文档内容
第 5 讲 一元二次方程应用（一）
1. 懂得运用一元二次方程解决有关变化率问题；
2. 懂得运用一元二次方程解决有关传播、分裂问题；
3. 懂得运用一元二次方程解决有关握手、比赛问题
知识点 1：变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一
次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可
列方程为 ²=b。
知识点2 ：传染、分裂问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个
人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
知识点3： 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握 次手。赠
卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送
n(n−1)张卡片。【题型 1 变化率问题】
【典例1】（2022秋•桂平市期中）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居
民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：
本）．该阅览室在2019年图书借阅总量是7500本，2021年图书借阅总量是
10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2019年至2021年的年平均增长率；
（2）已知 2021 年该社区居民借阅图书人数有 1350 人，预计 2022 年达到
1440 人．如果 2021 年至 2022 年图书借阅总量的增长率不低于 2019 年至
2021年的年平均增长率，那么2022年的人均借阅量比2021年增长a%，求a
的值至少是多少？
【解答】解：（1）设该社区的图书借阅总量从2019年至2021年的年平均增
长率为x，根据题意得
7500（1+x）2＝10800，
即（1+x）2＝1.44，
解得：x ＝0.2，x ＝﹣2.2（舍去），
1 2
答：该社区的图书借阅总量从2019年至2021年的年平均增长率为20%；
（2）10800×（1+0.2）＝12960（本），
10800÷1350＝8（本），
12960÷1440＝9（本），
（9﹣8）÷8×100%＝12.5%．
故a的值至少是12.5．
【变式1-1】（2022秋•大连期末）疫情期间“停课不停学”，辽宁省初中数学
学科开通公众号进行公益授课，9月份该公众号关注人数为5000人，11月份
该公众号关注人数达到 7200人，若从9月份到11月份，每月该公众号关注
人数的平均增长率相同，求该公众号关注人数的月平均增长率．
【解答】解：设该公众号关注人数的月平均增长率为x，
根据题意得：5000（1+x）2＝7200，解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（舍去），
1 2
【变式 1-2】（2023春•华龙区校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展和
“一带一路”倡议等多重利好因素，我国某汽车零部件生产企业的利润逐年
增高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2019年至2021年利润的年均增长率；
（2）若2022年保持前两年利润的年均增长率不变，该企业 2022年的利润能
否超过3.4亿元？
【答案】（1）20%；
（2）该企业2022年的利润能超过3.4亿元．
【解答】解：（1）设该企业从2019年至2021年利润的年均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2＝2.88，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
1 2
答：该企业从2019年至2021年利润的年均增长率为20%；
（2）∵2.88×（1+20%）＝3.456（亿元），3.456＞3.4，
∴该企业2022年的利润能超过3.4亿元．
【变式1-3】（2023•黄山一模）数字化阅读凭借其独有的便利性成为了更快获
得优质内容的重要途径．近年来，我国数字阅读用户规模持续增长，据统计
2020年我国数字阅读用户规模达4.94亿人，2022年约为5.9774亿人．
（1）求2020年到2022年我国数字阅读用户规模的年平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计 2023年我国数字阅读用户规模能否达到 6.5亿
人．
【答案】（1）2020年到2022年我国数字阅读用户规模的年平均增长率为
10%．
（2）预计2023年我国数字阅读用户规模能达到6.5亿人．
【解答】解：（1）设2020年到2022年我国数字阅读用户规模的年平均增长
率为x，
根据题意得4.94（1+x）2＝5.9774，
解得 x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（不合题意，舍去）
1 2
答：2020年到2022年我国数字阅读用户规模的年平均增长率为10%．
（2）5.9774（1+0.1）＝6.57514＞6.5，答：预计2023年我国数字阅读用户规模能达到6.5亿人．
【典例2】（2022秋•西峡县期中）为了迎接十一“黄金周”，某月季大观园准
备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种 1000m2的种
植目标，第三阶段需实现1440m2的种植目标，设第二、第三阶段月季新品种
种植面积的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1000（1+x）×2＝1440
B．1000（1+x）2＝1440
C．1000（1+x2）＝1440
D．1000（1+x）+1000（1+x）2＝1440
【答案】B
【解答】解：由题意得：1000（1+x）2＝1440，
故选：B．
【变式2-1】（2022春•雁塔区校级期末）某化肥厂第一季度生产化肥 50万吨，
第二、第三季度平均增产的百分率是x，则二、三季度的总产量为（ ）
万吨
A．50（1+x）2 B．[50+50（1+x）]
C．[50（1+x）2+50（1+x）] D．[50+50（1+x）+50（1+x）2]
【答案】C
【解答】解：根据题意，得第二季度的总产量为50（1+x）万吨，
第三季度的总产量为50（1+x）2万吨，
∴第二、三季度的总产量为[50（1+x）+50（1+x）2]万吨，
故选：C．
【变式2-2】（2021·舒城期末）我县某贫围户2016年的家庭年收入为4000元，
由于党的扶贫政策的落实，2017、2018年家庭年收入增加到共15000元，设平
均每年的增长率为x，可得方程（ ）
A．4000（1+x）2=15000 B．4000+4000（1+x）+4000（1+x）2=15000
C．4000（1+x）+4000（1+x）2=15000 D．4000+4000（1+x）2=15000
【答案】C
【解答】解：设平均每年的增长率是x，根据题意可得：
4000（1+x）+4000（1+x）2=15000．故答案为：C．
【变式2-3】（2023•温江区校级模拟）随着疫情影响消退和消费回暖，2023年
电影市场向好，某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二天、第三天单日
票房持续增长，三天累计票房6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同
的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确
的是（ ）
A．2（1+x）＝6.62
B．2（1+x）2＝6.62
C．2（1+x）+2（1+x）2＝6.62
D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.62
【答案】D
【解答】解：设平均每天票房的增长率为 x，则根据题意可列方程为 2+2
（1+x）+2（1+x）2＝6.62，
故选：D
【题型2 传染、分裂问题】
【典例3】（2022秋•甘井子区校级期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后
共有144个人患了流感．
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？
【解答】解：（1）设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x＝144，
x ＝11或x ＝﹣13（舍去）．
1 2
答：平均一人传染11人．
（2）经过三轮传染后患上流感的人数为：144+11×144＝1728（人），
答：经过三轮传染后患上流感的人数为1728人．
【变式3-1】（2021秋•新市区校级期中）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，
如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传
染了x个人，下列列式正确的是（ ）
A．x+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64
C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝64【答案】C
【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染．
依题意得：1+x+x（1+x）＝64，即（1+x）2＝64，
故选：C．
【变式3-2】（2022秋•淮南月考）新冠病毒的传染性极强，某地因 1人患了新
冠病毒没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了新冠病毒，每天
平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过3天的传染后，这
个地区一共将会有多少人患新冠病毒？
【解答】解：设每天平均一个人传染了x人，由题意，得
x（x+1）+x+1＝9，
解得：x ＝2，x ＝﹣4（舍去），
1 2
三天后共有（x+1）3个人患病，
（2+1）3＝27（人）．
故每天平均一个人传染了2人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有
27人患病．
【变式3-3】（2023•潮南区模拟）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，
共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．
【答案】每轮传染中平均每人传染了15人．
【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，
依题意得：1+x+x（1+x）＝256，
即（1+x）2＝256，
解得：x ＝﹣17（不符合题意舍去），x ＝15，
1 2
答：每轮传染中平均每人传染了15人．
【典例4】（2022秋•莆田期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现
一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，
主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B【解答】解：根据题意，主干是1，设长出的枝干有x枝，
∴1+x+x2＝31，即x2+x﹣30＝0，解方程得，x ＝5，x ＝﹣6（舍去），
1 2
∴这种植物每个枝干长出的小分枝个数5．
故选：B．
【变式4-1】（2023•虎林市校级一模）某种植物的主干长出若干为数目的支干，
每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每
个支干长出小分支的个数是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．5
【答案】B
【解答】解：设每个支干长出小分支的个数是x，
由题意得：x2+x+1＝21，
解得：x ＝4，x ＝﹣5（舍去）；
1 2
∴每个支干长出小分支的个数是4．
故选：B．
【变式4-2】（2023•黑龙江一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个
支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 57个，则这种
植物每个支干长出的小分支的个数是（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【答案】B
【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1＝57，
即（x+8）（x﹣7）＝0，
解得：x＝7或x＝﹣8（不合题意，舍去）；
∴x＝7，
即这种植物每个支干长出的小分支的个数是7个，故B正确．
故选：B．
【变式4-3】（2022秋•莆田期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发
现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，
主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是
（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解答】解：根据题意，主干是1，设长出的枝干有x枝，
∴1+x+x2＝31，即x2+x﹣30＝0，解方程得，x ＝5，x ＝﹣6（舍去），
1 2
∴这种植物每个枝干长出的小分枝个数5．
故选：B．
【题型3 握手、比赛问题】
【典例5】（2022秋•安定区期中）某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每
两队之间都赛一场），共进行了21场比赛，求共有多少个队参加比赛？
【解答】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为 场，
根据题意列出方程得： ＝21，
整理，得：x2﹣x﹣42＝0，
解得：x ＝7，x ＝﹣6（不合题意舍去），
1 2
所以，这次有7队参加比赛．
答：这次有7队参加比赛．
【变式5-1】（2023春•滨江区校级期中）一次足球联赛实行单循环比赛（每两
支球队之间都比赛一场），计划安排 15场比赛，设应邀请了x支球队参加联
赛，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15
C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意得： x（x﹣1）＝15．
故选：C．
【变式5-2】（2023•佳木斯一模）黑龙江省中学生排球锦标赛共进行了 110场
双循环比赛，则参加比赛的队伍共有（ ）
A．8支 B．9支 C．10支 D．11支
【答案】D
【解答】解：设参加比赛的队伍共有x支，根据题意得：x（x﹣1）＝110，
整理得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x ＝11，x ＝﹣10（不符合题意，舍去），
1 2
∴参加比赛的队伍共有11支．
故选：D．
【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）2022年北京冬奥会冰壶混双项目在国家游
泳中心“冰立方”开赛，中国混双球队参加了比赛，赛制为单循环比赛（每
两队之间都赛一场）．
（1）如果有6支球队参加比赛，那么共进行 场比赛；
（2）如果一共进行45场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
【解答】解：（1）6×（6﹣1）÷2＝15（场），
∴如果有6支球队参加比赛，那么共进行15场比赛．
故答案为：15．
（2）设有x支球队参加比赛，
根据题意得： x（x﹣1）＝45，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x ＝10，x ＝﹣9（不符合题意，舍去）．
1 2
答：有10支球队参加比赛．
【典例6】（2021秋•兰山区期末）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全
组共送贺卡90张，则这个小组共有（ ）
A．9人 B．10人 C．12人 D．15人
【答案】B
【解答】解：设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x ＝10，x ＝﹣9（不合题意，舍去）．
1 2
故选：B．
【变式6-1】（2020秋•红桥区期末）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式
（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 90场．设共有x个队参加比赛，
则x满足的关系式为（ ）A． x（x+1）＝90 B． x（x﹣1）＝90
C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
【答案】D
【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝90．
故选：D
【变式6-2】（2021春•济宁期末）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两
场比赛，共要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为
．
【答案】x（x﹣1）＝72．
【解答】解：设参加比赛的球队有x支，
依题意得：x（x﹣1）＝72．
故答案为：x（x﹣1）＝72．
【变式6-3】为了提高环保教育，增强学生实践能力，植树节期间，某校组织八
年级学生在郊外植树，活动结束后，每个班级轮流进行了合照留念，并以班
级为单位互赠留念照，若共拍得照片72张，则该校八年级有个 班．
【答案】9
【解答】解：设该校八年级有x个班，
根据题意得x（x﹣1）＝72，
解得：x ＝9，x ＝﹣8（不合题意，舍去），
1 2
答：该校八年级有9个班．
故答案为：9．
1．（2020·合肥模拟）某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度
的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为 x ．
根据题意列方程正确的是（ ）
A．250(1+x) 2=900 B．250(1+x%) 2=900C．250(1+x)+250(1+x) 2=900
D．250+250(1+x)+250(1+x) 2=900
【答案】D
【解答】解：根据题意列方程得：
250+250(1+x)+250(1+x) 2=900 ．
故答案为：D．
2．（2022•河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量
是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则
所列方程为（ ）
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
【答案】A
【解答】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，
由题意得，30（1+x）2＝50．
故选：A．
3．（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循
环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【答案】B
【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，
根据题意，可得 ，
解得x＝10或x＝﹣9（舍），
∴共有10支队伍参加比赛．
故选：B．
4．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地
92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格
这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．6.2（1+x）2＝8.9B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9
D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
【答案】A
【解答】解：依题意得6.2（1+x）2＝8.9，
故选：A．
5．（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有 169人患了新
冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人．
【答案】12
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得
x+1+（x+1）x＝169
x＝12或x＝﹣14（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．
故答案为：12．
6．（2021•沈阳）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团
体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？
【解答】解：设增加了x行，则增加的列数为x列，
根据题意，得：（6+x）（8+x）﹣6×8＝51，
整理，得：x2+14x﹣51＝0，
解得x ＝3，x ＝﹣17（舍），
1 2
答：增加了3行3列．
7．（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市 2019年投入资金1000
万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小
区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求
该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，
依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），
解得：y≤ ，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
8.（2021•东营）“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻
坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008
公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长
率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到
1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
【答案】（1）20% （2）能实现
【解答】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，
依题意得：700（1+x）2＝1008，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．
∵1209.6＞1200，
∴他们的目标能实现．
9.（2022•威宁县模拟）书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的
通道．我县为响应全民阅读活动，利用春节假期面向社会开放县图书馆．据
统计，第一天进馆100人次，进馆人次逐天增加，第三天进馆121人次．若
进馆人次的日平均增长率相同．
（1）求进馆人次的日平均增长率；
（2）因疫情防控要求限制，县图书馆每天接纳能力不得超过 200人次，在进
馆人次的日平均增长率不变的条件下，县图书馆能否接纳第四天的进馆人次，说明理由．
【答案】（1）10%（2）能接纳第四天的进馆人次．
【解答】解：（1）设进馆人次的日平均增长率为x，
根据题得，100（1+x）2＝121，
解得x ＝0.1＝10%，x ＝﹣1.1（不符题意，舍去），
1 2
答：进馆人次的日平均增长率为10%；
（2）因为第四天的进馆人次为121×（1+0.1）＝133.1（人次），
而133.1＜200，
所以县图书馆能接纳第四天的进馆人次．
答：县图书馆能接纳第四天的进馆人次．
10．（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改
造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸
800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为 1000元，5月份再生纸产量比上月增加
m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加 %，则5月份再生纸项目月利润
达到66万元．求m的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平
均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目
月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
【解答】解：（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为
（2x﹣100）吨，
依题意得：x+2x﹣100＝800，
解得：x＝300，
∴2x﹣100＝2×300﹣100＝500．
答：4月份再生纸的产量为500吨．
（2）依题意得：1000（1+ %）×500（1+m%）＝660000，
整理得：m2+300m﹣6400＝0，解得：m ＝20，m ＝﹣320（不合题意，舍去）．
1 2
答：m的值为20．
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量
为a吨，
依题意得：1200（1+y）2•a（1+y）＝（1+25%）×1200（1+y）•a，
∴1200（1+y）2＝1500．
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
1．（2021·乌鲁木齐期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169 人患了流感，
每轮传染中平均一个人传染了 人．
【答案】12
【解答】设平均一人传染了x人，
x＋1＋(x＋1)x＝169
x＝12或x＝－14（舍去）．
平均一人传染12人．
故答案为：12．
2.（2021秋•新市区校级期中）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人
患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了 x个人，
下列列式正确的是（ ）
A．x+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64
C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝64
【答案】C
【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染．
依题意得：1+x+x（1+x）＝64，即（1+x）2＝64，
故选：C．
3.（2022·杭州开学考）现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个
球队必须和其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（）
1 1
A． x(x−1)=45 B． x(x+1)=45
2 2
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
【答案】A
【解答】解：设有x支球队参加篮球比赛，根据题意得
1
x(x−1)=45.
2
故答案为：A.
4．（2021·朝阳期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有
人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（ ）
1
A． x(x−1)=10 B．x(x−1)=10
2
1
C． x(x+1)=10 D．2x(x−1)=10
2
【答案】A
【解答】解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为(x−1)次，
并且每个人与其他人握手均重复一次，由此可得：
x(x−1)
=10，
2
故答案为：A．
5．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要
发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次
抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【答案】B
【解答】解：设这个QQ群共有x人，
依题意有x（x-1）=90，
解得：x=-9（舍去）或x=10，
∴这个QQ群共有10人．
故答案为：B
6.（2021春•济宁期末）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛 72 场，设参加比赛的球队有 x 支，根据题意，所列方程为
．
【答案】x（x﹣1）＝72．
【解答】解：设参加比赛的球队有x支，
依题意得：x（x﹣1）＝72．
故答案为：x（x﹣1）＝72．
7．（2021秋•鲁甸县期末）某校在冬运会中，其中一项为乒乓球赛，赛制为参
赛的每两个人之间都要比赛一场，根据胜场积分确定排名，由于场地和时间
等条件，赛程安排3天，每天安排15场比赛，求共有多少学生参加了冬运会
乒乓球赛？
【解答】解：设共有x名学生参加了冬运会乒乓球赛，
根据题意得： x（x﹣1）＝15×3，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x ＝10，x ＝﹣9（不符合题意，舍去）．
1 2
答：共有10名学生参加了冬运会乒乓球赛．
7．（2021·雨花期末）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某
市加快了廉租房的建设力度.2019年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8
万平方米，预计到2021年底三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这
两年内每年投资的增长率相同.
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求到2021年底共建设了多少万平方米的
廉租房？
【答案】（1）50%（2）38
【解答】（1）解：设市政府投资的年平均增长率为x，
根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，
整理，得：x2+3x − 1.75=0，
解得x =0.5，x = − 3.5（舍去），
1 2
答：每年市政府投资的增长率为50%
2
（2）解：到2021年底共建廉租房面积=9.5÷ =38（万平方米）.
88．（2021·南浔期末）科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径.当
前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏，某工厂及时补进了一条
一次性注射器生产线生产一次性注射器.开工第一天生产200万个，第三天生产
288万个.试回答下列问题：
（1）求前三天生产量的日平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/天，若每增加 1 条生产
线，每条生产线的最大产能将减少20万个/天.
①现该厂要保证每天生产一次性注射2600万个，在增加产能同时又要节省投
入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个，若能，应该增
加几条生产线？若不能，请说明理由.
【答案】（1） 20% （2）① 4 ②不能
【解答】（1）解：设前三天日平均增长率为 x ，
依题意，得： 200(1+x) 2=288 ，
解得： x =0.2 ， x =−2.2 （不合题意，舍去）.
1 2
答：前三天日平均增长率为20%.
（2）解：①设应该增加 m 条生产线，则每条生产线的最大产能为
(600−20m) 万个/天，
依题意，得： (1+m)(600−20m)=2600 ，
解得： m =4 ， m =25 ，
1 2
又 ∵ 在增加产能同时又要节省投入，
∴m=4 .
答：应该增加 4 条生产线.
②设增加 a 条生产线，则每条生产线的最大产能为 (600−20a) 万个/天；
依题意，得： (1+a)(600−20a)=5000 ，
化简得： a2−29a+220=0 ，
∵b2−4ac=(−29) 2−4×1×220=−39<0 ，方程无解.
∴ 不能增加生产线，使得每天生一次性注射器 5000 万个.
9．（2021·余姚竞赛）随着全球疫情的爆发，医疗物资需求猛增，某企业及时引进一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产口罩5000盒，第三天生产口罩
7200盒，若每天增长的百分率相同．
（1）求每天增长的百分率.
（2）经调查发现，1条生产线的最大产能是15000盒/天，但是每增加1条生
产线，每条生产线的产能将减少500盒/天，现该厂要保证每天生产口罩65000
盒，在增加产能的同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应
该增加几条生产线？
【答案】（1）20%（2）4
【解答】（1）解：设每天增长的百分率为x.
5000(1+x) 2=7200
x =0.2，x =2.2（舍去）
1 2
所以每天增长的百分率为20%
（2）解：设增加y条生产线,
(1+ y)(15000−500 y)=65000
y =4，y =25（舍去）
1 2
所以增加4条生产线
10.（2021•贵港）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从 2016年底到
2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．
（1）求这两年藏书的年均增长率；
（2）经统计知：中外古典名著的册数在 2016 年底仅占当时藏书总量的
5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两
年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百
分之几？
【答案】（1）20% （2）10%
【解答】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x，
5（1+x）2＝7.2，
解得，x ＝0.2，x ＝﹣2.2（舍去），
1 2
答：这两年藏书的年均增长率是20%；
（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.2﹣5）×20%＝0.44（万
册），到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：
×100%＝10%，
答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．
