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专题 24.4 弧长和扇形面积（专项训练）
1．（2021•天心区一模）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB和AC的夹角为
120°，AB长为25cm，则纸扇外边缘弧BC长为 cm．
2．（2021•成都模拟）已知圆上一段弧长为4 cm，它所对的圆心角为120°，则该圆的半
径为 cm． π
3．（2021•道里区一模）已知扇形的弧长为2 ，半径为8，则此扇形的圆心角为 度．
4．（2020秋•金寨县期末）如图，在正方形网π格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过点
A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）．
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则AD的长为 ．
（2）该圆弧的长为 ．
5．（2020秋•历城区期末）如图，已知等边三角形ABC，分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作 、 、 ，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形，如果这个
曲边三角形的周长为2 ，那么这个这个等边三角形ABC的边长为 ．
π
6．（2020秋•镇江期末）分针长为2厘米，经过25分钟，分针的外端点绕钟面轴心转过的
弧长＝ 厘米．（结果保留 ）
7．（2021•葫芦岛模拟）如图， O的π直径AB＝2，C是半圆上任意一点，∠BCD＝60°，
则劣弧AD的长为 ． ⊙
8．（2022•河南模拟）如图，水平地面上有一面积为 30 cm2的扇形 AOB，半径 OA＝
6cm，且OA与地面垂直在没有滑动的情况下，将扇形向右π滚动至OB与地面垂直为止，
则O点移动的距离为 ．9．（2022•启东市模拟）一个扇形的弧长为 6 ，圆心角为120°，则此扇形的面积为
． π
10．（2021秋•房山区期末）如果一个扇形的半径是1，圆心角为120°，则扇形面积为
．
11．（2021秋•梅里斯区期末）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．把
△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB′C′，若AB＝4，则线段BC在上述旋
转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 ．（结果保留 ）．
π
12．（2021秋•岚皋县期末）如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB
长为30cm，贴纸部分的宽BD为18cm，求纸扇上贴纸部分的面积．
13．（2021秋•南昌县期末）如图，AB是 O的直径，点C是 O上一点，连接BC，
AC，点E是BC的中点，连结并延长OE交⊙圆于点D． ⊙
（1）求证：OD∥AC．
（2）若DE＝2，BE＝2 ，求阴影部分的面积．
14．（2022•石家庄模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝4，且BC＞AC，以边AC为直径的 O交斜边AB于D，AD＝2，点E为AC左侧半圆上一点，连接AE，DE，
CD． ⊙
（1）求∠AED的度数．
（2）求DB的长．
（3）求图中阴影部分的面积．
15．（2021秋•亭湖区期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方
田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积＝ （弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧
和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距
离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角
∠AOB为120°，弦长AB＝2 m的弧田．
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积
相差多少平方米？（取 近似值为3， 近似值为1.7）
π16．（2022•德阳）一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（
）
A．16 B．52 C．36 D．72
17．（20π22•遂宁）如图，圆锥π底面圆半径为7cm，高π为24cm，则它侧面展π开图的面积是
（ ）
A． cm2 B． cm2 C．175 cm2 D．350 cm2
18．（2022•昭化区模拟）如图，聪聪用一张半径为6cmπ、圆心角为120°的扇形π纸片做成一
个圆锥，则这个圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
19 ．（2022•周村区一模）如图，将半径为15cm
的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽
略不计），这个圆锥的高是（ ）A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm
20．（2022•潜江模拟）若圆锥的侧面积为18 ，底面半径为3，则该圆锥的母线长是（
） π
A．3 B．4 C．5 D．6
21．（2022•西山区一模）如图，从一块半径为2m的圆形铁皮上剪出一个扇形ABC，且
经过圆心O．如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
m
A．2 B．1 C． D．
22．（2020秋•莒南县期末）如图，正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方
形旋转一周，所得几何体的主视图的面积是（ ）
A．9cm2 B．9 cm2 C．18 cm2 D．18cm2
π π专题 24.4 弧长和扇形面积（专项训练）
1．（2021•天心区一模）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB和AC的夹角为
120°，AB长为25cm，则纸扇外边缘弧BC长为 cm．
【答案】
【解答】解：纸扇外边缘弧BC的长＝ ＝ （cm），
故答案为： ．
2．（2021•成都模拟）已知圆上一段弧长为4 cm，它所对的圆心角为120°，则该圆的半
径为 cm． π
【答案】6
【解答】解：设圆的半径为rcm，
则 ＝4 ，
解得，r＝6， π
故答案为：6．
3．（2021•道里区一模）已知扇形的弧长为2 ，半径为8，则此扇形的圆心角为 度．
【答案】45 π
【解答】解：设圆心角为n°．
由题意， ＝2 ，
解得n＝45， π故答案为：45．
4．（2020秋•金寨县期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过点
A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）．
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则AD的长为 ．
（2）该圆弧的长为 ．
【答案】（1）2 ； （2） ．
π
【解答】解：（1）分别作线段BA和BC的垂直平分线EF、MN，则直线EF和直线MN
的交点为D，则D为已知弧的圆心，如图，
∵A（0，4），B（﹣4，4），
∴OA＝4，AB＝4，
∴OD＝2，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD＝ ＝ ＝2 ，故答案为：2 ；
（2）连接AC、CD，
∵A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），OD＝2，
∴由勾股定理得：CD＝ ＝ ，AD＝ ＝ ，AC＝
＝ ，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴圆弧的长度是 ＝ ．
5．（2020秋•历城区期末）如图，已知π等边三角形ABC，分别以点A，B，C为圆心，以
AB的长为半径作 、 、 ，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形，如果这个
曲边三角形的周长为2 ，那么这个这个等边三角形ABC的边长为 ．
π
【答案】2【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
设AB＝BC＝AC＝R，
∵这个曲边三角形的周长为2 ，
π
∴ + + ＝2 ,
解得：R＝2， π
即这个等边三角形的边长是2，
故答案为：2．
6．（2020秋•镇江期末）分针长为2厘米，经过25分钟，分针的外端点绕钟面轴心转过的
弧长＝ 厘米．（结果保留 ）
π
【答案】
【解答】解：分针25分针旋转了30°×5＝150°，
分针的外端点绕钟面轴心转过的弧长＝ ＝ （cm），
故答案为： ．
7．（2021•葫芦岛模拟）如图， O的直径AB＝2，C是半圆上任意一点，∠BCD＝60°，
则劣弧AD的长为 ． ⊙
【答案】
【解答】解：由圆周角定理得，∠BOD＝2∠BCD＝120°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝60°，
∴劣弧AD的长＝ ＝ ，故答案为： ．
8．（2022•河南模拟）如图，水平地面上有一面积为 30 cm2的扇形 AOB，半径 OA＝
6cm，且OA与地面垂直在没有滑动的情况下，将扇形向右π滚动至OB与地面垂直为止，
则O点移动的距离为 ．
【答案】 10 cm
【解答】解π：设优弧AB的长是l．
根据扇形的面积公式，得
l＝ ＝ ＝10 （cm）．
π
故答案为10 cm．
π
9．（2022•启东市模拟）一个扇形的弧长为 6 ，圆心角为120°，则此扇形的面积为
． π
【答案】 27
【解答】解π：∵一个扇形的弧长为6 ，圆心角为120°，
π
∴6 ＝ ，
解得π，r＝9，
∴扇形的面积是： ＝27 ，
π
故答案为：27 ．
10．（2021秋•房π山区期末）如果一个扇形的半径是1，圆心角为120°，则扇形面积为
．【答案】
【解答】解：这个扇形的面积＝ ＝ ．
故答案是： ．
11．（2021秋•梅里斯区期末）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．把
△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB′C′，若AB＝4，则线段BC在上述旋
转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 ．（结果保留 ）．
π
【答案】 2
π
【解答】解：扇形BAB′的面积是： ＝ ，
在直角△ABC中，BC＝AB•sin60°＝4× ＝2 ，AC＝ AB＝2，
S△ABC ＝S△AB′C′ ＝ AC•BC＝ ×2 ×2＝2 ．
扇形CAC′的面积是： ＝ ，
则阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积+S△AB′C′ ﹣S△ABC ﹣扇形CAC′的面积＝
﹣ ＝2 ．
故答案为：π2 ．
12．（2021秋•岚π 皋县期末）如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB
长为30cm，贴纸部分的宽BD为18cm，求纸扇上贴纸部分的面积．【答案】
【解答】解：∵AB＝30cm，BD＝18cm，
∴AD＝AB﹣BD＝30﹣18＝12（cm），
∴纸扇上贴纸部分的面积S＝S扇形BAC ﹣S扇形DAE
＝ ﹣
＝300 ﹣48
＝252π（cmπ 2）．
13．（20π21秋•南昌县期末）如图，AB是 O的直径，点C是 O上一点，连接BC，
AC，点E是BC的中点，连结并延长OE交⊙圆于点D． ⊙
（1）求证：OD∥AC．
（2）若DE＝2，BE＝2 ，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：∵AB是 O的直径，
∴∠C＝90°， ⊙
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴OD⊥BC，
∴∠BEO＝90°，
∴∠C＝∠BEO，
∴OD∥AC；
（2）解：连接OC，设OB＝OD＝r，
∵DE＝2，
∴OE＝r﹣2，
∵BE2+OE2＝BO2，
∴（2 ）2+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝4，
∴OB＝OD＝4，
∴OE＝2，
∴OE＝ OB，
∴∠B＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴阴影部分的面积＝S扇形AOC ﹣S△AOC ＝ ﹣ ×4×2 ＝ ﹣4 ．
π
14．（2022•石家庄模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝4，且BC＞AC，以边AC
为直径的 O交斜边AB于D，AD＝2，点E为AC左侧半圆上一点，连接AE，DE，
CD． ⊙
（1）求∠AED的度数．
（2）求DB的长．
（3）求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝2，AC＝4，
∴sin∠ACD＝ ＝ ，
∴∠ACD＝30°，
∴∠AED＝∠ACD＝30°；
（2）∵∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，
∴∠CAB＝60°，
在Rt△ABC中，cos∠CAB＝ ，即cos60°＝
∴AB＝8，
∴DB＝AB﹣AD＝8﹣2＝6；
（3）连接OD，
∵OC＝OD，∠ACD＝30°，
∴∠ODC＝∠ACD＝30°，
∴∠COD＝120°，
∵AD＝2，AC＝4，
∴CD＝ ＝2 ，
∴S△OCD ＝ S△ACD ＝ ＝ ＝ ，
∴S阴影 ＝S扇形OCD ﹣S△OCD ＝ ﹣ ＝ ﹣ ．
π
15．（2021秋•亭湖区期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方
田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积＝ （弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距
离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角
∠AOB为120°，弦长AB＝2 m的弧田．
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积
相差多少平方米？（取 近似值为3， 近似值为1.7）
π
【解答】解：（1）∵OD⊥AB，OD为半径，
∴AC＝ AB＝ ×2 ＝ （m），
∠AOC＝ ∠AOB＝ ×120°＝60°，
在Rt△ACO中，∠OAC＝30°，
∴设OC＝x，则AO＝2x，
∴x2+ ＝（2x）2，
解得：x＝1或﹣1（不符合题意，舍去），
∴OA＝2m，
∴弧田的实际面积＝S扇形AOB ﹣S△OAB
＝ ﹣ ×2 ×1
＝（ ﹣ ）m2，
∴弧田的实际面积为（ ﹣ ）m2；
（2）∵圆心到弦的距离等于1，∴矢长为1，
∴弧田面积＝ （2 ×1+12）
＝（ + ）m2，
∴两者之差为： ﹣ ﹣（ + ）
≈ ﹣1.7﹣1.7﹣
＝0.1（m2）．
16．（2022•德阳）一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（
）
A．16 B．52 C．36 D．72
【答案π】C π π π
【解答】解：如图，AB＝8，SA＝SB＝9，
所以侧面展开图扇形的弧BC的长为8 ，
由扇形面积的计算公式得， π
圆锥侧面展开图的面积为 ×8 ×9＝36 ，
故选：C． π π
17．（2022•遂宁）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是
（ ）A． cm2 B． cm2 C．175 cm2 D．350 cm2
【答案】C π π
【解答】解：在Rt△AOC中，AC＝ ＝25（cm），
所以圆锥的侧面展开图的面积＝ ×2 ×7×25＝175 （cm2）．
故选：C． π π
18．（2022•昭化区模拟）如图，聪聪用一张半径为6cm、圆心角为120°的扇形纸片做成一
个圆锥，则这个圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设这个圆锥的底面半径为rcm，
根据题意得2 r＝ ，
解得r＝2． π
所以这个圆锥形的高＝ ＝4 （cm）．
故选：A．19．（2022•周村区一模）如图，将半径为 15cm的圆形纸片剪去圆心角为 144°的一个扇
形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（ ）
A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm
【答案】B
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得2 r＝
解得r＝9， π
所以圆锥的高＝ ＝12（cm）．
故选：B．
20．（2022•潜江模拟）若圆锥的侧面积为18 ，底面半径为3，则该圆锥的母线长是（
） π
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解答】解：设该圆锥的母线长为l，
根据题意得 ×2 ×3×l＝18 ，
解得l＝6， π π
即该圆锥的母线长是6．
故选：D．
21．（2022•西山区一模）如图，从一块半径为2m的圆形铁皮上剪出一个扇形ABC，且
经过圆心O．如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
mA．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解答】解：连接OA、OB、OC，如图，
∵AB＝AO＝AC＝OB＝OC，
∴△ABO和△ACO都为等边三角形，
∴∠OAB＝∠OAC＝60°，
∴∠BAC＝120°，
设该圆锥的底面圆的半径为rm，
根据题意得2 r＝ ，
π
解得r＝ ，
即该圆锥的底面圆的半径为 m．
故选：C．
22．（2020秋•莒南县期末）如图，正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方
形旋转一周，所得几何体的主视图的面积是（ ）A．9cm2 B．9 cm2 C．18 cm2 D．18cm2
【答案】D π π
【解答】解：所得几何体的主视图的面积是2×3×3＝18cm2．
故选：D．
