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专题 2.4 探索规律
【例题精讲】
【例1】观察下面图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中“ ”的个数是
A．128 B．162 C．200 D．226
【解答】解： 第1个图形中“ ”的个数为： ；
第2个图形中“ ”的个数为： ；
第3个图形中“ ”的个数为： ；
，
第 个图形中“ ”的个数为： ，
第10个图形中“ ”的个数为： ，
故选： ．
【例2】给 出 下 列 程 序 ：
， 已 知
当输入 值为1时，输出值为1；输入 值为 时．输出值为 ．当输入值为 时．输出
值为
A． B． C．0 D．1
【解答】解：根据题意可得，， ，
解得： ， ，
当 时，
．
故选： ．
【例3】观察下列一组数： ， ， ， ， ， ，它们是按一定规律排列的，那
么这组数的第2022个数是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
，
第 个数为： ，
第2022个数为： ．
故选： ．
【例4】观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；第5个等式： ；
按上述规律，回答以下问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第 个等式： （用含 的等式表示），并证明．
【解答】解：（ 1）由前面 5 个式子分子分母的规律，第 6 个等式应为：
；
故答案为： ；
（2）第 个等式为： ；
证明：右边
左边，
故等式成立．
故答案为： ．
【题组训练】
一．选择题（共26小题）
1．按照如图所示的计算程序，若 ，则输出的结果是A．1 B．9 C． D．
【解答】解；当 时， ，
，
根据题意继续计算 ，
，
根据题意继续计算 ，
，
输出结果为 ．
故选： ．
2．按如图所示的运算程序，若输入 ， ，则输出结果为
A． B．1 C．5 D．9
【解答】解： 输入 ， ， ，
，
输出结果为5．
故选： ．
3．小阳同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程
序，若开始输入 的值为2，则最后输出的结果 是A．2 B．3 C．4 D．8
【解答】解：当 时，
，
当 时，
，
则 ．
故选： ．
4 ． 给 出 下 列 程 序 ：
， 已 知
当输入 值为1时，输出值为1；输入 值为 时．输出值为 ．当输入值为 时．输出
值为
A． B． C．0 D．1
【解答】解：根据题意可得，
， ，
解得： ， ，
当 时，
．
故选： ．
5．任意给定一个非零的数，按下列程序计算，最后输出的结果是A． B． C． D．
【解答】解： 平方后得 ， 后的结果是 ，
除以 后的结果是 ， 后为： ．
故选： ．
6．按照如图所示的计算程序，若 ，则输出的结果是
A．1 B．9 C． D．
【解答】解：当 时， ，
于是再把 输入， ，不合题意；
再把 输入， ，符合题意，
因此输出的数为： ，
故选： ．
7．按一定规律排列的一列数依次为 ， ， 按此规律排列下去，这列数的第
9个数是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，第 个数为： ，
第9个数为： ．
故选： ．
8．将正整数按如图所示的位置顺序排列：
根据排列规律，则2022应在
A．点 处 B．点 处 C．点 处 D．点 处
【解答】解：由题意得：在 位置的数被4除余2，在 位置的数被4除余3，在 位置的
数被4整除，在 位置的数被4除余1；
，
应在2的位置，也就是在 处．
故答案为： ．
9．观察下列一组数： ， ， ， ， ， ，它们是按一定规律排列的，那么这
组数的第2022个数是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
，
第 个数为： ，第2022个数为： ．
故选： ．
10．按《航空障得灯 》的要求，为保障飞机夜间飞行的安全，在高度
为45米至105米的建筑上必须安装中光强航空障碍灯 ，中光强航
空障碍灯是以规律性的固定模式闪光，下图是某一种中光强航空障碍灯的闪光模式，灯的
亮暗呈规律性交替变化，那么在一个连续的10秒内，该航空障碍灯处于亮的状态时间总和
最长可达
A．6秒 B．6.5秒 C．7秒 D．13秒
【解答】解：根据题意，当该航空障碍灯处于亮的状态的时间总和最长时，
灯的亮暗呈规律性交替变化为：亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，
亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，
在这10秒中，航空障碍灯处于亮的状态的时间总和为7秒，
故选： ．
11．将一个按红黄绿蓝紫的顺序依次循环排列的纸环链，截去中间的一部分后，剩下的部
分如图所示，则被截去的中间一部分的纸环总数可能是
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【解答】解：由题意，可知中间截去的是 为正整数），
当 ，解得 ，不符合题意，
当 时， ，不符合题意，
当 时， ，不符合题意，
当 时， ，符合题意，
故选： ．
12．如图，图（1）是由6块完全相同的正三角形地砖铺成，图（2）是由10块完全相同的
正三角形地砖铺成，图（3）是由14块完全相同的正三角形地砖铺成， ，按图中所示规
律．则图（8）所需地砖数量为
A．26块 B．30块 C．34块 D．38块
【解答】解： 图（1）所需要的正三角形地砖数为：6，
图（2）所需要的正三角形地砖数为： ，
图（3）所需要的正三角形地砖数为： ，
图 所需要的正三角形地砖数为： ，
图（8）所需要的正三角形地砖数为： ，
故选： ．
13．某班举行拼汉字比赛，小梅用●排列成数字“上”，图①共用10个●，图②共用13
个●，图③共用16个●， 按此规律排列下去，则第⑥个图共用●的个数是A．22 B．25 C．28 D．32
【解答】解： 图①中●的个数为10，
图②中●的个数为 ，
图③中●的个数为 ，
第 个图中●的个数为： ，
第⑥个图中●的个数为： ．
故选： ．
14．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中
有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列
下 去 ， 则 第 ⑧ 个 图 案 中 正 方 形 的 个 数 为
A．30 B．33 C．37 D．41
【解答】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，
第②个图案中有9个正方形，
第③个图案中有13个正方形，
第④个图案中有17个正方形，
，
第 个图案中有 个正方形，
第⑧个图案中正方形的个数为 ，
故选： ．15．如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆
点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点 按照此规律，第一百幅图中圆点的个数
是
A．297 B．301 C．303 D．400
【解答】解：观察图形可知：
摆第1个图案需要4个圆点，即 ；
摆第2个图案需要7个圆点，即 ；
摆第3个图案需要10个圆点，即 ；
摆第4个图案需要13个圆点，即 ；
第 个图摆放圆点的个数为： ，
第100个图放圆点的个数为： ．
故选： ．
16．观察下面图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中“ ”的个数是
A．128 B．162 C．200 D．226
【解答】解： 第1个图形中“ ”的个数为： ；
第2个图形中“ ”的个数为： ；第3个图形中“ ”的个数为： ；
，
第 个图形中“ ”的个数为： ，
第10个图形中“ ”的个数为： ，
故选： ．
17．按一定规律排列的单项式： ， ， ， ， ， ，第8个单项式
是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知：单项式的系数是从3起的奇数，
单项式中 的指数偶数， 的指数不变，
所以第8个单项式是： ．
故选： ．
18 ． 按 如 图 所 示 的 运 算 程 序 ， 能 使 输 出 结 果 为 19 的 是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： 选项，当 ， 时， ，故该选项
符合题意；
选项，当 ， 时， ，故该选项不符合题意；选项，当 ， 时， ，故该选项不符合题意；
选项，当 ， 时， ，故该选项不符合题意；
故选： ．
19．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第 22行从左至右的第
5个数是
A．235 B．236 C．237 D．238
【解答】解：由排列的规律可得，第 行结束的时候排了
个数．
所以第 行从左向右的第5个数 ．
所以 时，第22行从左向右的第5个数为236．
故选： ．
20．填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出 ， 的值分别为
A．16，257 B．16，91 C．10，101 D．10，161
【解答】解：第二行第一个数的规律是 ，
，
第一行第二个数的规律是 ，
，第二行第二个数是的规律是 ，
，
故选： ．
21．按一定规律排列的一组数据： ， ， ， ， ， ， ．则按此规律排
列的第10个数是
A． B． C． D．
【解答】解：原数据可转化为： ， ， ， ， ， ， ，
，
，
，
．
第 个数为： ，
第10个数为： ．
故选： ．
22．下列图形是按照一定规律画出的．对于第 个图形，有 个正方形和一定数量的三角
形，三角形的个数可以表示为
A． B． C． D．
【解答】解：第1个图形中，有2个正方形和4个三角形， ；
第2个图形中，有3个正方形和8个三角形， ；第3个图形中，有4个正方形和12个三角形， ；
，
第 个图形中，三角形的个数为 或 ．
故选： ．
23．下列图形都是由圆和几个黑色围棋子按一定规律组成，图①中有4个黑色棋子，图②
中有7个黑色棋子，图③中有10个黑色棋子， ，依次规律，图 中黑色棋子的个数是
A．6067 B．6066 C．6065 D．6064
【解答】解： 图①中有 个黑色棋子，
图②中有 个黑色棋子，
图③中有 个黑色棋子，
图 中黑色棋子的个数是 ，
图2022中黑色棋子的个数是 ．
故选： ．
24．如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第 1个图形需要6根小木棒，拼第2个图
形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒 若按照这样的方法拼成的第 个
图形需要2022根小木棒，则 的值为
A．252 B．253 C．336 D．337
【解答】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要 根小木棒，
第3个图形需要 根小木棒，
按此规律，第 个图形需要 个小木棒，
当 时，
解得 ，
故选： ．
25．如图，三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中图1有 个小正方形，
所有线段的和为4，图2有 个小正方形，所有线段的和为12，图3有 个小正方形，
所有线段的和为24，按此规律，则第 个图中所有线段的和为
A． B． C． D．
【解答】解： 第一个图形有 个小正方形，所有线段的和为 ，
第二个图形有 个小正方形，所有线段的和为 ，
第三个图形有 个小正方形，所有线段的和为 ，
，
按此规律，则第 个网格中所有线段的和为 ；
故选： ．
26 ． 一 列 数 ， ， ， ， ， 其 中 ， ， ， ，
，则 的值为
A．1009 B． C． D．1008
【解答】解： ，，
，
，
，
这列数以 ， ，2不断循环出现，且 ，
，
．
故选： ．
二．填空题（共13小题）
27．一组单项式： ， ， ， ， ，按照此规律，则第8个单项式是
．
【解答】解：根据分析的规律，得
第8个单项式是 ．
故答案为： ．
28．根据如图所示的程序计算，若输入 的值为1，则输出 的值为 4 ．【解答】解：依据题中的计算程序列出算式： ．
由于 ， ，
应该按照计算程序继续计算， ，
．
故答案为：4．
29．如图是一个数值转换机示意图，若输入 的值为 ， 的值为 ，则数值转换机输出
的结果为 ．
【解答】解：将 ， 代入 得： ，
则输出的数为 ．
故答案为： ．30．如图，是一个简单的数值运算程序．当输入 的值为 ，则输出的数值为
10 ．
【解答】解：根据题意得： ．
故答案是：10．
31．按下面的程序计算：
若输入 ，输出结果是501，若输入 ，输出结果是631，若开始输入的 值为正
整数，最后输出的结果为556，则开始输入的 值可能有 2 种．
【解答】解： 输出的结果为556，
，解得 ；
而 ，
当 等于111时最后输出的结果为556，
即 ，解得 ；
当 时最后输出的结果为556，
即 ，解得 （不合题意舍去），
所以开始输入的 值可能为22或111，即开始输入的 值可能有2种．
故答案为：2．
32．如图，是一个数值转换机的示意图，若输入 的值为3， 的值为 时，则输出的结
果为 ．
【解答】解：根据已知一个数值转换机的示意图可得
， ，，
把 ， 代入得
．
故答案为： ．
33．根据如图所示的程序进行计算，若输入 的值为 ，则输出 的值为 4 ．
【解答】解： ，
，
，
，
故输出 的值是4．
故答案为：4．
34．观察下列单项式： ， ， ， ， ， ，按此规律第 个单项式是
． 是正整数）．
【解答】解：设单项式的通项公式是 ，则
，
，
，，
原题中的一系列单项式是公比为 的等比数列，
，
答案是 ．
35．一组按规律排列的式子： ， ， ， ， ．则第 个式子是 ．
【解答】解：分子依次是： ， ， ， ， ；
分母依次是：1，3，5，7，9， ；
故可得第 个式子为： ．
故答案为： ．
36．有规律地排列着这样一些单项式： ， ， ， ， ， ，则
第 个单项式 整数）可表示为 ．
【解答】解：由题意可知，第 个单项式为： ．
故答案为： ．
37．有一组多项式： ， ， ， ， ，请观察它们的构成规律，用
你发现的规律写出第10个多项式为 ．
【解答】解： 第1个多项式为： ，
第2个多项式为： ，
第3个多项式为： ，第4个多项式为： ，
第 个多项式为： ，
第10个多项式为： ．
故答案为： ．
38．九格幻方有如下规律：处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和都相
等（如图 ．则图2的九格幻方中的9个数的和为 （用含 的式子表示）
【解答】解：如图所示：
解得 ，
所以 ．
故答案为： ．
39．观察下面的一列单项式： ， ， ， ， 根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第 个单项式为 ．
【解答】解：由题意可知第 个单项式是 ，即 ，第7个单项式为
，即 ．
故答案为： ； ．
三．解答题（共6小题）
40．观察以下一系列等式：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
（1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式： ；
（2）根据你上面所发现的规律，用含字母 的式子表示第 个等式： ；
（3）请利用上述规律计算： ．
【解答】解：（1）根据题意得，
第④个等式为： ；
故答案为： ；
（2） ① ；
② ；
③ ；
第 个等式为： ；证明：
；
故答案为： ；
（3） ；
；
；
；
原式
；
；
41．观察下列式子：
① ，
② ，
③ ，
（1）根据你发现的规律，请写出第4个等式 ；
（2）根据你发现的规律，请写出第 为正整数）个等式 ，并证明你所写出的等式
的正确性；（3）请写出第198个等式： ．
【解答】解：（1） ， ， ， ，
第4个等式为 ，
故答案为： ；
（2）第 为正整数）个等式为： ，
证明：左边 ，
右边 ，
左边 右边，
等式成立；
故答案为： ；
（3）由（2）可知，当 时， ，
故答案为： ．
42．观察图：
下列每一幅图都是由一些单位长度均为1的黑方格和白方格按一定的规律组成（下面所有
方格均指的单位为1的小方格）．
（1）根据规律，第4个图中共有 4 5 个方格，其中黑方格 个．
（2）第 个图形中，白方格共有 个．（用 表示， 为正整数）
（3）有没有可能黑方格比白方格恰好少2022个，如果有，求出是第几个图形；如果没有，
请说明理由．【解答】解：（1） 第1个图中共有 个方格，其中黑方格 块，
第2个图中共有 个方格，其中黑方格 块，
第3个图中共有 个方格，其中黑方格 块，
，
第 个图中共有 个方格，其中黑方格 块，
第4个图中共有 个方格，其中黑方格 块，
故答案为：45，12；
（2） 第1个图形中白方格个数共有： ，
第2个图形中白方格个数共有： ，
第3个图形中白方格个数共有： ，
，
第 个图形中白方格个数共有： ，
故答案为： ；
（3）没有可能黑方格比白方格恰好少2022个，
设第 个图形黑方格比白方格恰好少2022个，
得 ，
解得 ，
不符合实际，
没有可能黑方格比白方格恰好少2022个．
43．如图所示的是由大小相同的线段组成的一系列图案，第1个图案由6条线段组成，第2
个图案由9条线段组成， ，按此规律排列下去．（1）①第7个图案由 2 7 条线段组成，第8个图案由 条线段组成；
②第2022个图案由 条线段组成．
（2）若第 个图案由258条线段组成，求 的值．
【解答】解：（1）根据题图可以得出：
第1个图案由6条线段组成，
第2个图案由9条线段组成，
第3个图案由13条线段组成，
第4个图案由16条线段组成，
，
依次类推，第 个图案比第 个图案多7条线段，
奇数个图案的线段条数为 ，
偶数个图案的线段条数为 ，
①第7个图案的线段条数为 ，
第7个图案的线段条数为 ，
故答案为：27，30；
②第2022个图案的线段条数为 ，
故答案为：7079；
（2）当 是奇数时， ，
解得： ；
当 是偶数时， ，
解得： （不符合题意）．
44．如图，数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．（1）表中第8行的最后一个数是 36 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个
数；
（2）用含 的式子表示：第 行的最后一个数是 ，第 行第一个数是 ，第 行
共有 数；
（3）求第 行各数之和（只需要写出算式）
【解答】解：（1）由图中的数据可知，第 的行的最后一个数据是 ，每一行中的数据
都是按照从小到大排列的，每行的数字个数依次为1，3，5， ，是一些连续的奇数，
故第8行的最后一个数是 ，它是自然数8的平方，第8行共有 个数；
故答案为：64，8，15；
（2）由题意可得，
第 的行的最后一个数据是 ，
第 行的第一个数是： ，
第 行共有数的个数为： ，
故答案为： ， ， ；
（3）第 行各数之和为：
．
45．观察下列等式：第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
第5个等式： ；
按上述规律，回答以下问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第 个等式： （用含 的等式表示），并证明．
【解答】解：（ 1）由前面 5 个式子分子分母的规律，第 6 个等式应为：
；
故答案为： ；
（2）第 个等式为： ；
证明：右边
左边，
故等式成立．
故答案为： ．
