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专题24 构造直角三角形利用三角函数求边长小题
【典例讲解】
Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且
∠ACP=30°，则PB的长为_______．
【详解】分两种情况考虑：
当∠ABC=60°时，如图所示：∵∠CAB=90°，∴∠BCA=30°．
又∵∠PCA=30°，∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°．
又∵∠ABC=60°，∴△PCB为等边三角形．
又∵BC=4，∴PB=4．当∠ABC=30°时，
（i）当P在A的右边时，如图所示：
∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠PCB=90°．
又∠B=30°，BC=4，
∴ ，即 ．
（ii）当P在A的左边时，如图所示：
∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠BCP=30°．
又∠B=30°，∴∠BCP=∠B．∴CP=BP．
在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4，∴AC= BC=2．
根据勾股定理得： ，
∴AP=AB－PB= －PB．
在Rt△APC中，根据勾股定理得：AC2＋AP2=CP2=BP2，即22+（ －PB）2=BP2，
解得：BP= ．
综上所述，BP的长为4或 或 ．【综合演练】
1．在△ABC中，BC＝ ＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（ ）
A． B． ＋1 C． D． ＋1
2．如图，在 中， ， ， 为 边上的一个动点（不与 、 重合），连接
，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
3．如图，有一块三角形空地需要开发，根据图中数据可知该空地的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图， ， ，AC＝10，则 的面积是（ ）A．42 B．43 C．44 D．45
5．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（ ）
A． B．4 C． D．
6．已知在 中， 、 是锐角，且 ， ， ，则 的面积
等于 __ ．
7．△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5 ，那么∠A的度数是_________．
8．如图，在四边形 中， ， ， ， ．则 的长的值为
__________．
9．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 ，则S ＝__．
ABC
△
10．如图，在 中， ， ， ， ，垂足为 ， 的平
分线交 于点 ，则 的长为__________．11．如图，某小区物业想对小区内的三角形广场 进行改造，已知 与 的夹角为 ，
米， 米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是______平方米.（结果保留根
号）
12．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝ ，AC＝2 ，AB的长___________．
13．如图，等腰直角 ABC的面积为16，点D在斜边AC的延长线上，∠BDC＝30°，则 BDC的
面积是__. △ △
14．已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦
值为 （即cosC= ），则AC边上的中线长是_____________．
15．在 中， ， ， 为锐角且 ．(1)求 的面积；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
16．如图，在△ABC中，sinB＝ ， ，AC＝5，则△ABC的面积为多少？
17．已知在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝8，D、E分别是边BC、AB上的一点，若tan∠DEA＝
2，DE＝ ，S DEB＝4，求四边形ACDE的面积．
△
18．如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠BAD＝45°，AC＝3，AB＝ ，求
△
BD的长．
19．如图， 的角平分线 ， ， 、 所对的边记为 、 .（1）当 时，求 的值；
（2）求 的面积（用含 ， 的式子表示即可）；
（3）求证： ， 之和等于 ， 之积.
20．如图，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，∠EBC=45°，BE=6，CD= ，求
∠DCB的度数．
