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专题 22 特殊平行四边形中的折叠问题
解题思路
在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常
是解决问题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用，折叠前后，重叠部
分是全等形，另外注意勾股定理等知识在求折叠图形的线段长度中的适当
运用。
典例分析
【典例1】（2021•徐州）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A
两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．
【答案】（1） 略 （2）FD＝3
【解答】（1）证明：由折叠性质可知，∠AEF＝∠CEF，
由矩形性质可得AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE．
∴AE＝AF，
故△AEF为等腰三角形．
（2）解：由折叠可得AE＝CE，设CE＝x＝AE，
则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，
∵∠B＝90°，在Rt△ABE中，有AB2+BE2＝AE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5．
由（1）结论可得AF＝AE＝5，
故FD＝AD﹣AF＝BC﹣AF＝8﹣5＝3．
【变式1-1】（2021•大连）如图，在菱形 ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边
BC 上，将△ABE沿直线 AE 翻折 180°，得到△AB′E，点 B的对应点是点
B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是 ．
【答案】2
【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∵∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵AB′⊥BD，
∴∠BAB'＝ ，
∵将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，
∴BE＝B'E，AB＝AB'，
∴∠ABB'＝ ，
∴∠EBB'＝∠ABE﹣∠ABB'＝120°﹣75°＝45°，
∴∠EB'B＝∠EBB'＝45°，∴∠BEB'＝90°，
在Rt△BEB'中，由勾股定理得：
BB'＝ ，
故答案为：2 ．
【变式1-2】（2021•江西）如图，将 ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E
处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则
▱
ABCD的周长为 ．
▱
【答案】 4 a +2 b
【解答】解：∵∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形．
∴∠D＝80°．
由折叠可知∠ACB＝∠ACE，
又AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠DAC，
∴△AFC为等腰三角形．
∴AF＝FC＝a．
设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，
∴∠DAC＝2x，
在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，
解得：x＝20°．
∴由三角形外角定理可得∠DFC＝4x＝80°，
故△DFC为等腰三角形．
∴DC＝FC＝a．
∴AD＝AF+FD＝a+b，故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝4a+2b．
故答案为：4a+2b．
【典例2】（2021春•雨花区月考）小西在学完第十八章《平行四边形》之后，
研究了新人教版八年级下册数学教材第64页的数学活动1．其内容如下：
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作 60°，30°，15°等大小的角，可
以采用下面的方法（如图1）：（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，
得到折痕EF，把纸片展平．
（2）再次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点 B，得到折痕
BM，同时得到了线段BN．
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：
（3）将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边
上点H处，连接GH，把纸片再次展平．请根据小西和小雅的探究，完成下
列问题：
①直接写出BE和BN的数量关系： ．
②求∠ABM的角度大小；
③求证：四边形BGHM是菱形．
【答案】（3）①BE＝ BN ② ∠ABM＝30 ③四边形BGHM是菱形
【解答】解：（3）①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕
EF，
∴BE＝ AB，
∵再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同
时得到了线段BN．
∴AB＝BN，∴BE＝ BN，
故答案为：BE＝ BN；
②解：∵由折叠的性质得：∠BEN＝∠AEN＝90°，
∵BE＝ BN，
∴∠BNE＝30°，
∴∠ABN＝60°，
由折叠的性质得：∠ABM＝ ∠ABN＝30°；
③证明：由②得∠ABM＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠AMB＝∠BMN＝60°，∠MBG＝60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BM＝BG，
由折叠得BM＝MH，BG＝GH，
∴BM＝MH＝BG＝GH，
∴四边形BGHM是菱形．
【变式2-1】（2019•黔东南州一模）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD
折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段
AF的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解答】解：∵将边长为 6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，
∴EF＝DE，AB＝AD＝6cm，∠A＝90°
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE＝3cm，
在Rt△AEF中，EF2＝AF2+AE2，
∴（6﹣AF）2＝AF2+9
∴AF＝
故选：C．
【变式2-2】（鹿城区校级三模）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，
恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，则边AD的
长是（ ）
A．2 B．3 C．4.8 D．5
【答案】D
【解答】解：∵∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，
∴∠HEF＝∠HEM+∠FEM＝ ×180°＝90°，
同理可得：∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH为矩形．
∵AD＝AH+HD＝HM+MF＝HF，HF＝ ＝5，
∴AD＝5，
故选：D．
夯实基础
1.（2021•黔西南州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝9，M是BC上
的点，且CM＝3，将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C′处，折痕为MN，则线段AN的长是 ．
【答案】4
【解答】解：连接PM，如图
∵AB＝6，BC＝9，CM＝3，
∴BM＝BC﹣CM＝9﹣3＝6，
由折叠性质得，CD＝PC′＝6，∠C＝∠PC′M＝∠PBM＝90°，C′M＝CM
＝3，
在Rt△PBM和Rt△MC′P中，
，
∴Rt△PBM≌Rt△MC′P（HL），
∴PB＝C′M＝3，
∴PA＝AB﹣PB＝6﹣3＝3．
设AN＝x，则ND＝9﹣x＝PN，
在Rt△APN中，AN2+AP2＝PN2，
即x2+32＝（9﹣x）2，
解得x＝4，
∴AN的长是4．
故答案为4．
2.（2021•苏州）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝
45°，AC＝ ，则B′D的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°，
∴∠CAE＝∠ACB＝45°，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°，
∴AE＝CE＝ AC＝ ，
∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，
∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°，
∴B′E＝DE＝1，
∴B′D＝ ＝ ．
故选：B．
3.（2021•牡丹江）如图，正方形 ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝
1．将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四
边形AGEF的面积为（ ）A．2 B．2 C．6 D．5
【答案】D
【解答】解：设DF＝m，AG＝n，
∵正方形的边长为3，
∴CF＝3﹣m，BG＝3﹣n，
由折叠可得，AF＝EF，AG＝GE，
在Rt△ADF中，AF2＝DF2+DA2，
即AF2＝m2+9，
在Rt△EFC中，EF2＝EC2+CF2，
∵BE＝1，
∴EC＝2，
∴EF2＝4+（3﹣m）2，
∴m2+9＝4+（3﹣m）2，
∴m＝ ，
在Rt△BEG中，GE2＝BG2+BE2，
∴n2＝（3﹣n）2+1，
∴n＝ ，
∴S ＝ ×1×（3﹣ ）＝ ，
△GEB
S ＝ × ×3＝1，
△ADF
S ＝ ×2×（3﹣ ）＝ ，
△CEF∴S ＝S ﹣S ﹣S ﹣S ＝9﹣ ﹣1﹣ ＝5，
四边形AGEF 正方形ABCD △GEB △ADF △CEF
故选：D．
4．（2021•黔东南州模拟）如图，矩形纸片 ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片
使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB
的长为 ．
【答案】6
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝8，
∴BC＝8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形，
∴CE＝8﹣3＝5，
在Rt△CEF中，CF＝ ＝ ＝4，
设AB＝x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即（x+4）2＝x2+82，
解得x＝6，则AB＝6．
故答案为：6．
5．（2020•广东）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直
线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：△DEF是等腰三角形．【答案】（1）略 （2）略
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD．
由折叠的性质可得：BC＝CE，AB＝AE，
∴AD＝CE，AE＝CD．
在△ADE和△CED中， ，
∴△ADE≌△CED（SSS）．
（2）由（1）得△ADE≌△CED，
∴∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF，
∴EF＝DF，
∴△DEF是等腰三角形．
能力提升
6．（2020•兴化市模拟）如图，现有一张矩形纸片 ABCD，AB＝4，BC＝8，点
M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线 MN折叠，使点C落
在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN丁点Q，连
接CM．
（1）求证：PM＝PN；（2）当P，A重合时，求MN的值；
（3）若△PQM的面积为S，求S的取值范围．
【答案】（1） 略 （2）MN＝2QN＝2 （3）4≤S≤5
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC，
∵∠MNC＝∠PNM，
∴∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN．
（2）解：点P与点A重合时，如图2中，
设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，
在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，
即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，
∴CN＝8﹣3＝5，AC＝ ＝ ＝4 ，
∴CQ＝ AC＝2 ，
∴QN＝ ＝ ＝ ，
∴MN＝2QN＝2 ．
（3）解：当MN过点D时，如图3所示，
此时，CN最短，四边形 CMPN的面积最小，则 S最小为S＝ S ＝
菱形CMPN
×4×4＝4，
当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝
×5×4＝5，
∴4≤S≤5，
