文档内容
专题24 定点定长构造辅助圆
1．如图，已知 ， ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：如图， ，
点 、 、 在以点 为圆心，
以 的长为半径的圆上；
，
， ，
，而 ，
，
故选： ．
2．如图，在四边形 中， ， 则 的大小是
A． B． C． D．
【解答】解：由 ， ，则可添加辅助圆，
有 ，
故选： ．3．如图，在矩形 中，已知 ， ，点 是 边上一动点（点 不与 ， 重
合），连接 ，作点 关于直线 的对称点 ，则线段 的最小值为
A．2 B． C．3 D．
【解答】解：连接 ，
点 和 关于 对称，
，
在以 圆心，3为半径的圆上，
当 ， ， 三点共线时， 最短，
， ，
，
故选： ．
4．如图，正方形 中， 为 中点， ， ， 交 于 ，则 的
度数为A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接 、 ．
， ，
，
，
，
是等边三角形，
，
点 是 的外接圆的圆心，
，
四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
．
解法二：连接 ．易知 ，
故选： ．
5．如图，已知等边 的边长为8，以 为直径的圆交 于点 ．以 为圆心， 长为半
径作图， 是 上一动点， 为 的中点，当 最大时， 的长为A． B． C． D．12
【解答】解：点 在 上运动时，点 在以 为圆心的圆上运动，要使 最大，则 过 ，
连接 ，
是等边三角形， 是直径，
，
是 的中点，
为 的中点，
为 的中位线，
，
，
， ，
故 ，
故选： ．
二．填空题（共6小题）
6．如图，点 ， 的坐标分别为 ， ， 为坐标平面内一点， ，点 为线段
的中点，连接 ， 的最大值为 ．【解答】解： 为坐标平面内一点， ，
点 的运动轨迹是在半径为2的 上，
如图，取 ，连接 ，
点 为线段 的中点，
是 的中位线，
，
最大值时， 取最大值，此时 、 、 三点共线，
此时在 中， ，
，
的最大值是 ．
故答案为： ．
7．如图，四边形 中， ，且 ，若 ，则
， ．【解答】解： ，
点 ， ， 在以 为圆心的圆上，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ， ．
8．如图所示， ， ，则 ．
【解答】解： ，
、 、 三点在以点 为圆心，以 为半径的圆上．
，
．故答案为： ．
9．如图，四边形 中， 、 分别是 ， 的中垂线， ， ，
则 ， ．
【解答】解：连接 ，
、 分别是 、 的中垂线，
，
、 、 在以 为圆心， 为半径的圆上，
，
，
， ，
，
，
又 ，
．
故答案为： ， ．
10．如图， ，如果 是 的 倍，那么 是 的 倍．【解答】解： ，
点 、 、 在以 为圆心的圆上，
， ，
，
，
故答案为：
11．如图，矩形 中， ， ， 是直线 上的一个动点， ， 沿
翻折形成 ，连接 、 ，则 的最小值是 ，点 到线段 的最短
距离是 ．
【解答】解：连接 ，作 于 ，
，
点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
在 中，由勾股定理得，
，
的最小值为 ，
，
四边形 是矩形，
，
点 到线段 的最短距离是2，
故答案为： ，2．三．解答题（共9小题）
12．如图，在 中， ，过点 作 ， ，连接 交 于点 ．
是 的中点，连接 交 于 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，且 ，求四边形 的面积．
【解答】解：（1）如图1中，
， ， ，
，
是等边三角形，
，
，
、 、 三点在 上，
．
（2）如图2中，连接 ．， ，
， ，
垂直平分 ，
，设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
．
13．如图， ， ， ，求 的度数．
【解答】解： ，
， ， 在以 为圆心， 为半径的圆上，
， ，， ，
．
14．圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．
（1）已知：如图1， ，请利用圆规画出过 、 ． 三点的圆．若 ，
则 ．
如图， 中， ， ， ．
（2）已知，如图2．点 为 边的中点，将 沿 方向平移2个单位长度，点 、 、 的
对应点分别为点 、 、 ，求四边形 的面积和 的大小．
（3）如图3，将 边沿 方向平移 个单位至 ，是否存在这样的 ，使得直线 上有一
点 ，满足 且此时四边形 的面积最大？若存在，求出四边形 面积的最大
值及平移距离 ，若不存在，说明理由．
【解答】（1）以 为圆心， 为半径作辅助圆，如图，
，
，
，
故答案为 ．
（2）连接 ， ，如图，，
中， ， ， ．
， ， ．
为 斜边 中点，
，
线段 平移到 之后， ， ，
四边形 为菱形，
，
，
，且 ，
四边形 为直角梯形，
，
（3）如图所示，
当 边沿 方向平移2个单位至 时，
满足 且此时四边形 的面积最大，
此时直角梯形 的最大面积为，
．
15．在 中， ， ， 、 分别平分 和 ，求证：．
【解答】解：连接 ，取 中点 ，连接 ， ，
，
，
、 分别平分 和 ，
，
，
在 和 中， ， 分别是斜边的中线，
， ，
，
、 、 、 四点在以 为圆心， 为半径的圆上，
，
是等腰直角三角形，
．
16．如图，在 中， ， 垂直平分 ，且 ，连接
（1）求证： ；（2）设 交 于点 ，若 是等腰三角形，求 的度数．
【解答】解：（1）证明：作 的外接圆，延长 交圆于点 ，连接 、 ，如图所示，
则有 ．
垂直平分 ，
，
，
，
是等边三角形，
．
，
，
点 为所作圆的圆心，
．
（2）①若 ，
则 ．
，
．
，
，
．
，
，
解得：
②若 ，
同理可得： ．
③ ，
此时 与 重合，则 与 重合，
不符合题意，故舍去．
综上所述：当 是等腰三角形时， 的度数为 或 ．
17．【阅读】
辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁．在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅
助线，显得独特而隐蔽．
性质：如图①，若 ，则点 在经过 ， ， 三点的圆上．
【问题解决】
运用上述材料中的信息解决以下问题：
（1）如图②，已知 ．
求证： ．
（2）如图③，点 ， 位于直线 两侧．用尺规在直线 上作出点 ，使得 ．（要求：
要有画图痕迹，不用写画法）
（3）如图④，在四边形 中， ， ，点 在 的延长线上，连接 ，
．
求证： 是 外接圆的切线．
【解答】解：（1）如图②，由 ，可知
点 ， ， 在以 为圆心， 为半径的圆上．所以， ．
（2）如图③，点 ， 就是所要求作的点．
（3）如图④，取 的中点 为圆心， 为直径作圆 ，则 是 的外接圆；
由 ，可得点 在 的外接圆上．
．
，
．
，
．
．
即 ．
是 外接圆的切线．
18．在 中， ， ， ， 分别是边 ， 的中点，若等腰绕点 逆时针旋转，得到等腰 △ ，设旋转角为 ，记直线 与
的交点为 ．
（1）如图1，当 时，线段 的长等于 ，线段 的长等于 ；（直接填写结
果）
（2）如图2，当 时，求证： ，且 ；
（3）求点 到 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）
【解答】（1）解： ， ， ， 分别是边 ， 的中点，
，
等腰 绕点 逆时针旋转，得到等腰 △ ，设旋转角为 ，
当 时， ， ，
， ；
故答案为： ， ；
（2）证明：当 时，如图2，
△ 是由 绕点 逆时针旋转 得到，
， ，
在△ 和△ 中，
△ △ ，
，且 ，
记直线 与 交于点 ，
，
，
；
（3）解：如图3，作 ，交 所在直线于点 ，
， 在以 为圆心， 为半径的圆上，
当 所在直线与 相切时，直线 与 的交点 到直线 的距离最大，
此时四边形 是正方形， ，则 ，
故 ，
则 ，
故点 到 所在直线的距离的最大值为： ．19．如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，并且 ，点
为 边上的动点，将 沿直线 翻折，点 落在点 处，求点 到边 距离的最小值．
【解答】解：如图，延长 交 于 ，
，
点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
当 时，点 到 的距离最小，
， ，
，
，
， ， ，
， ，
，
，
，
，点 到边 距离的最小值为1.2．
20．如图， 中， ， ，过点 任作一条直线 ，将线段 沿直线
翻折得线段 ，直线 交直线 于点 ．
（1）小智同学通过思考推得当点 在 上方时， 的角度是不变的，请按小智的思路帮助
小智完成以下推理过程：
，
、 、 三点在以 为圆心以 为半径的圆上．
．
（2）若 ，求 的长．
（3）线段 最大值为 ；若取 的中点 ，则线段 的最小值为 ．
【解答】解：（1） ，
、 、 三点在以 为圆心以 为半径的圆上，
，
故答案为： ，45；
（2）由折叠可知， 垂直平分 ，
，
设 、 交于点 ，则 ，
，
，，
在 中，
由勾股定理得， ，
；
（3） ， ， ，三点在以 为圆心，以 为半径的圆上，
当 经过圆心 时，线段 的最大值为 ，
在 中， ， ，
，
， ，
连接 ，取 的中点 ，连接 ，如图，
垂直平分 ， ，
，
，
，，
，
点 在以点 为圆心， 为直径的圆上，
，
点 在 上，
当 经过点 时， 最短，此时 ，
，
，
即线段 的最小值为 ，
故答案为：8； ．
