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专题24 构造直角三角形利用三角函数求边长小题
【典例讲解】
Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且
∠ACP=30°，则PB的长为_______．
【详解】分两种情况考虑：
当∠ABC=60°时，如图所示：∵∠CAB=90°，∴∠BCA=30°．
又∵∠PCA=30°，∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°．
又∵∠ABC=60°，∴△PCB为等边三角形．
又∵BC=4，∴PB=4．当∠ABC=30°时，
（i）当P在A的右边时，如图所示：
∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠PCB=90°．
又∠B=30°，BC=4，
∴ ，即 ．
（ii）当P在A的左边时，如图所示：
∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠BCP=30°．
又∠B=30°，∴∠BCP=∠B．∴CP=BP．
在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4，∴AC= BC=2．
根据勾股定理得： ，
∴AP=AB－PB= －PB．
在Rt△APC中，根据勾股定理得：AC2＋AP2=CP2=BP2，即22+（ －PB）2=BP2，
解得：BP= ．
综上所述，BP的长为4或 或 ．【综合演练】
1．在△ABC中，BC＝ ＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（ ）
A． B． ＋1 C． D． ＋1
【答案】C
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分别用AD表示出BD、
CD，根据BC的长先求出AD，再求三角形的面积．
【详解】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，∠B＝45°，
∴BD＝AD．
在Rt△ACD中，∠C＝30°，
∴CD＝ AD．
∵BD＋CD＝BC，
∴AD＋ AD＝1＋ ．
即AD＝1．
∴S ABC＝ ×BC×AD
△
＝ （1＋ ）．故选：C．
【点睛】本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决.
2．如图，在 中， ， ， 为 边上的一个动点（不与 、 重合），连接
，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】以 为斜边向 外作等腰直角三角形，得 ，当 在同一直线上
时， 取得最小值. 在 中，利用正弦函数即可求得答案.
【详解】如图，以 为斜边向 外作等腰直角三角形，
∵
∴
∴当 在同一直线上时，
取得最小值.
在 中， ， ， ，
∴
∴ .
故选：B【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造辅
助线得到 是解题的关键.
3．如图，有一块三角形空地需要开发，根据图中数据可知该空地的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长BA，过C作CD⊥BA的延长线于点D，再根据补角的定义求出∠DAC的度数，由锐角
三角函数的定义可求出CD的长，再根据三角形的面积公式求出此三角形的面积．
【详解】
解：延长BA，过C作CD⊥BA的延长线于点D，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAC=180°-120°=60°，
∵AC=20m，
∴CD=AC•sin60°=20× =10 （m），
∴S = AB•CD= ×30×10 =150 （m2）．
ABC
△故选B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此
题的关键．
4．如图， ， ，AC＝10，则 的面积是（ ）
A．42 B．43 C．44 D．45
【答案】A
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义，求出AD、BD和CD的长度．
【详解】过点A作AD⊥BC于点D，
∵sinC＝ ，
∴AD＝AC•sinC＝6，
∴由勾股定理可知：BC＝8，
∵cosB＝ ，
∴∠B＝45°，
∴BD＝AD＝6，
∴BC＝14，
∴△ABC的面积为 BC•AD＝ ×6×14＝42．
故选A．
【点睛】考查解直角三角形，解题的关键是根据锐角三角函数求出AD与BC的长度.
5．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（ ）A． B．4 C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：如图，连接AE，
在正六边形中，∠F= ×（6﹣2）•180°=120°．
∵AF=EF，∴∠AEF=∠EAF= （180°﹣120°）=30°．∴∠AEP=120°﹣30°=90°．
∴AE=2×2cos30°=2×2× ．
∵点P是ED的中点，∴EP= ×2=1．
在Rt△AEP中， ．
故选C．
6．已知在 中， 、 是锐角，且 ， ， ，则 的面积
等于 __ ．
【答案】220
【分析】过点 作 的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中 ， 和
的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积．
【详解】解：如图：过点 作 的垂线，垂足为点 ．
，
设 ， ，
，
可设 ， ，
，
，
，
由 ，得 ，
则
故 ．
故答案是：220
【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键．
7．△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5 ，那么∠A的度数是_________．
【答案】60°或120°##120°或60°
【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC=5，可以求出AC边上的高，再根据∠A
的三角函数值可得∠A的度数，注意需要分情况讨论．
【详解】解：当∠A是锐角时，
如图，过点B作BD⊥AC于D，
∵AC＝5，△ABC的面积为5 ，∴BD＝5 ×2÷5＝2 ，
在 中，sinA＝ ＝ ＝ ，
∴∠A＝60°．
当∠A是钝角时，
如图，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于D，
∵AC＝5，△ABC的面积为5 ，
∴BD＝5 ×2÷5＝2 ，
在Rt△ABD中，sin∠BAD＝sinA＝ ＝ ＝ ，
∴∠BAD＝60°．
∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°．
故答案为60°或120°．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是画出合适的图形，作出相应的辅助线．
8．如图，在四边形 中， ， ， ， ．则 的长的值为
__________．
【答案】
【分析】如图，延长BC，AD交于E，解直角三角形分别求出AE、DE、CE、BC的长，再运用勾
股定理即可求解．【详解】解：如图，延长BC，AD交于E，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴BC=BE-CE= ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，理解题意、明确思路、正确添加辅助线构造直角三角
形是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 ，则S ＝__．
ABC
△
【答案】
【分析】如图，过点C作CD⊥AB于点D．通过解直角△ACD求得CD、AD的长度，通过解直角
△BCD求得BD的长度；则易求AB＝AD＋BD；然后由三角形面积公式进行解答．
【详解】如图，过点C作CD⊥AB于点D．∵在直角△ACD中，∠A＝30°，AC＝2 ，
∴AD＝AC•cos30°＝2 × ＝3，CD＝ AC＝ ．
∵在直角△BCD中，∠B＝45°，CD＝ ，
∴BD＝CD＝ ，
∴AB＝AD＋BD＝3＋ ，
∴S△ABC＝ AB•CD＝ ×（3＋ ）× ＝ ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形．对于此类题目，不是直角三角形，要利用三角函数必须构筑
直角三角形，知道三个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角．进而求面积，在转化
时，尽量不要破坏所给条件．
10．如图，在 中， ， ， ， ，垂足为 ， 的平
分线交 于点 ，则 的长为__________．
【答案】 ．
【分析】由图象可得两个直角三角形,分别为45°等腰直角三角形和30°直角三角形,先在Rt△ADC中
算出AD,再Rt△ADB中,算出BD,根据角平分线的性质可得Rt△EBD为30°特殊直角三角形,再求出DE,即可求出AE的长.
【详解】解：∵ ，
∴ .
在 中， ， ，
∴ ，
∴
在 中， ， ，
∴
∵ 平分 ，
∴ .
在 中， ， ，
∴
∴
【点睛】本题考查解特殊直角三角形,关键在于熟练掌握特殊直角三角形的基础性质.
11．如图，某小区物业想对小区内的三角形广场 进行改造，已知 与 的夹角为 ，
米， 米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是______平方米.（结果保留根
号）
【答案】【分析】过点 作 ，交 的延长线于点 ，根据解直角三角形的方法即可求解.
【详解】如解图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
∵ ，
∴ .
∵在 中， ， ，
∴ .
∵ ， ，
∴ （平方米）.
【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
12．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝ ，AC＝2 ，AB的长___________．
【答案】5
【分析】作CD⊥AB于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD= ，AD=3，再在Rt BCD中
△
根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可．
【详解】解：作CD⊥AB于D，如图，
在Rt ACD中，∠A＝30°，AC＝2 ，
△
∴CD＝ AC＝ ，AD＝ CD＝3，在Rt BCD中，tanB＝ ，
△
∴ ，
∴BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝3+2＝5.
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角
三角形．
13．如图，等腰直角 ABC的面积为16，点D在斜边AC的延长线上，∠BDC＝30°，则 BDC的
面积是__. △ △
【答案】
【分析】作BH⊥AC于H．想办法求出AD．BH即可解决问题．
【详解】解：如图，作BH⊥AC于H．
∵等腰直角 ABC的面积为16,
△
∴BA=BC= ，
∵BA=BC= ，∠ABC=90°，BH⊥AC，
,
在Rt BDH中，
∵∠BH△D=90°，∠BDC =30°，
,,
.
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形
解决问题，属于中考常考题型．
14．已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦
值为 （即cosC= ），则AC边上的中线长是_____________．
【答案】 或
【详解】解：分两种情况：
①△ABC为锐角三角形时，如图1．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC= ，
∴CD= a，AD= a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD= a，
∴BC=BD+CD= a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cosC
∴BE= ；②△ABC为钝角三角形时，如图2．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC= ，
∴CD= a，AD= a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD= a，
∴BC=BD+CD= a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cosC
∴BE= ．
综上可知AC边上的中线长是 或 ．
15．在 中， ， ， 为锐角且 ．
(1)求 的面积；
(2)求 的值；(3)求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点 作 ，根据 的正切值确定 的度数，再利用直角三角形的边角
间关系求出 、 ，最后利用三角形的面积公式算出 的面积；
（2）先利用线段的和差关系求出 ，然后在 中利用勾股定理求出 ；
（3）在 中利用直角三角形的边角间关系求出 的余弦值．
（1）
解：过点 作 ，垂足为 ，
∴ ，
∵ 为锐角且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ 的面积为 ．
（2）∵ ， ，
∴ ，
在 中，
．
∴ 的值为 ．
（3）
在 中， ， ，
∴ ．
∴ 的值为 ．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三
角形的面积公式及勾股定理是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，sinB＝ ， ，AC＝5，则△ABC的面积为多少？
【答案】10.5
【分析】作AD⊥BC，根据cosC和AC即可求得AD的值，再根据∠B可以求得AD＝BD，根据AD，
BC即可求得S 的值．
ABC
△
【详解】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在RtΔACD中， ， AC＝5，
∴CD=AC cosC＝5 =4．∴由勾股定理得：AD＝ ＝3．
∵sinB＝ ，
∴∠B＝45°．
∴∠BAD＝∠B＝45°．
∴BD＝AD＝3．
∴S ＝ BC•AD＝ （3+4）×3＝10.5．
ABC
△
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，并能根据题
目条件构造直角三角形．
17．已知在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝8，D、E分别是边BC、AB上的一点，若tan∠DEA＝
2，DE＝ ，S DEB＝4，求四边形ACDE的面积．
△
【答案】 ．
【分析】作DH⊥AB于H，CN⊥AB于N，BM⊥AC交AC的延长线于M．由题意易知tan∠DBH＝
＝ ＝ ，可以假设CN＝2k，BN＝5k，则BC＝ k，再根据tan∠A＝ ＝ 构建方程即
可解决问题．
【详解】解：如图，作DH⊥AB于H，CN⊥AB于N，BM⊥AC交AC的延长线于M．
在Rt△DHE中，∵tan∠DEH＝ ＝2，DE＝ ，
∴DH＝2，EH＝1，∵S ＝ •EB•DH，
DEB
△
∴4＝ ×EB×2，
∴EB＝4，BH＝5，
∵tan∠DBH＝ ＝ ＝ ，
∴可以假设CN＝2k，BN＝5k，则BC＝ k，
∵∠ACB＝135°，
∴∠MCB＝45°，
∴CM＝BM＝ × ＝ k，
∵tan∠A＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：k＝ 或﹣ （舍弃），
∴AB＝AN+BN＝ ，
∴S ＝S ﹣S
四边形ACDE ABC DEB
△ △
＝
＝ ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
18．如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠BAD＝45°，AC＝3，AB＝ ，求
△
BD的长．【答案】BD的长是5．
【分析】过D作DE⊥AB于点E，设DE＝a，用a表示出AE、BE，在Rt△ABC和Rt△BDE中分别表示
出tan∠ABC，从而列出方程，解方程后即可求出BE、DE的长，然后用勾股定理即可求出BD.
【详解】解：过D作DE⊥AB于点E，如图所示，
∵∠BAD＝45°，
∴∠EAD＝∠EDA＝45°，
∴AE＝DE，
设DE＝a，则BE＝AB﹣AE＝ ﹣a，
∵AC＝3，AB＝ ，∠C＝90°，
∴BC= ，
∴ ，
∴a= ，
经检验，a= 是上面方程的解.
∴DE= ，BE=2
Rt△BED中，由勾股定理得：
BD2＝BE2+DE2= ，
∴BD＝5.【点睛】本题考查了三角函数的应用，通过在不同三角形中表示出同一个角的某个三角函数从而
列出方程求解是解题关键，这种解法比用相似更简捷，要灵活运用.
19．如图， 的角平分线 ， ， 、 所对的边记为 、 .
（1）当 时，求 的值；
（2）求 的面积（用含 ， 的式子表示即可）；
（3）求证： ， 之和等于 ， 之积.
【答案】（1）2；（2） ；（3）详见解析.
【分析】（1）过点 作 于点 ，利用直角三角形30度角的性质可知BE长，得 ，
即点E、点D重合，中线与高线重合，可知AB=AC，即 ；
（2）表示方法有两种，可能情形1：过点 作 于点 ，过点 作 延长线于点
，解直角三角形可得 ， ，利用三角形面积公式可得
和 的面积相加即可；可能情形2：过点 作 于点 ，解直角三角形可得
，直接利用三角形面积公式求解即可；
（3）由（2）中面积的两种表示方法可直接证得结论.
【详解】解：（1）过点 作 于点
∵ 平分 ，∴ .
在 中， ， .
∵ ，∴点 与点 重合，∴ .
∴ .（2）答案不唯一.
可能情形1：过点 作 于点 ，过点 作 延长线于点
∵ 平分 ，∴ .
∵在 中， ， ，
在 中， ，
∴
.
可能情形2：过点 作 于点 ，用含 的式子表示出 ，
于是 .
（3）从上面 两种面积表示方法 ， ，可得 ，化简得
，即 ， 之和等于 ， 之积.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练利用直角三角形中的特殊角与边的关系求线段长是解题的关键.
20．如图，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，∠EBC=45°，BE=6，CD= ，求
∠DCB的度数．
【答案】∠DCB=30°.
【分析】首先利用sin45°= 求出BC的度数，进而利用cos∠DCB= 求出∠DCB的度数.
【详解】在Rt△BEC中，∠BEC=90°，∠EBC=45°．
∴BC=BE÷sin45°=
在Rt△BDC中，∠BDC=90°，
cos∠DCB= =
∴∠DCB=30°.
