文档内容
专题21 直角对直径与直径对直角
1．如图，点D在半圆O上，半径OB＝ ，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC
上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的
⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小，由此求解即可．
【详解】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵∠DHC=90°，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝ ＝12，
∴BM＝ ＝ ＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，利用辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
2．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，且⊙O的半径为4，连接AC，BD，交于点O，若
∠DAC+∠BAC＝90°，AB＝6，则CD的长为（ ）A．2 B．2 C．2 D．6
【答案】D
【分析】由圆周角定理推知AC、BD是两直径，所以在直角△ABD中利用勾股定理求得AD的长
度，然后在直角△ADC中利用勾股定理求得CD的长度即可．
【详解】解：∵∠DAC+∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝90°．
∴BD是直径．
在直角△ABD中，AB＝6，BD＝8，则 ，
∵AC与BD相交于点O．
∴AC是圆O的一条直径，
∴∠ADC＝90°．
在直角△ADC中， ．
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理、勾股定理，灵活应用圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
3．如图，四边形 内接于 ，且 ， ．若 ， ，则 的长为
（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D【分析】连接BD，根据 的圆周角所对的弦是直径得出BD为直径，从而得出 ，再根
据勾股定理和圆心角、弧、弦的关系定理得出BD=5，BC=DC，进而求出CD的长
【详解】解：连接BD，
∵ ， ， ，
∴BD是 的直径，BD=5，
∴∠C=90°，
∵
∴BC=DC
∴
∴BC=CD= ；
故选：D
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学
会利用勾股定理求线段的长，属于中考常考题型．
4．如图，在 中， 点 是 边上一点，连接 ，以 为直
径的 交于 点 则线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】连接CN，根据直径所对的圆周角是直角可得∠CNM=90°，然后根据圆周角为直角所对
的弦为直径可得点N的运动轨迹为以BC为直径的圆上的一部分，设圆心为O′，连接AO′，交圆
O′于点N，易知此时AN最小，然后利用勾股定理求出AO′即可求出结论．
【详解】解：连接CN
∵CM为直径
∴∠CNM=90°
∴∠CNB=180°－∠CNM=90°
∴点N的运动轨迹为以BC为直径的圆上的一部分，设圆心为O′，如下图所示，连接AO′，交圆
O′于点N，易知此时AN最小
∵
∴O′C= O′N= 1
根据勾股定理可得：AO′=
∴此时AN=AO′－O′N=
即线段 的最小值为
故选D．
【点睛】此题考查的是圆周角定理的推论、确定点的运动轨迹和勾股定理，掌握直径所对的圆周
角是直角、圆周角为直角所对的弦为直径和勾股定理是解决此题的关键．
5．如图，在等腰直角ABC 中，斜边 AB 的长度为 8，以 AC 为直径作圆，点P 为半圆上的动
点，连接 BP ，取 BP 的中点 M ，则CM 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接AP、CP，分别取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM和FM，根据三角形中位线
的性质、圆周角定理的推论可得点M的运动轨迹为以EF为直径的半圆上，取EF的中点O，连接
OC，点O即为半圆的圆心，从而得出当O、M、C共线时，CM最小，如图所示，CM最小为CM
1
的长，最后根据勾股定理求值即可．
【详解】解：连接AP、CP，分别取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM和FM，
∴EM、FM和EF分别是△ABP、△CBP和△ABC的中位线
∴EM∥AP，FM∥CP，EF∥AC，EF=
∴∠EFC=180°－∠ACB=90°
∵AC为直径
∴∠APC=90°，即AP⊥CP
∴EM⊥MF，即∠EMF=90°
∴点M的运动轨迹为以EF为直径的半圆上
取EF的中点O，连接OC，点O即为半圆的圆心
当O、M、C共线时，CM最小，如图所示，CM最小为CM 的长，
1
∵等腰直角ABC 中，斜边 AB 的长度为 8，
∴AC=BC= =
∴EF= = ，FC= = ，
∴OM =OF= =
1
根据勾股定理可得OC=
∴CM=OC－OM =
1 1即CM最小值为
故选C．
【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质、圆周角定理的推论、等腰直角三角形的性质和勾股
定理，掌握三角形中位线的性质、圆周角定理的推论、等腰直角三角形的性质和勾股定理是解决
此题的关键．
6．如图，AB 是半圆 O 的直径，点 D 在半圆 O 上，AB= ，AD=20，C 是弧 BD 上的
一个动点，连接 AC，过 D 点作 DH⊥AC 于 H，连接 BH，在点 C 移动的过程中，BH 的最
小值是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【分析】如图，取AD的中点M，连接BD、HM、BM，由题意知点H在以M为圆心，以MD为
半径的圆M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小．
【详解】解：如图，取AD的中点M，连接BD、HM、BM，
，
，
点H在以M为圆心，以MD为半径的圆M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
是直径，
，
，
，∴BH的最小值为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线来解决问
题．
7．如图，在 中，半径为4，将三角板的60°、90°角顶点A，B放在圆上，AC，BC两边分别与
交于D，E两点， ，则△ABC的面积为______．
【答案】
【分析】连结AE，根据∠CBA=90°所对的弦得出AE为 的直径，得出AE=8，根据BE=DE，得
出∠BAE=∠DAE，可求∠BAE=∠DAE=30°，利用30°直角三角形性质求出BE=DE= ，利
用勾股定理求出AB= ，然后利用直角三角形性质求出BC=BE+CE=12
即可．
【详解】解：连结AE，
∵∠CBA=90°，
∴AE为 的直径，
∴AE=8，
∵BE=DE，
∴ ，
∴∠BAE=∠DAE，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠DAE=30°，
∴BE=DE= ，AB= ，∵AE为直径，
∴∠EDA=90°，
∵∠A=180°-∠ABC-∠BAC=180°-90°-60°=30°，
∴EC=2ED=8，
∴BC=BE+CE=12，
∴S ABC= ．
△
故答案为 ．
【点睛】本题考查直角所对弦和直径所对圆周角性质，30°直角三角形性质，勾股定理，三角形面
积，掌握直角所对弦和直径所对圆周角性质，30°直角三角形性质，勾股定理，三角形面积是解题
关键．
8．如图，四边形 内接于 ， ， ， ，则 的值为________．
【答案】5
【分析】如图，连接 证明 为直径，则 三点共线，再证明 结合
从而可得答案.
【详解】解：如图，连接为直径，则 三点共线，
， ，
故答案为：5
【点睛】本题考查的是 的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，熟悉以上两个性
质是解题的关键.
9．如图，在等腰直角△ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，
连接BP，取BP的中点M，则CM的最小值为__________．
【答案】
【分析】连接PA、PC，取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM、FM，取EF的中点O，连接
OM，OC，CM．根据图形结合题意易证明∠EMF=90°，得出结论点M的运动轨迹是弧EF，即以
EF为直径的半圆，再根据题意可求出AC、BC的值，即得出CF，EF的值，由勾股定理可求出
OC的值，最后利用CM≥OC-OM即可求出CM的最小值．
【详解】如图，连接PA、PC，取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM、FM，取EF的中点O，连接OM，OC，CM．
∵AC是直径，
∴∠APC=90°，
∵BE=EA，BM=MP，
∴EM∥PA，同理FM∥PC，
∴∠BME=∠BPA，∠BMF=∠BPC，
∴∠BME+∠BMF=∠BPA+∠BPC=90°，
∴∠EMF=90°，
∴点M的轨迹是弧EF，（EF为直径的半圆）
∵BC=AC，∠ACB=90°，AB=8，
∴AC=BC=4 ，
∵AE=EB，BF=CF=2 ，
∴EF= AC=2 ，EF∥AC，
∴∠EFB=∠EFC=∠ACB=90°，OE=OF=OM= ，
∴OC= = = ，
∵CM≥OC-OM，
∴CM≥
综上可知CM最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查轨迹、等腰直角三角形的性质、圆的有关知识，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
10．在等腰 中， ，点 是 所在平面内一点，且 ，则 的取
值范围是______．
【答案】
【分析】根据题意可知点P在以AB为直径，AB的中点O为圆心的 上，然后画出图形，找到
P点离C点距离最近的点和最远的点，然后通过勾股定理求出OC的长度，则答案可求．
【详解】
∴点P在以AB为直径，AB的中点O为圆心的 上
如图，连接CO交 于点 ，并延长CO交 于点
当点P位于 点时，PC的长度最小，此时
当点P位于 点时，PC的长度最大，此时
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查线段的取值范围，能够找到P点的运动轨迹是圆是解题的关键．11．如图，在菱形ABCD中， ，P为AC，BD的交点， 经过A，B，P三点．
(1)求证：AB为 的直径．
(2)请用无刻度的直尺在圆上找一点Q，使得BP=PQ（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据菱形的性质可得∠APB=90°，再由90°角所对的弦为圆的直径，即可求证；
（2）延长DA交 于点Q，连接PQ，则PQ即为所求，理由：连接BQ，根据AB为 的直径，
可得∠AQB=90°，从而得到∠BDQ+∠PBQ=90°，再由菱形的性质可得∠ABP+∠PBQ=90°，再由圆
周角定理，即可求解．
（1）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠APB=90°，
∵ 经过A，B，P三点．
∴AB为 的直径；
（2）
解：如图，延长DA交 于点Q，即为所求，
理由：连接BQ，
∵AB为 的直径，∴∠AQB=90°，
∴∠BDQ+∠PBQ=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=AD，
∴∠APB=90°，∠BDQ=∠ABP，
∴∠ABP+∠PBQ=90°，
∵∠ABP+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠PBQ，
∵∠BAP=∠BQP，
∴∠PBQ =∠BQP，
∴BP=PQ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，菱形的性质，熟练掌握圆周角定理，菱形的性质是解题的
关键．
12．请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留画图痕迹，不写作法）
已知四边形ABCD内接于 ，且已知 ．
(1)在图1中已知 ，在 上求作一个度数为30°的圆周角；
(2)在图2中，已知 ，在 上求作一个度数为30°的圆周角．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接BD，利用圆周角定理结合圆内接四边形的性质可得 结合
得出答案；
（2）如图，作直径AE，连接AC，利用圆周角定理得出 进而得出答案．
（1）
解：如图1， （或 ）即为所求作的角，
（2）解：如图2， ，
【点睛】本题主要考查了复杂作图以及圆周角定理的应用，正确应用圆周角定理是解题关键．
13．请你根据要求作图，保留作图痕迹（不要求写作图过程）
（1）请试一试用一把三角尺，找出图①中圆的圆心，并写出作图的依据．
（2）据第（1）题中的作图经验，请你仅用无刻度的直尺和圆规在图②的 中作出 边上的
高．
【答案】（1）见详解；（2）见解析．
【分析】（1）在圆内，把三角尺的直角顶点放在圆上，作任意两个不重合的圆内接直角三角形，
根据直角所对的弦是圆的直径可知，两直角三角形斜边即为圆的直径，其两斜边的交点O即为所
求作的圆心；
（2）先用圆规作边AC的垂直平分线交AC与点D；再以D为圆心，DC为半径画圆交AB边与点
E；连接CE，则∠AEC = 90°，CE即为 的 边上的高．
【详解】解：（1）作图如下：作图依据：根据直角所对的弦是圆的直径可知，两直角三角形的斜边即为圆的直径，其两斜边的
交点O即为所求作的圆心；
（2）作图如下：
作图依据：直径所对的圆周角是90°．
【点睛】本题主要考查作图，利用直径所对的圆周角是直角和90°的圆周角所对的弦是直径的知识
巧妙作图，掌握解答的方法是关键．
14．如图，四边形 内接于 ， ， 是弧 的中点， ， ．
求：（1）圆的半径；
（2）四边形 的面积．
【答案】（1）5；（2）49．
【分析】（1）连AC，由∠ADC=90°，得到AC为直径，利用勾股定理求出AC，从而求出半径；
（2）根据直径可知∠ABC=90°，再结合B是弧AC的中点，得到 为等腰直角三角形，利用
勾股定理可求出AB长，从而计算面积即可．
【详解】解：（1）如图，连接AC，
∵∠ADC=90°，∴AC为直径，
∵AD=8，CD=6，
∴在 中， ，
∴圆的半径为5；
（2）∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
又∵B是弧AC的中点，
∴AB=BC，即△ABC为等腰直角三角形，
∴在 中， ，
∴ ，
∴四边形ABCD的面积为： ．
【点睛】本题考查了圆的性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
15．已知：如图， ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为上 一点，
△
且BE=CF，
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）若∠ABC=∠EAC，AE=4，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）AC=2 .
【分析】（1）由BE=CF，则可证得∠BAE=∠FAC，根据圆周角定理和等角的余角相等证明即可；
（2）连接OC，根据圆周角定理证明 AOC是等腰直角三角形，由勾股定理即可求得．
【详解】（1）证明：∵BE=CF， △
∴ ，
∴∠BAE=∠CAF，
∵AF⊥BC，∴∠ADC=90°，
∴∠FAC+∠ACD=90°，
∵∠E=∠ACD，
∴∠BAE+∠E=90°，
∴∠ABE=90°，
∴ AE是⊙O的直径 .
（2）解：连结OC，
∴∠AOC=2∠ABC，
∵∠ABC=∠CAE，
∴∠AOC=2∠CAE，
∵OA=OA，
∴∠CAO=∠ACO= ∠AOC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∵AE=4，
∴AO=CO=2，
∴AC= .
【点睛】本题考查了圆周角定理和其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都
等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对
的弦是直径．
16．如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D
三点的圆与斜边△AB交于点E，连接DE．
（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．【答案】（1）8；（2） .
【分析】（1）根据∠ACB=90°得到AD为圆O的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得三角
形ADE为直角三角形，又AD是△ABC的角平分线，可得∠CAD=∠EAD，从而得到CD=ED，利
用HL证明Rt ACD与Rt AED全等，得出AC=AE，再用AB-AE可求出EB的长
（2）由（1）△∠AED=90°，△得到DE与AB垂直，可得三角形BDE为直角三角形，设DE=CD=x，
则BD=12-x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为CD的长，在直角
三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出外接圆半径．
【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），
∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），
∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），
又AD是 ABC的角平分线（已知），
∴∠CAD△=∠EAD（角平分线定义），
∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），
在Rt ACD和Rt AED中，
△ △
，
∴Rt ACD≌Rt AED（HL），
∴AC△=AE（全等△三角形的对应边相等）；
∵ ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，
△
∴根据勾股定理得：AB= =13，
∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；
（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，
设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，
在Rt BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2 ，
即（1△2﹣x）2=x2+82 ，
解得：x= ，
∴CD= ，又AC=5， ACD为直角三角形，
△∴根据勾股定理得：AD= ，
根据AD是 ACD外接圆直径，
△
∴ ACD外接圆的半径为： ．
△
【点睛】此题考查了圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，利用了转化的思想，
本题的思路为：根据圆周角定理得出直角，利用勾股定理构造方程来求解，从而得到解决问题的
目的，灵活运用圆周角定理及勾股定理是解本题的关键．
17．已知A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），是平面直角坐标系中的3个点，
（1）画出 ABC的外接圆⊙P，⊙P的圆心坐标为______；
（2）若在△x轴上负半轴有一点F，且∠AFB=∠ACB，则点F的坐标为 ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据三点确定圆心，找到 的垂直平分线的交点 ， 即为所求；
（2）根据点的坐标，证明 是 ，则 ，即 是直径，勾股定理求得 ，则
= ，进而求得 点的坐标
【详解】解：（1）根据三点确定圆心，找到 的垂直平分线的交点 ， 即为所求，如图所示；
故答案为：
（2） ，
是 ，则 ，即 是直径，
在x轴上负半轴有一点F，∠AFB=∠ACB，
故答案为：
【点睛】本题考查了根据三点确定圆心的位置，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，确定圆心
的位置以及确定 是直径是解题的关键．
