的目的，该市自来水收费价目表如下：
每月用水量 注：水费按月结算，每户每月
须缴纳5元污水处理费
不超过6m3的部分 2元/m3
超过6m3且不超过10m3的部 3元/m3
分
超过10m3的部分 5元/m3
若某户居民1月份用水8m3，则应缴费2×6+3×（8﹣6）+5＝23（元）
（1）若用户4月份共用水9.5m3，则需缴费 27. 5 元；
（2）若该户居民某月缴费54元，则该户居民该月用水多少吨？【分析】（1）根据表格中的收费标准，求出水费即可；
（2）根据缴费54元，可得该户居民用水量超过10m3，列出方程即可求解．
【解答】解：（1）2×6+3×（9.5﹣6）+5
＝12+10.5+5
＝27.5（元）．
答：需缴费27.5元．
故答案为：27.5；
（2）设该户居民该月用水x吨，依题意有
2×6+3×（10﹣6）+5（x﹣10）+5＝54，
解得x＝15．
故该户居民该月用水15吨．
44．（2021秋•定州市期末）在手工制作课上，老师组织七年级2班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七
年级2班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底
120个．
（1）七年级2班有男生、女生各多少人？
（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与
筒底能配套吗？如果不配套，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
【分析】（1）设七年级2班有男生有x人，则女生有（x+2）人，根据题意可得等量关系：男生人数
+女生人数＝50，根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）分别计算出24名男生和6名女生剪出的筒底和筒身的数量，可得不配套；设男生应向女生支援y
人，根据制作筒底的数量＝筒身的数量×2，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：（1）设七年级2班有男生有x人，则女生有（x+2）人，由题意得：
x+x+2＝50，
解得：x＝24，
女生：24+2＝26（人），
答：七年级2班有男生有24人，则女生有26人；
（2）男生剪筒底的数量：24×120＝2880（个），
女生剪筒身的数量：26×40＝1040（个），
因为一个筒身配两个筒底，2880：1040≠2：1，
所以原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套，设男生应向女生支援y人，由题意得：
120（24﹣y）＝（26+y）×40×2，
解得：y＝4，
答：男生应向女生支援4人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
45．（2021秋•红花岗区期末）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出
它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然
后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到
，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于 可以用裂项的方法变形
为： ．类比上述方法，解决以下问题．
【类比探究】（1）猜想并写出： ＝ ；
【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算： ；
【迁移应用】（3）探究并计算： ．
【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想；
（2）根据式子的特点，采用裂项抵消法可以解答本题；
（3）将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题．
【解答】解：（1） ＝ ，
故答案为： ；
（2）由（1）易得：
＝
＝
＝ ；（3） +
＝﹣ ×（ + + + +…+ ）
＝﹣ ×（1﹣ + +…+ ）
＝﹣ ×（1﹣ ）
＝﹣ ×
＝﹣ ．
46．（2021秋•岳麓区校级期末）在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若 x 是关于x的一元一次方
0
程ax+b＝0（a≠0）的解，y 是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x ，y 满足x +y ＝99，则称关
0 0 0 0 0
于y的方程为关于x的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程3x﹣2x﹣98＝0的解是x ＝
0
98，方程|y|+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，当y ＝1，x +y ＝99，所以|y|+1＝2为一元一次方程3x﹣
0 0 0
2x﹣98＝0的“久久方程”．
（1）已知关于y的方程：
①2y﹣2＝4，②|y|＝2，其中哪个方程是一元一次方程3（x﹣1）＝2x+98的“久久方程”？请直接写
出正确的序号 ② ．
（2）若关于y的方程|2y﹣2|+2＝4是关于x的一元一次方程x﹣ 的“久久方程”，请求出a
的值．
（3）若关于y的方程a|y﹣49|+a+b＝ 是关于x的一元一次方程ax+50b＝55a的“久久方程”，
求出 的值．
【分析】（1）先求出一元一次方程3（x﹣1）＝2x+98的解，再解出2y﹣2＝4和|y|＝2，根据“久久方
程”的定义判断即可；
（2）解出|2y﹣2|+2＝4的解，再解出x﹣ 的解是x＝2a+3，分类讨论，令x +y ＝99，即可
0 0
求出a的值；
（3）先解出一元一次方程ax+50b＝55a的解，再根据x +y ＝99表示出y，将y代入到方程a|y﹣49|+a+b
0 0＝ 中化简即可．
【解答】解：（1）3（x﹣1）＝2x+98的解为x ＝101，
0
方程2y﹣2＝4的解是y＝3，x +y ≠99；故不是“久久方程”；
0 0
方程|y|＝2的解是y＝2或y＝﹣2，当y ＝﹣2时，x +y ＝99，故是“久久方程”，
0 0 0
故答案是：②；
（2）方程|2y﹣2|+2＝4的解是y＝2或y＝0，一元一次方程x﹣ 的解是x＝2a+3，
若y ＝0，x +y ＝100，则2a+3+0＝99，解得a＝48；
0 0 0
若y ＝2，x +y ＝100，则2a+3+2＝99，解得a＝47；
0 0 0
答：a的值为48或47；
（3）解方程ax+50b＝55a，得x＝ ＝55﹣ ，
∵x +y ＝99，
0 0
∴y ＝99﹣x＝44+ ，
0
∵a|y﹣49|+a+b＝
∴a|55+ ﹣49|+a+b＝ ，
整理得a|44+ |＝0，
∵分母a不能为0；
∴44+ ＝0，即 ＝﹣ ；
∴ ＝ +1＝﹣ +1＝﹣ ．
答： 的值为﹣ ．
47．（2021秋•东港区期末）某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，加价50%作为售价；
乙种商品每件进价50元，售价80元．
（1）甲种商品每件售价为 6 0 元，乙种商品每件的利润为 3 0 元，利润率为 6 0 %．
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
（3）在“双十一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 按售价打9折
超过600元 其中600元部分8.2折优惠，超过600元部分
3折优惠
按上述优惠条件，若小梅一次性购买乙种商品实际付款504元，则此次小梅在该商场最多购买乙种商品
8 件．
【分析】（1）直接由“售价＝进价×（1+50%）”、“单件利润＝售价﹣进价”、“利润率＝
×100%”计算即可得到答案；
（2）先设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，然后结合条件列出方程，最后计算得到x
的值，即可得到甲、乙两种商品的数量；
（3）先设小梅购买乙种商品a件，然后根据乙种商品原来的钱进行分类讨论，再根据实际付款列出方
程求得a的值，最后得到结果．
【解答】解：（1）由题意得，
甲种商品每件售价为40×（1+50%）＝60（元），
乙种商品每件的利润为80﹣50＝30（元），
乙种商品的利润率为 ×100%＝60%，
故答案为：60，30，60．
（2）设购进甲种商品x件，则购进甲种商品（50﹣x）件，根据题意，得
40x+50（50﹣x）＝2100，
解得 x＝40，
乙种商品件数为50﹣x＝50﹣40＝10（件），
答：购进甲种商品40件，则购进甲种商品10件．
（3）设小梅购买乙种商品a件，则共需（80a）元，
①当80a≤450时，不符合题意，舍去；
②当450＜80a≤600时，0.9×80a＝504，解得：a＝7，经检验，符合题意；
③当80a＞600时，600×0.82+0.3（80a﹣600）＝504，
解得：a＝8，经检验，符合题意；
∵8＞7，
∴此次小梅在该商场最多购买乙种商品8件．
故答案为：8．
48．（2021秋•五莲县期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，将一块直角三角板的直角顶点放在O
处（注：∠DOE＝90°）．
（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，且∠BOC＝60°，求∠COE的度数；
（2）如图②，将三角板DOE绕O逆时针转动到某个位置时，若恰好满足5∠COD＝∠AOE，且
∠BOC＝60°，求∠BOD的度数；
（3）如图③，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请说明
OD所在射线是∠BOC的平分线．
【分析】（1）直接利用互为余角的定义分析得出答案；
（2）利用足5∠COD＝∠AOE，且∠BOC＝60°，得出∠COD的度数，进而得出答案；
（3）结合角平分线的定义进而得出∠COD＝∠BOD，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝30°．
（2）当DO在∠AOC内部，设∠COD＝x，则∠AOE＝5x．
∵∠AOE+∠DOE+∠COD+∠BOC＝180°，∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，
∴5x+90°+x+60°＝180°，
解得x＝5°，
即∠COD＝5°．
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝5°+60°＝65°．
当DO在∠BOC内部，设∠COD＝x，则∠AOE＝5x．∵∠AOE+∠DOE+∠BOD＝180°，
∴5x+90°+60°﹣x＝180°，
解得x＝7.5°，
即∠COD＝7.5°．
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝60°﹣7.5＝52.5°，
（3）∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE．
∵∠DOE＝∠COE+∠COD＝90°，∠AOE+∠DOE+∠BOD＝180°，
∴∠AOE+∠BOD＝90°，
又∠AOE＝∠COE，
∴∠COD＝∠BOD，
即OD所在射线是∠BOC的平分线．
