文档内容
专题23 单乘多在图形计算中的应用
1．8张如图1的长为 ，宽为 （ ）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD
内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持
相等，则 满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用代数式表示出左上角与右下角部分的面积，根据面积相等求出a与b的关系式．
【详解】解：如图，左上角阴影部分的长为AE=AD-a，宽为AF＝4b，右下角阴影部分的长为
PC=BC-4b=AD-4b，宽为CG=a，
四边形AEHF的面积为： ，
四边形QPCG的面积为： ，
∵左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，
∴ ，
∴ ，即 ，
故选：C．【点睛】此题考查了整式的混合运算的应用，用代数式表示出两个阴影部分的面积是解本题的关
键．
2．某些代数恒等式可用几何图形的面积来验证，如图所示的几何图形的面积可验证的代数恒等式
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据各个部分的面积与总面积之间的关系可得答案．
【详解】解：整体是长为2a，宽为a+b的长方形，因此面积为2a（a+b），
四个部分的面积和为 ，
因此有2a（a+b）=2a2+2ab．
故选:A．
【点睛】本题考查单项式乘以多项式的几何背景，掌握单项式乘以多项式是正确解答的前提，用
代数式表示各个部分的面积是得出正确答案的关键．
3．以下表示图中阴影部分面积的式子，不正确的是（ ）.
A．x（x+5）+15 B．x2+5（x+3）
C．（x+3）（x+5）﹣3x D．x2+8x
【答案】D
【分析】根据长方形和正方形的面积公式得出各个部分的面积，再逐个判断即可．
【详解】解：阴影部分的面积为：
或 或 ，即选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，解题的关键是能用代数式表示出各
个部分的面积．
4．正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形
BEFG的边长为4，正方形ABCD的边长为5，则△DEK的面积为（ ）
A．16 B．9 C．10 D．25
【答案】A
【分析】设正方形ABCD的边长为a，正方形PFRK的边长为c，可得三角形DEK的面积=正方形
ABCD的面积+正方形BEFG的面积+梯形EKPF的面积-三角形ADE的面积-三角形DCG的面积-三
角形GPK的面积，再列式进行计算即可．
【详解】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形PFRK的边长为c，则
三角形DEK的面积=正方形ABCD的面积+正方形BEFG的面积+梯形EKPF的面积-三角形ADE的
面积-三角形DCG的面积-三角形GPK的面积，
=16.
故选：A
【点睛】本题考查的是利用割补法求解图形面积，同时考查的是整式的乘法运算，加减运算，理
解题意列出正确的运算式是解本题的关键．
5．已知并排放置的正方形 和正方形 如图，其中点 在直线 上，那么 的面积
和正方形 的面积的 大小关系是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为m、n，利用面积和差求出面积即可判断．
【详解】解：设正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为m、n，
S＝S正方形ABCD+S正方形BEFG﹣（S△ADE+S△CDG+S△GEF）
1
＝m2+n2﹣[ m（m+n）+ m（m﹣n）+ n2]
＝ n2；
∴S＝ S．
1 2
故选：A．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练用面积和差求三角形面积，准确进行
计算．
6．6张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未
被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，当BC
的长度变化时，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝3b D．a＝4b
【答案】D
【分析】表示出左上角和右下角部分的面积，求出它们的差，根据它们的差与BC无关即可求出a与b的关系式．
【详解】解：如图，
设S 的长为x，则宽为4b，S 的长为y，则宽为a，
1 2
则AB＝4b+a，BC＝y+2b，
∵x+a＝y+2b，
∴y﹣x＝a﹣2b，
∴S＝S﹣S
2 1
＝ay﹣4bx
＝ay﹣4b（y﹣a+2b）
＝（a﹣4b）y+4ab﹣8b2，
∵S始终保持不变，
∴a﹣4b＝0，
则a＝4b．
故选：D．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算的应用，解题的关键是弄清题意，列出面积差的代数式及
整式的混合运算顺序与运算法则．
7．有7个如图 的长为x，宽为 的小长方形，按图 的方式不重叠的放在长方形ABCD
中，未被覆盖的部分用阴影表示，若右下角阴影部分的面积 与左上角阴影部分的面积 之差为
S，当BC的长度变化时，按照相同的放置方式，S始终保持不变，则x与y满足的关系式为
A． B． C． D．【答案】C
【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关，即与PC无关，即可
求出x与y的关系式．
【详解】
解：左上角阴影部分的长为 ，宽为 ，右下角阴
影部分的长为PC，宽 ，
阴影部分面积之差
，
则 ，即 ．
故选C．
【点睛】此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
8．已知在长方形纸片 中， ， ，现将两个边长分别为 和 的正方形纸片按图
1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠），长方形中未被这两张正
方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为 ，图2中阴影部分的面积为 ；
若 时，则 _________；若再在边长为 大正方形的左上角摆放一个边长为 的小正方
形（如图3），当 时，则图3中阴影部分的面积 _________．
【答案】 3 6.5##【分析】先将 ， ， 用用a，b表示，再分别根据 与 ， 计算即可．
【详解】解：在图1中，根据题意得： ，
∴ ，
同理在图2中， ，
∴
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
又∵ ，即 ，
将 代入方程 中得：
解得： （舍去），
∴ ．
在图3中，
∴
故答案为：3； ．
【点睛】本题考查列代数式，整式的混合运算，解一元二次方程，掌握相关知识和技巧是解题的
关键．本题难度较大，所列式子较复杂，需要较强的阅读理解能力和对数学思想的运用能力．
9．边长分别为m和2m的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】
【分析】将图形补全为边长为 的长方形，进而根据阴影部分面积等与长方形面积的一半减
去小正方形的面积即可求解
【详解】如图，
图中阴影部分的面积为
故答案为：
【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积，添加辅助线求解是解题的关键．
10．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果 ， 则阴影部分的面积为________．
【答案】38
【分析】由图知：阴影部分面积= ，再由已知条件和完全平方公式可求得
的值，从而可求得结果．
【详解】阴影部分面积=∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分面积 ．
故答案为：38．
【点睛】本题考查完全平方公式的变形应用，单项式乘多项式，关键是把阴影部分的面积表示出
来．
11．一个长方形的长为2a+3b，宽为2b,则它的面积为_________．
【答案】4ab+6b2
【分析】根据长与宽的乘积为长方形的面积，即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：2b（2a+3b）=4ab+6b2 ，
故答案是：4ab+6b2．
【点睛】此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握是单项式乘以多项式法则解本题的关键．
12．一块长方形硬纸片，长为 米、宽为 米，在它的四个角上分别剪去一个边长为
米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
(1)这个盒子的长为 ，宽为 ，高为 ；
(2)求这个无盖盒子的外表面积．
【答案】(1) 米； 米； 米
(2) 平方米
【分析】（1）盒子的长＝长方形的长－小正方形边长的 倍，盒子的宽＝长方形的宽－小正方形
边长的 倍，盒子的高＝小正方形边长；
（2）利用纸片的面积减去剪去的 个小正方形的面积就是盒子的表面积．
（1）解：盒子的长为：
（米）；
盒子的宽为：
（米）；
盒子的高为： a2（米）．
故答案为： 米； 米； 米．
（2）
∵纸片的面积是： （平方米），
小正方形的面积是： （平方米），
∴无盖盒子的外表面积是： （平方米）．
∴这个无盖盒子的外表面积为 平方米．
【点睛】本题考查整式的运算，涉及整式的减法，单项式乘多项式，积的乘方，合并同类项等知
识．理解纸片的面积减去剪去的 个小正方形的面积就是盒子的表面积是解题的关键．
13．如图是一个长方形花圃，花圃的一边靠墙，其他三边用12米长的篱笆围成．
(1)如果设花圃靠墙的一边AD＝x（米），那么AB长度是多少？（用含x式子表示）
(2)请写出长方形花圃的面积y（平方米）与长方形花圃靠墙一边的长度x（米）的关系式？
(3)当x从4米变到6米时，面积y如何变化？
【答案】(1)
(2)y＝6x－ x2
(3)当x从4米变到6米时，面积y从16平方米变到18平方米
【分析】（1）根据周长的定义进行计算即可；（2）根据面积的计算方法进行计算即可；
（3）代入求值即可．
(1)
解：（1）由于AB＋BC＋CD＝12，而BC＝x米，AB＝CD，
所以AB＝ 米，
答：AB的长度为 米．
(2)
矩形的面积为：
(3)
当x＝4时，y＝16；当x＝6时，y＝18，
故当x从4米变到6米时，面积y从16平方米变到18平方米．
【点睛】本题主要考查了函数关系式，理解矩形的“周长”“面积”的定义以及计算方法，是解
决问题的关键．
14．如图1，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个大小相同的正方形，然后将四周突出部分
折起，制成一个高为a厘米的长方体形状的无盖纸盒（如图2）．如果纸盒的体积为（2a2b+ab2）
立方厘米，底面长方形的宽为b厘米．
(1)求这张长方形纸板的长；
(2)将长方体形状的无盖纸盒的外表面都贴一层红色的包装纸，请求出一个这样的纸盒需要用多少
平方厘米的红色包装纸．（结果都用含a，b的代数式表示）
【答案】(1)长方形纸板的长为 厘米，(2)一个这样的纸盒需要用 平方厘米的红色包装纸
【分析】（1）设长方形纸板的长为x厘米，然后根据长方体的体积公式列出方程求解即可；
（2）只需要求出纸盒的表面积即可得到答案．
（1）
解：设长方形纸板的长为x厘米，
由题意得： ，
解得 ，
∴长方形纸板的长为 厘米，
（2）
解：由题意得
平方厘米，
∴一个这样的纸盒需要用 平方厘米的红色包装纸．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算的应用，熟知长方体体积和表面积公式是解题的关键．
15．已知，7张如图1的长为a，宽为b（其中a＞b）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在
长方形ABCD内，长方形ABCD的长AD=m，未被覆盖的部分的长方形MNPD的面积记作S，长
1
方形BEFG的面积记作S．
2
(1)用含m，a，b的式子表示S 和S；
1 2
(2)若S-S 的值与m的取值无关，求a，b满足的数量关系．
1 2
【答案】(1)S=ma-3ab，S=4bm-4ab；
1 2(2)a，b满足的数量关系a=4b．
【分析】（1）根据图形可得出长方形MNPD的长MD的长MD为m-3b，宽MN为a，即可得出S
1
的面积，长方形BEFG的长EF为m-a，宽FG为4a，即可得出S 的面积；
2
（2）根据（1）计算S-S 的值与m的取值无关，即a-4b=0，即可得出答案．
1 2
（1）
解：∵MD=AD-AM=m-3b；MN=a，
∴S=MD•MN=（m-3b）•a=ma-3ab，
1
∵EF=EP-FP=m-a，FG=4b，
∴S=EF•FG=（m-a）•4b=4bm-4ab；
2
（2）
解：S-S=ma-3ab-4bm+4ab
1 2
=ab+ma-4bm
=ab+m（a-4b），
∵S-S 的值与m的取值无关，
1 2
∴a-4b=0，
即a=4b，
所以a，b满足的数量关系a=4b．
【点睛】本题主要考查了列代数式，及整式的混合运算，根据题意列出代数式再根据法则进行计
算是解决本题的关键．
16．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b
（a＞b），连接AF、CF、AC．
（1）若两个正方形的面积之和为60，ab＝20，求图中线段GC的长；
（2）若a＝8，△AFC的面积为S，求S．
【答案】（1） ；（2）32
【分析】（1）由两个正方形的面积和为60，可得 再利用从而可得答案；
（2）先利用 ，可得 再把 代入求值即可.
【详解】解：（1）由题意得：
（2）
当 时，
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，整式乘法的应用，掌握“利用完全平方公式求解代
数式的值”是解题的关键.
17．某中学扩建教学楼，测量地基时，量得地基长为 宽为 ，试用 表示地基的面
积，并计算当 时地基的面积．
【答案】 ，1300 ．
【分析】根据题意可直接利用长×宽进行求解面积，然后把 代入求解即可．
【详解】解：根据题意得：
地基的面积是： ，
当 时，地基面积为：
．
【点睛】本题主要考查整式的乘除的应用，熟练掌握整式的乘法是解题的关键．
18．如图，学校有一块长为（2a＋b）米，宽为（2a－b）米的长方形地块，其中有两条宽为b米的甬道，学校计划将除甬道外其余部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）；
（2）若a＝5，b＝2，请你计算出绿化的总面积；
【答案】（1） ；（2）60
【分析】（1）长方形地块的长与宽分别减小b米后的长方形面积就是要绿化的总面积，最后化简
即可；
（2）把a与b的值代入（1）中化简后的代数式中，求值即可．
【详解】（1）长方形地块的长、宽分别减小b米后的长方形长为2a+b-b=2a(米)，宽为2a-b-
b=(2a-2b)米，从而要绿化的总面积为：2a(2a-2b)=(4a2-4ab)平方米；
即绿化的总面积为(4a2-4ab)平方米；
（2）当a=5，b=2时， （平方米）．
【点睛】本题考查了列代数式及求代数式的值，正确表示去掉路宽后的长方形的长与宽是关键．
