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专题 22 特殊平行四边形中的折叠问题
解题思路
在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常
是解决问题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用，折叠前后，重叠部
分是全等形，另外注意勾股定理等知识在求折叠图形的线段长度中的适当
运用。
典例分析
【典例1】（2021•徐州）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A
两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．
【变式1-1】（2021•大连）如图，在菱形 ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边
BC 上，将△ABE沿直线 AE 翻折 180°，得到△AB′E，点 B的对应点是点
B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是 ．【变式1-2】（2021•江西）如图，将 ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E
处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则
▱
ABCD的周长为 ．
▱
【典例2】（2021春•雨花区月考）小西在学完第十八章《平行四边形》之后，
研究了新人教版八年级下册数学教材第64页的数学活动1．其内容如下：
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作 60°，30°，15°等大小的角，可
以采用下面的方法（如图1）：（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，
得到折痕EF，把纸片展平．
（2）再次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点 B，得到折痕
BM，同时得到了线段BN．
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：
（3）将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边
上点H处，连接GH，把纸片再次展平．请根据小西和小雅的探究，完成下
列问题：
①直接写出BE和BN的数量关系： ．
②求∠ABM的角度大小；
③求证：四边形BGHM是菱形．【变式2-1】（2019•黔东南州一模）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD
折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段
AF的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【变式2-2】（鹿城区校级三模）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，
恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，则边AD的
长是（ ）
A．2 B．3 C．4.8 D．5
夯实基础
1.（2021•黔西南州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝9，M是BC上
的点，且CM＝3，将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB
上的点P处，点C落在点C′处，折痕为MN，则线段AN的长是 ．2.（2021•苏州）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线
折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝
45°，AC＝ ，则B′D的长是（ ）
A．1 B． C． D．
3.（2021•牡丹江）如图，正方形 ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝
1．将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四
边形AGEF的面积为（ ）
A．2 B．2 C．6 D．5
4．（2021•黔东南州模拟）如图，矩形纸片 ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片
使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB
的长为 ．5．（2020•广东）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直
线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：△DEF是等腰三角形．
能力提升
6．（2020•兴化市模拟）如图，现有一张矩形纸片 ABCD，AB＝4，BC＝8，点
M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线 MN折叠，使点C落
在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN丁点Q，连
接CM．
（1）求证：PM＝PN；
（2）当P，A重合时，求MN的值；
（3）若△PQM的面积为S，求S的取值范围．
