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专题 2.1 整式
目录
用字母表示数的书写.........................................................................................................................1
用含字母的式子表示数量关系.........................................................................................................2
代数式的相关概念.............................................................................................................................4
代数式的应用.....................................................................................................................................5
求代数式的值.....................................................................................................................................7
求代数式的值（整体思想）.............................................................................................................8
流程图求代数式的值.........................................................................................................................9
代数式的应用...................................................................................................................................11
用字母表示数的书写
(1)字母可以表示__任何__数．
(2)同一个字母， 在不同的问题中可以代表__不同__的量．
(3)在同一个问题中， 不同的量要用__不同__的字母来表示．
(4)除法通常写成__分数__的形式．
【例1】下列各式符合代数式书写规范的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、正确书写格式为： ，故此选项不符合题意；
、正确书写格式为： ，故此选项不符合题意；
、是正确的书写格式，故此选项符合题意；
、正确书写格式为： ，故此选项不符合题意．
故选： ．
【变式训练1】下列式子中，符合代数式书写格式的是
A． B． C． D．【解答】解： 、正确的书写格式是 ，原书写错误，故此选项不符合题意；
、正确的书写格式是 ，原书写错误，故此选项不符合题意；
、原书写是正确，故此选项符合题意；
、正确的书写格式是 ，原书写错误，故此选项不符合题意．
故选： ．
【变式训练2】下列代数式书写规范的是
A． B． C． 米 D．
【解答】解： 、符合代数式的书写，原书写正确，故此选项符合题意；
、系数是 ，书写时1应省略，原书写错误，故此选项不符合题意；
、代数和后面有单位的代数和应加括号，原书写错误，故此选项不符合题意；
、带分数应写成假分数，原书写错误，故此选项不符合题意．
故选： ．
【变式训练3】下列各式符合代数式书写规范的是
A． B． C． 个 D．
【解答】解： 、除法按照分数的写法来写，原书写规范，故 符合题意；
、数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面且省略乘号，原书写不规范，故 不符合
题意；
、代数和后面写单位要加括号，原书写不规范，故 不符合题意；
、带分数要写成假分数的形式，原书写不规范，故 不符合题意；
故选： ．
用含字母的式子表示数量关系
(1)题目中给出的数据之间的和、差、倍、分．
(2)几何图形周长、面积、体积公式．
(3)速度、时间、路程的关系；单价、数量、总价的关系；工作效率、工作时间、工
作总量的关系等．
(4)找规律的问题．【例2】某商店促销的方法是将原价 元的衣服以 元出售，意思是
A．原价减去10元后再打8折 B．原价打8折后再减去10元
C．原价减去10元后再打2折 D．原价打2折后再减去10元
【解答】解：某商店促销的方法是将原价 元的衣服以 元出售，意思是：原价打
8折后再减去10元，
故选： ．
【变式训练1】请仔细分析下列赋予 实际意义的例子，其中错误的是
A．若葡萄的价格是4元 千克，则 表示买 千克该种葡萄的金额
B．若 表示一个正方形的边长，则 表示这个正方形的周长
C．一辆汽车以 千米 小时的速度行驶，从 城到 城需4小时，则 表示 ， 两
城之间的路程
D．若4和 分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则 表示这个两位数
【解答】解： ．若葡萄的价格是4元 千克，则 表示买 千克葡萄的金额，原说法正
确，故此选项不符合题意；
．若 表示一个正方形的边长，则 表示这个正方形的周长，原说法正确，故此选项不
符合题意；
．一辆汽车以 千米 小时的速度行驶，从 城到 城需4小时，则 表示 ， 两城
之间的路程，原说法正确，故此选项不符合题意；
．若4和 分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则 表示这个两位数，
原说法错误，故此选项符合题意；
故选： ．
【变式训练2】设某数为 ，那么代数式 表示
A．某数的2倍的平方加上1除以2
B．某数的2倍减去1的一半
C．某数与1差的3倍除以2
D．某数的平方的2倍与1的和的一半【解答】解： 设某数为 ，代数式 表示：某数平方的2倍与1的和的一半．
故选： ．
【变式训练3】若哥哥有 元，妹妹有 元，则下列叙述正确的是
A．妹妹的钱是哥哥的 倍少4元
B．妹妹的钱是哥哥的 倍多4元
C．哥哥的钱是妹妹的3倍多4元
D．哥哥的钱是妹妹的 倍少4元
【解答】解： ．哥哥的 倍少4元为 ，那么妹妹的钱是哥哥的 倍少4
元，故 正确．
．哥哥的 倍多4元为 ，那么妹妹的钱不是哥哥的 倍多4元，故 不
正确．
．妹妹的3倍多4元为 ，那么哥哥的钱不是妹妹的3倍多4元，
故 不正确．
．妹妹的 倍少4元为 ，那么哥哥的钱不是妹妹的 倍少4元，
故 不正确．
故选： ．
代数式的相关概念
1．代数式的概念
(1)代数式：用__运算符号__把数和字母连接而成的式子．
(2)特例：单独一个数或一个字母也是代数式．
【例3】下列式子中，不属于代数式的是A． B． C．0 D．
【解答】解：根据代数式的定义，
代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式
子，单独的一个数或者一个字母也是代数式，
选项 ， ， 正确，
带有“ ”“ ”“ ”“ ”等符号的不是代数式．
选项 错误，
故选： ．
【变式训练1】下列式子：0， ， ， ， ， 中，代数式的个
数是
A．3 B．5 C．6 D．7
【解答】解：在0， ， ， ， ， ， 中，代数式有0， ，
， ， ，共有5个；
故选： ．
【变式训练2】在0， ， ， ， ， ， 中，代数式有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：代数式有：0， ， ， ， ．
故选： ．
【变式训练3】在式子 ， ， ， ， ， 中代数式的个数有
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【解答】解： 是不等式，不是代数式， 是等式，不是代数式；
代数式有： ， ， ， ，共有4个，
故选： ．代数式的应用
【例4】如图，表示这个图形面积的代数式是
A． B．
C． D．
【解答】解：由图可得，
这个图形的面积是： ，
故选： ．
【变式训练1】如图，阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【解答】解：阴影部分的面积为 ．
故选： ．
【变式训练2】边长分别为 和 （其中 的两个正方形按如图摆放，则图中阴影部分
的面积为A． B． C． D．
【解答】解： 大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，
大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，
阴影部分的面积为： ，
故选： ．
【变式训练3】如图，阶梯型平面图形的面积可以表示为
A． B．
C． D．
【解答】解： ，
，
，
故选： ．求代数式的值
代数式的值是指用具体的数值代替代数式中的__字母__，从而求出结果．
【例5】当 时，代数式 的值是
A． B．7 C．9 D．
【解答】解：当 时，
．
故选： ．
【变式训练1】 时，代数式 的值是
A． B．0 C．1 D．2
【解答】解：把 代入 ；
故选： ．
【变式训练2】当 的值为1时，代数式 的值是6，则当 时，代数式
的值为
A． B．0 C．4 D．9
【解答】解： 当 的值为1时，代数式 的值是6，
．
即 ．
当 时，．
故选： ．
【变式训练3】当 时，代数式 的值是
A．5 B． C．1 D．4
【解答】解：当 时，则 ．
故选： ．
求代数式的值（整体思想）
【例6】已知 ，则代数式 的值为
A． B． C．14 D．26
【解答】解： ，
，
故选： ．
【变式训练1】已知 ，则 的值为
A． B．7 C． D．3
【解答】解： ，
原式
．
故选： ．
【变式训练2】已知代数式 的值是3，则 的值是
A． B． C． D．
【解答】解： 代数式 的值是3，
．故选： ．
【变式训练3】若 ，则 的值是
A．5 B． C．1 D．
【解答】解：因为
，
当 时，
原式 ．
故选： ．
流程图求代数式的值
【例7】根据数值转换机的示意图，输出的值为
A．9 B． C． D．
【解答】解：当 时，
，
故选： ．
【变式训练1】按照如图所示的操作步骤，若输入 的值为 ，则输出 的值为A． B．4 C． D．
【解答】解：由题意可得： ．
故选： ．
【变式训练2】按如图所示的运算程序，能使输出 值为3的是
A． B． C． D．
【解答】解：当 时，1是奇数， ；
当 时，2是偶数， ；
当 时，3是奇数， ；
当 时，4是偶数， ；
按如图所示的运算程序，能使输出 值为3的是 ．
故选： ．
【变式训练3】如图所示是一个数值转换器，若输入某个正整数值 后，输出的 值为5，
则输入的 值可能为A．1 B．6 C．7 D．19
【解答】解： 当输入正整数1时，1的算术平方根是1，所以输出的算术平方根 ，
选项不符合题意；
当输入正整数6时， 的算术平方根是3，所以输出的算术平方根 ，
选项不符合题意；
当输入正整数7时， 的算术平方根是4，所以输出的算术平方根 ，
选项不符合题意；
当输入正整数19时， 的算术平方根是5，所以输出的算术平方根 ，
选项符合题意；
故选： ．
代数式的应用
【例8】某中学八年级（1）班5名老师决定带领本班 名学生去迁西景忠山旅游参观．该
景区每张门票的票价为40元，现有 、 两种购票方案可供选择：方案 ：教师全价，
学生半价；方案 ：不分教师与学生，全部六折优惠．
（1）请用含 的代数式分别表示选择 ， 两种方案所需的费用；
（2）当学生人数 时，且只选择其中一种方案购票，请通过计算说明选择哪种方案更
为优惠．
【解答】解：（1）方案 ，
方案 ；（2）当 时，
（元 ，
（元 ，
，
选择 方案更为优惠．
【变式训练1】某汽车行驶时油箱中余油量 （升 与行驶时间 （小时）的关系如下表：
行驶时间 小时 余油量 升
1 55
2 50
3 45
4 40
5 35
观察表格解答下列问题
（1）汽车行驶之前油箱中有多少升汽油？
（2）写出用时间表示余油量的代数式；
（3）当 时，求余油量的值．
【解答】解：（1）由表格可以看出，汽车每行驶1小时耗油5升，
故汽车行驶之前油箱中的汽油量为60升；
（2） ；
（3）当 时，（升 ，
答：当 时，余油量 的值为37.5升．
【变式训练2】如图是某一长方形闲置空地，宽为 米，长为 米为了美化环境，准备在
这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为 米的扇形花圃（阴影部分），然后在
花圃内种花，中间修条长 米，宽 米的小路，剩余部分种草．
（1）小路的面积为 平方米；种花的面积为 平方米（结果
保留 ．
（2）当 ， 时，请计算该长方形场地上种草的面积 取 ．
【解答】解：（1）依题意得小路的面积为 平方米，种花的面积为 平方米；
故答案为： ， ．
（2）依题意该长方形场地上种草的面积 平方米，
当 ， 时， 平方米．
答：该长方形场地上种草的面积为28平方米．
【变式训练3】如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示）
留下一个“ ”型的图形（阴影部分）．
（1）用含 ， 的代数式表示“ ”型图形的面积并化简．
（2）若 米，“ ”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造
价．【解答】解：（1）
；
（2） 米，
（米 ，
（平方米），
（元 ．
答：铺完这块草坪一共要34000元．
1．现代的数学符号体系，不仅使得数学语言变得简洁明了，还能更好地帮助人们总结出便
于运算的各种运算法则，简明地揭示数量之间的相互关系．我国在 1905年清朝学堂的课本
中还用“ ”来表示相当于 的代数式，观察其中的规律，
化简“ ”后得A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，
原式
，
故选： ．
2． 的3倍与 的平方的和用代数式可表示为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意得： ．
故选： ．
3．下列代数式书写正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ． 应写成 ，故不符合题意；
． 应写成 ，故不符合题意；
的正确写法是 ，故不符合题意；
． 书写正确，符合题意．
故选： ．
4．已知一个正方形边长为 ，则该正方形的面积为
A． B． C． D．【解答】解：该正方形的面积为 ．
故选： ．
5．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入 的值为125，则第2022次输出的结果为
A．5 B．25 C．1 D．125
【解答】解：第一次：当 ， ，
第二次：当 ， ，
第三次：当 ， ，
第四次：当 ， ，
第五次：当 ， ，
根据前五次输出结果可知从第二次开始，第奇数次输出结果为1，第偶数次输出结果为5．
第2022次输出的结果为5．
故选： ．
6．下列各式中，不是整式的是
A． B． C． D．
【解答】解： 既不是单项式，也不是多项式，那么 不是整式，故 符合题意．
．根据多项式的定义， 是多项式，那么 是整式，故 不符合题意．
．根据单项式的定义， 是单项式，那么 是整式，故 不符合题意．
．根据单项式的定义， 是单项式，那么 是整式，故 不符合题意．故选： ．
7．已知一个单项式的系数为 ，次数为4，这个单项式可以是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，单项式的系数是3，次数是2，不符合题意；
、 ，单项式的系数是3，次数是4，不符合题意；
、 ，单项式的系数是 ，次数是4，符合题意；
、 的系数是4，次数是3，不符合题意．
故选： ．
8．下列结论中正确的是
A．单项式 的系数是 ，次数是4
B． 是多项式
C．单项式 的次数是1，无系数
D．多项式 是二次三项式
【解答】解： ．单项式 的系数是 ，次数是3，故本选项不符合题意；
． 是多项式，故本选项符合题意；
．单项式 的次数是1，系数是1，故本选项不符合题意；
．多项式 是四次三项式，故本选项不符合题意；
故选： ．
9．结合实例解释代数式 的意义 代数式 的意义：边长为 的等边三角形的周长
（答案不唯一） ．
【解答】解：代数式 的意义：边长为 的等边三角形的周长．故答案为：边长为 的等边三角形的周长（答案不唯一）．
10．代数式“ ”用文字语言表示为 5 减去 的 4 倍的差 ．
【解答】解： 代数式“ ”用文字语言表示为 5 减去 的 4 倍的差 ．
故答案为： 5 减去 的 4 倍的差 ．
11．“垃圾分类”知识竞赛规定：答对的得10分，答错扣5分，如果初一（2）班答对了
道题，答错了 道题，那么初一（2）班的得分可以表示为： 分．
【解答】解： 答对的得10分，答错扣5分，初一（2）班答对了 道题，答错了 道题，
初一（2）班的得分可以表示为： 分．
故答案为： ．
12．若 ，则 ．
【解答】解： ，
原式
．
13．如图，数轴上点 ， 所对应的数是 ，4．对于关于 的代数式 ，我们规定：当
有理数 在数轴上所对应的点为 ， 之间（包括点 ， 的任意一点时，代数式 的
最大值小于等于4，最小值大于等于 ，则称代数式 是线段 的“和谐”代数式，例
如，对于关于 的代数式 ，当 时，代数式 取得最大值4；当 时，代数式
取得最小值0，所以代数式 是线段 的“和谐”代数式．
问题：（1）关于 的代数式 ，当有理数 在数轴上所对应的点为 ， 之间（包括点 ，
的任意一点时，取得的最大值是 6 ，最小值是 ；所以代数式 （填
“是”或“不是” 线段 的“和谐”代数式．
（2）关于 的代数式 是线段 的“和谐”代数式，则有理数 的最大值是
，最小值是 ．
（3）以下关于 的代数式：① ；② ；③ ．其中是线段 的
“和谐”代数式的是 ，并证明．（只需要证明是线段 的“和谐”代数式的式子，
不是的不需证明）
【解答】解：（1）当 时， 取得最大值为6，
当 时， 取得最小值为0，
的最大值 ，
不是线段 的“和谐”代数式．
故答案为：6，0，不是；
（2） ， ， 在 和4之间的最小值是 ， 要不大于这
个最小值才能使所有在 和4之间的 都成立，所以 的最大值是 ，
， ， 在 和4之间的最大值是 ， 要不小于这
个最大值才能使所有在 和4之间的 都成立，所以 的最小值是 ；
故答案为： ， ；
（3）① ，当 时， 取得最大值是 ，
当 时， 取得最小值是 ，
不是线段 的“和谐”代数式；
② ，
当 时， 取得最大值是17，
当 时， 取得最小值是1，
不是线段 的“和谐”代数式；
③ ．
当 时，
，
当 时，
，
，
当 时，原式 ，
综上所述： 满足最大值小于等于 4，最小值大于等于 ，
是线段 的“和谐”代数式．
故答案为：③．
14．指出下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式？
（1）
（2）（3）
（4）
（5）
（6） ．
【解答】解：（2）（3）（6）是等式不是代数式；
（1）（4）（5）是代数式．
15．第24届冬奥会将于2022年2月4日在我国首都北京拉开帷幕，大大激起了人们参与
体育运动的热情．我们知道，人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关，如果用 表示
一个人的年龄， 表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那
么有 ．
（1）正常情况下，在运动时一个15岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？
（2）一个45岁的人运动时，10秒钟的心跳次数为22次，他有危险吗？
【解答】解：（1）当 时， （次 ，
在运动时一个15岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是164次；
（2）因为10秒钟心跳次数为22次，
所以1分钟心跳次数为 （次 ，
当 时， ，
所以这个人没有危险．
