文档内容
专题 2.2 数字变化类规律问题
a a 1 a a 1 1
【典例1】观察下列等式：第一个等式：x = = (1− )；第二个等式：x = = ( − )；第
1 1×4 3 4 2 4×7 3 4 7
a a 1 1 a a 1 1
三个等式：x = = ( − )；第四个等式：x = = ( − )；其中a为常数，按照上
3 7×10 3 7 10 4 10×13 3 10 13
面的规律，则x ＝ ；x ＝ ；若a＝
5 n
6067，则x
1
+x
2
+x
3
+⋅⋅⋅+x
2022
＝ ．
【思路点拨】
a
根据所给的等式的形式，不难总结出第 n个等式为： ，再利用相应的规律进行求解即
(3n−2)×(3n+1)
可．
【解题过程】
a a 1
解：∵第一个等式：x = = (1− )；
1 1×4 3 4
a a 1 1
第二个等式：x = = ( − )；
2 4×7 3 4 7
a a 1 1
第三个等式：x = = ( − )；
3 7×10 3 7 10
a a 1 1
第四个等式：x = = ( − )；
4 10×13 3 10 13
...，
a a 1 1
∴第五个等式为：x = = ( − )，
5 13×16 3 13 16
a a 1 1
第n个等式为：x = = ( − )，
n (3n−2)(3n+1) 3 3n−2 3n+1
∴x
1
+x
2
+x
3
+⋅⋅⋅+x
2022
a 1 1 1 1 1 1 1
= （1− + − + − +...+ − ）
3 4 4 7 7 10 6064 6067
a 1
= (1− )
3 6067a 6066
= ×
3 6067
2022a
= ，
6067
∵a＝6067，
2022×6067
∴原式=
6067
＝2022．
a a 1 1 a a 1 1
故答案为：x = = ( − )；x = = ( − )；2022．
5 13×16 3 13 16 n (3n−2)×(3n+1) 3 3n−2 3n+1
3 5 7 9 11
1．（2022春•昭通期末）观察下列一组数：− ， ，− ， ，− ，…，它们是按一定规律排列的，
2 4 6 8 10
那么这组数的第2022个数是（ ）
2022 2024 4043 4045
A．− B． C．− D．
2021 2023 4044 4044
【思路点拨】
2n+1
通过观察发现，分子是2n+1，分母是2n，并且负正数交替出现，由此可得规律为(−1) n ，从而可求
2n
第2022个数．
【解题过程】
3 2×1+1
解：∵− =（﹣1）1 ，
2 2×1
5 2×2+1
=（﹣1）2 ，
4 2×2
7 2×3+1
− =（﹣1）3 ，
6 2×3
…，
2n+1
∴第n个数为：(−1) n ，
2n
2×2022+1 4045
∴第2022个数为：(−1) 2022 = ．
2×2022 4044
故选：D．1 1 1 1
2．（2022春•麒麟区期末）按一定规律排列的一列数依次为 ， ， ， ⋯⋯按此规律排列下去，
6 12 20 30
这列数的第9个数是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
19 110 90 9
【思路点拨】
不难看出，其分子都是1，分母可拆分为6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，……据此可得第n个数，从而可求
第9个数．
【解题过程】
1 1
解：∵ = ，
6 2×3
1 1
= ，
12 3×4
1 1
= ，
20 4×5
……
1
∴第n个数为： ，
(n+1)(n+2)
1 1
∴第9个数为： = ．
10×11 110
故选：B．
1 2 3 4 5
3．（2022•牡丹江）观察下列数据： ，− ， ，− ， ，…，则第12个数是（ ）
2 5 10 17 26
12 12 12 12
A． B．− C． D．−
143 143 145 145
【思路点拨】
n
根据给出的数据可以推算出第n个数是 ×（﹣1）n+1所以第12个数字把n＝12代入求值即可．
n2+1
【解题过程】
n
解：根据给出的数据特点可知第n个数是 ×（﹣1）n+1，
n2+1
12 12
∴第12个数就是 ×（﹣1）12+1=− ．
122+1 145
故选：D．
4．（2022•文山市模拟）一组按规律排列的单项式：﹣4x，7x2，﹣10x3，13x4，﹣16x5，…，根据其中的规律，第12个单项式是（ ）
A．﹣31x12 B．34x12 C．37x12 D．﹣40x11
【思路点拨】
根据给出单项式的规律即可求出答案．
【解题过程】
解：根据前几项可以得出规律，奇数项为负，偶数项为正，第n项的数为（﹣1）n×（1+3n）xn，
∴第12个单项式是（﹣1）12×（1+3×12）×x12＝37x12，
故选：C．
1 1
= =
5．（2022春•庆云县期末）一列数a ，a ，a ，…，a ，其中a ＝﹣1，a ，a ，…，a
1 2 3 n 1 2 1−a 3 1−a n
1 2
1
= ，则a +a +a +…+a 的值为（ ）
1−a 1 2 3 2021
n−1
3 2019
A．1009 B． C． D．1008
2 2
【思路点拨】
分别求出a ，a ，a ，再观察其规律，再运用规律求解即可．
2 3 4
【解题过程】
解：∵a ＝﹣1，
1
1 1 1
= = =
∴a ，
2 1−a 1−(−1) 2
1
1 1
= = =2
a 1−a 1 ，
3 2 1−
2
1 1
a
= = =−1，
4 1−a 1−2
3
…，
1 1 3
∴这列数以﹣1， ，2不断循环出现，且﹣1+ +2= ，
2 2 2
∵2021÷3＝673……2，
∴a +a +a +…+a
1 2 3 2021
3 1
= ×673+（﹣1）+
2 2
2019 1
= −1+
2 2＝1009．
故选：A．
6．（2022春•惠城区期末）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出 a，b的值
分别为（ ）
A．16，257 B．16，91 C．10，101 D．10，161
【思路点拨】
第二行第一个数的规律是2n+2，第一行第二个数的规律是2n，第二行第二个数是的规律是b＝ac+1，由此
求解即可．
【解题过程】
解：第二行第一个数的规律是2n+2，
∴a＝10，
第一行第二个数的规律是2n，
∴c＝16，
第二行第二个数是的规律是b＝ac+1，
∴b＝160+1＝161，
故选：D．
7．（2022•太平区一模）小时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数
到2022时对应的指头是（ ）
A．无名指 B．食指 C．中指 D．大拇指
【思路点拨】
通过题图可以看出，大拇指对应的数每相邻两个数之间差 8，所以在这个数列当中的每个数可用代数式
1+8（n﹣1）表示，中指对应的数每相邻两个数之间差4，所以在这个数列当中每个数可用代数式3+4（m﹣1），再根据2022与这两个数据的关系，从而确定2022的位置．
【解题过程】
解：由题图可得，大拇指对应的数列用代数式表示为1+8（n﹣1），
当n＝254时，大拇指对应的数为：2025，
由题图可得，中指对应的数列为3+4（m﹣1），
当m＝506时，中指对应的数为：2023，
所以2022对应的手指为：无名指，
故选：A．
8．（2022•公安县模拟）现有一列数a ，a ，a ，…，a ，a ，a ，其中a ＝2022，a ＝﹣2020，a ＝
1 2 3 98 99 100 1 2 7
2018，a ＝﹣2016，且满足任意相邻四个数的和为同一个常数，则 a +a +a +…+a +a +a 的值为
96 1 2 3 98 99 100
（ ）
A．﹣2020 B．100 C．2018 D．2022
【思路点拨】
根据题意得出所有数字依次按等于2022，﹣2020，2018，﹣2016四次一循环的规律出现，即可求得此题结
果．
【解题过程】
解：由题意得，a +a +a +a ＝a +a +a +a ，
1 2 3 4 2 3 4 5
∴a ＝a ＝2022，
1 5
同理可求得，a ＝a ＝﹣2020，a ＝a ＝﹣2018，a ＝a ，
2 6 3 7 4 8
∴所有数字按四次一循环的规律出现，
∵96÷4＝24，
∴a ＝a ＝a ＝﹣2016，
4 8 96
即所有数字依次按等于2022，﹣2020，2018，﹣2016四次一循环的规律出现，
∵100÷4＝25，
∴a +a +a +…+a +a +a
1 2 3 98 99 100
＝（2022﹣2020+2018﹣2016）×25
＝4×25
＝100，
故选：B．
9．（2022春•两江新区期末）对于任意一个正整数 x 可以按规则生成无穷数串：x ，x ，x ，…，x ，
1 1 2 3 n{ 1
x (当x 为偶数)
x ，…（其中n为正整数），规则为：x = 2 n n ．
n+1 n+1
3x +1(当x 为奇数)
n n
下列说法：
①若x ＝4，则生成的这数串中必有x＝x （i为正整数）；
1 i i+3
②若x ＝6，生成的前2022个数之和为55；
1
③若生成的数中有一个x ＝16，则它的前一个数x 应为32；
i+1 i
④若x ＝7，则x 的值只能是9．
4 1
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
1 1
①根据定义，x ＝4是偶数，按x = x 计算，可得x = x ＝2，2是偶数，同理可得x ＝1，1是奇数，按
1 n+1 2 n 2 2 1 3
x ＝3x +1代入可得x ＝4，依次可得生成的数串为4，2，1，4，2，1，•••，发现每3个数一循环，有x
n+1 n 4 i
＝x （i为正整数），可作判断；
i+3
②同理可得若x ＝6，生成的数串为6，3，10，5，16，8，4，2，1，4，2，1，•••，由此可计算生成的前
1
2022个数之和可作判断；
③计算16的前一个数，可能是32或5两种情况，从而作判断；
④计算第4个数是7时，前3个数，分情况讨论可作判断．
【解题过程】
1 1
解：①若x ＝4，即x 是偶数，x = x = ×4＝2，
1 n 2 2 1 2
1 1
x = x = ×2＝1，
3 2 2 2
x ＝3x +1＝3×1+1＝4，
4 3
1
x = x ＝2，
5 2 4
•••，
每3个数一循环，有x ＝x ，x ＝x ，•••，
1 4 2 5
∴若x ＝4，则生成的数串中必有x＝x （i为正整数）；
1 i i+3
故①正确；1 1
②若x ＝6，即x 是偶数，x = x = ×6＝3，
1 n 2 2 1 2
x ＝3x +1＝3×3+1＝10，
3 2
1 1
x = x +1= ×10＝5，
4 2 3 2
x ＝3x +1＝3×5+1＝16，
5 4
1 1
x = x = ×16＝8，
6 2 5 2
1 1
x = x = ×8＝4，
7 2 6 2
1 1
x = x = ×4＝2，
8 2 7 2
•••，
从x 开始，每3个数一循环，4+2+1＝7，
7
∴生成的前2022个数之和＝6+3+10+5+16+8+7×]（2022﹣6）÷3]＝4752，
故②错误；
③若生成的数中有一个x ＝16，
i+1
则x 有两种情况：
i
1
当x 是偶数时，16= x，x＝32；
i 2 i i
当x 是奇数时，16＝3x+1，x＝5；
i i i
若生成的数中有一个x+1＝16，则它的前一个数x 应为32或5；
i i
故③错误；
④当x ＝7时，有两种情况：
4
1
当x 是偶数时，7= x ，x ＝14，x ＝28，x ＝56或9；
3 2 3 3 2 1
当x 是奇数时，7＝3x +1，x ＝2（不符合题意，舍）；
3 3 3
故④错误；
其中正确的结论是①，1个．
故选：A．
10．（2022•麦积区模拟）观察下列等式：1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42…，则1+3+5+7+…
+2021＝ 101 1 2 ．
【思路点拨】由所归纳规律可得1+3+5+7+…+2021＝1+3+5+7+…+（2×1011﹣1）＝10112．
【解题过程】
解：因为1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42…，
所以第n个算式是1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝n2；
1+3+5+7+…+2021
＝1+3+5+7+…+（2×1011﹣1）
＝10112．
故答案为：10112．
11．（2022•蓝田县二模）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入 x的值是1，可发现第一次输出的
结果是4，第二次输出的结果是2，……，请你探索第2021次输出的结果是 2 ．
【思路点拨】
根据题意，可以写出前几个输出结果，从而可以发现输出结果的变化特点，从而可以求得第2021次输出的
结果．
【解题过程】
解：由题意可得，
第一次输出的结果是4，
第二次输出的结果是2，
第三次输出的结果是1，
第四次输出的结果是4，
第五次输出的结果是2，
…，
由上可得，输出结果依次以4，2，1循环出现，
∵2021÷3＝673……2，
∴第2021次输出的结果是2，
故答案为：2．
12．（2022•富川县三模）观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…，则3+32+33+34+…+32022+1的末位数字是 3 ．
【思路点拨】
根据各数的个位数字的变化，可得出每项的个位数字分别为 3，9，7，1，…，且四次一循环，再结合
“2022÷4＝505……2，3+9+7+1＝20”从而可求式子的末位数字．
【解题过程】
解：∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，
∴每项的个位数字分别为3，9，7，1，…，且四次一循环．
∵2022÷4＝505……2，3+9+7+1＝20，
∴3+32+33+34+…+32021+1末位数字＝0×505+3+9+1＝13，
故答案为：3．
13．（2022春•和平县期末）为了求 1+2+22+23+……+299的值，可令 S＝1+2+22+23+……+299，则 2S＝
2+22+23+……+299+2100，因此，2S﹣S＝2100﹣1，所以S＝2100﹣1．即1+2+22+23+……+299的值为2100﹣1．
3100−1
仿照以上推理计算：1+3+32+33+……+399的值为 ．
2
【思路点拨】
仿照所给的解答方式进行求解即可．
【解题过程】
解：令S＝1+3+32+33+……+399，
则3S＝3+32+33+……+3100，
因此，3S﹣S＝3100﹣1，
3100−1
所以S= ．
2
3100−1
即1+3+32+33+……+399的值为 ．
2
3100−1
故答案为： ．
2
1 2
14．（2022•恩施州）观察下列一组数：2， ， ，…，它们按一定规律排列，第n个数记为a ，且满足
2 7 n
1 1 2 1 1
+ =
．则a ＝ ，a ＝ ．
a a a 4 5 2022 3032
n n+2 n+1
【思路点拨】2
由题意可得a = ，即可求解．
n 3(n−1)+1
【解题过程】
2 1 2 2
解：由题意可得：a ＝2= ，a = = ，a = ，
1 1 2 2 4 3 7
1 1 2
+ =
∵ ，
a a a
2 4 3
1
∴2 + = 7，
a
4
1 2
∴a = = ，
4 5 10
1 1 2
+ =
∵ ，
a a a
3 5 4
2
∴a = ，
5 13
1 2
同理可求a = = ，•••
6 8 16
2
∴a = ，
n 3(n−1)+1
1
∴a = ，
2022 3032
1 1
故答案为： ， ．
5 3032
15．（2022春•绥棱县期末）下列式子：32+42＝52，82+62＝102，152+82＝172，242+102＝262…．请你利用
发现的规律写出第五个等式 3 5 2 +1 2 2 ＝ 3 7 2 ．
【思路点拨】
观察所给的式子可得：32+42＝52可变成[（1+1）2﹣1]2+[2×（1+1）]2＝[（1+1）2﹣1+2×（1+1）﹣2×1]2，
82+62＝102可变成[（1+2）2﹣1]2+[2×（1+2）]2＝[（1+2）2﹣1+2×（1+2）﹣2×2]2，…，据此进行求解即可．
【解题过程】
解：∵32+42＝52整理得：[（1+1）2﹣1]2+[2×（1+1）]2＝[（1+1）2﹣1+2×（1+1）﹣2×1]2，
82+62＝102整理得[（1+2）2﹣1]2+[2×（1+2）]2＝[（1+2）2﹣1+2×（1+2）﹣2×2]2，
…，
∴第n个等式为：[（1+n）2﹣1]2+[2×（1+n）]2＝[（1+n）2﹣1+2×（1+n）﹣2n]2，
∴第五个等式为：[（1+5）2﹣1]2+[2×（1+5）]2＝[（1+5）2﹣1+2×（1+5）﹣2×5]2，整理得：352+122＝372．
故答案为：352+122＝372．
16．（2022春•市北区期末）也许你认为数字运算是数学中常见而又枯燥的内容，但实际上，它里面也蕴
藏着许多不为人知的奥妙，下面就让我们来做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n ＝3，计算n 2+2得a ；
1 1 1
第二步：计算出a 的各位数字之和得n ，再计算n 2+2得a ；
1 2 2 2
第三步：计算出a 的各位数字之和得n ，再计算n 2+2得a ；
2 3 3 3
……
依此类推，则a ＝ 12 3 ．
2020
【思路点拨】
根据游戏的规则进行运算，求出a 、a 、a 、a 、a ，再分析其规律，从而可求解．
1 2 3 4 5
【解题过程】
解：∵a ＝n 2+2＝32+2＝11，
1 1
∴n ＝1+1＝2，a ＝n 2+2＝22+2＝6，
2 2 2
n ＝6，a ＝n 2+2＝62+2＝38，
3 3 3
n ＝3+8＝11，a ＝n 2+2＝112+2＝123，
4 4 4
n ＝1+2+3＝6，a ＝n 2+2＝62+2＝38，
5 5 5
……
∴从第3个数开始，以38，123不断循环出现，
∵（2020﹣2）÷2＝1009，
∴a ＝a ＝123．
2020 4
故答案为：123．
17．（2022•兴庆区校级二模）用符号f（x）表示关于自然数x的代数式，我们规定：当x为偶数时，f
x 8
（x）= ；当x为奇数时，f（x）＝3x+1．例如：f（1）＝3×1+1，f（8）= =4．设x ＝8，x ＝f（x ），
2 2 1 2 1
x
3
＝f（x
2
），⋯，x
n
＝f（x
n﹣1
）．以此规律，得到一列数 x
1
、x
2
、x
3
，⋯，x
2022
，则这2022个数之和
x
1
+x
2
+x
3
+⋯+x
2021
+x
2022
等于 472 5 ．
【思路点拨】
通过计算发现从x
2
开始每3次的运算结果循环一次，由此可知x
2
、x
3
，⋯，x
2019
循环673次，并且x
2021
＝
4，x ＝2，再计算即可．
2022
【解题过程】解：∵x ＝8，
1
∴x ＝f（x ）＝f（8）＝4，
2 1
x ＝f（x ）＝f（4）＝2，
3 2
x ＝f（x ）＝f（2）＝1，
4 3
x ＝f（x ）＝f（1）＝4，
5 4
⋯
∴从x 开始每3次的运算结果循环一次，
2
∵（2022﹣1）÷3＝673…2，
∴x
2
、x
3
，⋯，x
2019
循环673次，x
2021
＝4，x
2022
＝2，
∵x +x +x ＝7，
2 3 4
∴x
1
+x
2
+x
3
+⋯+x
2021
+x
2022
＝8+673×7+4+2＝4725，
故答案为：4725．
18．（2022•陇西县二模）观察以下等式：
2 1 1
第1个等式： ×（2− ）＝1+ ；
1 1 1
3 1 1
第2个等式： ×（2− ）＝1+ ；
3 2 2
4 1 1
第3个等式： ×（2− ）＝1+ ；
5 3 3
5 1 1
第4个等式： ×（2− ）＝1+ ；
7 4 4
2022 1 1
第2021个等式： × （ 2− ）＝ 1+ ．
4041 2021 2021
【思路点拨】
从数字找规律，进行计算即可解答．
【解题过程】
2 1 1 1+1 1 1
解：第1个等式： ×（2− ）＝1+ ，即： ×（2− ）＝1+ ；
1 1 1 2×1−1 1 1
3 1 1 2+1 1 1
第2个等式： ×（2− ）＝1+ ，即： ×（2− ）＝1+ ；
3 2 2 2×2−1 2 2
4 1 1 3+1 1 1
第3个等式： ×（2− ）＝1+ ，即： ×（2− ）＝1+ ；
5 3 3 2×3−1 3 3
5 1 1 4+1 1 1
第4个等式： ×（2− ）＝1+ ，即： ×（2− ）＝1+ ；
7 4 4 2×4−1 4 4..．
2021+1 1 1
第2021个等式： ×（2− ）＝1+ ，
2×2021 2021 2021
2022 1 1
即： ×（2− ）＝1 + ，
4041 2021 2021
2022 1 1
故答案为： ×（2− ）＝1 + ．
4041 2021 2021
x2
19．（2022春•广陵区期中）如果记 y= =f（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，且f（1）
1+x2
1 2
( )
12 1 1 1 1 2 1
= = ； f( )表 示 当 x= 时 y 的 值 ， 且 f( )= = ； 那 么
1+12 2 2 2 2 1 2 5
1+( )
2
1 1 1 1 4043
f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )+⋯+ f（2021）+f( )+f(2022)+f( )= ．
2 3 2021 2022 2
【思路点拨】
1 1 1
根据题意把f（2），f（3），f（ ）求出来，再分析f（2）与f（ ），f（3）与f（ ）的关系，再代入所
3 2 3
求的式子进行求解即可．
【解题过程】
1 2
( )
12 1 1 2 1
解：∵f（1）= = ；f( )= = ，
1+12 2 2 1 2 5
1+( )
2
22 4
f（2）= = ，
1+22 5
32 9
f（3）= = ，
1+32 10
1
2
( )
1 3 1
f（ ）= = ，
3 1 10
1+( ) 2
31 4 1
∴f（2）+f（ ）= + =1，
2 5 5
1 9 1
f（3）+f（ ）= + =1，
3 10 10
1 1
∴f（2021）+f（ ）＝1，f（2022）+f（ ）＝1，
2021 2022
1
∴f（n）+f（ ）＝1，
n
1 1 1 1
∴f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )+⋯+f（2021）+f( )+f(2022)+f( )
2 3 2021 2022
1
= +1+1+1+…+1+1
2
1
= +2021
2
4043
= ，
2
4043
故答案为： ．
2
20．（2022春•南京期中）（1）阅读并填空：
22﹣21＝21×（2﹣1）＝21，
23﹣22＝22×（2﹣1）＝22，
24﹣23＝23×（2﹣1）＝23，
…
2n+1﹣2n＝ 2 n × （ 2﹣ 1 ）＝ ＝ 2 n （n为正整数）．
（2）计算：
①2100﹣299＝ 2 9 9 ；
②210+210﹣211＝ 0 ．
（3）计算：21+22+…+21000．
【思路点拨】
（1）由所给的等式进行分析，不难得出结果；
（2）利用（1）中的规律进行求解即可；
（3）利用（1）中的规律进行求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵22﹣21＝21×（2﹣1）＝21，23﹣22＝22×（2﹣1）＝22，
24﹣23＝23×（2﹣1）＝23，
…
∴2n+1﹣2n＝2n×（2﹣1）＝2n，
故答案为：2n×（2﹣1），2n；
（2）①2100﹣299＝299×（2﹣1）＝299；
故答案为：299；
②210+210﹣211＝211﹣211＝0；
故答案为：0；
（3）21+22+…+21000
＝（22﹣2）+（23﹣22）+（24﹣23）+......+（21001﹣21000）
＝21001﹣2．
21．（2022春•成武县期末）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这
句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．
请先观察下列等式找出规律，并解答问题．
①13＝12；
②13+23＝32；
③13+23+33＝62；
④13+23+33+43＝102；
（1）等式⑤是 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 ＝ 1 5 2 ．
（2）应用规律探究：63+73+83+93+103的值．
【思路点拨】
（1）由所给的式子，可得第5个式子为13+23+33+43+53＝152；
（2）由63+73+83+93+103＝（13+23+33+43+53+63+73+83+93+103）﹣（13+23+33+43+53），求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵①13＝12；②13+23＝32；③13+23+33＝62；④13+23+33+43＝102；
∴⑤13+23+33+43+53＝152；
故答案为：13+23+33+43+53＝152；
（2）由题意可得13+23+33+43+53+63+73+83+93+103＝552，
∵13+23+33+43+53＝152，
∴63+73+83+93+103＝（13+23+33+43+53+63+73+83+93+103）﹣（13+23+33+43+53）
＝552﹣152
＝70×40
＝2800．
22．（2021秋•广饶县期末）请先阅读下列一组内容，然后解答问题．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
因为： = 1− ， = − ， = − ，…， = − ，
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4 9×10 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所 以 ： + + +⋯+ =（ 1− ） + （ − ） + （ − ） +…+ （ − ） ＝ 1
1×2 2×3 3×4 9×10 2 2 3 3 4 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 9
− + − + − + ⋯ + − =1− = ．
2 2 3 3 4 9 10 10 10
化简下列各式并求值：
1 1 1 1
（1） + + +⋯+ ；
1×2 2×3 3×4 2021×2022
1 1 1 1
（2） + + +⋯+ ．
1×3 3×5 5×7 2019×2021
【思路点拨】
（1）仿照所给的解答方式进行求解即可；
（2）仿照所给的解答方式进行求解即可．
【解题过程】
1 1 1 1
解：（1） + + +⋯+
1×2 2×3 3×4 2021×2022
1 1 1 1 1 1 1
＝1− + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 2021 2022
1
＝1−
2022
2021
= ；
2022
1 1 1 1
（2） + + +⋯+
1×3 3×5 5×7 2019×2021
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= ×（1− ）+ ×（ − ）+ ×（ − ）+⋯+ ×（ − ）
2 3 2 3 5 2 5 7 2 2019 2021
1 1 1 1 1 1 1 1
= ×（1− + − + − +⋯+ − ）
2 3 3 5 5 7 2019 20211 1
= ×（1− ）
2 2021
1 2020
= ×
2 2021
1010
= ．
2021
23．（2022•淮北一模）观察下列等式：
1 1 1 1
第1个等式：a = = ×( − )，
1 1×5 4 1 5
1 1 1 1
第2个等式：a = = ×( − )，
2 5×9 4 5 9
1 1 1 1
第3个等式：a = = ×( − )，
3 9×13 4 9 13
…
请解答下列问题：
1 1 1 1
（1）按以上规律列出第5个等式：a ＝ ＝ ×( − ) ．
5 17×21 4 17 21
1 1 1 1
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a ＝ ＝ ( − ) ．（n为
n (4n−3)(4n+1) 4 4n−3 4n+1
正整数）
（3）求a +a +a +……+a 的值．
1 2 3 2022
【思路点拨】
（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式的形式进行总结即可；
（3）利用（2）中的规律求解即可．
【解题过程】
1 1 1 1
解：（1）第5个等式为：a = = ×( − )，
5 17×21 4 17 21
1 1 1 1
故答案为： ； ×( − )；
17×21 4 17 21
1 1 1 1
（2）∵第1个等式：a = = ×( − )，
1 1×5 4 1 5
1 1 1 1
第2个等式：a = = ×( − )，
2 5×9 4 5 91 1 1 1
第3个等式：a = = ×( − )，
3 9×13 4 9 13
…
1 1 1 1
∴第n个等式为：a = = ( − )，
n (4n−3)(4n+1) 4 4n−3 4n+1
1 1 1 1
故答案为： ； ( − )；
(4n−3)(4n+1) 4 4n−3 4n+1
1 1 1 1
（3）原式= + + +⋯+
1×5 5×9 9×13 8085×8089
1 1 1 1 1 1 1 1
= ×(1− + − + − +...+ − )
4 5 5 9 9 13 8085 8089
1 1
= ×(1− )
4 8089
1 8088
= ×
4 8089
2022
= ．
8089
24．（2021秋•思明区校级期末）阅读材料：把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：
⋅ ⋅
以0.3 为例，设0.3=x，
1 ⋅ 1
由0.3 ⋅ =0.333…，可知10x＝3.333…，所以10x＝3+x，解得x= ，于是0.3= ．
3 3
7
⋅
（1）请把无限循环小数0.7 化为分数是 ；
9
⋅⋅
（2）请把无限循环小数0.75 化为分数；
⋅ ⋅ ⋅
（3）将0.216 与0.5 的积化为小数，则小数点后第999位数字是 0 ．
【思路点拨】
⋅
（1）令0.7=x，则10x＝7.77…，由10x＝7+x，即可求解；
⋅⋅
（2）令x＝0.75 ，则100x＝75.7575…，由100x＝75+x，即可求解；
⋅ ⋅ ⋅
（3）分别求出0.216 与0.5 的分式形式，再由两数乘积的小数为0.120120…，确定小数位的循环规律，即
可求解．【解题过程】
⋅
解：（1）令0.7=x，则10x＝7.77…，
∴10x＝7+x，
7
∴x= ，
9
7
故答案为： ；
9
⋅⋅
（2）令x＝0.75 ，则100x＝75.7575…，
∴100x＝75+x，
25
∴x= ；
33
⋅ ⋅
（3）令x＝0.216 ，则1000x＝216.216216…，
∴1000x＝216+x，
8
∴x= ，
37
⋅
令y＝0.5 ，则10y＝5.555…，
∴10y＝y+5，
5
∴y= ，
9
8 5 40
∴ × = =0.120120…，
37 9 333
∵999÷3＝333，
∴小数点后第999位数字是0，
故答案为：0．
25．（2022春•莱芜区月考）如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻
格子中所填整数之和都相等．
9 & # x ﹣6 2 …
（1）可求得x＝ 9 ，第2009个格子中的数为 ﹣ 6 ；
（2）判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2018？若能，求出m的值；若不能，请说明理由；
（3）如果a，b为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|a﹣b|的和可以通过计算|9﹣&|+|9﹣#|+|&﹣#|+|&﹣9|+|#﹣9|+|#﹣&|得到，若a，b为前19个格子中的任意两个数，则所有的|a﹣b|的和为 242 4 ．
【思路点拨】
（1）根据“任意三个相邻格子中所填整数之和都相等”可知此表是由三个整数重复排列而成，便求得 x与
&的值，此时再观察这组数，可发现每三个数循环一次，则2009÷3＝669…2，得第2009个格子中的数．
（2）可先计算出这三个数的和，再照规律计算．
（3）由于是三个数重复出现，因此可用前三个数的重复多次计算出结果．
【解题过程】
解：（1）∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴9+&+#＝&+#+x＝#+x+（﹣6），
∴x＝9，&＝﹣6，
由格子中后面有个数字2，可知#＝2，
故这个表格中的数据以9，﹣6，2循环出现，
∵2009÷3＝669…2，
∴第2009个格子中的数为﹣6，
故答案为：9，﹣6；
（2）前m个格子中所填整数之和可能为2018，
∵9﹣6+2＝5，2018÷5＝403…3，且9﹣6＝3，403×3+2＝1211，
∴前1211个格子中所填整数之和可能为2018；
（3）由于是三个数重复出现，那么前19个格子中，这三个数中，9出现了七次，﹣6和2都出现了6次．
故代入式子可得：（|9+6|×6+|9﹣2|×6）×7+（|﹣6﹣9|×7+|﹣6﹣2|×6）×6+（|2﹣9|×7+|2+6|×6）×6＝2424．
故答案为：2424．
26．（2021秋•垦利区期末）如图，将连续的奇数1，3，5，7…按图①中的方式排成一个数表，用一个十
字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图②）分别用a，b，c，d，x表示．
（1）若x＝17，则a+b+c+d＝ 6 8 ；
（2）用含x的式子分别表示数a，b，c，d；
（3）直接写出a，b，c，d，x这5个数之间的一个等量关系： a + b + c + d ＝ 4 x ；
（4）设M＝a+b+c+d+x，判断M的值能否等于2020，请说明理由．【思路点拨】
（1）由x＝17可找出a、b、c、d的值，将其相加即可得出结论；
（2）根据图形即可得出a、b、c、d与x之间的关系；
（3）由（2）的结论，将a、b、c、d相加即可得出结论；
（4）根据M＝5x，代入2020求出x的值，根据x的奇偶性即可得出M的值不能等于2020．
【解题过程】
解：（1）∵x＝17，
∴a＝x﹣12＝5，d＝x+12＝29，b＝x﹣2＝15，c＝x+2＝19，
∴a+b+c+d＝5+15+19+29＝68．
故答案为：68．
（2）根据数的排列结合十字框的框法，即可得出：
a＝x﹣12，b＝x﹣2，c＝x+2，d＝x+12．
（3）∵a+d＝x﹣12+x+12＝2x，b+c＝x﹣2+x+2＝2x，
∴a+b+c+d＝4x．
故答案为：a+b+c+d＝4x．
（4）不能等于2020，理由如下：
∵a+b+c+d＝4x，
∴M＝a+b+c+d+x＝5x．
当5x＝2020时，x＝404，
∵404为偶数，而数表中的所有数为奇数，
∴M的值不能等于2020．
27．（2021秋•公安县期末）把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为
第1行、第2行、第3行……，从左到右分别称为第1列、第2列、第3列……．用图2所示的方框在图1
中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为a，b，c，d．设a＝x．
（1）在图1中，数2022排在第几行第几列？（2）若a+2b+3c＝387，求出d所表示的数；
（3）将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变，此时 a﹣b﹣c+d的值能否为2700？如果能，请求
出a所表示的数，并求出a在图1中排在第几行第几列；如果不能，请说明理由．
【思路点拨】
（1）每一行有9个数，则2022÷9＝224......6，则可判断2022的位置；
（2）分别用含x的式子表示出b，c，d，再由所给的等式可求出x的值，即可确定d的值；
（3）不难看出奇数行第1个数为负，偶数行第1个数为正，分两种情况进行讨论：①a为奇数；②a为偶
数，从而可求得相应的a值，再进行判断即可．
【解题过程】
解：（1）∵每一行有9个数，
∴2022÷9＝224......6，
则2022在第225行第6列；
（2）由题意得：b＝a+3＝x+3，c＝a+27＝x+27，d＝a+27+3＝x+30，
∵a+2b+3c＝387，
∴x+2（x+3）+3（x+27）＝387，
解得：x＝50，
即a＝50，
∴d＝50+30＝80；
（3）能，
变化之后，奇数行第1个数为负，偶数行第1个数为正，
则①当a为奇数时，
得：b＝﹣a+3，c＝﹣a+27，d＝a﹣30，
∴a﹣b﹣c+d＝2700，
则a﹣（﹣a+3）﹣（﹣a+27）+a﹣30＝2700，
解得：a＝690（不符合题意），
②当a为偶数时，
得：b＝﹣a﹣3，c＝﹣a﹣27，d＝a+30，∴a﹣b﹣c+d＝2700，
则a﹣（﹣a﹣3）﹣（﹣a﹣27）+a+30＝2700，
解得：a＝660，
∵660÷9＝73......3，
∴数660在第74行第3列．
28．（2021秋•长春期末）如图，在表一中，将第1行第3列的数记为[1，3]，则[1，3]＝3，将第3行第2
列的数记为[3，2]，则[3，2]＝6；按照要求回答下列各题：
（1）在表一中，[3，5]＝ 1 5 ，[8，10]＝ 8 0 ；
（2）在表一中，第3行第n+1列的数可以记为[3，n+1]＝ 3 n + 3 ；
（3）如图，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，求3a+b﹣2c的值．
【思路点拨】
（1）通过观察可知第三行数的规律是3n，第8行数的规律是8n；
（2）由第三行数的规律是3n，可求解；
（3）a是第6行第3个数，b是第6行第5个数，c是第7行第4个数，分别求出a、b、c，再代入所求代
数式即可．
【解题过程】
解：（1）第三行数的规律是3n，
∴第三行第五个数是15，
∴[3，5]＝15，
∵第8行数的规律是8n，
∴第8行第10个数是80，
∴[8，10]＝80，
故答案为：15，80；（2）∵第三行数的规律是3n，
∴[3，n+1]＝3n+3，
故答案为：3n+3；
（3）表2中，12＝3×4，15＝3×5，
∴a是第6行第3个数，
∴a＝18，
表3中，20和25在同一行，
∴20是第5行第4个数，
∴b是第6行第5个数，
∴b＝30，
表4中，18是第6行第3个数，21是第7行第3个数，
∴c是第7行第4个数，
∴c＝28，
∴3a+b﹣2c＝3×18+30﹣2×28＝28．
