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第 03 讲 解直角三角形
课程标准 学习目标
①解直角三角形 1. 掌握直角三角形的所有性质，并能够在解直角三角形时灵活运
②解直角三角形在几何图形 用。
中的应用 2. 掌握解直角三角形的所有类型，并能够熟练的判断并解决。
知识点01 解直角三角形
1. 解直角三角形的定义：
一般地，直角三角形中除了直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形的已知元素
求未知元素的过程叫做解直角三角形。
2. 直角三角形的边角关系：（如图：）
（1）三边关系： ；
（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝ 90 ° 。
（3）边角关系：sinA＝ ；cosA＝ ；tanA＝ 。
3. 解直角三角形的类型：图示 已知条件 解法
两直角边 求c； 求A，
两边
斜边与直角边（如
求b； 求A；
a，c）
； ；
一锐角与它的邻边
（∠A与b）
直角边与
一边和 锐角
一锐角与它的对边 ； ；
一锐角
（∠A与a）
； ；
斜边与锐角（∠A与c）
【即学即练1】
1．根据下列条件，解直角三角形：
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2 ，b＝2；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6．
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出c的长，结合正、余弦的定义，即可求出∠A，∠B
的度数；
（2）在Rt△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠B的度数，再结合正、余弦的定义及 c的长，即
可求出a，b的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2 ，b＝2，
∴c＝ ＝4，
∴sinA＝ ＝ ，sinB＝ ＝ ，
∴∠A＝60°，∠B＝30°．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝30°，
∴sinA＝ ＝ ，sinB＝ ＝ ，
∴a＝3 ，b＝3．知识点02 解直角三角形在几何图形中的应用
1．解直角三角形在几何图形中的应用：
（1）在一般三角形中：通过作高把一般三角形转化为直角三角形进行求解。
（2）在平行四边形与梯形中：通过作高把平行四边形和梯形转化为直角三角形求解。
（3）在矩形、菱形、正方形中：连接对角线行程直角三角形求解。
（4）在圆中：构造直径所对的圆周角得到直角三角形进行求解。
【即学即练1】
2．如图所示，在△ABC中，∠B＝30°，sinC＝ ，AC＝10，求AB的长．
【分析】过点A作AD⊥BC于D，在直角三角形ACD中，根据已知的∠C的正弦值和AC的长，求出
AD的长，再在直角三角形ABD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半，即可求出AB的长．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，
在Rt△ACD中，∵sinC＝ ＝ ，AC＝10，
∴AD＝ AC＝6，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝12．
【即学即练2】
3．如图，在矩形ABCD中，tan∠BAC＝3，AD＝18，求矩形ABCD的面积．
【分析】先根据四边形ABCD是矩形可知AD＝BC，∠ABC＝90°，再由tan∠BAC＝3可设AB＝x，则
BC＝3x，再根据AD＝18求出x的值，根据矩形的面积即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝18，∠ABC＝90°，
∵tan∠BAC＝3，∴设AB＝x，则BC＝3x，
∴3x＝18，解得x＝6，
∴AB＝6，BC＝18，
∴S矩形ABCD ＝6×18＝108．
【即学即练3】
4．如图，已知AB是 O的直径，AC切圆O于A，CB交圆O于D，AC＝2 ，CD＝3，求tanB的值．
⊙
【分析】连接AD，解直角三角形ADB和ADC即可求出∠CAD的正切，即∠B的正切．
【解答】证明：连接AD
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°
∴在Rt△ADC中，AD＝ ，
∴tanCAD＝
∵AC是 O的切线，∴∠CAD＝∠B，
⊙
∴tanCAD＝tanB＝ ．
题型01 解直角三角形
【典例1】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，由下列条件解直角
三角形．
（1）已知 ，求∠B．
（2）已知c＝30，∠A＝60°，求a．
【分析】（1）由 ，即可得出答案；（2）由 ，代入数值计算即可得出答案．
【解答】解：（1）∵ ，∠C＝90°，
∴ ，
∴∠B＝45°；
（2）∵c＝30，∠A＝60°，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3．解这个直角三角形；（要求：画图，写
步骤）
（2）在Rt△DEF中，∠D＝90°， ，EF＝6．解这个直角三角形．（要求：画图，写步骤）
【分析】（1）由直角三角形的性质求出∠A＝60°，由锐角的正切定义得到tanA＝ ＝ ，求出AC＝
，由含30度角的直角三角形的性质得到AB＝2AC＝2 ；
（2）由勾股定理求出DF＝ ＝3 ，判定△DEF是等腰直角三角形，得到∠E＝∠F＝
45°．
【解答】解：（1）如图①，
∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∵tanA＝tan60°＝ ＝ ，BC＝3，
∴AC＝ ，
∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴AB＝2AC＝2 ；
（2）∵∠D＝90°， ，EF＝6，
∴DF＝ ＝3 ，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠E＝∠F＝45°．【变式2】由下列条件解直角三角形；在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）已知a+c＝12，∠B＝60°；
（2）b+c＝30，∠A﹣∠B＝30°．
【分析】（1）根据在Rt△ABC中，∠C＝90°，a+c＝12，∠B＝60°，可得∠A的度数，两条直角边的平
方和等于斜边的平方，从而可以解这个直角三角形；
（2）首先根据∠C＝90°可得∠A+∠B＝90°，再结合∠A﹣∠B＝30°可算出∠A、∠B的度数，再根据特
殊角的三角函数数值计算出三边长即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a+c＝12，∠B＝60°，
∴∠A＝30°．
∴c＝2a．
∴a＝4，c＝8．
∴b＝ ＝ ＝4 ．
即：a＝4，b＝ ，c＝8，∠A＝30°；
（2）∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A﹣∠B＝30°，
∴∠A＝60°，∠B＝30°，
∵sin30°＝ ，
∴b＝ c，
∵b+c＝30，
∴ c+c＝30，
解得c＝20，
则b＝10，
∴a＝ ＝10 ．
【变式3】根据下列条件解直角三角形．
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝5，c＝10；
（2）在Rt△ABC中， ．
【分析】（1）先求出∠B的正弦，进而得出∠B的度数，再求出∠A的度数，最后利用勾股定理求出a
即可．
（2）先求出∠B的度数，再根据∠A的正切，得出b与a的关系，再根据△ABC的面积可求出a，b，
最后利用勾股定理求出c即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，sinB＝ ，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°．
由勾股定理得，
a＝ ．
（2）∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°．
在Rt△ABC中，
tanB＝ ，
∴b＝ a．
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得a＝2 （舍负），
∴b＝ ．
由勾股定理得，
c＝ ＝ ．
题型02 在网格纸中求锐角三角函数
【典例1】如图，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正切值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点B作BC⊥AO于点C，根据△ABO的面积可求出BC的长度，然后根据勾股定理可求出
CO的长度，最好根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：过点B作BC⊥AO于点C，
∴AO＝ ＝2 ，BO＝ ＝2 ，
S△ABO ＝ ×2×2＝2，
∵S△ABO ＝ AO•BC，
∴BC＝ ，
∴CO＝
＝ ，
∴tan∠COB＝ ＝ ＝ ．
故选：C．
【变式1】如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为（ ）
A． B． C． D．2
【 分 析 】 连 接 CB ， 设 小 正 方 形 边 长 为 1 ， 求 出 ， ，
，即可证明△ABC是直角三角形，问题随之得解．
【解答】解：连接CB，设小正方形边长为1，
∴AB2＝22+42＝20，AC2＝32+42＝25，CB2＝22+12＝5，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，CB＝ ，AC＝5，
∴ ，
故选：B．
【变式2】如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，联结
AB．CD相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到cos∠BPC的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用两直线平行，内错角相等，将∠BPC转化为∠ABE即可解决问题．
【解答】解：由题知，
∵CD∥BE，
∴∠BPC＝∠ABE．
显然∠AEB＝90°，
令BE＝a，则AE＝2a，
在Rt△ABE中，
AB＝ ，
所以cos∠ABE＝ ，
则cos∠BPC＝cos∠ABE＝ ．
故选：B．
【变式 3】在边长相等的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 都在格点上，那么 sin∠ACB 的值为
（ ）A． B． C． D．
【分析】过点B作AC的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．
【解答】解：过点B作AC的垂线，垂足为M，
令小正方形的边长为a，
根据勾股定理得，AB＝ ＝ a，
BC＝ ＝ a，
∴AB＝BC．
∴格点M是AC的中点．
∴BM＝ ，
在Rt△BCM中，
sin∠ACB＝ ．
故选：C．
【变式4】如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用勾股定理求出AB，AC，BC，再利用勾股定理逆定理，得到∠BAC＝90°，根据锐角三
角函数的定义，逐一进行判断即可．
【解答】解：由图，可知： ，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，∴ ， ， ， ，
综上：只有选项A是错误的，
故选：A．
题型03 解直角三角形在几何中的应用
【典例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．6 B．2 C．2 D．9
【分析】作CD⊥AB，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出CD，根据勾股定理计算，得
到答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝ AC＝3，
∴BD＝AB+AD＝7，
由勾股定理得，CD＝ ＝3 ，
在Rt△BCD中，BC＝ ＝2 ，
故选：B．
【变式1】在四边形ABCD中，∠C＝120°，∠B＝∠D＝90°，CD＝3，BC＝12，则四边形ABCD的面积为
．
【分析】延长BC交AD于点E，根据已知条件可求出△ABE和△CDE的面积，两者面积相减可求出四边形ABCD的面积．
【解答】解：延长BC，与AD的延长线交于点E，
∵∠BCD＝120°，
∴∠DCE＝60°，
在Rt△CDE中，CD＝3，∠DCE＝60°，
∴∠E＝30°，EC＝ ，
∴EC＝6，
∵BC＝12，
∴BE＝12+6＝18．
在Rt△ABE中，∠E＝30°，BE＝18，
则AB＝6 ，
S△ABE ＝18×6 × ＝54 ，
S△CDE ＝ED×CD× ＝3×3 × ＝ ，
S四边形ABCD ＝S△ABE ﹣S△CDE ＝54 ﹣ ＝ ．
故填空答案： ．
【变式2】如图，将三角尺ABC和三角尺DEF叠放在一起，直角边AC与DE完全重合，已知AB长为
16cm，若三角尺DEF沿CB方向移动，此时测得OB长是6cm，则移动距离CD是（ ）
A．2cm B． C． D．
【分析】如图，过点O作OH⊥BC于点H．解直角三角形求出BC，BH，DH，可得结论．
【解答】解：如图，过点O作OH⊥BC于点H．∵∠C＝90°，AB＝16cm，∠B＝30°，
∴BC＝AB•cos30°＝16× ＝8 （cm），
∵OB＝6cm，
∴BH＝OB•cos30°＝6× ＝3 （cm），OH＝ OB＝ ×6＝3（cm），
∵∠EDF＝∠FDB＝45°，∠OHD＝90°，
∴DH＝OH＝3（cm），
∴CD＝BC﹣DH﹣HB＝8 ﹣3﹣3 ＝（5 ﹣3）cm．
故选：C．
【变式3】在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对
全等的直角三角形（△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG）和矩形EFGH拼成大矩形ABCD．连结CH，
设∠CHG＝ ，∠CDG＝ ．若 BC＝2AB，tan ＝tan2 ，则矩形 EFGH 与矩形 ABCD 的面积比为
（ ）
α β β α
A． B． C． D．
【分析】设CG＝x，HG＝y，证△ADH∽△DCG，用含x、y的式子表示DG、AH、EH，再根据tan ＝
tan2 ，推出x与的关系，最后利用勾股定理求出DC、EH和AD的长，代入矩形面积计算即可．
β
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，
α
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AD＝2CD，
设CG＝x，HG＝y，
∵△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG，且这四个三角形均为直角三角形，
∴∠AHD＝∠DGC＝90°，
∴∠DAH+∠ADH＝∠ADH+∠CDG＝90°，
∴∠CDG＝∠DAH，∴△ADH∽△DCG，
∴ ＝2，
∴DH＝2x，
∴DG＝2x+y，AH＝4x+2y，EH＝3x+2y，
∵∠CHG＝ ，∠CDG＝ ，tan ＝tan2 ，
α β β α
∴ ，即2x2+xy＝y2，
∴y2﹣xy﹣2x2＝0，
∴（y﹣2x）（y+x）＝0，
∵y+x≠0，
∴y＝2x，
∴DG＝4x，DC＝ x，EH＝3x+2y＝7x，
∴AD＝2 x，
∴ ＝ ＝ ，
故选：B．
【变式4】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作 O
⊙
与边AC交于点D，若tanA＝ ，AD＝2，则tan∠BOC＝ 2 ．
【分析】过O作OH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到OH＝OC，设 O的半径为3x，则OH＝OD
＝OC＝3x，在解直角三角形即可得到结论．
⊙
【解答】解：过O作OH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，∴OC⊥BC，
∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，
∴OH＝OC，
即OH为 O的半径，
设 O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，
⊙
⊙
在Rt△AOH中，tanA＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AH＝4x，
∴AO＝ ＝5x，
∵AD＝2，
∴AO＝OD+AD＝3x+2，
∴3x+2＝5x，
∴x＝1，
∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3，
∴AC＝OA+OC＝5+3＝8，
在Rt△ABC中，tanA＝ ，
∴BC＝AC•tanA＝8× ＝6，
∴tan∠BOC＝ ＝ ＝2，
故答案为：2．
1．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝50°，BC＝3，则AC等于（ ）
A．3sin50° B．3tan50° C．3tan40° D．3sin40°
【分析】利用∠B的正切函数求解即可．
【解答】解：如图，由题意可得：∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝40°，
∵BC＝3，
∴ ，
∴AC＝3tan40°，
故选：C．
2．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝ ，BC＝a，那么AB的长为（ ）
α
A． B． C．asin D．acos
【分析】根据三角函数的定义进行选择即可．
α α
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝ ，BC＝a，
α
∴sin ＝ ，
α
∴AB＝ ，
故选：A．
3．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝10，点 D 是 AB 边上一点， ，则 AC＝
（ ）
A．5 B．6.5 C．7 D．7.5
【分析】过D点作DE⊥BC于E点，如图，在Rt△CDE中利用正切的定义得到tan∠DCE＝ ＝ ，
则可设DE＝x，CE＝2x，所以BE＝10﹣2x，再在Rt△BDE中利用勾股定理得到x2+（10﹣2x）2＝52，
解方程得到DE＝3，BE＝4，接着利用正切的定义得到tanB＝ ＝ ，tanB＝ ＝ ，所以 ＝ ，
从而可求出AC的长．
【解答】解：过D点作DE⊥BC于E点，如图，
在Rt△CDE中，∵tan∠DCE＝ ＝ ，
∴设DE＝x，CE＝2x，
∴BE＝BC﹣CE＝10﹣2x，在Rt△BDE中，x2+（10﹣2x）2＝52，
解得x ＝3，x ＝5（舍去），
1 2
∴DE＝3，BE＝4，
在Rt△BDE中，tanB＝ ＝ ，
在Rt△ACB中，tanB＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得AC＝7.5．
故选：D．
4．在5×10的网格中，点A，B，C均是网格线的交点，则cos∠BAC＝（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】连接BC，先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB＝90°，然后在
Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：连接BC，
由题意得：BC2＝12+32＝10，
AC2＝22+62＝40，
AB2＝72+12＝50，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝ ＝2 ，AB＝ ＝5 ，
∴cos∠BAC＝ ＝ ＝ ，
故选：B．
5．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为（ ）
A．60 B．30 C．240 D．120
【分析】由tanA的值，利用锐角三角函数定义设出BC与AC，进而利用勾股定理表示出AB，由周长为
60求出x的值，确定出两直角边，即可求出三角形面积．
【解答】解：如图所示，由tanA＝ ，
设BC＝12x，AC＝5x，根据勾股定理得：AB＝13x，
由题意得：12x+5x+13x＝60，
解得：x＝2，
∴BC＝24，AC＝10，
则△ABC面积为120，
故选：D．
6．如图，在△ABC中，∠B＝45°， ，过点A作AD⊥BC于点D， ．若E，F分别为
AB、BC的中点，则EF的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【分析】由等腰直角三角形的性质求出AD＝ AB＝2 ，由锐角的正弦求出AC＝4，由三角形中位
线定理求出EF＝ AC＝2．【解答】解：∵∠B＝45°，AD⊥BC，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝ AB＝ ×2 ＝2 ，
∵sinC＝ ＝ ，
∴AC＝4，
∵E，F分别为AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝ AC＝2．
故选：A．
7．如图，一艘军舰在A处测得小岛P位于南偏东60°方向，向正东航行40海里后到达B处，此时测得小
岛P位于南偏西75°方向，则小岛P离观测点A的距离是（ ）
A． 海里 B． 海里
C． 海里 D． 海里
【分析】过点B作BH⊥AP，交AP的延长线于H，由题意可知∠BAH＝90°﹣60°＝30°，由含30°的直角
三角形的性质可得出 海里，再通过角度的计算得出∠PBH＝60°﹣15°＝45°，通过等角对等
边可得出PH＝BH＝20海里，根据余弦的定义求出AH，最后根据线段的和差关系可得出答案．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AP，交AP的延长线于H，
则∠AHB＝90°，
由题意可知：∠BAH＝90°﹣60°＝30°，AB＝40海里，
∴ 海里，∠ABH＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ABP＝90°﹣75°＝15°，
∴∠PBH＝60°﹣15°＝45°，∴∠HPB＝45°
∴PH＝BH＝20海里，
∵ ，
∴ 海里，
∴ 海里，
故选：B．
8．如图，半径为3的 A经过原点O和点C（0，2），点B是y轴左侧 A优弧上一点，则sin∠OBC为（
）
⊙ ⊙
A． B． C． D．
【分析】连接DC，根据90度的圆周角所对的弦是直径可得CD是 A的直径，从而可得CD＝6，再根
⊙
据已知易得：OC＝2，然后在Rt△COD中，利用锐角三角函数的定义可得sin∠CDO＝ ，再根据同弧
所对的圆周角相等可得∠CDO＝∠OBC，即可解答．
【解答】解：连接DC，
∵∠COD＝90°，
∴CD是 A的直径，
∴CD＝2×3＝6，
⊙
∵点C（0，2），
∴OC＝2，
在Rt△COD中，sin∠CDO＝ ＝ ＝ ，
∵∠CDO＝∠OBC，
∴sin∠OBC＝sin∠CDO＝ ，
故选：A．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，过点A作CD的垂线，分别交BC、CD于点E、F．
若 ，AE＝26，则CD的长为（ ）
A．39 B． C． D．19.5
【分析】先在Rt△ACE中，根据AE长及∠CAE的正切求出AC的长，再通过∠B＝∠CAE，在Rt△ABC
中求出BC的长，最后用勾股定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ACE中，
tan∠CAE＝ ＝ ，
则令CE＝2x，AC＝3x，
所以（2x）2+（3x）2＝262，
解得x＝ （舍负），
所以AC＝ ．
因为AE⊥CD，
所以∠CAE+∠AEC＝90°，
又因为∠AEC+∠ECD＝90°，
所以∠CAE＝∠ECD．
因为CD是斜边AB上的中线，
所以CD＝BD，
所以∠ECD＝∠B，
所以∠CAE＝∠B，
所以tanB＝tan∠CAE＝ ．
在Rt△ABC中，
tanB＝ ，
所以BC＝ ．
所以AB＝ ＝39，
所以CD＝ ＝19.5．故选：D．
10．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝25°，设AB＝m，AC＝n，用含m，n的式子表示BC的长是（
）
A． B．
C． D．
【分析】作AD⊥BC于D，作EF垂直平分AC，交AC于F，交BC于E，连接AE，由∠B＝50°，∠C＝
25°，得到AB＝AE＝CE＝m，由勾股定理求出EF，由等积法求出AD，再由勾股定理求出DE，则BC＝
BD+DE+CE，依此即可求解．
【解答】解：作AD⊥BC于D，作点B关于AD对称点E，连接AE，
∵∠B＝50°，∠C＝25°，
∴∠B＝2∠C，
∵点B关于AD对称点是E，
∴∠B＝∠AEB，
∴AB＝AE＝CE＝m，
设DE＝a，
勾股定理得，n2﹣（m+a）2＝m2﹣a2，
解得a＝ ，
∴BC＝BD+DE+CE＝ ．
故选：A．
11．在△ABC中，AB＝4，AC＝ ，∠B＝60°，则BC＝ 2+ 或 2 ﹣ ．
【分析】分两种情形：当△ABC是钝角三角形时，当△ABC是锐角三角形时，分别作BC边上的高
CD，求出BD，CD可得结论．【解答】解：当△ABC是钝角三角形时，如图1：作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
∵AB＝4，AC＝ ，∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝ AB＝2，
∴AD＝ ＝2 ，
∴DC＝ ＝ ＝ ，
∴BC＝2﹣ ＝2﹣ ．
当△ABC是锐角三角形时，如图2：作AD⊥BC，
∵AB＝4，AC＝ ，∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝ AB＝2，
∴AD＝ ＝2 ，
∴DC＝ ＝ ＝ ，
∴BC＝2+ ＝3，
故答案为：2+ 或2﹣ ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点P（m，8）在第二象限内．若OP与x轴负半轴的夹角 的正切值为
α
，则m的值为 ﹣ 6 ．【分析】过点P作PA⊥x，交x轴于点A，根据题意得出 ，即可求出．
【解答】解：过点P作PA⊥x，交x轴于点A，
由题意可得：PA＝8，OA＝|m|＝﹣m，
∵ 的正切值为 ，
α
∴tana＝ ＝ ，
∴m＝﹣6，
故答案为：﹣6．
13．如图，P为△ABC边BC上的一点，且PB＝2，PC＝4，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则AP的长
度为 2 +2 ．
【分析】过点C作CD⊥AP于D，根据直角三角形两锐角互余求出∠PCD＝30°，然后根据直角三角形
30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PD＝ PC＝2，再根据等边对等角求出PD＝PB＝a，然后根据
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDP＝∠DBP＝30°，从而得到∠DBP＝
∠PCD，根据等角对等边可得BD＝CD，根据∠ABC＝45°求出∠ABD＝15°，再根据三角形的一个外角
等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAD＝15°，从而得到∠BAD＝∠ABD，根据等角对等边可得AD
＝BD，最后根据AP＝AD+PD代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AP于D，
∵∠APC＝60°，∴∠PCD＝90°﹣60°＝30°，
∴PD＝ PC＝2，
∵PB＝2，
∴PD＝PB＝2，
∴∠BDP＝∠DBP，
∵∠BDP+∠DBP＝∠APC＝60°，
∴∠BDP＝∠DBP＝30°，
∴∠DBP＝∠PCD，
∴BD＝CD＝ ＝ ＝2 ，
又∵∠ABC＝45°，∠DBP＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBP＝45°﹣30°＝15°，
∴∠BAD＝∠BDP﹣∠ABD＝30°﹣15°＝15°，
∴∠BAD＝∠ABD＝15°，
∴AD＝BD，
∴AD＝BD＝CD＝2 ，
∴AP＝AD+PD＝2 +2．
故答案为：2 +2．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，D为垂足， ，那么sin∠DCB＝ ．
【分析】根据题意画出图形，根据 ，设BC＝3k，AC＝4k，求出AB的长，利用角的转换以及
正弦的定义，进行求解即可．
【解答】解：如图，
∵∠CDB＝90°＝∠ACB，
∵∠BCD+∠B＝∠A+∠B，∴∠BCD＝∠A，
∵ ，
∴设BC＝3k，AC＝4k，
∴ ，
∵∠BCD＝∠A，
∴ ；
故答案为： ．
15．如图，矩形 ABCD中，AB＝3，对角线 AC，BD交于点 O，DH⊥AC，垂足为点 H，若∠ADH＝
2∠CDH，则AH的长为 ．
【分析】由矩形的性质得出CD＝AB＝3，∠ADC＝90°，结合题意求出∠ADH＝60°，∠CDH＝30°，先
解直角三角形得出DH的长，再由AH＝DH•tan∠ADH计算即可得解．
【解答】解：矩形ABCD中，AB＝3，DH⊥AC，垂足为点H，∠ADH＝2∠CDH，∠ADH+∠CDH＝
90°，
∴CD＝AB＝3，∠ADC＝90°，
∴∠ADH＝60°，∠CDH＝30°，
在直角三角形CDH中，DH＝CD•cos∠CDH＝3×cos30°＝3× ＝ ，
在直角三角形ADH中，AH＝DH•tan∠ADH＝ ×tan60°＝ × ＝ ，
故答案为： ．
16 ． 在 △ ABC 中 ， ∠ A ， ∠ B 和 ∠ C 所 对 的 边 长 分 别 为 a ， b ， c ， ∠ C ＝ 90° ． 若
，解这个直角三角形．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A＝60°，∠B＝30°，根据直角三角形性质得出c＝2b，根据三
角函数定义得出 ，最后根据 求出三边长即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
又∵∠A﹣∠B＝30°，
∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴c＝2b，
∵ ，
∴ ．
∵ ，即 ，
解得b＝4，
则 ，
∴c＝2b＝2×4＝8．
17．如图1是一本厚度为2cm的字典，封面是硬的，翻开时不会发生弯曲．如图 2，把这本字典放在桌面
MN上，将上面的封面OA打开45°角到OB位置时，点B到OA的距离BE＝8 cm．现将封面OA打开
120°角到OC位置，请回答下列问题（计算时不考虑封面的厚度）．
（1）求字典的封面宽OB；
（2）求点C到桌面MN的距离CF．
【分析】（1）依题意得∠BOE＝45°，BE＝82cm，∠BEO＝90°，在Rt△BEO中利用锐角三角函数可求
出OB的长；
（2）延长EO交CF于H，依题意可得HF＝OD＝2cm，∠CHO＝90°，∠CDH＝60°，在Rt△OCH中利
用锐角三角函数可求出CH的长，进而可得CF．
【解答】解：（1）依题意得：∠BOE＝45°，BE＝ cm，∠BEO＝90°，
在Rt△BEO中，sin∠BOE＝ ，
∴OB＝ ＝ ＝16（m）；
（2）延长EO交CF于H，如图所示：
依题意得：∠EOC＝120°，OC＝OB＝16cm，∠CFD＝90°，OE∥MN，HF＝OD＝2cm，
∴∠CHO＝90°，∠CDH＝180°﹣∠EOC＝60°，在Rt△OCH中，sin∠CDH＝ ，
∴CH＝CD•sin∠CDH＝16•sin60°＝ （cm），
∴CF＝CH+HF＝（ ）cm．
18．已知：如图，AB 是 O 的直径，C，D 是 O 上两点，过点 C 的切线交 DA 的延长线于点 E，
DE⊥CE，连接CD，BC．
⊙ ⊙
（1）求证：∠DAB＝2∠ABC；
（2）若tan∠ADC＝ ，BC＝8，求 O的半径．
⊙
【分析】（1）连接OC，根据CE是 O的切线得到∠OCE＝90°，从而得到OC∥DE，进而得到∠DAB
＝∠AOC，再结合∠AOC＝2∠ABC，即可得到∠DAB＝2∠ABC；
⊙
（2）连接 AC，先根据 AB 是 O 的直径得到∠ACB＝90°，再根据圆周角定理得到 tan∠ABC＝
⊙
tan∠ADC＝ ，在Rt△ABC利用锐角三角函数及勾股定理即可计算出半径长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE是 O的切线，
∴∠OCE＝90°，
⊙
∵DE⊥CE，
∴∠E＝90°，
∴∠OCE+∠E＝180°，
∴OC∥DE，
∴∠DAB＝∠AOC，
∵∠AOC＝2∠ABC，
∴∠DAB＝2∠ABC；（2）解：连接AC，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∵∠ABC＝∠ADC，
∴tan∠ABC＝tan∠ADC＝ ，
∴ ，
∵BC＝8，
∴AC＝4，
∴AB＝4 ，
∴ O的半径为2 ．
19．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
⊙
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如：在计算tan15°时，可构造如图1所
示的图形．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，设AC＝x（x＞0），延长CB至点D，使得BD＝
AB，连结AD，易知∠D＝15°，CD＝BD+BC＝AB+BC＝2x+ x，所以tan15°＝tanD＝…
任务：
（1）请根据上面的步骤，完成tan15°的计算；
（2）请类比这种方法，计算图2中tan22.5°的值．
【分析】（1）根据题中所给思路，继续完成计算即可．
（2）按照（1）中的计算方式，即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，设AC＝x（x＞0），延长CB至点D，使得BD＝AB，连结AD，
因为∠ABC＝30°，AB＝BD，
所以∠D＝∠DAB＝15°．
在Rt△ABC中，
sin30°＝ ，
则AB＝2x，
同理可得，BC＝ ，
所以CD＝2x+ ．
在Rt△ACD中，
tanD＝ ，
即tan15°＝2﹣ ．
（2）延长CB到点D，使BD＝BA，
因为∠ABC＝45°，AB＝DB，
所以∠D＝∠DAB＝22.5°．
令AC＝x，则BC＝x，AB＝ ，
所以BD＝AB＝ ，
则CD＝CB+DB＝x+ ．
在Rt△ACD中，
tanD＝ ＝ ，
即tan22.5°＝ ．
20．如图，在正方形ABCD中，P为CD上一动点，AB＝4，CP＝x，（0＜x＜4），作C关于BP的对称点
C′，连接BC′、PC′．
（1）当x＝1时，求cos∠DPC′；
（2）连接AC交BC′、BP于M、N，若AM＝y，求y与x的函数关系式．
【分析】（1）延长BC′与DC交于点E，利用勾股定理求出C′E、PE的长即可；（2）延长BC′与DC交于点E，利用勾股定理表示出PE的长度，再根据AB∥CD得到 求解即
可．
【解答】解：（1）延长BC′与DC交于点E，设C′E＝a，PE＝b，
∵正方形ABCD中，P为CD上一动点，AB＝4，
∴AB＝BC＝DC＝AD＝4，AB∥CD，∠BCD＝90°，
∵作C关于BP的对称点C′，CP＝x＝1，
∴∠BCD＝∠BC′P＝90°，BC＝BC′＝4，CP＝C′P＝1，
∴BE＝BC′+EC′＝4+a，CE＝CP+PE＝1+b，
在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，即42+（1+b）2＝（4+a）2，
在Rt△PC′E中，C′P2+C′E2＝PE2，即12+a2＝b2，
两个方程相减得b＝4a﹣1，
∴12+a2＝（4a﹣1）2，
解得a ＝ ＝0（舍去），
1
∴a＝ ，b＝4a﹣1＝ ，
∴cos∠DPC′＝ ；
（2）延长BC′与DC交于点E，设C′E＝a，PE＝b，
∵作C关于BP的对称点C′，CP＝x，
∴∠BCD＝∠BC′P＝90°，BC＝BC′＝4，CP＝C′P＝x，
∴BE＝BC′+EC′＝4+a，CE＝CP+PE＝x+b，
在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，即42+（x+b）2＝（4+a）2，
在Rt△PC′E中，C′P2+C′E2＝PE2，即x2+a2＝b2，两个方程相减得b＝ ﹣x，
∴x2+a2＝（ ﹣x）2，
解得a ＝ ，a ＝0（舍去），
1 2
∴a＝ ，b＝ ﹣x，
∴EC＝CP+PE＝b+x＝ ＝ ，
∵AB∥CD，
∴ ，
∴ ＝ ，
整理得y＝ ．
