第03讲平方差和完全平方公式（知识解读+真题演练+课后巩固)（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_知识解读与题型专练-V14_2024版

第 03 讲 平方差和完全平方公式 1. 掌握平方差和完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含 义； 2. 学会运用平方差和完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公 式进行乘法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 4.能用平方差和完全平方公式的逆运算解决问题 知识点1：平方差公式 (ab)(ab)a2 b2 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. a,b 注意：在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 知识点2：平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征： 既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的 变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzm xy2zm2 x2y2zmzm x2y2z2zmzmm2 x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2 xyxyz2 x2xyxyy2z2 x22xyy2z2 知识点3：完全平方公式 ab2 a2 2abb2 完全平方公式： (ab)2  a2 2abb2 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的 平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： a2 b2 ab2 2ab ab2 2ab ab2 ab2 4ab 知识点4：拓展、补充公式 (x p)(xq) x2 (pq)x pq (ab)(a2 abb2)a3b3 ； ； (ab)3 a33a2b3ab2 b3 (abc)2 a2 b2 c2 2ab2ac2bc ； . 【题型1 平方差公式运算】 【典例1】（2023春•渭南期中）计算（3a+2）（3a﹣2）＝ ． 【变式1-1】（2023春•蕉城区校级月考）若 a+b＝1，a﹣b＝2022，则a2﹣b2＝ ． 【变式1-2】（2023春•双峰县期末）（4a+b）（﹣b+4a）＝ ． 【变式1-3】（2023春•埇桥区期末）计算：（2x﹣3y）（3y+2x）＝ ． 【典例2】（2023春•佛冈县期中）19992﹣1998×2002． 【变式2-1】（2023•皇姑区校级开学）简便运算：20222﹣2020×2024．【变式2-2】（2023春•安乡县期中）计算：20222﹣2021×2023． 【变式2-3】（2023春•渭滨区期末）用整式乘法公式计算：899×901+1． 【题型2 平方差公式的逆运算】 【典例3】（2023春•海阳市期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣ 2y的值是 ． 【变式3-1】（2023春•辽阳期末）若m2﹣n2＝6，且m+n＝3，则n﹣m等于 ． 【变式3-2】（2023春•广饶县期中）已知实数 a，b满足a2﹣b2＝40，a﹣b＝ 4，则a+b的值为 ． 【变式3-3】（2023春•甘州区校级期末）若 m2﹣n2＝6，m+n＝3，则 ＝ ． 【题型3 平方差公式的几何背景】 【典例4】（2023春•东昌府区校级期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一 个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成垄一个矩形． （1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：． A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） D．a2﹣b2＝（a﹣b）2 （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知：a+b＝7，a2﹣b2＝28，求a﹣b的值； ②计算： ； 【变式4-1】（2023春•高明区月考）乘法公式的探究及应用． （1）如图1到图2的操作能验证的等式是 ．（请选择正确的一个） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2+ab＝a（a+b） C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） （2）当4m2＝12+n2，2m+n＝6时，则2m﹣n＝ ； （3）运用你所得到的公式，计算下列各题： ①20232﹣2022×2024； ②2×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1．【变式4-2】（2023春•清远期末）如图 1，边长为a的大正方形中有一个边长 为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式： （选择正确 的一个） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2； B．a2+ab＝a（a+b）； C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab （2）请应用（1）中的等式，解答下列问题： （1）计算：2022×2024﹣20232； （2）计算：3（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1．【变式4-3】（2023春•屏南县期中）乘法公式的探究及应用：如图，在边长为 a的正方形中挖掉一个边长为 b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成两 个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形． （1）通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ； （2）利用上述乘法公式计算： ①1002﹣98×102； ②（2m+n﹣p）（2m+n+p）． 【题型4 完全平方公式】 【典例5】（2023春•砀山县校级期末）计算：（x+4）2﹣x2＝ ． 【变式5-1】（2023春•威宁县期末）已知x2+y2＝10，xy＝2，则（x﹣y）2＝ ． 【变式5-2】（2023春•东港市期中）若（2x﹣m）2＝4x2+nx+9，则n的值为 ． 【变式5-3】（2023春•未央区校级月考）计算：（x+2）2+（1﹣x）（2+x）．【题型5 完全平方公式下得几何背景】 【典例6】（2023秋•绿园区校级月考）为创建文明校园环境，高校长制作了 “节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图①所示的板材裁 剪而成，其为一个长为2m，宽为2n的长方形板材，将长方形板材沿图中虚 线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发 现标语可以拼成图②所示的一个大正方形． （1）用两种不同方法表示图②中小正方形（阴影部分）面积： 方法一：S ＝ ； 小正方形 方法二：S ＝ ； 小正方形 （2）（m+n）2，（m﹣n）2，4mn 这三个代数式之间的等量关系为 ； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值； ②已知：a﹣ ＝1，求： 的值． 【变式6-1】（2023春•甘州区校级期中）图 1是一个长为2x、宽为2y的长方 形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图 2所示拼成一 个正方形． （1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ． （2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ． （3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式：（x+y）2，（x﹣y）2，4xy． （4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题： 若x+y＝4，xy＝3，则（x﹣y）2＝ ． 【变式6-2】（2023•永修县校级开学）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的 长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成 一个正方形． （1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数 式表示）． 方法一： ； 方法二： ． （2）根据（1）的结论，请你写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的 等量关系． （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知实数 a，b满足：a+b ＝6，ab＝5，求a﹣b的值．【变式6-3】（2023春•湖州期中）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝ 160，求（30﹣x ）2+（x﹣10）2的值． 解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b． 则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣ x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80． 解决问题： （1）若 x 满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020．求（2021﹣x）（x﹣ 2018）的值； （2）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E、F是BC、CD上的 点，且BE＝DF＝x．分别以FC、CE为边在矩形ABCD外侧作正方形CFGH 和CEMN，若矩形CEPF的面积为160平方单位，求图中阴影部分的面积和． 【题型6 完全平方公式的逆运算】 【典例7】（2023春•永丰县期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2． 求： （1）ab的值； （2）（a﹣b）2的值； （3）a4+b4的值．【变式7-1】（2023春•都昌县期末）已知实数m，n满足m+n＝6，mn＝﹣3． （1）求（m+2）（n+2）的值； （2）求m2+n2的值． 【变式7-2】（2023春•周村区期末）若x+y＝2，且（x+3）（y+3）＝12． （1）求xy的值； （2）求x2+3xy+y2的值． 【变式7-3】（2022秋•大安市期末）已知m﹣n＝6，mn＝4． （1）求m2+n2的值． （2）求（m+2）（n﹣2）的值． 1．（2023•深圳）下列运算正确的是（ ） A．a3•a2＝a6 B．4ab﹣ab＝4 C．（a+1）2＝a2+1 D．（﹣a3）2＝a6 2．（2022•赤峰）已知（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，则2x2﹣4x+3的值为（ ） A．13 B．8 C．﹣3 D．5 3．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之 相对应的是（ ）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b2 4．（2022•兰州）计算：（x+2y）2＝（ ） A．x2+4xy+4y2 B．x2+2xy+4y2 C．x2+4xy+2y2 D．x2+4y2 5．（2023•凉山州）已知y2﹣my+1是完全平方式，则m的值是 ． 6．（2023•雅安）若a+b＝2，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值为 ． 7．（2023•江西）化简：（a+1）2﹣a2＝ ． 8．（2022•遵义）已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2的值为 ． 9．（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝ ． 10．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数 t的值为 ． 11．（2022•滨州）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为 ． 12．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝ ． 13．（2023•兰州）计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）． 14．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为 a，b的正方 形秧田A，B，其中不能使用的面积为M． （1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积 ； （2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．1．（2023春•市南区校级期中）下列算式能用平方差公式计算的是（ ） A．（2a+b）（2b﹣a） B．（ x+1）（﹣ x﹣1） C．（3x﹣y）（﹣3x+y） D．（﹣m﹣n）（﹣m+n） 2.（2022秋•睢阳区期末）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b ＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的 面积，可以验证的等式是（ ） A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 3．（2022秋•嵩县期末）已知x+y＝8，xy＝12，则x2﹣xy+y2的值为（ ） A．42 B．28 C．54 D．66 4．（2022秋•海口期末）等式（﹣a﹣1）（ ）＝a2﹣1中，括号内应填入． A．a+1 B．﹣1﹣a C．1﹣a D．a﹣1 5．（2022秋•离石区期末）若二次三项式 x2+kx+4是一个完全平方式，则 k的 值是（ ） A．4 B．﹣4 C．±2 D．±4 6．（2023春•攸县期末）若x2﹣y2＝3，则（x+y）2（x﹣y）2的值是（ ） A．3 B．6 C．9 D．18 7．（2022秋•邹城市校级期末）已知 x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则 m的值为（ ） A．4 B．4或﹣2 C．±4 D．﹣2 8．（2022秋•渝北区校级期末）化简：（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）．9．（2023春•渭滨区期中）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便 计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算． 例1：1012＝（100+1）2＝1002+2×100×1+1＝10201； 例2：17×23＝（20﹣3）（20+3）＝202﹣32＝391． （1）9992； （2）20222﹣2021×2023． 10．（2022秋•龙湖区期末）请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示， 不必化简） （2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示； （3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14． 求：①a+b的值； ②a2﹣b2的值． 11．（2022秋•高安市期末）已知a+b＝7，ab＝﹣2． 求：（1）a2+b2的值；（2）（a﹣b）2的值． 12．（2022•荆门）已知x+ ＝3，求下列各式的值： （1）（x﹣ ）2； （2）x4+ ． 13．（2022秋•阳城县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形 （如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．b2+ab＝b（a+b） C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x的值． ②计算： ． 14．（2023春•威海期中）利用简便方法计算：（1）501×499+1； （2）0.125×104×8×104． 15．（2022秋•南昌期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线 用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）求图2中的阴影部分的正方形的周长； （2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等 量关系； （3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝ 4，试求m+n的值． （4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形， 设AB＝8，两正方形的面积和S +S ＝26，求图中阴影部分面积． 1 2 16．（2022秋•丹棱县期末）阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不 同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图 1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 ； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 a+b+c＝11， ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为 a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它 的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．