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专题 21.6 菱形的性质
教学目标 1. 熟悉菱形的定义，掌握菱形的性质，并能够熟练地应用性质。
1. 重点
（1）菱形的性质。
2. 难点
教学重难点
（1）利用菱形的性质求线段的长度与角的度数；
（2）菱形的性质结合平面直角坐标系求点的坐标；
（3）注意区分菱形的性质与矩形的性质。知识点01 菱形的定义与性质
1. 菱形的概念：
有一组邻边 的平行四边形是菱形。
2. 菱形的性质：
（1）菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质。
特殊性：
（2）边的特殊性：四条边都 。
即：AB BC CD AD
（3）对角线的特殊性：对角线相互 且 每一组对角。
即：AC BD，且∠DAC ∠BAC ∠DCA ∠BCA，
∠ADB ∠CDB ∠ABD ∠CBD。
（4）面积计算：等于对角线乘积的一半。即 。
（5）对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。
【即学即练1】
1．下列性质中菱形一定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．有一个角是直角
C．对角线互相垂直 D．四个角相等
【即学即练2】
2．下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角线相等
C．四条边相等 D．对角线互相平分
【即学即练3】
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点．若AC＝6，BD＝8，则OE
的长是（ ）
A．3 B．4 C．2.4 D．2.5
【即学即练4】
4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF，则∠BFC的度数为（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°
【即学即练5】
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，若点A的坐标为(2❑√2，3)，则C
点的坐标为（ ）
A．（0，﹣1） B．（0，﹣1.5） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）
【即学即练6】
6．如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝6，求BE的值．
题型01 利用菱形的性质求线段【典例1】如图，在周长为20的菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．已知AC＝6，则BD的长为
（ ）
A．4 B．3 C．8 D．14
【变式1】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝2，BD＝4，则该菱形的周长是（
）
A．4❑√3 B．8 C．4❑√5 D．16
【变式2】如图，在菱形ABCD中，AC交BD于O，DH⊥AB于H，连接OH，AC＝16，AB＝10，则OH
＝（ ）
A．2.4 B．4.8 C．9.6 D．6
【变式3】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是BC的中点，F是DE上一点且满足BF⊥CF，则
EF
=（ ）
ED
❑√3 1 ❑√7 ❑√5
A． B． C． D．
3 2 7 5
题型02 利用菱形的性质求角度
【典例1】如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E在BD上，过点E作EF∥BC交CD边于点F，如果
∠ABC＝50°，那么∠DEF的度数为（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°
【变式1】如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，连接DE、CE，DE＝AD，若∠A＝72°，则
∠DEC的度数（ ）
A．54° B．72° C．50° D．48°
【变式2】如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，且AB⊥AE，若∠ABC＝40°，则∠AEB的度数
为 ．
【变式3】如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线 AC于点F，点E为垂足，连接DF．若
∠BAD＝ ，则∠CDF为（ ）
α
3 3
A． B． α C．180°− α D．180°﹣2
2 2
α α
题型03 利用菱形的性质求坐标
【典例1】如图，已知点A的坐标为(−2❑√3，2)，点B的坐标为(−1，−❑√3)，菱形ABCD的对角线交
于坐标原点O，则C，D两点的坐标分别为（ ）
A．(2❑√3，2)，(1，❑√3) B．(2❑√3，−2)，(1，❑√3)
C．(−2❑√3，−2)，(−1，❑√3) D．(−2❑√3，2)，(−1，−❑√3)
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝45°，点D在y轴上，则点A的
坐标为（ ）A．(−4，2❑√2) B．(2❑√2，2❑√2) C．(4，2❑√2) D．(−4❑√2，4)
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B在x轴上，连接AC，交x轴于点D，若OB
＝8，AD＝3，则点C的坐标为（ ）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（4，﹣3） D．（﹣4，3）
【变式 3】如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（0，3），B（5，3），线段 AB平移后得到线段
A′B′，点A，B的对应点分别为点A′，B′，若四边形AA′B′B是菱形，且点A′在x轴正半轴上，
则点B′的坐标为（ ）
A．（5，0） B．（8，0） C．（9，0） D．(5+❑√34，0)
1．菱形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边平行
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行
C．对角线互相垂直 D．有一个角是直角
3．菱形的对角线长分别为10cm，8cm，则此菱形的周长为（ ）
A．12cm B．❑√41cm C．4❑√41cm D．24cm
4．在菱形ABCD中如图，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（ ）
A．75° B．70° C．40° D．30°
5．如图，四边形ABCD为菱形，点A、B、C、D在坐标轴上，A（2，0），AB＝3，则菱形ABCD的面积
等于（ ）
A．2❑√5 B．4❑√5 C．8❑√5 D．12
6．如图，在菱形ABCD中，连接BD，过点D作DE⊥AB于点E，若∠BDE＝35°，则∠ADC的度数为（
）
A．95° B．100° C．110° D．120°
7．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．若OB＝
3，OE=3❑√3，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．9❑√3 B．18❑√3 C．36❑√3 D．9
8．如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若
菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（ ）1 ❑√3
A． B． C．1 D．❑√3
2 2
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝120cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速
度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到
达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接
DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（ ）
A．20秒 B．18秒 C．12秒 D．6秒
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且
PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OB=❑√3OA；③∠MPN
1
＝60°； ④PM+PN= BD．其中正确的有（ ）个．
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAD＝60°，AC=8❑√3，则对角线BD的
长 ．
12．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标是（4，2），则点B的坐标是 ．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝12，
OH＝5，则S菱形ABCD ＝ ．14．如图，四边形 ABCD 是菱形，点 P 为 AD 边上一动点（不与点 A，D 重合），PE⊥AC 于点 E，
PF⊥DB于点F．若AC＝6，BD＝12，则EF的最小值为 ．
15．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线BD上，过点P作PH⊥AB于点H，且DP＝BH，连接CP，若
∠ABC＝120°，BC＝3，则CP的长为 ．
16．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，延长AC、CA至点F、E，连接DE、DF，DE＝DF．
求证：AE＝CF．
17．如图，已知点A的坐标为(−2❑√3，2)，点B的坐标为(−1，−❑√3)，菱形ABCD的对角线交于坐标
原点O．
（1）求C，D两点的坐标；
（2）求菱形ABCD的面积．18．如图，将两块完全相同的含有30°角的直角三角尺ABC、DEF在同一平面内按如图方式摆放，其中点
A、E、B、D在同一直线上，连接AF、CD．（1）试判断四边形ACDF的形状，并说明理由；
（2）已知BC＝2，若四边形ACDF是菱形，求AD的长．
19．图1是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图2所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中
间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，
C之间的距离）．已知AB＝36cm．（1）当∠ADC＝60°时，求千斤顶高AC的长度；
（2）当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？
20．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连
接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．
（2）若AB＝6，BC＝10，若四边形ADCF是菱形，求DG的值．
